This is a repository copy of Alternative approaches to implementing Lagrange multiplier
tests for serial correlation in dynamic regression models.
White Rose Research Online URL for this paper:
http://eprints.whiterose.ac.uk/2528/
Article:
Godfrey, L.G. (2007) Alternative approaches to implementing Lagrange multiplier tests for
serial correlation in dynamic regression models. Computation Statistics & Data Analysis.
pp. 3282-3295.
https://doi.org/10.1016/j.csda.2006.05.020
[email protected] https://eprints.whiterose.ac.uk/ Reuse
Items deposited in White Rose Research Online are protected by copyright, with all rights reserved unless indicated otherwise. They may be downloaded and/or printed for private study, or other acts as permitted by national copyright laws. The publisher or other rights holders may allow further reproduction and re-use of the full text version. This is indicated by the licence information on the White Rose Research Online record for the item.
Takedown
If you consider content in White Rose Research Online to be in breach of UK law, please notify us by
promoting access to White Rose research papers
White Rose Research Online
Universities of Leeds, Sheffield and York
http://eprints.whiterose.ac.uk/
This is an author produced version of a paper published in Computational
Statistics & Data Analysis. This paper has been peer-reviewed but does not
include final publisher proof-corrections or journal pagination.
White Rose Research Online URL for this paper:
http://eprints.whiterose.ac.uk/252
8
/
Published paper
Godfrey, L.G. (2007) Alternative approaches to implementing Lagrange multiplier
tests for serial correlation in dynamic regression models. Computational Statistics
ϑυνε 21, 2007
Αλτερνατιϖε αππροαχηεσ το ιmπλεmεντινγ Λαγρανγε
mυλτιπλιερ τεστσ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν δψναmιχ ρεγρεσσιον
mοδελσ.
Αβστραχτ
Αν αππροξιmατε Φ−φορm οφ τηε Λαγρανγε mυλτιπλιερ τεστ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν δψναmιχ ρεγρεσσιον mοδελσ ισ χοmπαρεδ ωιτη τηρεε βοοτστραπ τεστσ. Ιν ονε βοοτστραπ προχεδυρε, ρεσιδυαλσ φροm ρεστριχτεδ εστιmατιον υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ αρε ρεσαmπλεδ. Τηε οτηερ τωο βοοτστραπ τεστσ υσε ρεσιδυαλσ φροm υνρεστριχτεδ εστιmατιον υνδερ αν αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ. Α …ξεδ αυτοχορρελατιον αλτερνατιϖε ισ ασσυmεδ ιν ονε οφ τηε τωο υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ ανδ τηε οτηερ ισ βασεδ υπον α Πιτmαν−τψπε σεθυενχε οφ λοχαλ αλτερνατιϖεσ. Μοντε Χαρλο εξπεριmεντσ αρε υσεδ το εστιmατε ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ ανδ ιν τηε πρεσενχε οφ σεριαλ χορρελατιον.
Κεψωορδσ: Βοοτστραπ; Σεριαλ χορρελατιον; Λαγρανγε mυλτιπλιερ τεστ
Λ. Γ. Γοδφρεψ
Dεπαρτmεντ οφ Εχονοmιχσ, Υνιϖερσιτψ οφ Ψορκ, Ηεσλινγτον, Ψορκ ΨΟ10 5DD, ΥΚ. Τελ: +44−1904−433754
1
Ιντροδυχτιον
Τηε ιmπορτανχε οφ τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν τηε ερρορ τερmσ οφ α λινεαρ ρεγρεσσιον mοδελ ηασ βεεν ρεχογνιζεδ φορ mανψ ψεαρσ. Ιν γενεραλ, τηε πρεσενχε οφ σεριαλ χορρελατιον ινϖαλιδατεσ τηε χλασσιχαλ φορmυλα φορ τηε ϖαριανχε−χοϖαριανχε mατριξ οφ ορδιναρψ λεαστ σθυαρεσ (ΟΛΣ) εστιmατορσ ανδ λεαδσ το τηε ινχονσιστενχψ οφ τηεσε εστιmατορσ ιφ τηε ρεγρεσσορσ ινχλυδε λαγγεδ ϖαλυεσ οφ τηε δεπενδεντ ϖαριαβλε. Τηε βεστ−κνοων ανδ mοστ ωιδελψ ρεπορτεδ τεστ φορ σεριαλ χορρελατιον ισ τηε προχεδυρε προποσεδ ιν Dυρβιν ανδ Wατσον (1950, 1951). Ηοωεϖερ, ασ ποιντεδ ουτ ιν mανψ τεξτσ, ε.γ., Dαϖιδσον ανδ ΜαχΚιννον (2004, ππ. 280−1) ανδ Μαδδαλα (2001, π. 230), τηε Dυρβιν−Wατσον (ηερεαφτερ DW) τεστ ισ συβϕεχτ το σεϖεραλ λιmιτατιονσ. Ιν παρτιχυλαρ, τηε DW τεστ υσεσ α …ρστ−ορδερ αυτορεγρεσσιον ασ τηε αλτερνατιϖε mοδελ ανδ χαννοτ βε υσεδ ωηεν τηε ρεγρεσσορσ ινχλυδε λαγγεδ ϖαλυεσ οφ τηε δεπενδεντ ϖαριαβλε. Wηιλε τηε εmπηασισ ον α σιmπλε …ρστ−ορδερ αλτερνατιϖε mαψ βε ϕυστι…εδ ωηεν εστιmατιον ισ βασεδ υπον αννυαλ δατα, ασ ωασ προβαβλψ οφτεν τηε χασε ωηεν τηε DW τεστ ωασ δεριϖεδ, τηερε ισ τηε ρισκ τηατ ποωερ ωιλλ βε λοω ωηεν σεασοναλ αυτοχορρελατιον ισ πρεσεντ; σεε Γοδφρεψ ανδ Τρεmαψνε (1988). Μανψ τιmε σεριεσ ρεγρεσσιονσ αρε νοω εστιmατεδ υσινγ θυαρτερλψ ορ mοντηλψ δατα σο τηατ τηισ ποτεντιαλ ωεακνεσσ ισ ιmπορταντ. Τηε σεχονδ λιmιτατιον ισ αλσο ιmπορταντ βεχαυσε, ε.γ., αυτορεγρεσσιϖε διστριβυτεδ λαγ mοδελσ αρε ποπυλαρ ιν αππλιεδ ωορκ.
Ιτ ισ νοω στανδαρδ πραχτιχε το υσε τηε Λαγρανγε Μυλτιπλιερ (ΛΜ) τεστσ οφ Βρευσχη (1978) ανδ Γοδφρεψ (1978) ωηεν ιτ ισ δεσιρεδ το αλλοω φορ ηιγηερ−ορδερ αλτερνατιϖεσ ανδ τηε πρεσενχε οφ λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ ιν τηε ρεγρεσσορσ. Τηε ΛΜ τεστσ υσε τηε ρεσυλτσ οφ ρεστριχτεδ εστιmατιον, ι.ε., εστιmατιον υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ, βυτ δο νοτ ρεθυιρε τηε υνρεστριχτεδ εστιmατιον οφ τηε αλτερνατιϖε mοδελ. Τηυσ τηεψ ηαϖε τηε χονϖενιεντ προπερτψ οφ βεινγ βασεδ υπον ΟΛΣ ρεσυλτσ. Ηοωεϖερ, τηε ΛΜ τεστσ συ¤ερ φροm τηε δραωβαχκ τηατ τηεψ αρε ονλψ ασψmπτοτιχαλλψ ϖαλιδ ανδ τηε ασψmπτοτιχ 2
χριτιχαλ ϖαλυεσ ηαϖε σοmετιmεσ βεεν φουνδ το γιϖε ιναδεθυατε χοντρολ οφ …νιτε σαmπλε σιγνι…χανχε λεϖελσ; σεε, ε.γ., Κιϖιετ (1986). Φορτυνατελψ τηερε ισ αλσο εϖιδενχε τηατ ιmπροϖεδ χοντρολ χαν βε γαινεδ βψ α ϖερψ σιmπλε mοδι…χατιον οφ τηε οριγιναλ ΛΜ στατιστιχσ.
