Para hablar del origen de la probabilidad, se presentan discrepancias, ya que algunos lo reconocen como una ciencia relativamente reciente, edad media e inicios de la edad moderna. Pero es pertinente hacer un recorrido a través de la historia, para conocer cómo ha evolucionado tan interesante ciencia estadística, lo cual se estudiará en tres fases.
ANTECEDENTES. JUGOS DE AZAR: Se tienen evidencias arqueológicas del antiguo Egipto, Pompeya, Irak y otros, sobre ―Dados‖ elaborados en hueso, cristal piedra, marfil, madera y arcilla, que estaban tallados, dando la percepción de que eran Dados Perfectos. Algunos estudiosos consideran que en la sitiada Troya, se origino los juegos de azar, pretexto de las largas jornadas de espera (10 años) que los soldados debían soportar en dicho asedio.
Los primeros juegos de azar de que se tenga evidencia, además de los dados son las cartas, los cuales se utilizaban con propósitos adivinatorios. En el Imperio Romano, se tenía la ley de prohibición de éste tipo de juego y, solo se podía practicar en ciertas épocas del año. Este tipo de eventos se hicieron tan populares que hasta el Cesar lo practicaba en cualquier momento, según historiadores de esta civilización.
En la Europa se presentaban leyes de prohibición de juegos de este tipo, auspiciado por la Iglesia Cristiana, quienes consideraban que este tipo de prácticas eran artificios del demonio, para desviar sus principios cristianos. En Francia Luis IX prohibió los juegos de azar y la elaboración de dados. En Inglaterra, Eduardo III y Enrique VIII, incluyeron los dados y cartas en una lista de juegos prohibidos, estimulando otro tipo de juegos, como el tiro con el arco.
Sin embargo, a pesar de la prohibición este tipo de juegos se hizo cada vez más popular, lo que motivo a algunos pensadores a darles algún tipo de explicación desde el punto de vista matemático. Lo anterior con el fin de conocer las ventajas o desventajas de apostar.
El tema motivo a los científicos del Renacimiento a realizar estudios, con la inquietud del porque no se había analizado con anterioridad, a lo cual Kendall sugiere varios motivos que impidieron la evolución del Cálculo de Probabilidades, antes del siglo XVI.
1. Desconocimiento del Álgebra Combinatoria que resolviera situaciones de juegos. 2. Ausencia de la noción de suceso aleatorio
3. Barreras morales y religiosas impuestas en contra de los fenómenos de azar y aleatoriedad. 4. Superstición de los jugadores.
Otros pensaban que la falta de simetría y de equiprobabilidad en el lanzamiento de los dados, eran obstáculos al desarrollo del cálculo de probabilidad, pero se pudo saber que algunos de los dados diseñados presentaban simetría perfecta. Sin embargo quedaron muchos interrogantes sin respuesta.
EL CÁLCULO ARITMÉTICO: En el renacimiento, el espíritu inquieto, ansioso, rebelde y renovador de los científicos, motivo darle importancia al estudio de fenómenos de azar, así es pertinente nombrar los que se consideran que dieron aportes relevantes al estudio de la probabilidad.
Lucas Paccioli, (1.445 – 1.514) Geómetra y Matemático Italiano, aunque sus aportes son más conocidos en el área de la Contabilidad, por su formulación del Método Anfisográfico o de partida doble contable. Pero también fue precursor el Cálculo de Probabilidades, planteando los juegos de azar, donde su objetivo era hallar la solución a problemas específicos más que una teoría sobre probabilidad.
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Gerolamo Cardano, (1.501 – 1.576) Célebre matemático, médico y astrónomo Italiano, pero también tenia la fama de Jugador, por lo cual se motivo a estudiar sobre teoría acerca de juegos de azar. En sus libro; el primero escrito, sobre juegos de azar escrito en 1.560, pero publicado sólo hasta 1.663. La idea central de la obra era la idealización explícita del número de alternativas iguales basadas en un dado ideal. Para Cardano cuando el número de observaciones es pequeño, la frecuencia puede desviarse sustancialmente de la probabilidad de ocurrencia. Pero si el número de repeticiones es grande, la desviación es despreciable, así aparece rudimentariamente la conocida Ley de los Grandes Números.
