Este análisis de textos da cuenta del saber a enseñar alrededor de la factorización de polinomios y ofrece una mirada a las posibles praxeologías matemáticas que posiblemente circulan en la institución educativa participante de esta investigación. Este análisis podría dar algunas pautas para la organización de las praxeologías locales, matemática y didáctica, relativamente completas con el uso de L/P y CAS en la factorización de polinomios.
Para ello se tienen en cuenta los componentes de una praxeología (tareas, técnicas, tecnologías y teoría) y también se sigue la rejilla elaborada por Guacaneme (2001) que da cuenta de tres aspectos: la estructura temática general del texto escolar, la estructura temática de las unidades y una mirada a algunos temas centrales, para este caso la factorización y los ceros de los polinomios.
Una de las razones para seleccionar los textos escolares se debe a que los estudiantes participantes de esta investigación utilizaron el texto Conexiones Matemáticas 9 de Serrano (2006), en este texto escolar se presenta la temática de funciones y ecuaciones cuadráticas (Ver Figura 8). Sin embargo no se explica la factorización de polinomios, simplemente se usa, así que también se revisa el texto escolar Conexiones Matemáticas 8 elaborado por Samper (2006) (Ver Figura 8), en donde la factorización de polinomios es el contenido de una unidad.
38
Otra de las razones de la selección de la serie Conexiones Matemáticas en los grados octavo y noveno es su presencia en el catálogo de textos escolares del MEN19, allí se presentan las reseñas de cada los textos escolares que se encuentran en el mercado20. La serie de Conexiones Matemáticas incorpora los estándares básicos de competencias en matemáticas del año 2006.
Figura 8. Carátula de los textos escolares Conexiones Matemáticas 8 y 9.
Estructura temática general de los textos escolares
En los siguientes recuadros se presentan las unidades de cada uno de los textos escolares Conexiones Matemáticas 8 y 9, las unidades subrayadas son las de interés para este trabajo.
19
La página es www.textosescolares.gov.co 20
Las reseñas escolares de los textos de Conexiones Matemáticas 8 y 9 fueron obtenidas el 30 de mayo de 2009 en el catálogo de textos escolares disponible del portal de Colombia Aprende, específicamente en: http://64.76.190.172/textos_escolares/contenidos/resultado_busqueda.php
Conexiones Matemáticas 8 8 - 1. Los números irracionales
8 - 2. Los números reales
8 - 3. Desigualdades y ecuaciones lineales
8 - 4. Polinomios 8 - 5. Factorización y aplicaciones 8 - 6. Modelos de Función 8 - 7. Geometría 8 - 8. Triángulos y cuadriláteros 8 - 9. Estudio de sólidos 8 -10. Estadística y probabilidad
Unidad 9. Estudio Sólidos
39
Cada una de las unidades de la serie Conexiones Matemáticas tiene la siguiente organización:
- Apertura de la unidad: además de presentarse algunos referentes curriculares, se les propone a los estudiantes efectuar un taller nombrado “prepárate” que es una actividad introductoria que requiere de los conocimientos previos y útiles en el desarrollo de las próximas tareas (Ver Figura 9).
- Temas: las explicaciones inician con un ejemplo. La información más importante se escribe dentro de un cuadro en azul y generalmente se presenta en una sola página (Ver Figura 9).
- Taller de competencias: finalizado cada tema se propone un taller llamado de competencias. En algunas preguntas se presentan definiciones o teoremas que complementan los temas (Ver Figura 9).
Figura 9. Imágenes de apertura de la unidad, temas y taller de competencias.
Conexiones Matemáticas 9 9 - 1. Números reales
9 - 2. Función Lineal y Afín. Sistemas de ecuaciones lineales
9 - 3. Función cuadrática. Ecuación cuadrática
9 - 4. Números complejos 9 - 5. Métodos de demostración 9 - 6. Sucesiones y progresiones 9 - 7. Semejanza 9 - 8. Circunferencias 9 - 9. Probabilidad 9-10. Matrices y determinantes
40
- Para avanzar más: son preguntas para reforzar los conceptos trabajados y en ocasiones introducir algunos nuevos.