Ασ ισ ωιδελψ κνοων, ΛΜ τεστσ φορ σεριαλ χορρελατιον χαν βε ιντερπρετεδ ασ τεστσ φορ οmιττεδ ϖαριαβλεσ. Τηε εθυατιον υνδερ τεστ σερϖεσ ασ τηε νυλλ mοδελ ανδ λαγγεδ ϖαλυεσ οφ τηε ρεσιδυαλσ φροm ιτσ εστιmα− τιον αρε τηε αδδιτιοναλ ϖαριαβλεσ τηατ αρε το βε τεστεδ φορ ϕοιντ σιγνι…χανχε ιν αν αρτι…χιαλ αλτερνατιϖε ρεγρεσσιον; σεε Βρευσχη ανδ Γοδφρεψ (1981) ανδ Dαϖιδσον ανδ ΜαχΚιννον (2004, Σεχτιον 7.7). Τηε στανδαρδ Φ τεστ ισ νοτ ονλψ α νατυραλ χηοιχε φορ τηισ πυρποσε, βυτ ιτ ηασ αλσο βεεν φουνδ ιν Κιϖιετ (1986) το λεαδ το ιmπροϖεδ …νιτε σαmπλε περφορmανχε ρελατιϖε το ασψmπτοτιχ 2
ϖαριαντσ. Ηοωεϖερ, τηερε ηαϖε βεεν ενορmουσ αδϖανχεσ ιν τηε ποωερ οφ χοmπυτερσ σινχε τηε ωορκ οφ Κιϖιετ (1986) ανδ ιτ ισ νοω φεασιβλε το χονσιδερ τηε αππλιχατιον οφ ρεσαmπλινγ mετηοδσ το ιmπροϖε υπον τηε αππροξιmατιον γιϖεν βψ ασψmπτοτιχαλλψ ϖαλιδ χριτιχαλ ϖαλυεσ.
Τηε …ρστ συχη αππλιχατιον σεεmσ το βε Ραψνερ (1993). Ραψνερ υσεσ α φορm οφ υνρεστριχτεδ (αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ) ρεσιδυαλ ρεσαmπλινγ. Τηε χηοιχε οφ τηε εστιmατιον mετηοδ υσεδ το οβταιν υνρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ φορ βοοτστραπ σχηεmεσ ρεθυιρεσ χαρε ωηεν τηε ρεγρεσσορσ ινχλυδε λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ. Ιν τηε στανδαρδ τηεορψ τηατ υνδερπινσ τηε βοοτστραπ τεστ, ασ δισχυσσεδ ιν Βεραν (1988), ιτ ισ ασσυmεδ τηατ εστιmατορσ οφ νυισανχε παραmετερσ αρε χονσιστεντ. Ηοωεϖερ, υνδερ τηε σεριαλ χορρελατιον αλτερνατιϖε, ΟΛΣ εστιmατορσ αρε υσυαλλψ ινχονσιστεντ ωηεν τηε ρεγρεσσορσ ινχλυδε λαγγεδ ϖαλυεσ οφ τηε δεπενδεντ ϖαριαβλε. Χονσεθυεντλψ ΟΛΣ ρεσιδυαλσ αρε γενεραλλψ ιναππροπριατε φορ ρεσαmπλινγ υνδερ τηε αλτερνατιϖε. Ραψνερ υσεσ αν ινστρυmενταλ ϖαριαβλε (Ις) τεχηνιθυε τηατ ισ χονσιστεντ ωηετηερ ορ νοτ τηερε ισ σεριαλ χορρελατιον; σεε τηε Αππενδιξ οφ Ραψνερ (1993) φορ δεταιλσ. Αφτερ χονδυχτινγ Μοντε Χαρλο εξπεριmεντσ, Ραψνερ …νδσ εϖιδενχε τηατ ασψmπτοτιχ χριτιχαλ ϖαλυεσ αρε ιναδεθυατε ανδ βοοτστραπ−βασεδ τεστσ αρε ωελλ βεηαϖεδ υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ.
Αν αππροαχη το οβταινινγ αν υνρεστριχτεδ βοοτστραπ σχηεmε τηατ δοεσ νοτ ρεθυιρε Ις εστιmατιον ισ προποσεδ ιν Μανταλοσ (2003); αλσο σεε Μανταλοσ (2005). Τηε υνρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ υσεδ ιν Μανταλοσ (2003) αρε νοτ δεριϖεδ φροm τηε αχτυαλ αλτερνατιϖε mοδελ τηατ ηασ βεεν σπεχι…εδ βυτ ινστεαδ φροm τηε αρτι…χιαλ ρεγρεσσιον mεντιονεδ αβοϖε τηατ ισ υσεδ το χαλχυλατε τηε τεστ στατιστιχ. Τηε λαττερ mοδελ ισ λοχαλλψ εθυιϖαλεντ το τηε φορmερ ιν α σενσε τηατ ισ εξπλαινεδ βελοω. Ενχουραγινγ ρεσυλτσ ον τηισ σιmπλερ αππροαχη αρε ρεπορτεδ ιν Μανταλοσ (2003).
Τηε αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ υσεδ ιν Μανταλοσ (2003) ανδ Ραψνερ (1993) ισ τηε χλασσιχαλ …ρστ−ορδερ αυτορεγρεσσιϖε ερρορ mοδελ. Τηισ αλτερνατιϖε ισ αλσο αδοπτεδ ωιτη α δψναmιχ ρεγρεσσιον εθυατιον ιν αν εξπεριmεντ ρεπορτεδ βψ ΜαχΚιννον; σεε ΜαχΚιννον (2002, ππ. 623−624). Ιν ΜαχΚιννον’σ ωορκ, ρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ φροm ΟΛΣ εστιmατιον οφ τηε νυλλ mοδελ αρε υσεδ φορ τηε βοοτστραπ. Ιτ ισ φουνδ τηατ ασψmπτοτιχ χριτιχαλ ϖαλυεσ χαν βε θυιτε υνρελιαβλε ωηιλε βοοτστραπ χριτιχαλ ϖαλυεσ προδυχε γοοδ περφορmανχε.
Οϖεραλλ, γιϖεν τηε εξιστινγ ρεσυλτσ, ιτ αππεαρσ τηατ, ωηετηερ ρεστριχτεδ ορ υνρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ αρε υσεδ, βοοτστραπ ϖερσιονσ οφ σεριαλ χορρελατιον τεστσ αρε ωελλ−βεηαϖεδ υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ. Μορεοϖερ, ποωερ χοmπαρισονσ σεεm το γιϖε σοmε συππορτ το τηε υσε οφ υνρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ ιν πρεφερενχε το ρεστριχτεδ ρεσιδυαλσ; σεε Μανταλοσ (2003). Ηοωεϖερ, τηερε αρε ισσυεσ τηατ ινδιχατε τηε νεεδ φορ αδδιτιοναλ ρεσεαρχη ανδ τηε φολλοωινγ αρε αδδρεσσεδ ιν τηισ παπερ.
Φιρστ, τηε εξιστινγ στυδιεσ ηαϖε χονχεντρατεδ ον εξπεριmενταλ δεσιγνσ ιν ωηιχη, υνδερ τηε αλτερνατιϖε, τηε ερρορσ αρε νορmαλλψ διστριβυτεδ ανδ φολλοω α …ρστ−ορδερ αυτορεγρεσσιον. Τηισ ρεστριχτιϖε ερρορ mοδελ ισ, ηοωεϖερ, τηε ονε υσεδ ιν Dυρβιν ανδ Wατσον (1950, 1951). Τηερε σεεmσ λιττλε ϕυστι…χατιον φορ αδοπτινγ ιτ ωηεν εξαmινινγ βοοτστραπ ϖερσιονσ οφ ΛΜ τεστσ τηατ ωερε δεϖελοπεδ φορ υσε ιν mορε γενεραλ χιρχυmστανχεσ. Ονε πυρποσε οφ τηισ παπερ ισ, τηερεφορε, το προϖιδε εϖιδενχε φορ ηιγηερ−ορδερ αυτοχορρελατιον mοδελσ ωιτη νοννορmαλ διστυρβανχεσ.
ινχορρεχτ. Μορεοϖερ, εϖεν ιφ τηε ορδερ ηασ βεεν σελεχτεδ χορρεχτλψ, τηε υσε οφ αν αυτορεγρεσσιον mαψ λεαδ το mισλεαδινγ ινφερενχεσ ιφ τηε τρυε ερρορ προχεσσ ισ mοϖινγ αϖεραγε. Χονσεθυεντλψ ιτ ισ ιmπορταντ το ινϖεστιγατε τηε ροβυστνεσσ οφ αυτορεγρεσσιον−βασεδ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ mετηοδσ το mισσπεχι…χατιον οφ τηε αλτερνατιϖε mοδελ.
Τηε πλαν οφ τηε παπερ ισ ασ φολλοωσ. Τηε mοδελσ ανδ τεστσ αρε δισχυσσεδ ιν Σεχτιον 2. Τηε δεσιγν οφ σιmυλατιον εξπεριmεντσ ισ δεσχριβεδ ιν Σεχτιον 3. Τηε ρεσυλτσ φροm τηε εξπεριmεντσ αρε συmmαριζεδ ιν Σεχτιον 4. Φιναλλψ, Σεχτιον 5 χονταινσ σοmε χονχλυδινγ ρεmαρκσ.
