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Modelo Matemático del Motor DC

El cálculo del modelo matemático del motor de corriente continua, parte de las ecuaciones físicas del sistema que se planten a partir del esquema del motor (Figura 3.2).

Figura 3.2. Diagrama del circuito eléctrico de un motor DC. Fuente [55].

Las ecuaciones que describen la dinámica del actuador DC se basan en las leyes de Kirchhoff y en las leyes de Newton.

57 3-3

3.4

Donde:

es el voltaje de alimentación del motor es la resistencia de bobinado del motor

el coeficiente de autoinducción del bobinado del motor la corriente de armadura

es la constante de la fuerza electromotriz par mecánico desarrollado por el motor

es la inercia de la armadura del actuador es la velocidad angular del eje del motor es la aproximación lineal de la fricción viscosa

Suponiendo el campo magnético constante, el par motor será proporcional a la corriente de armadura

3-5

Donde es la constante de armadura

Representación del modelo planta y motor

Dado que la posición se controlará con la tensión es necesario relacionar el torque con la tensión del motor. Se asume la velocidad angular de la planta del sistema igual a la velocidad angular del motor, es decir dado que el eje del motor se ubicará a la altura de la articulación. De este modo se escogieron como las variables de estado a , , y las ecuaciones en variables de estado quedan expresadas como:

3-6

Considerando que el torque T es proporcional a la intensidad la expresión se obtiene reemplazando la ecuación 3-5 en la ecuación 3-2.

58 El sistema completo puede ser descrito en la representación de espacio de estados como:

3.7

Donde es el vector de estados, el vector de entrada de control y el vector de salida. La matriz de dimensiones es la matriz dinámica del sistema, la matriz de entrada y la matriz de salida. Dado que el modelo de estado que se obtuvo es no lineal se tiene que realizar la aproximación lineal del modelo alrededor del ángulo cercano a cero que en este caso es el punto de equilibrio .

Linealizando el sistema alrededor de dicho punto utilizando las ecuaciones 3-8 y 3-9

3-8

3-9

Donde los valores nominales , y satisfacen:

3-10

La función seno derivada en el desarrollo del Jacobiano presenta una función coseno que alrededor de cero es aproximadamente igual a 1. La representación del sistema lineal en el espacio de estados viene dada por la ecuación de estado siguiente:

3-11

3.2 Sensores y actuador

Especificadas las variables de entrada y salida, es claro concluir la necesidad de sensores para obtener información de la posición del tobillo y del momento de inicio y final de la fase de oscilación de la marcha. Las tareas de identificación de la fase de oscilación y de actuación para el control de posición del pie se especifican en la Figura 3.3.

59 Figura 3.3. Identificación de la fase de oscilación con sensores de contacto. Adaptado de [20]

El inicio de la etapa de oscilación constituye la señal de inicio del control.

La adaptación de la técnica de medición del paso con sistemas de pie on-off (foot switch systems) [10] para identificar la fase de oscilación de la marcha se basa en la detección de los puntos clave que son: el despegue de los dedos y el asentamiento del talón. Para este fin se requiere de un sensor en la parte del ante pié y otro en el retropié Figura 3.4.

Sistemas de este tipo sobre una plantilla tienen medidas estándar para adultos, según las cuales, el sensor de contacto en el antepié debe estar ubicado en el área del dedo grueso (2cm x 2cm) y el sensor en el retro pié en el área del talón (4cm x 6cm). Con esta disposición se podría incorporar los sensores a plantillas que dependiendo del usuario puedan estar diseñadas para brindar apoyo del arco del pie o elevación del talón. En la Figura 3.4 se muestra adaptación de la plantilla para identificación de fase de oscilación, los sensores proporcionan una señal on/off para reconocer el inicio y final de esta fase.

(a) (b)

Figura 3.4. (a) plantilla con un arreglo de cuatro sensores para análisis de marcha. Fuente [56], (b) plantilla adaptada para identificación de la fase de oscilación de la marcha

En la Figura 3.5 se muestra el patrón de activación de las señales de los sensores a lo largo del ciclo de la marcha.

60 Durante el ciclo de marcha los sensores cambian su salida con lo que se puede identificar el tiempo de la fase de apoyo y tiempo de oscilación del pie derecho. Cuando el pie inicia el contacto con el suelo el sensor se activa hasta aproximadamente el 40% del ciclo cuando se despega el talón. El sensor se activa aproximadamente en el 20% del ciclo. y se activan solamente en la fase de apoyo y en la fase de oscilación los dos sensores se desactivan, lo que permite identificar la fase de interés.

