Beauverd, 1967 (citado por Milicic y Schmidt, 2011) puso de manifiesto que existe toda una organización mental previa al cálculo. Esto significa que antes que un niño pueda realizar un determinado cálculo hay una fase previa que sucede en su mente y depende de esta para conseguir su objetivo. Esta afirmación es sustentada por Jiménez (s.f.) quien señalo que un niño pequeño aún no cuenta con conocimientos previos y que tampoco posee puntos de referencia para asociar lo que percibe y experimenta ya que
paulatinamente el niño progresara reconociendo objetos, calculando y haciendo
valoraciones de cada situación que se le presente. Sin embargo, existen investigaciones como las realizadas por Bryant y Nunes, 2002 (citados por Cerda, Pérez, Moreno, Núñez, Quezada, Rebolledo y Sáez, 2012) que afirmaron que los niños pequeños son capaces de diferenciar la cantidad de elementos de un conjunto sobre otro sin poder cuantificarlos. Esta es una razón por la que según Milicic y Schmidt (2011) antes de enseñar matemáticas, es preciso que “el niño tenga un nivel de maduración adecuado de las funciones
relacionadas con este aprendizaje” (p. 10). Dichas funciones son: lenguaje aritmético, percepción visual, coordinación visomotora, reconocimiento y reproducción de figuras, ordinalidad, cardinalidad y correspondencia. Entonces a este conjunto de funciones es lo que se denomina “pre cálculo”.
Según Niss, 1999 (citado por Cerda, et al., 2012) los niños desarrollan ciertas habilidades matemáticas a temprana edad; estas habilidades son conocidas como competencias matemáticas tempranas y está definida por Niss como: “la habilidad de entender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en una variedad de situaciones y contextos intra y extra matemáticos, en los que éstas juegan o podrían jugar un rol” (p. 237).
Pre cálculo: desarrollo inicial de la matemática.
Estudios actuales desde diversos enfoques como la psicología, la neurociencia y la pedagogía postulan la importancia del aprendizaje en la etapa inicial determinando al cerebro humano como el órgano que es comparado como un ordenador cuyas funciones cognitivas son la memoria, la comprensión, la atención, entre otras; así como también las emociones, las creencias, los impulsos y otros son sus manifestaciones (Batllori, 2018).
Batllori (2018) señaló además que el proceso de aprendizaje de las matemáticas consiste en “superar obstáculos y mejorar a partir de los errores”. Superar obstáculos permite obtener resultados, lograr el éxito; de igual forma que mejorar a partir de los errores es insistir por conseguir los resultados. Conseguir el éxito o el resultado es una motivación para los niños quienes tendrán que poner todo su esfuerzo y mucha atención para resolver problemas.
El desarrollo lógico matemático en niños.
Según Bustamante (2015) la matemática es inherente en el aprendizaje natural de los niños, quienes manifiestan su aprendizaje por medio de descubrimientos utilizando una simbología sencilla usando los movimientos de su cuerpo, realizando trazos y
representaciones, utilizando códigos.
Por lo tanto, “el desarrollo del pensamiento lógico-matemático es un proceso de operaciones mentales de análisis, síntesis, comparación, generalización, clasificación,
abstracción, cuyo resultado es la adquisición de nociones y conceptos a partir de las senso- percepciones, en las interacciones con el medio” (Bustamante, 2015).
Desarrollo del conocimiento matemático en niños.
Para Goñi, 2008 (citado por Alsina, 2015) las matemáticas tienen su importancia por ser base de la ciencia, la tecnología y su papel en el desarrollo de la sociedad actual, que, aunque no todas las personas tengan la profesión de matemáticas, si favorece que los niños adquieran estos conocimientos para que puedan ser usados tanto en la vida diaria como en el trabajo o cualquier otra actividad que requiera de estas habilidades como calcular, estimar, predecir, etc. Estas matemáticas que usan los niños en su primera infancia se denominan matemáticas intuitivas, esto debido a que el aprendizaje se da en el marco de experiencias informales.