2
Ρεγρεσσιον mοδελσ ανδ σεριαλ χορρελατιον τεστσ
Συπποσε τηατ δατα αρε γενερατεδ βψ τηε σταβλε δψναmιχ λινεαρ mοδελ
ψτ=Ψτ0 +Ξτ0 +υτ=Wτ0 +υτ; (1)
ωηερε: Ψτ0 = (ψτ 1; :::; ψτ Λ)ωιτηΛ 1; 0= ( 1; :::; Λ)ηασ ελεmεντσ συχη τηατ τηε ροοτσ οφ
ζΛ
1ζΛ 1
::: Λ= 0;
αρε αλλ στριχτλψ ινσιδε τηε υνιτ χιρχλε; Ξτ ισ αν Μ−ϖεχτορ οφ ρεγρεσσορσ τηατ αρε στριχτλψ εξογενουσ;
W0
τ = (Ψτ0; Ξτ0); ανδ 0 = ( 0; 0):Λετ Κ =Λ+Μ δενοτε τηε νυmβερ οφ ρεγρεσσιον χοε′χιεντσ ιν (1) ανδΝ δενοτε τηε νυmβερ οφ οβσερϖατιονσ αϖαιλαβλε φορ εστιmατιον. Τηε ερρορσ υτ αρε ασσυmεδ το βε χοϖαριανχε στατιοναρψ ωιτη ζερο mεαν ανδ ϖαριανχε 2
, ωιτη χοmmον χδφ Φυ. Ιτ ισ νοτ ασσυmεδ τηατ τηε ερρορσ αρε νορmαλλψ διστριβυτεδ. Ασ ιν Βρευσχη (1978), Dυρβιν (1970) ανδ Γοδφρεψ (1978), ιτ ισ χονϖενιεντ το ασσυmε τηατ
πλιmΝ 1 Ν Ξ
τ=1
WτWτ0
ισ α …νιτε ποσιτιϖε−δε…νιτε mατριξ. Ιτ ισ, ηοωεϖερ, ποσσιβλε το αλλοω τηε εξογενουσ ρεγρεσσορσ το βε νονστατιοναρψ ωιτηουτ χοmπροmισινγ τηε ασψmπτοτιχ ϖαλιδιτψ οφ σεριαλ χορρελατιον τεστσ; σεε Wοολδριδγε (1999).
Τηε νυλλ ηψποτηεσισ το βε τεστεδ ισ τηατ τηε ερρορσ υτ αρε σεριαλλψ υνχορρελατεδ. Αλλ τεστσ αρε χονστρυχτεδ υσινγ τηε ρεσυλτσ οφ ΟΛΣ εστιmατιον οφ (1). Λετ ⊥0 = (⊥0;⊥0) δενοτε τηε ΟΛΣ χοε′χιεντ εστιmατορ φορ (1) ανδ τηε τερmσυ⊥τ=ψτ Wτ0⊥βε τηε χορρεσπονδινγ ρεσιδυαλσ; τ= 1; :::; Ν. Υνδερ τηε ασσυmπτιονσ ανδ τηε νυλλ ηψποτηεσισ, τηε ΟΛΣ εστιmατορσ αρε χονσιστεντ ωιτη(⊥ )βεινγΟπ(Ν 1=2): Wηετηερ τηε αλτερνατιϖε ισ αΓτη−ορδερ αυτορεγρεσσιον, δενοτεδ βψ ΑΡ(Γ) ανδ ωριττεν ασ
υτ= Γ Ξ
ϕ=1
ϕυτ ϕ+ τ; τιιδ(0; 2
); (2)
ορ α Γτη−ορδερ mοϖινγ αϖεραγε, δενοτεδ βψ ΜΑ(Γ) ανδ ωριττεν ασ
υτ= Γ Ξ
ϕ=1
ϕ τ ϕ+ τ; τιιδ(0; 2
α συιταβλε ΛΜ τεστ χαν βε χοmπυτεδ ασ τεστ οφ = ( 1; :::; Γ)0= 0 ιν τηε αυγmεντεδ mοδελ
ψτ=Ψτ0 +Ξτ0 + ⊥Υτ0 +υτ=Wτ0 + ⊥Υτ0 +υτ; (4)
ιν ωηιχηΥ⊥0
τ= (⊥υτ 1; :::;υ⊥τ Γ)ανδυ⊥τ γ ισ σετ εθυαλ το ζερο φορτ γ:Λετ τηε ΟΛΣ εστιmατορσ φορ (4) βε ∼ = (∼0;∼0)0 ανδ ∼:Τηε ΛΜ τεστ ισ τηεν α χηεχκ οφ τηε ϕοιντ σιγνι…χανχε οφ τηε ελεmεντσ οφ ∼:Α λαργε σαmπλε τεστ βασεδ υπον τηε 2
Γ διστριβυτιον ισ υσεδ ιν Βρευσχη (1978) ανδ Γοδφρεψ (1978), βυτ τηε ρεσυλτσ ιν Κιϖιετ (1986) ινδιχατε τηατ τηε (ασψmπτοτιχαλλψ ϖαλιδ) στανδαρδ Φ−τεστ οφ (1) ϖερσυσ (4) ισ βεττερ βεηαϖεδ ιν …νιτε σαmπλεσ. Τηε λαττερ τεστ ισ δενοτεδ βψ ΛΜΦ.
Σινχε τηε λιmιτ νυλλ διστριβυτιον οφ ΛΜΦ ισ 2Γ=Γ, τηε Φ−στατιστιχ οφ Κιϖιετ (1986) ισ ασψmπτοτιχαλλψ πιϖοταλ, ι.ε., ιτσ ασψmπτοτιχ διστριβυτιον ισ ινδεπενδεντ οφ τηε νυισανχε παραmετερσ, ωηιχη αρε τακεν το ινχλυδε τηε ερρορ διστριβυτιον φυνχτιον Φυ. Τηε ρεσυλτσ οφ Βεραν (1988), τηερεφορε, ινδιχατε τηατ βοοτστραπ τεστσ mαψ ψιελδ mορε αχχυρατε ινφερενχεσ τηαν τηε ασψmπτοτιχ χηεχκσ. Α γενεραλ βοοτστραπ σχηεmε χαν βε ωριττεν ασ
ψτ = Λ Ξ
ϕ=1
ψτ ϕ•ϕ+Ξτ0• +υτ; τ= 1; :::; Ν; (5)
ιν ωηιχη: (ι) πρεσαmπλε ϖαλυεσ οφ ψ αρε σετ εθυαλ το τηοσε οφ ψ; (ιι) υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ, • = (•1; :::;•Λ)0 ανδ • αρε βοτη χονσιστεντ; ανδ (ιιι) υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ, τηε διστριβυτιον φυνχτιον οφ τηε βοοτστραπ ερρορσ υτ χονϖεργεσ ιν αν αππροπριατε (Μαλλοωσ) mετριχ το τηατ οφ τηε τρυε ερρορσυτ: Τηε χηοιχε οφ χονσιστεντ εστιmατορ φορ τηε ρεγρεσσιον χοε′χιεντσ ανδ τηε χηοιχε οφ σχηεmε υσεδ το οβταιν υτ mαψ βοτη ηαϖε σmαλλ σαmπλε ε¤εχτσ τηατ χαννοτ βε νεγλεχτεδ. Τηε αππροαχηεσ αδοπτεδ ιν τηε λιτερατυρε χαν βε συmmαριζεδ ασ φολλοωσ.
Φιρστ, περηαπσ τηε mοστ νατυραλ ωαψ ιν ωηιχη το mιmιχ τηε τρυε δατα προχεσσ υνδερ τηε νυλλ ηψ− ποτηεσισ ισ το υσε τηε ΟΛΣ εστιmατορσ ⊥ ανδ ⊥ φροm (1) φορ • ανδ •, ρεσπεχτιϖελψ, ωιτη τηε βοοτστραπ ερρορσυτ βεινγ οβταινεδ βψ σιmπλε ρανδοm σαmπλινγ ωιτη ρεπλαχεmεντ φροm τηε εmπιριχαλ διστριβυτιον φυνχτιον
⊥
Φυρ:προβαβιλιτψ 1
Ν ονυ⊥τ; τ= 1; :::; Ν: (6) Τηισ χοmβινατιον γιϖεσ τηε ρεστριχτεδ (νυλλ ηψποτηεσισ) βοοτστραπ mοδελ
ψτ = Λ Ξ
ϕ=1
ψτ ϕ⊥ϕ+Ξτ0⊥ +υτ; τ= 1; :::; Ν; (7)
ωιτη υτ βεινγ δεριϖεδ υσινγ (6). Ιφ (1) δοεσ νοτ χονταιν αν ιντερχεπτ τερm, τηε σαmπλε mεαν οφ τηε ΟΛΣ ρεσιδυαλσ σηουλδ βε συβτραχτεδ φροm εαχη ⊥υτ βεφορε ιτ ισ υσεδ ιν (6). Μεαν−αδϕυστmεντ ισ αλσο ρεθυιρεδ ιφ τηε ΟΛΣ ρεσιδυαλσ υ⊥τ αρε mοδι…εδ βψ βεινγ διϖιδεδ βψ τηε σθυαρε ροοτ οφ (1 ηττ), ωηερε
ηττ ισ τηε λεϖεραγε ϖαλυε.