Sus aportes más significativos fue en al solución de ecuaciones de tercer y cuarto grado, donde ofrece una metodología de solución general a este tipo de ecuaciones. También propone la solución de un caso particular de la ecuación de tercer grado.
Nicollo Tartaglia, (1.499 – 1.557) Nicolo Fontana; su verdadero nombre, gran matemático y Geometra Italiano, autodidacta. Sus esfuerzos se centraron en buscar una técnica de solución de ecuaciones de tercer grado. Respecto a la Probabilidad, sus aportes fueron a la búsqueda de solución para problemas de combinatorias que estaban relacionadas con juegos, disertando la solución dada por Paccioli al problema del reparto de la apuesta en el caso del juego interrumpido. Diseño el llamado Triángulo de Tartaglia, que determina los números combinatorios.
Triángulo de Tartaglia
Galileo Galilei, (1.564 – 1.642) Matemático, Físico, Astrónomo y Filósofo, nacido en Pisa (Italia). Considerado el gestor de la revolución científica y de la ciencia moderna. Sus aportes a las ciencias son innumerables, no dejando de aportar a la Probabilidad. En este campo se dedico a analizar problemas sobre juegos de azar, por ejemplo hace el análisis de los posibles sucesos que se pueden obtener, cuando se lanzan tres dados. Su ingenio lo llevo a intuir sobre la ―Teoría del error‖. Existía un problemas son la estimación de errores en mediciones astronómicas, a lo cual galileo comenta que ―..Los errores en las mediciones son inevitables…‖, los cuales están simétricamente distribuidos.
Blaise Pascal, (1.623 – 1.662) Matemático, Físico, Filósofo y Teólogo, nacido en Clermont (Francia), se le considera el padre de la computadora junto con Babbage, contribuyó de manera efectiva en la teoría matemática de la probabilidad. En intercambio con Fermat, desarrollo fuertemente la teoría de probabilidad. La motivación de los estudios de Pascal fue los problemas con apuestas que tenía el llamado Caballero de Meré (1.607 – 1.684) de la corte de Luis XIV, quien le planteó a Pascal el conocido problema de los puntos, lo que
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se asume motivo la Correspondencia entre Pascal y Fermat. Pascal le envía a Fermat una carta el 29 de julio de 1.654 en donde le expone el problema de los puntos: ―Dos jugadores han pactado el juego a tres rondas y cada uno apuesta 32 pistolas; el primero ha ganado dos veces y el segundo solamente una vez”. Pascal argumenta que para encontrar la distribución justa en la apuesta realizada es * ―... si ellos juegan otra ronda y
el primero gana, este se lleva toda la apuesta, esto es, las 64 pistolas; si el otro gana, entonces cada uno tiene dos rondas a su favor, en cuyo caso, si desean parar el juego, cada uno deberá tomar su propia apuesta, esto decir, 32 pistolas, Entonces, si el primer jugador gana, este se queda con las 64 pistolas, si pierde se queda con 32, solamente. Luego, si ellos no desean correr el riesgo de una última ronda y desean separarse del juego, el primer jugador argumentaría lo siguiente: Estoy convencido que me corresponden 32 pistolas, aún cuando pierda la ronda, ellas me pertenecen; con relación a las otras 32, existen las mismas posibilidades de que sean para usted como para mí. Entonces dividamos estas 32 pistolas en partes iguales y déme una de ellas, así como las 32 que de seguro son mías‖. En resumen, al primer jugador le corresponden 48 pistolas y al segundo 16; en otras palabras, Pascal propone que la apuesta se divida de acuerdo a las probabilidades que tendrían los jugadores de ganar en caso de que el juego continuara.
