Uncertainty Analysis

Existe un momento en que la curiosidad se convierte en pecado, y el diablo siempre se ha puesto del lado de los sabios.

Anatole France

El agujero negro que encoge

En 1971, Stephen Hawking propuso la existencia de mini-agujeros negros. Según él, en los primeros instantes del Universo, mucho antes del nacimiento de las estrellas y de las galaxias, la presión y la energía del «baño cósmico» ambiente eran tan grandes que

hubieran podido forzar a los pequeños grumos de materia a concentrarse en agujeros negros de tamaños y masas diversas l

. En particular, se hubieran podido producir «desde el exterior» agujeros negros minúsculos, que tienen la masa de una montaña y el tamaño de una partícula elemental, mientras que los agujeros negros del universo actual no pueden formarse más que por colapso de grandes cantidades de materia.

Hawking se interesó en seguida en las interacciones de los mini-agujeros negros con el medio exterior. Desde el momento en que as distancias puestas en juego son microscópicas, la materia y la energía deben describirse en el marco de la Mecánica Cuántica. Como ya se ha indicado anteriormente, todavía no se dispone de una teoría satisfactoria de la

gravitación cuántica. Sin embargo, el campo gravitatorio, y con él el espacio-tiempo, no debe manifestarse realmente discontinuo más que en la escala de longitud de Planck, que es extraordinariamente menor que el radio de una partícula elemental o de un mini-agujero negro. Por consiguiente, la interacción de un mini-agujero negro con la materia y la energía ambiente puede calcularse sobre la base de un compromiso: el espacio-tiempo permanece «clásico» y descrito por la Relatividad General, y solamente su contenido —la materia y la energía— es cuántica.

Utilizando esta aproximación, Stephen Hawking efectuó los cálculos en 1974 y descubrió un fenómeno tan inesperado que, creyendo en un error, rehizo varias veces el trabajo. Esfuerzo perdido, era preciso aceptar el resultado: ¡un mini-agujero negro debe evaporarse emitiendo partículas!

Había motivos a primera vista para desanimarse: tal comportamiento está en contradicción flagrante con la concepción «clásica» del agujero negro, que prohíbe la evasión de cualquier cosa fuera del horizonte de sucesos. Ciertamente, un agujero negro «excitado» puede ceder energía perdiendo poco a poco su momento angular y su carga, pero en este caso las partículas se emiten en el exterior del horizonte. Por otro lado, el agujero negro de Schwarzschild «desexcitado» se considera que conserva una masa-energía irreducible, li- gada a su área y a su entropía, que según la 2." ley de la termodinámica clásica no pueden más que crecer en el transcurso del tiempo. Ahora bien, los cálculos de Hawking muestran que un mini-agujero negro, excitado o no, debe dejar escapar partículas y evaporarse per- diendo su masa y su entropía. ¿Cómo resolver pues el conflicto?

A menudo es fácil interpretar a posteriori un gran descubrimiento teórico, simplemente porque ilumina súbitamente relaciones entre fenómenos mal entendidos hasta entonces. A este respecto, la evaporación cuántica de los agujeros negros llegaba a tiempo para jus- tificar totalmente la termodinámica de los agujeros negros. Pues si se mira con más atención ésta, en su versión «clásica», era incoherente. Veamos por qué.

Según la termodinámica habitual, todo cuerpo que esté a una cierta temperatura e inmerso en un baño más frío —por ejemplo en el aire— debe perder energía por radiación. Al hacer esto, su entropía disminuye mientras que la del medio exterior aumenta. Durante el

transcurso del cambio, la entropía total, suma de la del cuerpo y la del baño, debe crecer en virtud de la segunda ley.

¿Qué dice por su parte la termodinámica del agujero negro? Le atribuye una entropía, dada por su área, y una temperatura, dada por su gravedad de superficie. Zambullamos el agujero negro en un baño ambiente. Si la temperatura del agujero negro es menor que la del baño, el agujero negro debe absorber energía y ganar entropía. Pero si el agujero negro está inmerso en un baño más frío es preciso también aceptar la idea de que pueda perder energía y entropía, lo que contradice la 2." ley de la termodinámica «clásica» de los agujeros negros... La incoherencia queda resuelta con el descubrimiento de Hawking. Gracias a ciertas posibilidades ofrecidas por la Mecánica Cuántica que detallaré más adelante, un agujero negro es capaz de emitir partículas o radiación incluso si se encuentra en su estado de mínima energía, sin rotación ni carga eléctrica. Al perder energía, el agujero negro ve decrecer su entropía —es decir su área—, mientras que la del baño, que recupera la energía, aumenta. De hecho, el crecimiento de entropía del baño es superior a la pérdida de entropía del agujero negro. Por consiguiente, la 2." ley de la termodinámica se satisface en el conjunto del sistema agujero negro + baño, cuya entropía aumenta siempre.