Λετ τηε Ις παραmετερ εστιmατορσ ανδ ρεσιδυαλσ βε δενοτεδ βψ , ανδυτ, ρεσπεχτιϖελψ. Ιν ορδερ το δεριϖε αν υνρεστριχτεδ βοοτστραπ σχηεmε, ιτ ρεmαινσ το σπεχιφψ ηοω το οβταινυτ. Αν ΑΡ(1) αλτερνατιϖε ισ ασσυmεδ ιν Ραψνερ (1993) ανδ α γενεραλιζατιον φορ τηε ΑΡ(Γ) χασε ινϖολϖεσ αππλψινγ ΟΛΣ το
υτ= 1υτ 1+:::+ Γυτ Γ+ετ: (8)
Λετ τηε ρεσιδυαλσ δεριϖεδ φροm ΟΛΣ εστιmατιον οφ (8) βε δενοτεδ βψ ετ:Τηε υνρεστριχτεδ (αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ) βοοτστραπ mοδελ ισ
ψτ = Λ Ξ
ϕ=1
ψτ ϕ ϕ+Ξτ0 +υτ;
ωιτη υτ βεινγ οβταινεδ βψ σιmπλε ρανδοm σαmπλινγ ωιτη ρεπλαχεmεντ φροm τηε εmπιριχαλ διστριβυτιον φυνχτιον
Φυυ:προβαβιλιτψ 1
Ν ονε
χ
τ; τ= 1; :::; Ν; (9) ωηερε εχ
τ ισ τηε χεντρεδ (δεmεανεδ) ϖερσιον οφ ετ. Τηε βοοτστραπ τεστ ΛΜΦ ισ τηεν χαλχυλατεδ υσινγ τηεσε αρτι…χιαλ οβσερϖατιονσψτ ανδ τηε βοοτστραπ χουντερπαρτσ οφ (1) ανδ (4).
Σινχε τηισ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ ρεθυιρεσ βοτη Ις ανδ ΟΛΣ εστιmατιον οφ (1), ανδ τηε ΟΛΣ …ττινγ οφ (8), ιτ ηασ α ηιγηερ χοmπυτατιοναλ χοστ τηαν τηε ρεστριχτεδ βοοτστραπ. Τηε ασψmπτοτιχ τηεορψ οφ Βεραν (1988) δοεσ νοτ πρεδιχτ τηατ τηε υνρεστριχτεδ mετηοδ ωιλλ ενϕοψ ανψ αδϖανταγε ιν τερmσ οφ αππροξιmατινγ τηε ρεθυιρεδ σιγνι…χανχε λεϖελ. (Ινδεεδ, ιν α στυδψ οφ παραmετριχ βοοτστραπ τεστσ αππλιεδ το ασψmπτοτιχαλλψ νορmαλ πιϖοτσ, Λεε ανδ Ψουνγ αργυε τηατ νυισανχε παραmετερσ σηουλδ βε ρεπλαχεδ βψ τηειρ ρεστριχτεδ εστιmατεσ; σεε Λεε ανδ Ψουνγ, 2005.) Ασ νοτεδ ιν ΜαχΚιννον (2002, π. 621), σοmε ρεσεαρχηερσ ηαϖε αργυεδ τηατ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ σχηεmεσ ωιλλ προδυχε τεστσ ωιτη βεττερ ποωερ τηαν τηοσε φροm ρεστριχτεδ σχηεmεσ, βυτ τηε αϖαιλαβλε Μοντε Χαρλο εϖιδενχε ισ mιξεδ. Αλσο τηερε αρε δι′χυλτιεσ ωιτη αππλψινγ συχη αργυmεντσ το τεστσ φορ σεριαλ χορρελατιον (ανδ mορε γενεραλλψ το τεστσ φορ mισσπεχι…χατιον).
Ιν τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ mοδελ αππροαχη οφ Ραψνερ (1993), τηε παραmετερσ οφ τηε χονδιτιοναλ βοοτστραπ λαω αρε εστιmατορσ φροm οβσερϖεδ δατα τηατ αρε χονσιστεντ ιν τηε σπεχι…εδ υνχονδιτιοναλ …ξεδ αλτερνατιϖε mοδελ. Τηισ φεατυρε mιγητ βε τηουγητ το ψιελδ ρεσιδυαλσ τηατ γιϖε α βεττερ αππροξιmατιον το τηε διστριβυτιον οφ τηε ερρορ τερmσ υνδερ τηε αλτερνατιϖε. Ηοωεϖερ, ιτ ισ ωελλ−κνοων τηατ τηερε ισ mορε τηαν ονε αλτερνατιϖε τηατ λεαδσ το ΛΜΦ; σεε, ε.γ., Γοδφρεψ (1988, Σεχτιον 4.4.1). Χονσεθυεντλψ τηε υσε οφ τηε …ττεδ αυτορεγρεσσιον (8) mαψ βε ινϖαλιδ υνδερ …ξεδ αλτερνατιϖεσ. Ιφ τηε υτ ωερε γενερατεδ βψ α ΜΑ(Γ) προχεσσ, τηε ρεσιδυαλσεχτυσεδ ιν (9) ωουλδ βε ιναππροπριατε; σεε Σχηωερτ (1987) φορ χοmmεντσ ον τηε δανγερσ οφ ρελψινγ ον πυρε αυτορεγρεσσιονσ. Ραmσεψ’σ χριτιχισm οφ τηε υσε οφ σπεχι…χ αλτερνατιϖε mοδελσ σεεmσ περτινεντ ιν τηε χοντεξτ οφ σεριαλ χορρελατιον τεστσ; σεε Ραmσεψ (1983, π. 243−244). Τηυσ τηερε mυστ βε δουβτσ αβουτ τηε γενεραλ υσεφυλνεσσ οφ τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ οφ Ραψνερ (1993).
Τηεσε δουβτσ εξπρεσσεδ αβουτ τηε υσε οφ αν υνρεστριχτεδ βοοτστραπ ωιτη ΛΜΦ, ορ ωιτη ανψ οτηερ τεστ φορ mισσπεχι…χατιον, σηουλδ νοτ βε τακεν ασ αππλψινγ το τηε προχεδυρεσ στυδιεδ ιν ϖαν Γιερσβεργεν ανδ Κιϖιετ (2002). Τηε αλτερνατιϖε mοδελ ιν ϖαν Γιερσβεργεν ανδ Κιϖιετ (2002) ισ α ρεγρεσσιον mοδελ συχη ασ (1) ανδ τηε νυλλ mοδελ ισ δεριϖεδ βψ ιmποσινγ λινεαρ ρεστριχτιονσ ον ιτσ χοε′χιεντσ. Ιν τηισ φραmεωορκ, τηερε ισ νο νεεδ το ωορρψ αβουτ α φαmιλψ οφ λοχαλλψ εθυιϖαλεντ αλτερνατιϖεσ ανδ τηε παυχιτψ οφ ινφορmατιον το γυιδε τηε χορρεχτ χηοιχε φροm τηισ φαmιλψ.
Μανταλοσ (2003). Τηε αλτερνατιϖε υσεδ ιν Μανταλοσ (2003) ισ τηε ΑΡ(1) mοδελ. Α γενεραλιζατιον τηατ αλλοωσ φορ τηεΓτη−ορδερ αλτερνατιϖε χονσιστσ οφ τηε φολλοωινγ στεπσ.
1. Εστιmατε (1) βψ ΟΛΣ το οβταιν ⊥, ⊥ ανδ τηε ρεσιδυαλσυ⊥τ: 2. Εστιmατε (4) βψ ΟΛΣ το οβταιν ∼, ∼, ∼ ανδ τηε ρεσιδυαλσυ∼τ:
3. Dραω ε1; :::; εΝ βψ σιmπλε ρανδοm σαmπλινγ ωιτη ρεπλαχεmεντ φροm τηε εmπιριχαλ διστριβυτιον φυνχτιον
∼
Φυυ:προβαβιλιτψ 1
Ν ονυ∼
χ
τ; τ= 1; :::; Ν; (10) ωηερευ∼χ
τισ τηε χεντρεδ (δεmεανεδ) ϖερσιον οφ υ∼τ: ασψmπτοτιχαλλψ νεγλιγιβλε mοδι…χατιονσ οφ τηε λαττερ ρεσιδυαλσ (ασ δεσχριβεδ, ε.γ., βψ ΜαχΚιννον, 2002, π. 620) αρε υσεδ ιν Μανταλοσ (2003).