- Evaluación de competencias: al finalizar la unidad se presentan algunas preguntas y una autoevaluación con algunos criterios que deben responder con un sí o un no.
- Prueba Saber: a partir de una situación en contexto se desglosan preguntas de opción múltiple bajo el modelo de las Pruebas Saber21.
El texto inicia con la información de la editorial, autora entre otros datos de producción. Sigue la presentación de las unidades y de su organización general. Luego desarrolla cada una de las unidades y finaliza con un glosario y bibliografía del texto escolar. En la contraportada se presenta una descripción de la organización del texto, igual a la que aparece en el catálogo de textos escolares del MEN.
Estructura temática de las unidades
La estructura general de la unidad 8-4: polinomios se resume en la Figura 10, en donde se establecen las conexiones entre los diferentes contenidos; mientras que en la Tabla 2, se da el nombre y el orden de cada uno de los temas. La determinación de una expresión algebraica inicia desde la definición de monomio y polinomio, posteriormente se determinan las operaciones entre los polinomios, en la operación de multiplicación se presentan los productos notables.
21
Los estudiantes de los grados quinto y noveno presentan cada tres años una prueba externa a nivel nacional llamada Saber, efectuada por el Instituto Colombiano para la evaluación de la Educación (ICFES).
41
Figura 10. Estructura temática de la unidad 8-4 de Polinomios. Tabla 2. Temas de la unidad 8-4 de polinomios.
A. # B. NOMBRE DEL TEMA
8-4-1 Expresiones algebraicas 8-4-2 Polinomios
8-4-3 Adición y sustracción de polinomios 8-4-4 Multiplicación de polinomios 8-4-5 Productos notables
8-4-6 División de polinomios 8-4-7 División sintética
En el tema 8-4-1 se presenta la definición y ejemplos de las expresiones algebraicas, en contextos de compras y dinero. La tarea inicial es hallar la expresión algebraica dado un enunciado en lengua natural, por lo que realizan una tabla en donde se organiza la situación, la expresión verbal y la expresión matemática.
En el tema 8-4-2 se determinan los monomios y los términos semejantes. En la explicación se muestra el procedimiento de reducción a partir de la suma algebraica. En relación a los monomios se define un polinomio.
En el tema 8-4-3 se presentan las técnicas para la suma de polinomios. La situación inicial propone hallar el área de rectángulos cuyos lados son expresiones algebraicas en el
42
contexto de una fábrica de baldosas. Se presenta el procedimiento para efectuar adiciones y sustracciones de polinomios, que se basa en la reducción de términos semejantes en un recuadro azul.
En el tema 8-4-4 se explica la técnica para realizar la multiplicación de polinomios a partir de tres ejemplos: producto de dos monomios, producto de un monomio con un polinomio y producto de dos polinomios. En la temática no se explicita la propiedad distributiva, pero si la ley de exponentes para potencias de igual base.
En el tema 8-4-5 sobre productos notables se utilizan cuatro piezas “rectangulares” de diferente área en relación a una expresión algebraica. Las piezas se distinguen además de la expresión algebraica por el color. Se muestra el proceso para obtener un “cuadrado” de lado , un “cuadrado” de lado y un “rectángulo” de lados y . Con la construcción de estas figuras se llega a la equivalencia de expresiones algebraicas cuando se encuentran en la forma desarrollada (suma de monomios de diferente grado sin términos semejantes) y en la forma factorizada.
En la división de polinomios (tema 8-4-6) se determinan las técnicas para dividir un polinomio y un monomio y dos polinomios. La explicación de las técnicas se acompaña con ejemplos.
Adicional a la división de polinomios, se presenta la técnica de la división sintética (tema 8-4-7) entre un polinomio por otro de la forma , a medida que se explica el procedimiento se presenta un ejemplo con un polinomio de grado tres.
No solo las técnicas y tecnologías están en las temáticas, en algunos casos se dan en los talleres para avanzar más en recuadros azules o en el enunciado de una tarea. Una vez las tecnologías son enunciadas se solicita su uso.