El túnel

Si, clásicamente, nada puede salir de un agujero negro, es que está rodeado de una especie de «membrana unidireccional»: el horizonte de sucesos permite entrar pero no salir. Visto desde el interior, el agujero negro está cercado por una barrera infranqueable, infinitamente alta. Para saltar por encima y salir, sería precisa una energía infinita.

Ahora bien, la Mecánica Cuántica ofrece la posibilidad de franquear un muro infinitamente alto con una energía finita. Este fenómeno, llamado efecto túnel, es una consecuencia directa del Principio de Incertidumbre, que es respecto a la Mecánica Cuántica lo que el principio de Equivalencia es a la Relatividad General: la piedra de toque.

La Mecánica Cuántica nos ha enseñado que hay una «cierta vaguedad» en la descripción de la realidad microscópica. Si se quiere, por ejemplo medir la posición de un electrón aislado, es preciso localizarle, y para ello verle. Pero para verle es preciso iluminarle.

Ahora bien, el electrón es tan pequeño que los fotones que sirven para iluminarle poseen bastante energía para hacerle mover: los fotones dan un ligero impulso al electrón y modifican su velocidad. Por consiguiente, la medida de la posición con una gran precisión introduce un grado de incertidumbre en función de su velocidad. Si la velocidad de un electrón es conocida con una aproximación de 1 cm/s, es imposible localizarle con una precisión mejor de 1 cm.

En general, toda medida perturba un sistema microscópico. Este gran Principio de Incertidumbre ha sido formulado por Werner Heisenberg en 1927. Bien entendido, el indeterminismo cuántico se esfuma conforme las masas se van haciendo mayores. Es así como el protón, dos mil veces más masivo que el electrón, puede localizarse con una aproximación de 5 mieras si lleva una velocidad de 1 cm/s. La precisión, aunque mejor, es todavía pobre si se tiene en cuenta que el diámetro del protón es mil millones de veces menor. Pero, para los objetos macroscópicos, su masa es tan considerable respecto a la de las partículas elementales que la incertidumbre sobre la medida de su posición y de su impulso se desvanece completamente. El mundo habitual es «determinista» 2.

El Principio de Incertidumbre se aplica a otras magnitudes físicas cuantificadas tales como la energía: en un intervalo de tiempo muy breve, la energía puede fluctuar una cierta cantidad. Imaginemos ahora una partícula prisionera de un agujero negro. Si, clásicamente, le está estrictamente prohibido salir, el Principio de Incertidumbre de la Mecánica Cuántica

le permite tomar del agujero negro una cierta cantidad de energía durante un cierto lapso de tiempo. Ahora bien, si el agujero negro es microscópico, de la talla de una partícula elemental, el «salto» de energía puede ser suficiente para desplazar la partícula a una distancia superior al radio del horizonte. El resultado de la operación es una pérdida de energía del agujero negro por evasión de una partícula. La partícula no ha saltado realmente por encima del muro infinitamente alto del horizonte, ha tomado más bien un «túnel», abierto transitoriamente por el Principio de Incertidumbre.

2 _{Lo que, contrariamente a una opinión generalizada, no significa en absoluto que su evolución pueda predecirse.} Numerosos fenómenos físicos perfectamente clásicos pero muy complicados —«no lineales»—, aunque gobernados por ecuaciones deterministas, evolucionan hacia estados totalmente imprevisibles. Esa es la razón por la que las previsiones meteorológicas no podrán nunca ser fiables en una escala de tiempo superior a una semana, y esto cualquiera que sea la potencia de los ordenadores que las calculan.

El vacío polarizado

Una interpretación equivalente del fenómeno de evaporación de un agujero negro recurre a lo que se denomina la polarización del vacío.

El vacío de la Mecánica Cuántica no es la ausencia de todo campo, de toda partícula o de toda energía. El vacío cuántico no es más que el estado de mínima energía, y si aún así se le sigue llamando «vacío», es porque no hay ningún estado posible de energía estrictamente igual a cero.

