WORK FLOW

Esta sección expone la contribución original de este trabajo. La idea es usar el Lagrangiano de Dirac Reducible para encontrar un operador invariante que nos permita distinguir entre las distintas especies de fermiones presentes. El operador que buscamos es el operador de proyección χ±1;

χ±=

1

2(1 ± τ ) , que nos permite análizar el Lagrangiano de modo que:

χ−(LDirac) χ+= ¯ψ+(i 6 ∂ − m+) ψ++ ¯ψ−(i 6 ∂ − m−) ψ−,

donde ψ+_{y ψ}− _{vienen dados por}

ψ±= χ±ψ.

De modo que los dos operadores que nos permiten cambiar entre especies serán aquellos que cumplan las condiciones siguientes:

Z+ψ+(m+) = 0, Z−ψ−(m−) = 0, (7.28)

1_{χ++ χ−= 1, χ}2 ±= χ±.

CAPÍTULO 7. TEORÍA SUSY DE DIRAC 46 Z+ψ−(m−) = ψ+(m−), Z−ψ+(m+) = ψ−(m+), (7.29)

[Z±, H] = 0. (7.30)

Podemos vericar que estos operadores son: Z−=  0 0 σ3 0  , Z+=  0 σ3 0 0  . (7.31) Veriquemos: Z+ψ+(m+) = 0 Z+ψ1+=     0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0         (|En| + m+) I0(n, p, y) −√2neB I0(n − 1, p, y) 0 0     = 0. Z−ψ+(m+) = ψ−(m+) Z−ψ+1 =     0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0         (|En| + m+) I0(n, p, y) −√2neB I0_{(n − 1, p, y)} 0 0     =     0 0 (|E_√ n| + m+) I(n, −p, y) 2neB I(n − 1, −p, y)     = ψ₂−. [Z±, H] = 0 Z+H =     0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0         m+ ipx+ py 0 0 ipx− py m+ 0 0 0 0 m− −ipx− py 0 0 −ipx+ py m−     HZ+ =     m+ ipx+ py 0 0 ipx− py m+ 0 0 0 0 m− −ipx− py 0 0 −ipx+ py m−         0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0     [Z+, H] =     0 0 m−− m+ 0 0 0 0 m−− m+ 0 0 0 0 0 0 0 0     ∴ [Z±, H] = 0 ⇐⇒ m−= m+

Estos operadores nos proporcionan una buena matriz de cambio de especies para el caso en el que el Lagrangiano no viola paridad, es decir cuando m0= 0.

CAPÍTULO 7. TEORÍA SUSY DE DIRAC 47

Capítulo 8

Conclusiones

En este trabajo hemos estudiado las diferencias que surgen al estudiar a la Ecuación de Dirac en el plano en comparación con lo que ocurre en (3 + 1) dimensiones. Las más importantes las enlistamos abajo:

Existen dos representaciones irreducibles inequivalentes para las matrices γµ_.

En (3 + 1) dimensiones, existen 4 soluciones linealmente independientes. Las cuales se pueden indenticar con; partícula (↑) , partícula (↓), anti- partícula (↑) y anti-particula (↓). Mientras que en el plano únicamente existen 2 soluciones linealmente independientes en la representación irre- ducible. Por lo que, el espectro de soluciones es incompleto hasta que se incluyan las 2 representaciones irreducibles.

En la representacion irreducible no se puede denir la simetría quiral por- que no existe una matriz 2 × 2 que conmute con todas las matríces γµ_.

Estas diferencias son la principal motivación para emplear una representación reducible que incluya las dos representaciones irreducibles. Usando esta repre- sentación reducible llegamos a las siguientes conclusiones:

El espectro de soluciones se completa, existen 4 soluciones con la misma interpretación que se tiene en (3 + 1) dimensiones.

Se pueden denir no una, sino dos transformaciones quirales porque exis- ten 2 matrices γ3_{y γ}5

que conmutan con todas las matrices γµ_{. Debido}

a esto se pueden denir dos tipos de términos de masa distintos, por lo que surgen dos especies de fermiones, una especie pesada y una ligera. Ademas cada especie tiene sólo una orientación de espin para fermiones y una para anti-fermiones, i.e.:

ˆ Fermión con espin ↑ tendrá masa m+.

ˆ Fermión con espin ↓ tendrá masa m−.

CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES 49 ˆ Anti-fermión con espin ↑ tendrá masa m−.

ˆ Anti-fermión con espin ↓ tendrá masa m+.

La manera usual de resolver el problema de los fermiones en presencia de un cam- po mágnetico uniforme es utilizar las soluciones del oscilador armónico cuántico. Lo novedoso de este trabajo es que hemos introducido una teoría SUSY como herramienta matemática para solucionar dicho problema con grandes benecios. A continuación mencionaremos brevemente los más importantes:

Para el caso no masivo, observamos que el mapeo a SUSY-QM encaja perfectamente, ya que no hay nada que distinga entre soluciones de ψ+_y

ψ−.

Para el caso en el que m0 (masa de Haldane) es cero, la SUSY se rompe

suavemente, pero si redenimos la E como E2= E2− m2

e

podemos quitar la ruptura de SUSY, de modo que sea un buen mapeo a SUSY-QM.

Para el caso en el que m0 6= 0, la SUSY se rompe fuertemente y no hay

forma de componerla.

Podemos realizar operaciones entre los fermiones de la misma especie, gracias a los operadores de supercarga Q± y Q†±



que surgen de esta teoría.

Esta teoría SUSY nos permite distinguir fácilmente entre las soluciones de una especie u otra. Lo cual permitió innovar en la introducción de un nuevo operador (Z±)que permite realizar cambios entre especies. Esto es

la contribución original de este trabajo.

En el caso del Grafeno, este operador nos permite cambiar entre las su- bredes de las redes cristalinas con forma de panal de abeja.

El próximo paso será introducir esta herramienta para otros potenciales y analizar los nuevos operadores que puedan surgir, además de estudiar la acción del operador Z± en sus soluciones. Esto para un futuro.

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