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En la misma carta, Pascal encuentra la distribución justa de la apuesta para otros casos usando el mismo tipo de situaciones, con argumentos relativamente simples, pero se consideraron inadecuados en situaciones más complicadas. En los intercambios con Fermat, Pascal propone una solución general al Problema de los Puntos para juegos en los que participan dos personas, apoyándose en resultados sobre el triángulo aritmético, que había obtenido en 1653. Así pues, Pascal dio dos soluciones al Problema de los Puntos: Una para casos particulares y Otra de manera general, que en su opinión diferían de la solución de Fermat.
Dentro de sus grandes aportes a la probabilidad y en el análisis de las apuestas, surge el concepto de Esperanza Matemática, a partir de argumentar que el cálculo de probabilidades es función de la esperanza matemática que cada jugador tiene de ganar. Pero también dio los principios sobre la Teoría de la Decisión.
Pierre de Fermat, (1.601 – 1.665) Matemático y Jurista, nacido en Beaumont – de – Lomagne (Francia), junto con Descartes, fue un de los principales Matemáticos de la primera mitad del siglo XVII, descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, gestor de la teoría de probabilidad junto con Pascal, pero es conocido también por sus aportes a la Teoría de Números, especialmente el famoso ―Ultimo Teorema de Fermat‖, el cual fue resuelto en 1.995.
La correspondencia con Pascal sobre el problema planteado por el Caballero de Meré. La carta original de Fermat, en la que se supone describe su método de solución, se extravió; sin embargo, sus argumentos se han podido reconstruir de una carta que Pascal envió a Fermat el 24 de agosto de 1654. El problema que Fermat se plantea es el siguiente: * Dos individuos, A y B, que participan en una serie de juegos se encuentran en la situación de que el primero necesita ganar dos juegos y el segundo tres para ganar la apuesta; ¿cómo podemos encontrar la distribución justa de la apuesta?, en su planteamiento, Fermat ya no hace referencia a los juegos ganados que tiene cada individuo sino a la cantidad de juegos que le falta a cada uno para llevarse la apuesta completa. La solución de Fermat es la siguiente: El juego puede continuarse a lo más en cuatro rondas. ¿Cuáles son los resultados posibles para estas cuatro rondas? Indiquemos con el símbolo + las victorias de A y con el símbolo - las victorias de B. Existen 16 resultados posibles, los cuales se describen en siguiente tabla.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 + + + + - + + - + - - - + - + + + - + + - + - + - - - + - - + + - + + - + + - - + - + - - - + - + + + - - - + + + + - - - -
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De los 16 resultados posibles, las primeros 11 favorecen a A y los restantes a B. En consecuencia, al jugador A le corresponden 11/16 de la apuesta y a B le corresponden 5/16. Es decir, la distribución justa de la apuesta es 11::5.
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Los métodos de solución para el problema del Caballero de Meré, dados por Pascal y Fermat, eran similares, por tal razón de les da el calificativo de gestores del cálculo de probabilidades.
Christiaan Huygens, (1.629 – 1.695) Matemático, Físico y Astrónomo, nacido en La Haya (Holanda), en su libro ―De ratiociniis in ludo aleae‖ publicado en 1.656, deja ver lo relacionado al cálculo de juegos de azar, considerado el primer manual sobre Cálculo de Probabilidades. En éste deja ver la solución del Problema de los Puntos de forma general con un método diferente a los empleados por Pascal y Fermat, introduciendo formalmente el concepto de Esperanza Matemática, como una generalización de la media aritmética. También resolvió algunos problemas planteados por Pascal y Fermat.
Trabajó sobre problemas Demográfico – Actuariales, construyendo una curva de mortalidad y definiendo claramente la noción de Vida Media y Esperanza de Vida.
La obra de Huygens se considero la más importante aportación teórica de probabilidad de dicho siglo, esto hizo ejercer gran influencia en los trabajos de Bernoulli y De Moivre.
LA PROBABILIDAD MODERNA: El desarrollo de la probabilidad actual, fue dinamizada desde finales del siglo XVII, al igual que en las épocas anteriores hubo varios investigadores que aportaron a tal fin. Veamos los más representativos.