Son frecuentes en las temáticas de esta unidad los ejemplos que muestran las técnicas. Las tecnologías suelen estar en recuadros azules o en las explicaciones de los ejemplos. En la Tabla 3, se resumen algunos tipos de tareas, técnicas y tecnologías en relación a la unidad de polinomios. Algunos tipos de tareas se han asociado según las técnicas y tecnologías (Ver Anexo A, Tabla 1).
43
Tabla 3. Praxeología matemática de la unidad 8-4 de polinomios.
A.TIPOS DE TAREAS22 B.TÉCNICAS C.TECNOLOGÍAS D.TEORÍA
1. Evaluar una expresión algebraica en relación a una letra, del cual se conoce su valor.
Sustitución de una letra por un valor dado y realización de las operaciones indicadas.
Propiedades y operaciones de los números reales.
A n ill o d e p ol in omi os 2. Hallar la expresión algebraica correspondiente a un enunciado, el área o el volumen de una figura geométrica.
Se divide el enunciado y/o figura geométrica en situación, expresión verbal y expresión matemática. La letra representa cantidades desconocidas combinadas con números a partir de operaciones. Propiedades y operaciones de expresiones algebraicas. Definición de expresión algebraica. 3. Realizar la figura geométrica que se relaciona con una expresión algebraica dada.
Construcción de figuras geométricas.
Distinción entre las definiciones de perímetro, área y volumen, y su relación con las medidas de los lados de las figuras geométricas enunciadas como expresiones algebraicas.
4. Determinar y resolver una ecuación a partir de los datos de un enunciado.
Dado un enunciado se discriminan las oraciones relacionadas con un valor desconocido y se expresan como una letra que se opera con números y se relaciona (igualdad). Posteriormente se hallan los valores que hacen verdadera la igualdad.
Propiedades algebraicas de los números reales.
5. Determinar si dos expresiones algebraicas son equivalentes.
Sustitución de una letra por un valor dado y realización de las operaciones indicadas.
Noción de equivalencia de expresiones algebraicas y sus propiedades algebraicas. Propiedades y operaciones de los números reales.
6. Simplificar los términos de un polinomio. Reducción de términos semejantes Propiedades de la suma de polinomios. 7. Hallar el grado de un polinomio o monomio.
Para hallar el grado de un monomio o polinomio, es necesario distinguir los exponentes de las variables. En monomios de una variable el grado lo determina el exponente, en monomios de varias variables el grado lo determina la suma de sus exponentes y en un polinomio el grado lo determina el término de mayor grado.
Definición de un polinomio o monomio. Orden de un polinomio. Definición de grado de un monomio y polinomio. Propiedades y operaciones de números naturales. 8. Realizar adiciones y sustracciones de polinomios. Reducción de términos semejantes. Propiedades de la suma de polinomios. 22
En cada una de las praxeologías matemáticas se presentan una agrupación de tareas, en ocasiones desligadas de un contexto o valores particulares, por lo que se denominan tipos de tareas.
44
A.TIPOS DE TAREAS22 B.TÉCNICAS C.TECNOLOGÍAS D.TEORÍA
9. Hallar el resultado de multiplicar dos polinomios.
Multiplicación de cada término de un polinomio por los términos del otro y reducción de términos semejantes.
Propiedades de la multiplicación de polinomios.
10. Efectuar las divisiones de dos polinomios. Hallar el factor para completar la igualdad.
División de polinomios. División sintética.
Propiedades de la división de polinomios
En la Figura 11, se presenta la estructura de la unidad 8-5 correspondiente a la factorización y aplicaciones del libro Conexiones Matemáticas 8 y en la Tabla 4, se presentan el nombre y orden de los temas. La organización de la unidad de factorización se divide entre tres temáticas principales: números naturales, polinomios y fracciones algebraicas. Inicialmente se define la factorización desde los números naturales, posteriormente se determina algunas técnicas L/P para factorizar polinomios, finalmente las técnicas de factorización son usadas para realizar operaciones entre fracciones algebraicas.
Figura 11. Estructura temática de la unidad 8-5 de factorización y aplicaciones. Tabla 4. Temas de la unidad 8-5 de factorización y aplicaciones.