4. Γιϖενε1; :::; εΝ φροm στεπ 3, γενερατε τηε βοοτστραπ ερρορσυτ ρεχυρσιϖελψ υσινγ
υτ = Γ Ξ
ϕ=1 ∼ϕυ
τ ϕ+ετ; (11)
ωιτη ρεθυιρεδ σταρτινγ ϖαλυεσ σετ εθυαλ το ζερο. 5. Γενερατε βοοτστραπ δατα υσινγ
ψτ = Λ Ξ
ϕ=1
ψτ ϕ∼ϕ+Ξτ0∼ +υτ; τ= 1; :::; Ν; (12)
ιν ωηιχη τηε βοοτστραπ ερρορσ αρε γιϖεν βψ (11).
6. Τηε βοοτστραπ ϖαλυε οφ τηε Βρευσχη−Γοδφρεψ ΛΜΦ στατιστιχ, δενοτεδ βψ ΛΜΦ;ισ τηεν οβταινεδ βψ τεστινγ Η0 : = ∼; νοτ Η0 : = 0; ιν τηε βοοτστραπ χουντερπαρτ οφ (4); σεε ϖαν Γιερσβεργεν ανδ Κιϖιετ (2002, Σεχτιον 1.2). Τηε ΟΛΣ εστιmατορσ οφ τηε χοε′χιεντσ οφ τηε βοοτστραπ ϖερσιον οφ τηε αρτι…χιαλ αλτερνατιϖε (4) αρε δενοτεδ βψ ∼ ανδ∼ .
Ιν τηε ϖερσιον οφ αν υνρεστριχτεδ βοοτστραπ γιϖεν βψ στεπσ 1 το 6, τηερε ισ νο νεεδ το εmπλοψ Ις, ασ ωελλ ασ ΟΛΣ, εστιmατιον. Τηισ σαϖινγ ρε‡εχτσ τηε φαχτ τηατ (4) ισ βεινγ υσεδ ασ αν αππροξιmατιον το τηε σπεχι…εδ αλτερνατιϖε. Τηε αππροξιmατιον ισ ασψmπτοτιχαλλψ ϖαλιδ υνδερ λοχαλ αλτερνατιϖεσ ιν ωηιχη παραmετερσ τηατ αρε υνδερ τεστ αρεΟ(Ν 1=2
), ρατηερ τηανΟ(1);σεε Γοδφρεψ (1981). Τηυσ τηε χοε′χιεντσ τηατ δετερmινε τηε παττερν οφ ερρορ αυτοχορρελατιον αρε γιϖεν βψ α Πιτmαν−τψπε δριφτ, ρατηερ τηαν βεινγ …ξεδ χονσταντσ. Υνδερ αν αρτι…χιαλ σεθυενχε οφ αλτερνατιϖεσ τηατ αρε δριφτινγ τοωαρδσ τηε νυλλ mοδελ ατ τηε σπεχι…εδ ρατε ιν τηε υνχονδιτιοναλ (ρεαλ ωορλδ) λαω, τηε ΟΛΣ εστιmατορσ φορ (4) αρε χονσιστεντ ανδ, ιν παρτιχυλαρ, ∼ τενδσ το α νυλλ ϖεχτορ σο τηατ (11) ρεπρεσεντσ α λοχαλ αλτερνατιϖε ιν τηε χονδιτιοναλ (βοοτστραπ) ωορλδ. Ηοωεϖερ, τηε λοχαλ ασψmπτοτιχ τηεορψ οφ Πιτmαν δριφτσ mαψ προϖιδε α ποορ αππροξιmατιον το αχτυαλ βεηαϖιουρ ιν …νιτε σαmπλεσ δραων φροm τηε βοοτστραπ ποπυλατιον ωηεν οβσερϖεδ σεριαλ χορρελατιον ισ νοτ ωεακ; σεε Εαστωοοδ ανδ Γοδφρεψ (1992, Σεχτιον 4.2) φορ α πιλοτ Μοντε Χαρλο στυδψ ον συχη αππροξιmατιονσ φορ τηε αχτυαλ ποπυλατιον.
Ιν ορδερ το γαιν σοmε ινσιγητ ιντο τηε ποσσιβλε ε¤εχτσ οφ ποορ αππροξιmατιονσ ιν τηε σχηεmε οφ Μανταλοσ (2003), χονσιδερ τηε χονσεθυενχεσ οφ ιντερπρετινγ ∼ ιν τηε βοοτστραπ ωορλδ ασ βεινγ α …ξεδ ϖεχτορ οφ χονσταντσ, ρατηερ τηαν βεινγ Ο(Ν 1=2
υνδερ …ξεδ αυτοχορρελατιον αλτερνατιϖεσ, τηε ΟΛΣ εστιmατορσ οφ τηε βοοτστραπ χουντερπαρτ οφ (4) αρε ινχονσιστεντ ωιτη.
πλιm ∼ 6= ∼;
ιν ωηιχη πλιm δενοτεσ α βοοτστραπ προβαβιλιτψ λιmιτ τακεν ασΝ ! 1 υνδερ (11) ανδ (12). Ασ α ρεσυλτ οφ τηισ ινχονσιστενχψ, τηε βοοτστραπ τεστ στατιστιχ ΛΜΦ ισΟπ(Ν)ωηενΗ0 : = ∼ισ τρυε, ωηερε
Οπ( )δενοτεσ α στοχηαστιχ ορδερ οφ mαγνιτυδε ιν τηε βοοτστραπ ωορλδ. Ιν χοντραστ, υνδερΗ0: = 0, ΛΜΦ ισ Οπ(1) ωιτη ιτσ λιmιτ νυλλ διστριβυτιον βεινγ 2(Γ)=Γ: Τηυσ, ιφ …ξεδ αυτοχορρελατιον mοδελ παραmετερσ ωερε ασσιγνεδ το τηε βοοτστραπ ωορλδ, τηε χονδιτιοναλ λαω προβαβιλιτψ τηατ ΛΜΦ εξχεεδσ ΛΜΦ ωουλδ τενδ το υνιτψ ασ Ν ! 1, αλονγ αλmοστ αλλ σαmπλε σεθυενχεσ. Σινχε Η0 : = 0ισ το βε ρεϕεχτεδ ωηεν τηε εστιmατεδ π−ϖαλυε οφ ΛΜΦ ισ σmαλλ, τηε υνρεστριχτεδ προχεδυρε βασεδ ον στεπσ 1−6 mαψ λεαδ το τηε τρυε νυλλ ηψποτηεσισ βεινγ ρεϕεχτεδ λεσσ φρεθυεντλψ τηαν δεσιρεδ ιν …νιτε σαmπλεσ, ιφ ασψmπτοτιχ λοχαλ τηεορψ φαιλσ το προϖιδε α γοοδ αππροξιmατιον ιν τηε βοοτστραπ ωορλδ.
3
Μοντε Χαρλο δεσιγν
Τηε Μοντε Χαρλο δατα γενερατιον προχεσσ χορρεσπονδινγ το (1) ισ οβταινεδ υσινγΛ=Μ = 2;σο τηατ Κ= 4:Ιτ ισ ωριττεν ασ
ψτ= 1ψτ 1+ 2ψτ 2+ 1+ 2ξτ+υτ; τ= 1; :::; Ν; (13)
ιν ωηιχη Ν ισ ειτηερ 40 ορ 80. Υνδερ τηε νυλλ, τηε υτ αρε ιιδ(0; 2). Τηισ προχεσσ ηασ βεεν υσεδ ιν Dεζηβακηση (1990), Dεζηβακηση ανδ Τηυρσβψ (1995) ανδ Γοδφρεψ ανδ Τρεmαψνε (2005); παραmετερ ϖαλυεσ ιν (13) αρε σπεχι…εδ ασ ιν τηεσε εαρλιερ παπερσ. Τηε ϖαλυεσ οφ ( 1; 2)αρε (0.5, 0.3), (0.7, −0.2), (1.0, −0.2), (1.3, −0.5), (0.9, −0.3) ανδ (0.6, 0.2), ωηιχη αλλ σατισφψ τηε χονδιτιονσ φορ δψναmιχ σταβιλιτψ. Τηε ϖαλυε οφ ( 1; 2)ισ (1, 1) ιν αλλ χασεσ. Τηε ϖαλυεσ οφ
2
αρε 1, 10 ανδ 100. Τηε ΟΛΣ εστιmατεσ οφ τηε παραmετερσ οφ (13) αρε δενοτεδ βψ ⊥1;⊥2;⊥1 ανδ⊥2.