Jacob Bernoulli, (1.654 – 1.705) Matemático y Científico Suizo, hermano mayor de Johann Bernoulli, de la dinastía Bernoulli. Su aporte fundamental se dio por medio de su obra: Ars Conjectandi, el Arte de la conjetura, un trabajo relevante en la Teoría de Probabilidad. La obra fue publicada por su sobrino Nicholas Bernoulli en el año 1.713, ocho años después de su muerte. Por medio de este trabajo la Probabilidad adquiere la categoría de Ciencia.
La obra esta compuesta de cuatro partes:
Primera Parte: Explicación crítica de la obra expresada por Huygens, usado por
Bernoulli para dar a conocer su punto de vista sobre los problemas de azar, así logró obtener la fórmula de la Función de Probabilidad para esquemas dicotómicos con n repeticiones, conocida actualmente como la ―Distribución de Bernoulli‖.
Segunda Parte: En esta parte Bernoulli, hace un completo manual sobre el tema de combinatoria, necesario para resolver problemas de probabilidad, complementado los estudios realizados por Pascal y Leibniz. Tercera Parte: Plantea 24 problemas diferentes de probabilidad con su respectiva solución.
Cuarta Parte: En esta parte están los aportes más relevantes para la probabilidad. Por un lado explica la concepción subjetiva de Probabilidad, por otro lado la demostración detallada del que se denomino Teorema Aureo,, conocido actualmente como Ley de los Grandes Números.
Abraham De Moivre, (1.667 – 1.754) Matemático nacido en Champagne (Francia) un Autodidacta, leyó y analizó el trabajo de Huygens. En 1.711
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publicó sus memorias ―De mensura sortis‖ en latín en la revista Philosophical Transactions of the Royal Society. En 1718, publicó su libro ―The Doctrine of Chance: A method of calculating the probabilities of events in play‖. En dicha obra explicita el principio de la Independencia Estadística. Además, problemas de dados y juegos. En la segunda edición de la obra publicada en 1.738 presenta el Teorema Límite para fenómenos dicotómicos. Otro trabajo interesante de este matemático fue el que denominó ―Miscellanea Analytica‖ donde aparece la fórmula de Stirling que utilizó para derivar la curva normal como una aproximación a la distribución Binomial. También logró obtener una aproximación para n!, equivalente a la obtenida por Stirling. Es pertinente comentar que resultados tradicionalmente atribuidos a Laplace y Poisson, se encontraron en la obra de De Moivre.
Daniel Bernoulli, (1.700 – 1.782) Matemático Suizo, hijo de John Bernouulli. Daniel fue un de los más destacados matemáticos y científicos de la última década del siglo XVIII. Una de sus principales trabajos fue la famosa paradoja de San Petersburgo, relacionada con la teoría de probabilidad y de Decisión, específicamente sobre la teoría para medir el Riesgo. Uno de los primeros intentos para analizar estadísticamente problemas relacionados con data censal fue el análisis que hizo Bernoulli en 1766 sobre la mortandad de la viruela y la eficacia de la vacunación.
Pero la más importante aportación fue la famosa distribución llamada con su nombre: Distribución de Bernoulli, es una distribución discreta de probabilidad, para valores dicotómicos: p como éxito y q como fracaso.
Jean D’Alembert, (1.717 – 1.783) Matemático y físico Francés, planteó que en probabilidades muy pequeñas, se podría considerar equivalente a cero, por lo cual, se podría asumir que dichos sucesos no ocurrirían. Su teoría sobre “Ley de Equilibrio” supone un equilibrio de éxitos y fracasos de ciertos eventos, para una serie larga de dichos eventos.
