Como se ha mencionado, vemos que fue crucial y constitutivo para la teoría de Cantor que resultará válido el principio del buen orden, es decir que todo conjunto puede ser bien ordenado. Con la aparición del axioma del conjunto potencia, se había vuelto un poco cuestionable el principio del buen orden, pues se puede decir que era necesario demostrar que el conjunto potencia de un conjunto bien ordenable también es ordenable, en este sentido se debía resolver el problema de llegar a una noción de conjunto viable con la cual se pudiera formular la teoría de conjuntos.
En (De la Pava, 2012) menciona, que Cantor hizo referencia al Axioma de Elección por primera vez, en los Fundamentos, cuando observo que siempre resultaba posible poner cualquier conjunto bien definido en la forma de un conjunto bien ordenado; en este sentido, para Cantor, el Axioma de Elección, en su versión de Principio del buen orden, es algo intrínseco a la esencia de los conjuntos. Sin embargo, este postulado, aunque visto como fundamental y evidente, generó un análisis más profundo a partir de la sucesión de los alephs de Cantor.
Como hemos mencionado, el trabajo de Zermelo presuponía cierta familiaridad con la teoría de conjuntos de Cantor, él empleo los números cardinales y sus productos, funciones que van de conjuntos a sus elementos, conjuntos bien ordenados y el axioma del conjunto potencia, e introduce un “supuesto” que más adelante denomino el Axioma de Elección, según el cual para todo conjunto de conjuntos no vacíos hay una función que va de cada uno de los conjuntos no vacíos a sus elementos, y utilizo este supuesto para demostrar el principio de buen orden.
Al tener un conjunto M, Zermelo aplica el axioma de elección al conjunto de sus subconjuntos para obtener una función ϒ. Cuando m es cualquier subconjunto no vacío de M, Zermelo denomino ϒ(m) al elemento elegido de m. definió ϒ-conjunto como un subconjunto S bien ordenado de M tal que cada elemento de a de S es el elemento elegido del conjunto de elementos de S que no precede a a. posteriormente definió un elemento ϒ-elemento como un elemento de cualquier ϒ-conjunto, y demostró que el conjunto Lϒ de ϒ-elementos es un ϒ–conjunto, por lo que está bien ordenado, también demostró que Lϒ = M, por lo que M está bien ordenado. En apoyo del supuesto, dijo que es un “principio lógico”, destaco a manera de ejemplo que se puede utilizar para demostrar que si un conjunto, es descompuesto en partes, entonces no hay más partes que los elementos del conjunto. Este resultado de Zermelo provoco muchas críticas, Bernstein y Shoenflies objetaron la demostración de que Lϒ = M; Poincaré objetó la definición de Lϒ; Peano, Borel, Lebesgue y Baire objetaron el supuesto.
Es importante recalcar que el Axioma de Elección se venía empleando de manera implícita en el análisis y en investigaciones de Cantor y Dedekind, este se implementaba como herramienta para la constitución de las clases numéricas de Cantor, en donde es necesario que existan conjuntos a los que les corresponde cada ordinal transfinito, de igual manera el axioma fue observado y rechazado por Peano en 1890, Bettazi en 1896 y Beppo Levi en 190235. Sin embargo el axioma no se tematiza como una teoría hasta que Zermelo lo incorpora en la axiomática, en el trabajo de Zermelo se presentaban unos aspectos especiales en la medida que se trataba de un axioma puramente existencial, como puede observarse en la siguiente cita:
La presente demostración descansa sobre […] el principio de que también para una totalidad infinita de conjuntos existe siempre condiciones mediante las cuales a cada conjunto le corresponde
uno de sus elementos, o expresado formalmente, que el producto de una totalidad infinita de conjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos un elemento, es distinto de cero. Este principio lógico no puede reducirse a otro más simple, pero es aplicado inconsistentemente en números de deducciones matemáticas. Por ejemplo la valides general del teorema que dice que el número de partes en que se divide un conjunto es menor o igual al número de sus elementos, no puede demostrarse de otra manera pensando que cada una de sus partes consideradas está coordinada con uno de sus elementos. (Zermelo, 1908) citado en (Ferreirós 1991, p.356).
Se evidencia así, como con este trabajo de Zermelo el tipo de matemática abstracta característica de la teoría de conjuntos. Se puede decir que en el momento en que se reproduce la teoría intuitiva de conjuntos, es cuando el Axioma de Elección se constituye en un objeto matemático, pues se garantizaba la existencia del mismo bajo el hecho de que el axioma es “intuitivamente evidente” y “necesario” para las matemáticas, además destaca que la demostración del mismo se podía llevar en un sistema libre de todas las paradojas conocidas. Básicamente se puede afirmar que el Axioma de Elección está justificado por la idea que se puede seleccionar arbitrariamente los elementos de un conjunto, en este sentido para Zermelo es inevitable su utilización36.
En el artículo de Investigations in the Foundations of Set Theory I en (Heijenoort, 1967), Zermelo enuncio en 1908 siete de los axiomas de la teoría de conjuntos moderna, entre ellos el Axioma de Elección:
Axioma IV: Si T es un conjunto cuyos elementos son todos conjuntos no vacíos y mutuamente