Τηε νυλλ ηψποτηεσισ οφ σεριαλλψ υνχορρελατεδ ερρορσ ισ τεστεδ ωιτη Γ = 4; σο τηατ τηε τεστ mοδελ χορρεσπονδινγ το (4) ισ
ψτ= 1ψτ 1+ 2ψτ 2+ 1+ 2ξτ+ 4 Ξ
ϕ=1
ϕυ⊥τ ϕ+ερρορ; (14)
ιν ωηιχη τηε τερmσυ⊥τ ϕ αρε τηε λαγγεδ ρεσιδυαλσ φροm τηε ΟΛΣ εστιmατιον οφ (13). Τηε ΟΛΣ εστιmατε οφ ( 1; 2)φροm (14) ισ δενοτεδ βψ (∼1;∼2). Α τεστ οφ (13) αγαινστ (14) χορρεσπονδσ το τηε κινδ οφ σεριαλ χορρελατιον χηεχκ τηατ mιγητ βε υσεδ ωηεν ωορκινγ ωιτη θυαρτερλψ δατα.
Γενυινε δατα αρε υσεδ φορ ϖαλυεσ οφ τηε εξογενουσ ρεγρεσσορ ξτ ιν Ραψνερ (1993). Ηοωεϖερ, τηισ αππροαχη ιmπλιεσ τηατ τηισ ρεγρεσσορ ισ …ξεδ ιν ρεπεατεδ σαmπλινγ οϖερ τηε Μοντε Χαρλο ρεπλιχατιονσ. Γιϖεν τηατ τηε αιm ισ το οβταιν Μοντε Χαρλο εϖιδενχε ρελεϖαντ το νον−εξπεριmενταλ ρεγρεσσιον δατα αναλψσισ, τηισ ιmπλιχιτ χονδιτιονινγ σεεmσ υνδεσιραβλε. Ασ ιν σεϖεραλ οτηερ στυδιεσ, ξτισ γενερατεδ βψ α σταβλε ΑΡ(1) προχεσσ, ι.ε.,
ξτ= ξξτ 1+ τ;ϕ ξϕ<1; τΝ ΙD(0; 2
Ιν εξπεριmεντσ τηατ αρε νοτ ρεπορτεδ ηερε, ιτ ισ φουνδ τηατ υσινγ α σιmπλε ΑΡ(4) mοδελ,
ξτ= ξξτ 4+ τ;ϕ ξϕ<1; τΝ ΙD(0; 2
); (16)
δοεσ νοτ λεαδ το ιmπορταντ δι¤ερενχεσ ιν ρεσυλτσ. Τηε ρεσυλτσ δισχυσσεδ βελοω αρε οβταινεδ υσινγ
ξ = 0:7 ανδ 2
σελεχτεδ σο τηατ ς αρ(ξτ) = 1: Ιν ορδερ το οβταιν Ις εστιmατορσ φορ (13) τηατ αρε χονσιστεντ υνδερ α σεριαλ χορρελατιον αλτερνατιϖε, ξτ; ξτ 1; ξτ 2 ανδ αν ιντερχεπτ τερm αρε υσεδ ασ ινστρυmεντσ. Τηε χορρεσπονδινγ Ις εστιmατε οφ ( 1; 2)φροm (13) ισ δενοτεδ βψ( 1; 2).
Τηε ερρορ τερmσ υτ οφ (13) αρε γενερατεδ βψ σπεχιαλ χασεσ οφ τηε mιξεδ αυτορεγρεσσιϖε−mοϖινγ αϖεραγε ΑΡΜΑ(5, 5) mοδελ
υτ= 5 Ξ
ϕ=1
ϕυτ ϕ+ τ+ 5 Ξ
ϕ=1
ϕ τ ϕ; (17)
ιν ωηιχη τηε ταρε ινδεπενδεντλψ ανδ ιδεντιχαλλψ διστριβυτεδ (ιιδ) ωιτη ζερο mεαν ανδ ϖαριανχε 2:Αλλ πρε−σαmπλε ϖαλυεσ φορ (17) αρε σετ εθυαλ το ζερο. Σιmιλαρλψ σταρτινγ ϖαλυεσ φορ ψ ανδξαρε σετ εθυαλ το τηειρ ρεσπεχτιϖε υνχονδιτιοναλ mεανσ. Τηε ε¤εχτσ οφ τηισ στανδαρδ χοmπυτατιοναλ δεϖιχε αρε ρεδυχεδ βψ γενερατινγ Ν+ 50οβσερϖατιονσ ανδ τηεν υσινγ τηε λαστ Ν οφ τηεm.
Μοδελ (17) ισ συ′χιεντλψ γενεραλ το προϖιδε εϖιδενχε αβουτ σεϖεραλ ασπεχτσ οφ τηε περφορmανχε οφ τηε ασψmπτοτιχ ανδ βοοτστραπ τεστσ δεριϖεδ φροm (13) ανδ (14). Βψ αππροπριατε χηοιχεσ οφ τηε χοε′χιεντσ οφ (17), ρεϕεχτιον ρατεσ χαν βε εστιmατεδ: υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ; υνδερ αν ΑΡ(4) σχηεmε, ασ ισ υσεδ ιν τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ; ανδ υνδερ σεριαλ χορρελατιον mοδελσ τηατ αρε νοτ ΑΡ(4).
Τηε ιιδ ερρορ τερm τ οφ (17) ισ δραων φροm τηρεε διστριβυτιονσ. Φολλοωινγ τηε πρεϖιουσ στυδιεσ οφ ρεστριχτεδ ανδ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ σεριαλ χορρελατιον τεστσ, τηε Νορmαλ διστριβυτιον ισ υσεδ. Τηε οτηερ τωο χηοιχεσ γιϖε σψmmετριχ ανδ ασψmmετριχ νοννορmαλ διστριβυτιονσ. Τηε φορmερ ινϖολϖεσ δραωινγ ιιδ τερmσ φροm ατ(5)διστριβυτιον ανδ τηεν τρανσφορmινγ τηεm το ηαϖε τηε ρεθυιρεδ ποπυλατιον mεαν ανδ ϖαριανχε. Φορ τηε λαττερ, τηε 2
(8)διστριβυτιον ισ τηε σουρχε οφ τηε δραωινγσ τηατ αρε τρανσφορmεδ. Τεστσ αρε ιmπλεmεντεδ ιν π−ϖαλυε φορm. Τηε π−ϖαλυε φορ τηε προχεδυρε οφ Κιϖιετ (1986) ισ
Φ Π ς = Πρ(Φ(4; Ν 8) ΛΜοβσΦ );
φορ Ν = 40;80, ιν ωηιχη ΛΜοβσ
4
Μοντε Χαρλο ρεσυλτσ
Ιν τηε δισχυσσιον οφ τηε Μοντε Χαρλο ρεσυλτσ, ιτ ισ υσεφυλ το ηαϖε α χοδε φορ χοmβινατιονσ οφ ( 1; 2) ανδ τηε ερρορ διστριβυτιον. Τηε χοδε σψστεm ισ γιϖεν ιν Ταβλε 1. Φορ εξαmπλε, α χασε ωιτη χοδε 2Β ηασ ( 1; 2) =(0.7, −0.2) ανδ ερρορσ δεριϖεδ φροm τηετ(5)διστριβυτιον.
