La conceptualización del sobreconteo, con apoyo en estrategias empíricas son una manera de proceder identificada en dos niñas de la muestra estudio. Este nivel de respuesta centrada, esencialmente, en la forma de contabilizar las colecciones como una sola cuantificación,es decir, estas niñas han accedido a un conteo de mayor eficiencia, dado que reconocen la necesidad de un cuantificador base, a partir del cual puede contabilizarse la segunda subcolección, sin que necesariamente, vuelva a iniciar el conteo en uno. Estos niños pueden contar a partir de un número distinto de uno sólo que para realizarlo requiere del apoyo o representación de los elementos de cada una de las subcolecciones, utilizando como recursos los dedos, golpecitos, rayas, puntos, en la hoja.
El proceder de esta manera no resulta una respuesta sencilla para los niños que la presentan, implica un proceso sumamente complejo, porque demanda retener la cantidad obtenida al enumerar una de las subcolecciones mostradas para, posteriormente, representarla sin su presencia física; lo cual resulta ser un apoyo provisional y funcional para que estos niños puedan utilizar recursos sustitutos de los elementos de cada una de las colecciones, con el cual poder efectuar la cuantificación e incluir en una sola serie las dos subcolecciones.
La diferencia con los niños que proceden a cuantificar de manera segmentada es que, mientras estos últimos contabilizan dos series independientes o dos subcolecciones, sin poder considerarlas parte de una sola cuantificación, dado que anulan la contabilización inicial efectuada, los niños con sobreconteo, de este nivel, logran concebir una sola serie compuesta de dos subcolecciones, aunque despliegan una estrategia empírica para apoyar la deficiente representación que aun tienen de la primera subcoleccion contabilizada. Básicamente, ésta es la diferencia esencial entre los niños que cuantifican de manera segmentada con respecto a Renata (6) y Camila (4.5) que realizan un sobreconteo con apoyo en estrategias empíricas.
Es interesante mostrar la forma en que resuelve Renata la situación: “Las corcholata cubiertas con la pantalla”. Se inicia la situación diciendo a la niña que se tienen las fichas de los refrescos que se tomaron en una fiesta, se le muestra en un primer momento las fichas “de sabor limón que alli se tomaron”, mostrándole 5 fichas, mientras que las corcholatas de saber fresa se encuentran tapadas. Al presentarle a la niña las fichas “de sabor limón”, se le pide que diga ¿cuántas fichas de limón son? Renata enumera y cuantifica la colección como “cinco”, para ello necesita señalar cada una de las fichas a fin de tener el control de la enumeración.
Posteriormente se tapa la colección de fichas de limón, al mismo tiempo que se descubren las fichas “de sabor fresa”, indicándole que también se tomaron éstos de fresa (4 fichas). La niña procede de nuevo a enumerar y cuantifica la colección de las fichas de sabor fresa como cuatro. Ante la pregunta para saber ¿cuántos refrescos se tomaron en esta fiesta? La niña procede a dar dos cardinales segmentados, diciendo: “5 de fresa y 4 de limón”.
Se puede apreciar que la forma de proceder de esta niña pudiera conceptualizarse como una cuantificación segmentada por las características con que resuelve el problema, sin embargo esto se supera, cuando se le cuestiona ahora: ¿Podemos saber cuántos son por
todos sin destapar estas fichas? ( 5 de limón) Es en este momento cuando la niña procede primero a formar una pauta digital para representar la primera subcolección [5], posteriormente forma otra pauta digital para representar la segunda subcolección [4] para, finalmente, contar todos los dedos que levantó y con los cuales representó la cantidad de las subcolecciones; cada sabor de las corcholatas, empieza por el conteo de la pauta digital [5] “1,2,3,4,5(con una mano) y 6,7,8,9”,(con otra mano) agrega los elementos de la segunda pauta digital, utilizando una sola serie con la cual cuantifica las dos subcolecciones en una sola, al terminar designa la cantidad “nueve” como los refrescos que se tomaron en la fiesta. Así pues, la representación de las colecciones con, apoyo en recursos sustitutos, como fueron los dedos que empleó la niña, hace que la manera de proceder corresponda a esta categoría. Este análisis se ratifica cuando se le plantea la situación: “Las monedas para gastar”. Se inicia diciéndole que “un niño que se llama Beto tenía estas monedas”, se le muestran la cantidad [3]; cuestionándola: ¿Me puedes decir cuántas son?”. La niña procede a decir la cantidad correcta de manera automática, pues lo hace por percepción visual. Al colocar la primera subcolección dentro de la cajita se le dice: “Como su mamá le dio estas otras, él las contó y dijo: ¡Ah, tengo muchas monedas!, en este momento se le muestran 6 monedas, la niña anula la cuantificación anterior y comienza el conteo a partir de uno a uno para determinar la cantidad de monedas mostradas (seis), en este momento su manera de proceder indica una cuantificación segmentada.