Para este fin se plantea el uso del sensor de fuerza FlexiForce (hoja de datos en el anexo D) que basa su funcionamiento en la variación de resistencia eléctrica. La aplicación de una fuerza al área activa de detección del sensor se traduce en un cambio en la resistencia eléctrica en función inversamente proporcional a la fuerza aplicada. En este caso su conFiguración será para un funcionamiento on-off como resistencia variable en un circuito eléctrico, cuando el sensor no tiene fuerza aplicada, su resistencia es muy alta (superior a 5 M), y cuando se aplica una fuerza al sensor, la resistencia disminuye.

Se escogió este sensor por su característica física de ser totalmente plano, está integrado en una membrana de circuito impreso flexible de escaso espesor (Figura 3.6).

Figura 3.6. Aspecto físico del sensor de fuerza. Fuente: www.parallax.com

Estas señales se adquirirán para ser enviadas a un microcontrolador que podrá estimar el tiempo de cada fase en función del patrón de activación de los dos sensores indicado en la Figura 3.5.

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Medición ángulo tibial – plantar

En el desarrollo de esta órtesis AFO activa, uno de los factores más importantes es el detectar el ángulo entre los segmentos pierna y pie. Para la retroalimentación del movimiento del tobillo se escogió un arreglo de dos sensores, un sensor de inclinación desarrollado en el Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Federal de Espíritu Santo en Vitoria Brazil (Figura 3.6) y un encoder en la articulación del tobillo.

El sensor de inclinación consiste de tres acelerómetros que capturan la inclinación en los tres ejes de movimiento [56].

(a) (b)

Figura 3.6. (a) Sensor híbrido inalámbrico. Fuente: [56] (b) Ángulo a ser medido entre la pierna y el pie

En este caso, se debe fijar el sensor de inclinación en la pantorrilla para obtener un valor del ángulo existente entre este segmento y la línea vertical en dirección de la gravedad. Este arreglo permitirá al sistema de control conocer el ángulo de flexión/extensión de la pierna respecto al pie y realizar la estimación de la velocidad de la marcha. En la Figura 3.7 (a) se muestra el montaje del sensor en la pantorrilla para esta aplicación.

El encoder debe ubicarse a la altura del tobillo a fin de obtener una señal equivalente al ángulo de acción del pie durante el tiempo que dure la fase de oscilación de la marcha.

Debido a que se trata de un sensor con el cual se está trabajando en proyectos de investigación incluido este trabajo no es posible suministrar por el momento la hoja de características del mismo.

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3.2.1 Actuador

Con la simulación en Simmechanics y el modelo físico se determinó que el torque necesario para asistir el movimiento del tobillo en la fase de oscilación es de 0.5 Nm, valor cercano al reportada en el diseño de una órtesis activa del trabajo de Sauer y Kozlowski Ankle Robot for

People with Drop Foot [24]. El torque generado con el modelo físico en el caso de pie caído es

de 0.3 Nm, existiendo una deficiencia de 0.2 Nm. En la simulación con la trayectoria de pie caído el torque fue de 0.45Nm en una posición de -30 que es el torque generado por el paciente, para posicionar el pie en 0 el torque es de 0.52 Nm por lo que el motor debe asistir 0.2Nm.

El actuador es un motor que recibe de la etapa de control la corriente necesaria para ubicar a los segmentos pierna y pie en la posición deseada. A fin de contar con un sistema actuador liviano, de fácil montaje y sin mecanismos alternativos se escogió el actuador angular de Bei Kimco (Figura 3.8) empleado en aplicaciones de posicionamiento y robots manipuladores [57]. Es un dispositivo de posicionamiento que utiliza una bobina de alambre en un campo magnético permanente. Este motor tiene un rango de 32 grados de movimiento, suficiente para esta aplicación y un torque 0.226 Nm. Su característica rotatoria, sus dimensiones y peso hacen hace posible su ubicación en paralelo al tobillo sin necesidad de un acople mecánico para el movimiento del pie (descripción de la integración de los componentes en el capítulo 4).

Figura 3.8. Motor rotativo angular RA29 BEI Kimco. Fuente: http://www.beikimco.com/actuators_rotary.php

3.3 Diseño del sistema de control