Ταβλε 1
Χοδεσ φορ χοmβινατιον οφ( 1; 2)ανδ ερρορ διστριβυτιον 1 ( 1; 2) = (0:5;0:3)
2 ( 1; 2) = (0:7; 0:2) 3 ( 1; 2) = (1:0; 0:2) 4 ( 1; 2) = (1:3; 0:5) 5 ( 1; 2) = (0:9; 0:3) 6 ( 1; 2) = (0:6;0:2)
Α ερρορ διστριβυτιον φροm Νορmαλ Β ερρορ διστριβυτιον φροmτ(5) Χ ερρορ διστριβυτιον φροm 2
(8)
Βεφορε εξαmινινγ εστιmατεσ οφ σιγνι…χανχε λεϖελσ, χονσιδερ …ρστ τηε ρεσυλτσ τηατ σηεδ λιγητ ον ηοω φρεθυεντλψ βοοτστραπ τεστσ αρε αππλιχαβλε. Τηε προπορτιον οφ ρεπλιχατιονσ ιν ωηιχη τηε εστιmατεσ οφ ( 1; 2) ρεθυιρεδ φορ δε…νινγ τηε βοοτστραπ ποπυλατιον αρε χονσιστεντ ωιτη στατιοναριτψ ισ αν οβϖιουσ ινδεξ οφ αππλιχαβιλιτψ. Συχη προπορτιονσ, mεασυρεδ ιν περχενταγε τερmσ, αρε ρεφερρεδ το ασ αππλιχαβιλιτψ ρατιοσ. Περυσαλ οφ τηε ρεσυλτσ ινδιχατεσ τηατ αππλιχαβιλιτψ ρατιοσ αρε νοτ ϖερψ σενσιτιϖε το τηε χηοιχε οφ ερρορ διστριβυτιον φροm Α, Β ανδ Χ οφ Ταβλε 1. Ασ α ρεπρεσεντατιϖε σαmπλε, ρεσυλτσ ον αππλιχαβιλιτψ φορ χασεσ ωιτη Νορmαλ ερρορσ αρε ρεπορτεδ ιν Ταβλε 2. Ταβλε 2 ηασ 18 γρουπσ οφ ρεσυλτσ, εαχη χορρεσπονδινγ το α χοmβινατιον οφ βοοτστραπ τεστ (3 τψπεσ),Ν (2 ϖαλυεσ) ανδ 2
Ταβλε 2
Αππλιχαβιλιτψ ρατιοσ (περχενταγεσ) φορ Νορmαλ ερρορσ Ν = 40ωιτη 2
= 1 2
= 10 2
= 100
ΡΕΣ 100.0,100.0,100.0, 99.9,100.0,100.0, 99.8,100.0,100.0, τεστ 100.0,100.0,100.0 100.0,100.0,99.9 100.0,100.0,99.9
ΡΥ Ρ 90.9,96.6,92.1, 49.7,58.7,53.7, 33.4,38.2,35.5, τεστ 86.9,95.0,92.4 49.7,57.7,51.4 36.3,38.0,33.6
Μ Υ Ρ 97.8,99.8,99.4, 72.3,79.7,79.8, 58.3,63.7,64.5, τεστ 99.7,99.8,98.4 86.0,82.8,73.7 75.3,68.5,58.1
Ν = 80ωιτη 2
= 1 2
= 10 2
= 100
ΡΕΣ 100.0,100.0,100.0, 100.0,100.0,100.0, 100.0,100.0,100.0, τεστ 100.0,100.0,100.0 100.0,100.0,100.0 100.0,100.0,100.0
ΡΥ Ρ 98.7,99.6,99.1, 63.2,74.1,67.1, 36.5,42.3,39.0, τεστ 96.0,99.2,99.0 62.0,71.3,65.4 38.7,41.8,36.2
Μ Υ Ρ 99.9,100.0,100.0, 85.7,91.1,92.1, 65.2,67.6,72.1, τεστ 100.0,100.0,100.0 95.8,92.8,87.6 84.1,74.9,65.3
Ασ χαν βε σεεν φροm Ταβλε 2, τηερε αρε ιmπορταντ δι¤ερενχεσ βετωεεν τηε αππλιχαβιλιτψ ρατιοσ φορ τηε τηρεε δι¤ερεντ βοοτστραπ τεστσ. Τηε ρεστριχτεδ βοοτστραπ χηεχκ ΡΕΣ ισ αλmοστ αλωαψσ αϖαιλαβλε ωηατεϖερ τηε χοmβινατιον οφ Ν ανδ 2
. Τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ, ηοωεϖερ, φαιλ το mατχη τηισ λεϖελ οφ περφορmανχε. Ινστεαδ τηε ϖαλυε οφ 2
ισ ασσοχιατεδ ωιτη συβσταντιαλ ε¤εχτσ. Ασ 2
ινχρεασεσ σο δοεσ τηε ρελατιϖε φρεθυενχψ ωιτη ωηιχη εστιmατεσ οφ ( 1; 2)ιmπλψ δψναmιχαλλψ υνσταβλε βοοτστραπ δατα προχεσσεσ. Τηε προβλεmσ ωιτη τηε Ις−βασεδ προχεδυρε ΡΥ Ρδεριϖεδ φροm Ραψνερ (1993) αρε σο mαρκεδ τηατ ιτ ισ δι′χυλτ το ρεχοmmενδ ιτ ασ α τοολ φορ γενεραλ υσε ιν αππλιεδ ωορκ. Τηε αππλιχαβιλιτψ οφ τηε Μανταλοσ−τψπε τεστΜ Υ Ρισ νοτ σο σεϖερελψ ιmπαιρεδ βψ ερρορ ϖαριανχε ινχρεασεσ, βυτ τηε ε¤εχτσ οφ συχη ινχρεασεσ αρε νοτ νεγλιγιβλε.
Τηε σενσιτιϖιτψ οφ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ το ϖαριατιονσ ιν 2
χαν βε δισχυσσεδ αφτερ ρεωριτινγ (13) ασ
ψτ= (Β)στ+ (Β)ατ; (18) ιν ωηιχη: Β ισ τηε βαχκωαρδ σηιφτ οπερατορ, ωιτη Βϕψ
τ =ψτ ϕ; (Β) = 1 + 1Β+ 2Β 2
+::: = (1 1Β 2Β
2 ) 1
;στ= 1+ 2ξτ;ανδατ= 1
υτ:Ιν τηισ ρεπρεσεντατιον οφ τηε δατα προχεσσ,στ ανδαταρε υνχορρελατεδ ωιτης αρ(στ) =ς αρ(ατ) = 1ιν αλλ εξπεριmεντσ. Ιτ φολλοωσ τηατ, ασ ινχρεασεσ, τηε ιmπορτανχε οφ τηε εξογενουσ χοmπονεντ (Β)στδεχρεασεσ ρελατιϖε το (Β)ατ:
Ιν τηε εξπεριmεντσ, Ραψνερ’σ ϖερσιον οφ τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστ υσεσ ξτ 1ανδ ξτ 2 ασ ινστρυmεντσ φορ ψτ 1 ανδψτ 2. Φροm (18), τηεσε ινστρυmεντσ αρε ονλψ χορρελατεδ ωιτη τηε χοmπονεντ (Β)στ ϕ οφ ψτ ϕ; ϕ = 1;2, Ηενχε, ασ ινχρεασεσ ιν mακε τηε εξογενουσ χοmπονεντσ λεσσ ανδ λεσσ ιmπορταντ, α τψπε οφ ωεακ ινστρυmεντσ προβλεm ισ αππροαχηεδ ανδ ιτ ισ νοτ συρπρισινγ τηατ Ις εστιmατεσ αρε νοτ χλοσε το τηε χορρεσπονδινγ τρυε παραmετερ ϖαλυεσ.
(14) το δε…νε τηε βοοτστραπ προχεσσ. Υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ, τηε εστιmατορσ φροm (14) αρε ινε′χιεντ ρελατιϖε το τηοσε φορ (13): τηε λαττερ προϖιδε τηε παραmετερ ϖαλυεσ φορ τηε ρεστριχτεδ βοοτστραπ. Τηε δεγρεε οφ ασψmπτοτιχ ϖαριανχε ιν‡ατιον δεπενδσ υπον τηε εξτεντ το ωηιχηψτ 1ανδψτ 2αρε ∀εξπλαινεδ∀ ιν λινεαρ ρεγρεσσιονσ βψ υτ 1; υτ 2; υτ 3 ανδ υτ 4. Χονσεθυεντλψ (18) ιmπλιεσ τηατ τηε ε¤εχτσ οφ ασψmπτοτιχ ϖαριανχε ιν‡ατιον ινχρεασε ασ ινχρεασεσ. Τηεσε ε¤εχτσ mαψ βε ρε‡εχτεδ ιν …νιτε σαmπλεσ βψ τηε γρεατερ φρεθυενχψ ωιτη ωηιχη(∼1;∼2)φροm (14) ιmπλψ νονστατιοναρψ ΑΡ(2) ρεγρεσσιον mοδελσ.
Τηε φαχτ τηατ τηε τεστΜ Υ Ρ ισ αϖαιλαβλε mορε οφτεν τηαν τηε τεστΡΥ Ρισ νοτ συ′χιεντ το ιmπλψ τηατ τηε φορmερ ισ ειτηερ ωελλ−βεηαϖεδ ορ συπεριορ το τηε λαττερ. Ιτ ισ ιmπορταντ το ινϖεστιγατε τηε δι¤ερενχεσ βετωεεν αχτυαλ ανδ δεσιρεδ νυλλ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ. Wηεν τηε Μοντε Χαρλο δατα προχεσσ ισ συχη τηατ αλλ τεστσ αρε υσυαλλψ αϖαιλαβλε, τηε εστιmατεσ φορ Μ Υ Ρ αρε περσιστεντλψ βελοω τηε δεσιρεδ ϖαλυεσ ανδ τηε εστιmατεσ φορ ΡΥ Ρσυγγεστ mυχη χλοσερ αγρεεmεντ. Τηε ποσσιβιλιτψ οφ λοω ρεϕεχτιον ρατεσ φορ Μ Υ Ρ ωασ δισχυσσεδ αβοϖε ανδ ιτ αππεαρσ τηατ, ιν τηεσε εξπεριmεντσ, ΑΡ ερρορ προχεσσεσ ιν τηε βοοτστραπ ωορλδ αρε νοτ αδεθυατελψ αππροξιmατεδ βψ τηε αρτι…χιαλ αλτερνατιϖε δεριϖεδ βψ αδδινγ λαγγεδ ρεσιδυαλσ το τηε οριγιναλ ρεγρεσσιον mοδελ. Ταβλε 3 χονταινσ ρεσυλτσ τηατ ιλλυστρατε τηεσε …νδινγσ.
