Types of Schedulers

En esta sección se obtiene la función interpoladora para identificar al sistema de primer orden lineal descrito por las siguientes ecuaciones:

'( )

( )

( )

( )

( )

=

−

=

x t

u t

x t

y t

x t

donde y(t) es la salida del sistema y corresponde al estado x(t). Las variables de entrada o antecedentes para que el SGD capture la dinámica del sistema son la entrada u(t) y el estado o salida x(t), a partir de éstos se tratará de aproximar el estado siguiente x(t+∆t), por tanto el número de dimensiones es 3.

La señal de entrada aplicada al sistema dinámico para obtener los datos de entrenamiento se muestra en la figura 6.3 y se forma por una señal triangular de amplitud ±2 con frecuencia de 1 ciclo cada 10 s a la cual se le suma el producto entre una señal de ruido aleatorio y una señal rampa cuya amplitud es 0.02. El tiempo de simulación fue de 50 s y el tiempo de muestreo de 0.1 s, obteniéndose un total de 501 datos.

Para lograr la identificación del sistema dinámico se colocaron 2 conjuntos por cada antecedente y se utilizaron los parámetros preestablecidos, el entrenamiento se hizo durante 10 épocas obteniendo los siguientes errores de interpolación: EC=1.52362, error promedio=0.065.

Adquisición Entrenamiento Validación Generalización

Visualización

Simulación

Fig. 6.3. Señal de entrada aplicada al sistema de primer orden lineal, para generar los datos de entrenamiento.

Una vez completado el entrenamiento se procede a la etapa de validación en la cual primero se visualiza la bondad de ajuste de la función interpoladora respecto a los datos de entrenamiento con alguno de los métodos descritos en el capítulo 5. En la figura 6.4 se observa la bondad de ajuste de la interpolación mediante matriz de dispersión del consecuente, donde se observa que existen datos interpolados que no están contenidos por la función interpoladora y otros se encuentran alejados de su dato de entrenamiento correspondiente es decir del valor real.

Fig. 6.4. Matriz de dispersión del consecuente de la identificación de un sistema de primer orden lineal, después de 10 épocas de entrenamiento, las cruces rojas corresponden a los datos interpolados, los círculos

azules a los datos de entrenamiento y los puntos celestes a la función interpoladora completa.

En la figura 6.5 se muestra la bondad de ajuste de la aproximación con el método de diagramas de dispersión en tres dimensiones, se observa que algunos datos de entrenamiento (círculos azules) no pertenecen a la función interpoladora (puntos celestes)

y que existen datos interpolados (cruces rojas) lejos del dato de entrenamiento que les corresponde.

Fig. 6.5. Diagramas de dispersión en tres dimensiones de un sistema de primer orden lineal, después de 5 épocas de entrenamiento, las cruces rojas corresponden a los datos interpolados, los círculos azules a los

datos de entrenamiento y los puntos celestes a la función interpoladora completa.

Para lograr una mejor identificación se entrenó el sistema difuso a 276 épocas, los errores son: EC=0.00122, error promedio=0.00051. Al sintonizar con un mayor número de épocas los errores disminuyeron.

La bondad de ajuste de la interpolación se visualiza mediante matriz de dispersión del consecuente y conjunto de diagramas de dispersión en tres dimensiones en las figuras 6.6 y 6.7 respectivamente en las que se observa que el consecuente de los datos de entrenamiento es muy cercano a su correspondiente valor interpolado, además la función interpoladora contiene a todos los datos de entrenamiento.

Fig. 6.6. Matriz de dispersión del consecuente de la identificación de un sistema de primer orden lineal, después de 276 épocas de entrenamiento, las cruces rojas corresponden a los datos interpolados, los círculos

azules a los datos de entrenamiento y los puntos celestes a la función interpoladora completa.

Fig. 6.7. Diagramas de dispersión en tres dimensiones de un sistema de primer orden lineal, después de 276 épocas de entrenamiento, las cruces rojas corresponden a los datos interpolados, los círculos azules a los

datos de entrenamiento y los puntos celestes a la función interpoladora completa.

Con los métodos de visualización fue posible comprobar que la función interpoladora tiene una bondad de ajuste alta respecto a los datos de entrenamiento, por lo que se procede a la segunda parte de la etapa de validación que consiste en simular el comportamiento del sistema dinámico utilizando la estructura de la figura 6.1, en esta etapa se excita al sistema dinámico con la señal de entrada que se utilizó en la etapa de adquisición. La

salida del sistema difuso se muestra en la figura 6.8, donde se observa que se traslapa con la salida de la planta. En la figura 6.9 se muestra la diferencia entre la salida de la planta y la salida del sistema difuso a la cual en lo sucesivo se denominará error, el cual no es significativo.

Fig. 6.8. Comparativo de la salida de la planta de primer orden lineal (línea roja) y la salida del sistema difuso (línea negra) como respuesta a la señal que se aplicó en la etapa de adquisición. En este caso ambas

salidas se traslapan.

Fig. 6.9. Error entre la salida de la planta de primer orden lineal y la salida del sistema difuso como respuesta a la señal que se aplicó en la etapa de

adquisición.

La etapa de validación obtiene buenos resultados, por lo que se comprobará la capacidad de generalización aplicando señales de entrada desconocidas, es decir no consideradas durante la etapa de entrenamiento. En la primera prueba se aplica como entrada a la planta una señal triangular con frecuencia de un ciclo por cada 10 s y amplitud ±1 que se muestra en la figura 6.10.

Fig. 6.10. Señal de entrada triangular aplicada a la planta de primer orden lineal y al sistema difuso. En la figura 6.11 se muestra la comparación entre las salidas del sistema difuso y la planta, se observa que las salidas se traslapan por lo que el resultado es aceptable. En la figura 6.12 se nota que el mayor error se produce cuando la señal de entrada alcanza su máxima amplitud.

Fig. 6.11. Comparativo de la salida de la planta de primer orden lineal (línea roja) y la salida del sistema

difuso (línea negra) como respuesta a una señal triangular. Ambas salidas se traslapan.

Fig. 6.12. Error entre la salida de la planta de primer orden lineal y la salida del sistema difuso

como respuesta a una señal triangular.

Otra señal de entrada que se aplicó fue un escalón de amplitud 1 que se muestra en la figura 6.13 y es desconocido por el sistema difuso.

Fig. 6.13. Señal escalón aplicada a la planta de primer orden lineal y al sistema difuso.

En la figura 6.14 se observa que la salida del sistema difuso y la generada por la planta están casi traslapadas, lo que da como resultado que el error que se muestra en la figura 6.15 sea pequeño.

Fig. 6.14. Comparativo de la salida de la planta de primer orden lineal (línea roja) y la salida del sistema

difuso (línea negra) como respuesta a una señal escalón. Ambas salidas se traslapan.

Fig. 6.15. Error entre la salida de la planta de primer orden lineal y la salida del sistema difuso

como respuesta a una señal escalón.

El sistema lineal de primero orden que se estudió obtuvo buenos resultados tanto en la etapa de validación como en la de generalización. Para aumentar la complejidad de las pruebas en la siguiente sección se estudia un sistema de segundo orden lineal.