A. # B. NOMBRE DEL TEMA
8-5-1 Factor común
8-5-2 Aproximación a la factorización de trinomios 8-5-3 Factorización de trinomios cuadráticos ( ) 8-5-4 Factorización de trinomios cuadráticos ( ) 8-5-5 Combinación de factorizaciones
45
A. # B. NOMBRE DEL TEMA
8-5-6 Ecuaciones y resolución de problemas 8-5-7 Fracciones algebraicas y despeje de variables 8-5-8 Multiplicación y división de fracciones algebraicas 8-5-9 Adición y sustracción de fracciones algebraicas 8-5-10 Ecuaciones con fracciones algebraicas y problemas
El tema 8-5-1 inicia con la factorización de los números enteros. Luego pasan a relacionar la factorización de los números enteros con la factorización de los polinomios. Finalmente se introduce el máximo común divisor para hallar el factor común entre los coeficientes de un polinomio.
En el tema 8-5-2 de aproximación a la factorización de trinomios se utilizan rectángulos de diferentes tamaños y colores a los que se les asocian valores a sus áreas usando expresiones algebraicas. La tarea propuesta es construir un rectángulo dada la expresión de la forma
, hallar sus dimensiones y el área como el producto de sus dimensiones. En los ejemplos de la temática se muestran los casos donde los coeficientes , y son positivos, sólo en el taller de competencias se muestra un caso donde y se proponen construir las áreas para algunos polinomios de este tipo. No se presentan los casos para y negativos.
En las siguientes dos temáticas (8-5-3 y 8-5-4) se diferencian los trinomios
en aquellos que y . En el caso se presenta un trinomio que cumple esa condición y se realiza el procedimiento descrito en el recuadro azul. La técnica de la factorización esta acompañada de la construcción de un “rectángulo” cuya área se expresa con un trinomio cuadrático. Para el caso de se dan dos ejemplos, pero no se presenta el caso de un “rectángulo” cuya área sea igual al trinomio cuadrático. Sin embargo la técnica de factorización es similar al caso de , con algunas modificaciones. Esta técnica de factorización de polinomios cuadráticos de una variable deja de lado algunos polinomios cuyos ceros no son enteros
La quinta temática 8-5-5 se titula combinación de factorizaciones. Presenta en un recuadro azul una serie de pasos para lograr factorizar completamente el polinomio. Se sugiere: ordenar el polinomio de manera descendente, obtener el monomio factor común o el número factor racional necesario para hallar un polinomio con coeficientes enteros. Una vez se tiene el
46
polinomio expresado de esa manera se mira si el otro factor es un trinomio o una diferencia de cuadrados y se realiza la factorización, si hay cuatro términos hay que agruparlos para lograr la factorización, y por último es necesario comprobar que los factores resultantes sean primos.
El tema 8-5-6 presenta un problema babilónico solucionado a partir de una ecuación cuadrática, para hallar la solución se plantea la propiedad de los productos nulos, ésta sería una tecnología para justificar el uso de la factorización en la solución de la ecuación cuadrática. No se presenta la vinculación de la factorización con los ceros o raíces de un polinomio.
En la Tabla 5 se resumen algunos tipos de tareas, técnicas y tecnologías en relación a las seis primeras temáticas de la unidad de factorización y aplicaciones. Las tareas se han asociado según las técnicas y tecnologías (Ver Anexo A, Tabla 2).
Tabla 5. Praxeología matemática en la unidad 8-5 de factorización y aplicaciones.
A. TIPOS DE TAREAS B. TÉCNICAS C. TECNOLOGÍAS D. TEORÍA
1. Hallar el factor común de dos o más monomios.
Descomposición del coeficiente de un monomio como el producto de números primos y de las potencias de las variables como productos. Comparación entre los coeficientes y variables de los monomios para hallar el máximo común divisor de ambos, estos dos valores determinan un monomio que es el máximo común divisor de los monomios. Propiedad distributiva A n ill o d e p ol in omi os Definición de máximo común divisor de un monomio y un número entero. Propiedades de la multiplicación y la adición en números enteros y expresiones algebraicas. 2. Obtener la expresión factorizada o desarrollada23 de los polinomios correspondientes al área de un rectángulo. Construir rectángulos que representen algunos trinomios.