Al colocar la segunda subcolección de monedas dentro de la cajita, se le cuestiona.”¿Me podrías decir cuántas monedas tenía para gastar Beto?, sin que pueda visualizar las monedas porque están dentro de la cajita, Renata procede a formar una pauta digital para representar la cantidad de la primera subcolección, posteriormente toma como cuantificador provisonal o de base el cardinal de la segunda subcolección [6] para, a partir de allí, agregar los elementos de la primera subcolección, contando uno a uno los [3] dedos levantados: “7, 8, 9”. De esta manera es como logra contabilizar ambas colecciones, considerándolas parte de una sola cuantificación.
Esta forma de proceder de Renata resulta sorprendente, porque, por un lado, la niña guarda en su memoria la cantidad de elementos de la primera subcolección, pese a que cuantifica una colección diferente que pudiera distraerla, sin embargo esto no sucede. Pero además, trata de hacer eficiente el sobreconteo al empezar por el cuantificador base mayor [6] y sólo representar con la pauta digital la subcolección menor [3].
Otro ejemplo valioso de este sobreconteo con apoyo de estrategias empíricas es el que demuestra Camila en la situación: “Las corcholatas cubiertas con la pantalla”, misma que se inicia diciéndole: “Estas son las fichas de los refrescos que se tomaron en una fiesta”, la primera subcolección que se le muestra son las fichas de sabor limón [5], al cuestionarle: ¿Cuántas son? La niña cuenta visualmente la subcolección, sin necesidad de tocar las corcholatas: “1, 2, 3, 4, 5”, cuando la pequeña designa el término cardinal [5] se tapan las de sabor limón y se le muestran ahora las de sabor fresa, diciendo: “Y también se tomaron estos de sabor fresa [4]”; en este momento la niña anula el conteo inicial y empieza a enumerar con la serie a partir del uno, tocando o señalando cada una de las fichas que integra esta segunda subcolección.
Al cuestionarle: “¿Podemos saber cuántos refrescos se tomaron en esta fiesta? La niña pregunta: “¿Los de limón o los de fresa?”, se le dice los de “limón y los de fresa”, ante esta respuesta la pequeña solicita: “¿Puedo volver a contar otra vez todas las fichas?”, la solicitud
de la niña es atendida y se destapa la colección de las fichas de limón [5], tapando al mismo tiempo la colección de las fichas de fresa [4]; cuando la colección de las fichas de limón están descubiertas.
Camila toca cada una de las fichas para enumerarlas hasta llegar a designar el cardinal [5] para la primera subcolección, posteriormente se tapa la colección de las fichas de limón y se destapan las fichas de fresa; la niña procede a enumerar esta colección anulando la cuantificación que había iniciado con la primera subcolección (fichas de limón), toca cada una de las fichas y termina asignando el cardinal [4] para esta segunda subcolección.