Thomas Bayes, (1.702 – 1.761) Matemático y Teólogo Británico, su obra no reconocida en ese entonces, inicia con el planteamiento del siguiente problema: Dado el número de veces en el cual un suceso desconocido tiene lugar y ha fallado; se requiere la probabilidad de que la posibilidad de ocurrencia en un único ensayo, este comprendida entre dos valores que pueden ser dados. Otro aporte de su obra es la definición sobre relaciones entre sucesos. Seguido enuncia y prueba siete teoremas. Pero el trabajo más reconocido de Bayes es el reconocido y famoso ―Teorema de Bayes‖, que en síntesis hace referencia a la probabilidad de un suceso condicionado por la ocurrencia de otro. El teorema resuelve el problema conocido como ―De la probabilidad inversa‖; es decir, valorar desde el punto de vista probabilistico, las posibles condiciones que rigen el supuesto de haber observado cierto suceso, situación denominada ―de probabilidad inversa". Con este aporte se da origen a la llamada Inferencia Bayesiana, cuyo principio es tomar la probabilidad (Probabilidad Inductiva) como una creencia más que una
frecuencia, ya que se procura sacar conclusiones generales (enunciar leyes) a partir de lo objetivamente observado, y no viceversa.
Adrien Marie Legendre, (1.752 – 1.833) Matemático Francés, fue uno de los primeros que aporto al desarrollo de la probabilidad en los inicios del siglos XIX, inicialmente sobre los aportes al modelo lineal, por medio del desarrollo del Método de Mínimos Cuadrados, que posteriormente fue perfeccionado por Gauss. El método es muy utilizado para hacer estimación de parámetros.
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Carl Friedrich Gauss, (1.777 – 1.855) Matemático, Astrónomo y Físico, nacido en Brunswick (Alemania), considerado el Matemático más grande de la Historia, ya que sus aportes han influenciado significativamente las Matemáticas y las Ciencias en general. Entre los aportes a la probabilidad, está el perfeccionamiento de método de Mínimos Cuadrados, considero que en la teoría de probabilidad, se incluyera el análisis de los errores en las observaciones, desarrollo la muy conocida ―Ley Normal‖ o Ley de Gauss, desarrollo la distribución muestral de medias en muestreo donde loa datos provienen de distribuciones normales. Gauss es el padre de la moderna teoría de errores.
Descubrió que la función de distribución de los errores es
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, la célebre campana de Gauss. También investiga sobre la distribución hipergeométrica y sobre estimadores.Pierre Simon De Laplace, (1.749 – 1.827) Matemático, Astrónomo y Físico Francés, se le llamó ―El Newton de Francia‖ por algunos de sus descubrimientos. Buen amigo de Napoleón, prominente matemático que con sus descubrimientos y trabajos en el campo de la probabilidad, fueron de gran impulso sobre la actual estadística. Su trabajo denominado ―Thèorie Analytique des Probabilities‖ publicada en el año 1.912 y donde deja establecido la definición básica de probabilidad, partiendo del principio de razón insuficiente. Otro aporte de su obra fue la definición de las Funciones Generatrices, muy utilizado hoy día en teoría estadística. Profundizó sobre el método de mínimos cuadraos y sobre demografía.
Pero se considera que la principal aportación que dejo Laplace fue la demostración rigurosa de uno de los teoremas más importantes en estadística. Teorema Límite. Laplace extiende el teorema de De moivre a otros casos donde p no sea necesariamente ½, haciendo una completa demostración de convergencia, que posteriormente Poincaré llamo Ley Normal. En el año 1.814 escribe un trabajo fija una postura Filosófico – Metodológico sobre el concepto de Azar y el papel de la Probabilidad en situaciones en que el conocimiento del Ser Humano no es completo. Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era: (d + 1) / (d + 2), donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplace decía que esta fórmula, que era conocida como la regla de sucesión, podía aplicarse en todos los casos donde no se sabe nada.
Simeon Denis Poisson, (1.781 – 1.840) Matemático y Físico, nacido en Sceaux (Francia) Alumno de Laplace y Lagrange, dentro de sus trabajos se conocen: La ecuación de Poisson, Ley de Poisson, Distribución de Poisson, procesos Poisson, muy aplicados en diversos campos del conocimiento. Dentro de sus investigaciones encontró la conocida ―Ley de los Grandes Números‖, la cual supera el teorema límite de Bernoulli, especialmente sobre la convergencia de la distribución Binomial, en