El Principio de Incertidumbre entre tiempo y energía permite comprender por qué el vacío cuántico está poblado. En virtud de la equivalencia masa-energía, una fluctuación de la energía del vacío puede materializarse en partículas elementales. En 1928, Paul Dirac descubrió que a cada partícula elemental le corresponde una antipartícula de la misma masa, y con propiedades «reflejadas». Así, el electrón, que tiene una carga eléctrica elemental negativa, tiene una antipartícula, llamada positrón, que tiene la misma masa pero de carga eléctrica opuesta. El fotón, que no tiene masa, ni carga, es su propia antipartícula. Si una partícula y su antipartícula se encuentran se aniquilan y transforman su masa en energía. La asociación de una partícula y de su antipartícula representa pues una cierta cantidad de energía, igual a dos veces la masa en reposo, y recíprocamente, una cierta cantidad de energía puede ser considerada virtualmente como un conjunto de pares partícula-antipartícula. Es por esta razón por la que el vacío cuántico, agitado por fluctuaciones de energía, puede asimilarse a un «océano de Dirac», poblado por pares partícula-antipartícula que surgen espontáneamente del vacío y se aniquilan en seguida. Durante 1CT21 segundos, un par electrón-positrón puede aparecer espontáneamente y desaparecer. Pares de partículas más pesadas pueden también surgir del vacío, pero a causa del Principio de Incertidumbre no tienen posibilidades de subsistir más que en tiempos todavía más cortos. Un par protón-antiprotón creado en el vacío no puede sobrevivir en media más que un tiempo dos mil veces menor que un par electrón-positrón.

En el vacío cuántico y en ausencia de toda fuerza, los pares se crean y se aniquilan sin cesar, de manera que en media ninguna partícula o antipartícula ha sido creada o destruida verdaderamente ni puede ser observada directamente. Los pares son virtuales. Supongamos ahora que se superpone al vacío un campo de fuerzas, por ejemplo un campo eléctrico. Cuando un par virtual electrón-positrón surge del vacío, el electrón es desviado por el campo eléctrico en una cierta dirección mientras que el positrón es desviado en la dirección opuesta. Si el campo eléctrico es suficientemente fuerte, el par se separa una distancia tal

que llega a ser incapaz de refundirse para aniquilarse. Así, de ser virtuales, las partículas se convierten en reales. Se dice que el vacío está polarizado.

La creación espontánea de partículas por polarización del vacío no es una fantasía de los teóricos sino un fenómeno debidamente verificado en el laboratorio. Examinemos el átomo de hidrógeno en el vacío cuántico. Está constituido por un electrón cargado negativamente, en órbita alrededor de un protón cargado positivamente. Alrededor de ellos, aparecen y desaparecen sin cesar pares virtuales de partículas, pero el campo eléctrico creado por las cargas del protón y del electrón polariza el vacío en su entorno inmediato. Las partículas de carga opuesta tienen tendencia a estar separadas y, durante breves instantes se crean minúsculas corrientes eléctricas. Son incluso bastante intensas para hacer danzar al electrón sobre su órbita. La danza se traduce por un ligero desplazamiento de las rayas emitidas por el átomo de hidrógeno, denominado «efecto Lamb». Este efecto ha sido detectado

experimentalmente en 1947.

El vacío sin embargo no es fácil de polarizar. Se necesita una gran densidad de energía para llegar a separar los pares virtuales de partículas y materializarlos. No importa por otra parte la naturaleza de la energía puesta en juego. Puede ser eléctrica: cuando la tensión entre las placas de un condensador sobrepasa un cierto umbral, el vacío se polariza y el condensador «chasquea». Puede ser térmica: un trozo de metal calentado moderadamente radia fotones (que son sus propias antipartículas), pero a mil miles de millones de grados radia pares electrón-positrón.

Puesto que todas las formas de energía son equivalentes a la masa, es necesario en buena lógica esperar que la energía gravitatoria pueda también convertirse espontáneamente en partículas. Ese es precisamente el sentido profundo del descubrimiento de Hawking. El vacío cuántico está polarizado por el campo gravitatorio muy intenso que reina en el entorno de un mini-agujero negro (Figura 55). En el océano de Dirac, se crean y se destruyen constantemente pares virtuales. Durante un breve instante, una partícula y su antipartícula se separan. Hay entonces cuatro posibilidades: los dos compañeros se encuentran de nuevo y se aniquilan (proceso I); la antipartícula es capturada por el agujero negro y la partícula se materializa en el mundo exterior (proceso II); la partícula es capturada y su compañero se escapa (proceso III); los dos compañeros se sumergen en el agujero negro (proceso IV). Hawking ha calculado las probabilidades de realización de estos diversos procesos y ha encontrado que el proceso II es preponderante. El balance energético es pues como sigue: al capturar preferentemente antipartículas, el agujero negro pierde simultáneamente energía, y por tanto masa. Para un observador exterior, el agujero negro se evapora emitiendo radiación y partículas.