Hasta este momento Camilia ha procedido a establecer una cuantificación segmentada para cada una de las subcolecciones, sin embargo esta forma de proceder no la mantiene, pues al pedirle que diga cuántos refrescos son por todos, la niña toma como cuantificador base el cardinal que asignó a la segunda subcolección [4], que es visible y, empieza a representar rayas sobre pantalla que cubre la primera subcolección [5] para continuar la serie numérica y agregar los elementos de esta subcolección en una sola cuantificación: “5, 6, 7, 8, 9”, expresando: 9 refrescos se tomaron.
Esta manera de proceder de Camila resultó interesante, pues la pequeña utiliza un recurso sustituto más sofisticado y complejo, como el representar la cantidad de la primera subcolección con rayas [5], a diferencia de Renata que utiliza pautas digitales, que si bien, representan la subcolección de elementos no presentes, lo hace visible, permitiéndole llevar un control de los elementos contados y centrarse en la continuación de la serie numérica, a fin de establecer una sola cuantificación.
Lo que hace Camila es más complejo en la representación como tal, pues las rayas resultan ser abstractas pero le permiten continuar con la cuantificación, sin perder el control del conteo, y agregar la primera subcolección [5] a partir del cuantificador base de la segunda subcolección [4].
En el caso de Camila, la estrategia empírica con la cual realiza el sobreconteo la hace variar cuando resuelve la situación: “Las canicas de Miguel.” Se inicia con el planteamiento de la misma, mostrándole una bolsa transparente en las que se encuentran canicas de tres diferentes colores “que tiene un niño llamado Miguel”, se le propone a la niña saber cuántas tendrá por todas, se le muestra la subcolección de canicas verdes [3] y se le cuestiona: ¿Cuántas serán éstas? La niña reconoce por percepción directa la pauta numérica de [3] en la colección mostrada.
Posteriormente se mete la primera subcolección de canicas verdes en un bote, y se le muestran a la vez la subcolección de las canicas amarillas [2] para cuestionarla: ¿Y con éstas de este color? La niña reconoce por percepción directa la pauta numérica de la colección como [2], expresa: “2 amarillas”. Se procede a meter esta segunda subcolección en el bote y se le muestra a la vez, la tercera subcolección de canicas rojas [4], ahora se le cuestiona a Camila: ¿Y con éstas, de este último color cuántas tenemos? Ante este cuestionamiento, la niña enumera y cuantifica la colección con el término cardinal [4]. La respuesta que sigue dando la niña es resultado de una cuantificación segmentada de cada una de las subcolecciones sin considerarlas parte de una sola cuantificación por lo que se le cuestiona: ¿Podemos saber cuántas canicas son por todas?. Frente a este replanteamiento de la situación, Camila inicia dando 4 golpecitos y asigna a cada golpe una etiqueta numérica para designar el término cardinal [4], este recurso provisonal le permite representar la tercera subcolección de canicas rojas, cuando obtiene este cardinal, lo toma como
cuantificador provisional desde el cual agrega la primera subcolección de canicas verdes [3], dando tres golpecitos para continuar el conteo: “5, 6, 7”, en este momento el cuantificador provisional es el cardinal [7] y a partir de éste agrega la segunda subcolección de canicas amarillas [2], procede igualmente dando la cantidad de golpecitos que representa esta subcolección: “8,9”. Al terminar de agregar en una sola cuantificación las tres subcolecciones de canicas, la niña expresa: ¡Son 9!
El sobreconteo que realiza Camila en la situación: “Las canicas de Miguel” con apoyo en estrategias empíricas como fue el uso de recursos sustitutos de “golpes” para representar la cantidad de cada una de las subcolecciones, empezando por la cantidad de la última subcolección, para, posteriormente, integrar la primera subcolección y, finalmente, la segunda subcolección, lo hace con el fin de contabilizar las tres subcolecciones, considerándolas a cada una de ellas como partes de una sola cuantificación.
Las maneras de proceder de Camila resultan ser procedimientos concretos que resultan ser relativamente sofisticados y como se puede identificar, toma formas muy ingeniosas y abstractas de representar modelos cardinales con los cuales construir cuantificadores bases y provisionales para realizar una sola cuantificación.