Baroody, 1987 (citado por Alsina, 2015) fue quien acuño el término “matemáticas informales” en referencia al aprendizaje de los niños en las etapas iniciales señalando, además, que los niños aprenden conocimientos de temas que les llaman la atención y a partir de este conocimiento inicial, los niños van construyendo o desarrollando su
pensamiento matemático. Estas prácticas informales en opinión de Fernández, Gutiérrez, Gómez, Jaramillo y Orozco, 2004 (citados por Alsina, 2015) comienzan aproximadamente desde los cuatro meses de edad y a partir de esta edad, los niños manifiestan una
curiosidad espontánea, innata por medio de la cual van descubriendo en cada situación en un ambiente natural las primeras nociones de matemáticas. Y aunque estas nociones son aun imperfectas, para los niños son realmente significativas. Estas autoras además han señalado que “los componentes básicos del conocimiento matemático informal son universales”; esto quiere decir que no importa la condición social o cultural porque está presente en todos, sin embargo, el nivel para desarrollar este conocimiento básico está influenciado por la condición sociocultural.
Para Bustamante (2015) desde que el niño nace entra en contacto con su entorno y empieza a relacionarse con él. Con cada situación que se le presenta se va familiarizando y reconociendo objetos que los tocan, los mueven, los tiran, los llevan a la boca de tal forma de ir reconociendo sus cualidades o características. Estas nociones elementales de las matemáticas facilitan establecer un conocimiento cualitativo y posteriormente establece una relación cuantitativa. En este aprendizaje “el desarrollo de los sentidos desempeña un rol fundamental, más la actividad cognoscitiva en la formación de las nociones y
relaciones lógico-matemáticas, y simultáneamente del lenguaje y otras formas de representación”
Características del pensamiento lógico matemático en los niños.
El niño desde tempranas edades interactúa con su entorno, usa sus sentidos y en cada situación que se le presenta en su mente va diseñando, relacionando y construyendo conexiones para construir la realidad (Arteaga y Macías, 2016).
Es en esta práctica que se va desarrollando el pensamiento lógico matemático de los niños y es fortalecido por cuatro capacidades básicas:
La observación. Es fundamental presentar a los alumnos tareas en las que, de manera autónoma y guiados con sumo cuidado por el maestro, sean capaces de centrar la atención en aquellas propiedades, características o fenómenos que queremos que perciban, sin forzar por nuestra parte dicho acto.
La imaginación. Es necesario fomentar la creatividad de los alumnos mediante actividades que les permitan desarrollar múltiples y diferentes acciones, del mismo modo que puede ocurrir en el trabajo matemático.
La intuición. Entendida como la capacidad para anticipar los resultados que se pueden obtener de una acción que se vaya a realizar posteriormente.
El razonamiento lógico. Se debe potenciar la capacidad de los alumnos en relación a la obtención de unas conclusiones a partir de ideas o resultados previos considerados ciertos.
Modelos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas.
Las investigaciones realizadas desde el campo de la psicología y la didáctica, suscitan modelos teóricos que intentan explicar procesos cognitivos complejos en el aprendizaje de los educandos y qué factores se debe tener en cuenta para que la construcción del conocimiento sea significativa. Por ello mismo, todo modelo teórico, intenta dar respuesta a tres puntos clave: (Arteaga y Macías, 2016).
Primer punto: La naturaleza del conocimiento. Las características de cada disciplina y la forma de acceder a los objetos de conocimiento condicionan la manera en que se les enseña y transmite a los alumnos.
Segundo punto: La forma de adquirir el conocimiento. La idea de cómo se produce el aprendizaje (espontáneamente, por repetición, por asociación de contenidos, etc.)
repercute de directamente en la práctica educativa, por tanto, en las tareas y propuestas diseñadas para que el alumno adquiera el conocimiento.
Tercer punto: Lo que significa saber. Según el modelo teórico, el estudiante que ha memorizado conceptos y es capaz de aplicarlos en situaciones problemáticas es el que sabe.