En estas tareas el área de un rectángulo se halla a partir del producto de la base y la altura (forma factorizada) o la suma de las áreas de las subfiguras que lo componen (forma desarrollada).
Propiedades de la suma de monomios y la multiplicación de polinomios. Definición de área. Definición de la forma factorizada de un polinomio.
Construcción de rectángulos dado el polinomio en su forma
factorizada o desarrollada. Expresiones equivalentes. algebraicas 3. Factorizar polinomios.
Determinar si un polinomio es irreductible o primo
Factorización de la forma Trinomio ó (Ver Figura 13).
Definición de factorización de polinomios.
Definición de polinomio irreductible
Factorización por agrupación y
factor común. Definición de polinomio primo.
23
En el texto escolar no se determina el término forma desarrollada, ésta corresponde a la forma de escritura algebraica de la definición de un polinomio.
47
A. TIPOS DE TAREAS B. TÉCNICAS C. TECNOLOGÍAS D. TEORÍA
4. Resolver ecuaciones cuadráticas
Factorización de la ecuación cuadrática y uso de la propiedad de los productos nulos para hallar las raíces.
Propiedad de los productos nulos.
Definición de factorización de polinomios.
Los últimos temas, del 8-5-7 al 8-5-10, tratan sobre fracciones algebraicas, donde la factorización completa de polinomios se utiliza en los procedimientos para simplificar, sumar, restar, dividir y multiplicar. Estas temáticas no se consideraron en el análisis de la unidad.
En la Figura 12 se presentan las relaciones de los temas de la unidad 9-3: función cuadrática, ecuaciones cuadráticas del libro Conexiones Matemáticas 9. En la Tabla 6, se muestra la organización y nombres de los temas. La organización de la función cuadrática presenta cinco grandes temáticas, la parábola, la ecuación cuadrática, su función inversa, las desigualdades cuadráticas y las ecuaciones con radicales. El centro del análisis de la unidad se da en relación a la parábola y la ecuación cuadrática.
Figura 12. Estructura temática de la unidad 9-3 de función cuadrática, ecuación cuadrática.. Tabla 6. Temas de la unidad 9-3 de función cuadrática, ecuación cuadrática.
A. # B.NOMBRE DEL TEMA
9-3-1 La función cuadrática, su gráfica y características 9-3-2 La función inversa de la función cuadrática 9-3-3 Solución de ecuaciones cuadráticas
48
A. # B.NOMBRE DEL TEMA
9-3-4 Fórmula cuadrática
9-3-5 Gráfica de la función cuadrática 9-3-6 Problemas con ecuaciones cuadráticas 9-3-7 Desigualdades cuadráticas
9-3-8 Ecuaciones con radicales simples
El tema 9-3-1 es sobre las características de la gráfica de la función cuadrática. Se analiza la gráfica de la expresión , se determina que es simétrica y se compara con la línea recta; esta curva se llama parábola con vértice en . El ejemplo muestra la gráfica de , el eje de simetría y el vértice. Para realizar la gráfica, el eje de simetría y el vértice se escribe la expresión de la forma (conocida como la forma canónica).
En el tema 9-3-2 de la función inversa se analizan las funciones inversas de
y . Se determina la simetría de las gráficas con respecto a la recta
y se restringen los valores del dominio de la función inversa. En el caso de la función
se escribe de la forma . No se explícita como
obtener la expresión algebraica de la función inversa.
El tema 9-3-3 de solución de ecuaciones cuadráticas se dicen que son aquellas de la forma , su solución es hallar los valores de para los cuales , esto equivale a encontrar los interceptos con el eje de la función cuadrática (ceros). Se presentan diferentes técnicas, entre las que se incluyen la factorización y el método de completación de cuadrados que lleva a la fórmula cuadrática.
En el tema 9-3-4 se determina la fórmula cuadrática, aunque ya se había presentado sin ser nombrada. En esta fórmula se distingue el discriminante y a partir de sus valores se halla el