Negro es negro

Se ha pasado revista a todos los mecanismos de extracción de energía de un agujero negro. La energía rotacional y la energía eléctrica pueden evaporarse por procesos tanto clásicos como cuánticos. En particular, la desexcitación por superradiación de un mini agujero negro cargado y en rotación, de la que hablé en el capítulo anterior, se reinterpreta como una polarización del vacío. Entre los pares virtuales que le rodean, el agujero negro captura con preferencia las partículas que tienen una carga de signo opuesto a la suya, o un momento angular de signo contrario. Así pues, incluso en el vacío, un mini-agujero negro formado inicialmente con una carga y un momento angular tiene una tendencia espontánea a neutralizarse y a frenarse, para tender rápidamente hacia el estado de Schwarzschild. Pero debido a la polarización del vacío el mismo estado de Schwarzschild pierde su

irreductibilidad «clásica» y su masa «inerte» se evapora espontáneamente. ¿Cuál es la naturaleza exacta de la radiación emitida?

Por una curiosa ironía del destino, el agujero negro radia como otro parangón de la física del mismo «color»: el cuerpo negro. El cuerpo negro es una especie de radiador ideal, en perfecto equilibrio térmico caracterizado por una determinada temperatura. Emite en todas las longitudes de onda, con un espectro que no depende más que de su temperatura y no de su naturaleza particular. Un horno perfectamente opaco calentado a una temperatura dada, en la pared del cual se efectúa un pequeño agujero para observar la radiación, da una idea aproximada de cuerpo negro. El cuerpo negro es por otra parte una de las fuentes históricas de la Mecánica Cuántica. El estudio de sus propiedades condujo a Max Planck, en 1899, a emitir la hipótesis de los cuanta de energía.

Los cálculos de Hawking demuestran que la radiación de evaporación de un agujero negro tiene todas las características de un cuerpo negro. Una vez más, el resultado hace

perfectamente coherente la termodinámica del agujero negro, asignándole una verdadera temperatura, uniforme en el horizonte, y directamente dada por la gravedad de superficie. Para el agujero negro de Schwarzschild, la temperatura es inversamente proporcional a la masa. Si el agujero negro tiene la masa del Sol, su temperatura es despreciable: una cien mil millonésima de grado Kelvin (por encima del cero absoluto). No es nada sorprendente, puesto que el fenómeno de evaporación es de origen cuántico y concierne sobre todo a los mini-agujeros negros. Estos últimos están efectivamente muy calientes. Un agujero negro que posea la masa de un pequeño asteroide tiene la temperatura de un horno «calentado al blanco» (6.000°), y su radiación pertenece al dominio visible. En cuanto al mini-agujero negro «típico» de 1015 g, del tamaño de un protón, tiene una temperatura de mil miles de millones de grados. A tal energía, la radiación saliente ya no está constituida por luz visible, sino por una mezcla de fotones gamma y partículas elementales masivas.

Cuanto menor es el agujero negro, más caliente está. Y cuanto más caliente está, más radia y pierde masa. La emisión de un mini-agujero negro no puede pues sino acelerarse, y los últimos estadios de la evaporación toman el aspecto de una explosión cataclísmica. El agujero negro de 1015 _{g tardaría diez mil millones de años para evaporarse completamente,}

pero durante la última décima de segundo liberaría una energía equivalente a un millón de bombas de hidrógeno de 1 megatón.

El resultado final de la evaporación de un agujero negro no es conocido. Se puede argüir el hecho de que la desaparición del horizonte de sucesos dejaría una singularidad desnuda central. Pero esta visión clásica es verosímilmente errónea. Cuando el radio del agujero negro en evaporación se encoge hasta las dimensiones de la longitud de Planck (10~33 cm), las fluctuaciones cuánticas del propio espacio-tiempo entran en luego, y sólo una teoría de la gravitación cuántica podrá decidir el último destino del mini-agujero negro. Si tuviese que evaporarse completamente radiando toda su masa, el espacio-tiempo plano debería lógicamente tomar su lugar. La gravitación cuántica aparece verdaderamente como la vía real que permite entender a la vez el Big Bang y el destino de los agujeros negros, el principio y el fin del Universo.

La inestabilidad gravitacional

Un sistema termodinámico convencional, inmerso en un baño más frío, pierde energía. Su temperatura disminuye, la del baño aumenta y se alcanza un equilibrio. Se dice que tiene un calor específico positivo. El agujero negro cuántico se comporta al revés. Su temperatura aumenta cuando pierde energía, y viceversa. Inmerso en un baño más caliente, el agujero negro tiene tendencia a absorber energía y a crecer, así pues a enfriarse y a crecer aún más, hasta absorber toda la energía disponible. Si por el contrario está inmerso en un baño menos