Los modelos de enseñanza del aprendizaje son los siguientes:
1. Principios del empirismo y su relación con las matemáticas. Según Arteaga y Macías (2016) el enfoque empirista, no se contextualizan los saberes, debido a que el alumno es incapaz de construir conocimientos y no tiene lugar un aprendizaje significativo:
El alumno no aprende nada de aquello que no se explica, sólo aprende lo que el profesor explica.
Existe un trasvase de saberes, es decir la enseñanza del docente se imprime directamente al educando.
El fracaso está relacionado con el error, dificultando al alumno llegar al éxito en su tarea.
Relacionando el aprendizaje matemático, y los tres puntos clave mencionados, el empirismo sostiene:
Naturaleza del conocimiento matemático: Son técnicas, algoritmos y fórmulas inconexas con la realidad.
Forma de adquirir el conocimiento matemático: Se basa en la repetición y mecanización.
Que significa saber matemáticas: Es recordar técnicas, algoritmos y fórmulas. El proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas para el empirismo, tiene como base un trabajo de imitación del alumno, siendo en su aprendizaje un agente pasivo: en su aprendizaje, copiando y creyendo aprendiendo todo lo que dice profesor que el profesor trasmite a través de un modelo de práctica docente basada en la clase magistral y discursiva, y un posterior entrenamiento mediante la resolución de tareas. Éste modelo que no tiene en cuenta las diferencias de los alumnos, considera que llegan como recipientes vacíos, en donde los estudiantes son los principales responsables de su fracaso. Este tipo de modelo teórico en matemáticas que se sustenta en él (Arteaga y Macías, 2016) El fenómeno de la ostensión que da lugar este tipo de modelo, define un concepto con único apoyo de una representación particular de dicho objeto de conocimiento, que recae en el alumno la responsabilidad de establecer las relaciones entre los conceptos enseñados
y las representaciones con las que estos objetos se relacionan, lo que da lugar a la aparición de errores en el estudiante (Arteaga y Macías, 2016).
2. Hipótesis del constructivismo y su relación con las matemáticas. En contraposición al modelo empirista, tenemos la teoría constructivista, que de enfoque más exacto en relación a cómo se produce el aprendizaje mediante la reformulación y
reestructuración de los conceptos previos ya adquiridos, adaptándolos a nuevas circunstancias. En relación con el aprendizaje matemático, el constructivismo considera que: (Arteaga y Macías, 2016)
Naturaleza del conocimiento matemático. Conjunto de conceptos que guardan relación entre sí, conexos con la realidad.
Forma de adquirir el conocimiento matemático. Adaptación al medio, mediante la reestructuración o reformulación de nociones previas.
Que significa saber matemáticas. Establecer relaciones entre conceptos y aplicarlos a situaciones problemáticas.
Dicho modelo considera que el aprendizaje de ciertos conocimientos supone una actividad propia del sujeto, requiriendo tiempo para afianzarse y consolidarse. No puede darse un aprendizaje significativo si previamente no se tienen los conocimientos que sirvan de cimiento para la construcción de los nuevos. Este enfoque constructivista se basa en cuatro hipótesis, fundamentadas en los trabajos de Piaget y Vygotsky:
3. El aprendizaje se apoya en la acción. Los estudiantes en la etapa infantil, construirán pensamiento lógico-matemático mediante la acción concreta sobre objetos reales y la utilización de los sentidos: tocando y manipulando recursos y materiales que les permitirán comprender, construir y asimilar conocimientos propios del (Arteaga y Macías, 2016).
4. La adquisición de conocimientos pasa por estados de equilibrio y desequilibrio en los cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda
El aprendizaje mediante la adaptación y reorganización de las nociones previas que se poseen, se forman e integran los nuevos conocimientos (Arteaga y Macías, 2016).
5. Se conoce en contra de los conocimientos anteriores. El aprendizaje tiene lugar mediante la reorganización de conceptos asimilados previamente y partir de una ruptura radical con respecto a lo que creemos saber, de modo aprendemos en contra de lo que ya sabíamos (Arteaga y Macías, 2016).
6. Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar la adquisición de conocimientos. Siguiendo a Vygotsky, el debate, resolución de conflictos e interacción entre iguales, en este caso entre niño-niño, favorece el aprendizaje (Arteaga y Macías, 2016).
Dimensiones de pre-cálculo.
Principalmente las habilidades del pre cálculo o razonamiento matemático tienen como objetivo la adquisición del número, pero más detalladamente desarrollar la forma de razonar para entender las operaciones y trasladar este aprendizaje a escenarios nuevos. Se considera para la presente investigación las siguientes dimensiones de la variable dependiente pre cálculo:
Conceptos básicos. Orientado a evaluar lenguaje matemático. Conceptos ligados al lenguaje aritmético como: cantidad, dimensión, orden, relaciones, tamaño, espacio, forma, distancia y tiempo. Las instrucciones tienen conceptos relacionados con corto y largo; alto y bajo; lleno y vacío; más y menos; ancho y angosto (Milicic y Schmidt, 2011).
Percepción visual. Se entiende por percepción, al proceso activo y organizado de datos entregados por los sentidos en base a experiencias previas con objetos, formas y esquemas perceptivos de ellos. La percepción visual alcanzada como máximo está entre
los 31/2 V 7 años. En esta etapa la percepción es más precisa y específica Está orientado a evaluar si el niño logra discriminar la figura igual al modelo, ubicar la figura diferente y reconocer un número dentro de una serie (Milicic y Schmidt, 2011).
Correspondencia término a término. Este tipo de operación por correspondencia tiene como saber previo el apareamiento de los objetos de un grupo con cada uno de los objetos de otro grupo orientado a evaluar la capacidad de apareamiento, es decir la capacidad de establecer equivalencia (Milicic y Schmidt, 2011).
Números ordinales. Está orientado a evaluar números ordinales y para su
comprensión es necesario tener nociones de seriación. Se evalúa conceptos como primero, segundo, tercero y último (Milicic y Schmidt, 2011).
Reproducción de figuras y secuencias. Tiene por objeto evaluar la percepción y reproducción de formas, es decir coordinación viso motriz. Así mismo supone comprender las relaciones de contigüidad y separación que hay entre las figuras de la prueba y percibir la orientación espacial de las figuras que componen los modelos o las series. Su evaluación está orientada a la reproducción de figuras simples, la reproducción de números, la
reproducción de patrones perceptivos, la reproducción de números y letras, y el tipo de tarea que debe realizar el niño (Milicic y Schmidt, 2011).
Reconocimiento de figuras geométricas. En el reconocimiento de las formas geométricas básicas, evalúa la habilidad perceptivo visual del niño. Los conceptos geométricos cuya evaluación contempla la prueba de pre cálculo son el cuadrado el triángulo, el rectángulo y el concepto de mitad (Milicic y Schmidt, 2011).
Reconocimiento y reproducción de números. Teniendo como idea que los números son propiedades que asignamos a los conjuntos y que se refieren a la magnitud de ellos. Ésta parte del test, tiene por objeto evaluar la habilidad del niño para identificar: el número
que le es nombrado dentro de una serie, reproducir un símbolo numérico y realizar operaciones simples (Milicic y Schmidt, 2011).
Cardinalidad. Esta área evalúa la capacidad para identificar la cantidad de elementos correspondiente a un número y de dibujar la cantidad de a un cardinal dado (Milicic y Schmidt, 2011).
Solución de problemas aritméticos. Al llegar al concepto de número, comienza a ser posible la realización de operaciones simples con ellos. Una operación es una acción interiorizada. Por lo tanto, esta área evalúa la habilidad para realizar operaciones simples de adición y sustracción (Milicic y Schmidt, 2011).
Conservación. Entendida como la base necesaria para toda actividad racional y requiere ser construida por el niño a través de un sistema de regulación interno. Está orientada evaluar la habilidad por discriminar si dos colecciones de objetos son iguales o diferentes respecto a su cantidad de elementos, éstos presentados en distintas
configuraciones perceptuales (Milicic y Schmidt, 2011).
2.3 Definición de Términos Básicos