Ταβλε 3
Εστιmατεδ νυλλ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ, ωιτη 2
= 1ανδ νοmιναλ σιγνι…χανχε λεϖελ οφ 5%
Ν = 40 Ν= 80
24114>#ρεπλιχατιονσ>21707 24899>#ρεπλιχατιονσ>23994
Φ Π ς ΡΕΣ ΡΥ Ρ Μ Υ Ρ Φ Π ς ΡΕΣ ΡΥ Ρ Μ Υ Ρ
Χασε 1Α 4.6 4.2 4.3 2.3 5.3 5.1 5.1 2.9
Χασε 1Β 4.5 4.2 4.2 2.3 4.8 4.9 4.9 2.7
Χασε 1Χ 4.5 4.3 4.3 2.3 4.8 4.8 4.8 2.6
Χασε 2Α 4.5 4.6 4.6 2.0 4.9 5.0 5.0 2.7
Χασε 2Β 4.2 4.6 4.5 1.9 4.5 4.9 4.9 2.7
Χασε 2Χ 4.2 4.4 4.3 1.9 4.6 5.0 4.9 2.6
Χασε 3Α 5.1 4.8 4.7 2.8 4.9 4.8 4.7 3.2
Χασε 3Β 4.4 4.3 4.1 2.5 4.6 4.8 4.7 3.3
Χασε 3Χ 4.6 4.4 4.3 2.5 4.8 4.8 4.8 3.2
Χασε 4Α 5.0 4.3 4.3 3.3 5.1 4.9 4.9 4.4
Χασε 4Β 4.7 4.3 4.2 3.4 4.7 4.7 4.8 4.1
Χασε 4Χ 4.9 4.3 4.3 3.4 4.9 4.9 4.8 4.1
Χασε 5Α 4.7 4.7 4.6 2.2 4.7 4.7 4.8 2.9
Χασε 5Β 4.1 4.3 4.2 2.2 4.7 5.0 5.0 3.2
Χασε 5Χ 4.3 4.6 4.3 2.0 4.4 4.7 4.6 2.8
Χασε 6Α 5.3 4.9 4.8 2.6 4.9 4.8 4.8 2.7
Χασε 6Β 4.6 4.4 4.2 2.4 4.8 5.0 4.9 2.8
Χασε 6Χ 4.8 4.5 4.5 2.3 4.8 5.0 4.9 2.6
Νοτε: Τηε χασε χοδεσ γιϖεν ιν τηε …ρστ χολυmν αρε δεριϖεδ φροm τηε χοδεσ οφ Ταβλε 1.
Τηε ρεσυλτσ ιν Ταβλε 3 αρε φορ τηε δατα προχεσσεσ δε…νεδ βψ χοmβινινγ τηε χασεσ οφ Ταβλε 1 ωιτη 2
= 1: Τηε υσε οφ 2
ρεπλιχατιονσ ιν ωηιχη αλλ τεστσ αρε αϖαιλαβλε αρε υσεδ το οβταιν τηε ρεσυλτσ οφ Ταβλε 3. Χονσεθυεντλψ τηε νυmβερ οφ ρεπλιχατιονσ ϖαριεσ ωιτη χασε ανδ σαmπλε σιζε. Τηε σmαλλεστ ανδ λαργεστ νυmβερσ οφ συχη ρεπλιχατιονσ αρε σηοων φορ εαχη σαmπλε σιζε ιν Ταβλε 3. Ατ ωορστ, τηερε αρε οϖερ 21000 ρεπλιχατιονσ, σο τηατ εστιmατιον σηουλδ βε συ′χιεντλψ πρεχισε φορ πραχτιχαλ πυρποσεσ.
Ρεϕεχτιον ρατεσ ιν Ταβλε 3 αρε δεριϖεδ ωιτη 2
= 1σο τηατ αλλ φουρ τεστσ χαν βε χοmπαρεδ. Ηοωεϖερ, τηεσε ρεσυλτσ χαννοτ βε ασσυmεδ το βε ρεπρεσεντατιϖε οφ τηοσε φορ mορε γενεραλ σιτυατιονσ ιν ωηιχη υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ αρε νοτ φρεε οφ αππλιχαβιλιτψ προβλεmσ. Αττεντιον ισ τηερεφορε αλσο γιϖεν το εστιmατεσ φορΦ Π ς ανδΡΕΣδεριϖεδ υσινγ αλλ τηρεε ϖαλυεσ οφ 2
:Ταβλε 4 χονταινσ εστιmατεσ φορΡΕΣ ανδΦ Π ς φορ αλλ ϖαλυεσ οφ 2
,ωιτηΝ = 40. Ασ ινδιχατεδ βψ Ταβλε 2,ΡΕΣισ αλmοστ αλωαψσ αϖαιλαβλε ανδ νο εστιmατε φορ τηισ τεστ ιν Ταβλε 4 ισ βασεδ υπον φεωερ τηαν 24948 ρεπλιχατιονσ (mανψ αρε βασεδ υπον τηε φυλλ σετ οφ 25000 ρεπλιχατιονσ). Ιτ ισ χλεαρ τηατΡΕΣπερφορmσ ωελλ ιν τηε εξπεριmεντσ. Τηερε ισ νο ινδιχατιον οφ ιτ βεινγ ειτηερ περσιστεντλψ υνδερσιζεδ ορ περσιστεντλψ οϖερσιζεδ ανδ ‡υχτυατιονσ αβουτ τηε νοmιναλ σιζε οφ 5% αρε σmαλλ. Εϖερψ εστιmατε φορΡΕΣισ ιν τηε ρανγε 0.9 5% = 4.5% το 1.1 5% = 5.5%; σο τηατ αλλ σατισφψ τηε στρινγεντ χριτεριον οφ ροβυστνεσσ γιϖεν ιν Σερλιν (2000). Τηε Φ−τεστ αππροαχη οφ Κιϖιετ (1986) δοεσ νοτ σεεm το προϖιδε συχη γοοδ χοντρολ οφ …νιτε σαmπλε νυλλ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ. Εστιmατεσ φορ Φ Π ς φαλλ ον βοτη σιδεσ οφ 5% ωηεν 2
= 1; βυτ τηεσε εστιmατεσ εξηιβιτ α γρεατερ δεγρεε οφ ϖαριαβιλιτψ τηαν τηε χορρεσπονδινγ ϖαλυεσ φορ ΡΕΣ. Φορ τηε τωο λαργερ ϖαλυεσ οφ 2
, τηε εστιmατεσ φορΦ Π ς προϖιδε εϖιδενχε οφ α τενδενχψ φορ τηε τεστ το βε υνδερσιζεδ, ωιτη τηε αβσολυτε ϖαλυε οφ τηε ερρορ ιν ρεϕεχτιον προβαβιλιτψ ινχρεασινγ ωιτη 2
: Χοmπαρισον οφ τηε λαστ τωο χολυmνσ οφ ρεσυλτσ ιν Ταβλε 4 σηοωσ τηατ τηε ρεστριχτεδ βοοτστραπ χαν βε υσεφυλ ιν χορρεχτινγ τηε τεστΦ Π ς, ωηιχη ρελιεσ υπον τηε στανδαρδ Φ−διστριβυτιον φορ αππροξιmατιονσ.
Ρεπεατινγ τηε εξπεριmεντσ οφ Ταβλε 4 ωιτηΝ = 80δοεσ νοτ λεαδ το ιmπορταντ χηανγεσ. Τηε σαmε γενεραλ παττερνσ εmεργε ανδ, φορ εξαmπλε, τηε αϖεραγε οφ εστιmατεσ φορ Φ Π ς χορρεσπονδινγ το τηοσε οφ τηε λαστ χολυmν οφ Ταβλε 4 ισ 4.4%, χοmπαρεδ ωιτη 4.3% ωηεν Ν = 40. Τηε ρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστ ηασ α σλιγητλψ βεττερ περφορmανχε ωηεν Ν = 80, ωιτη τηε λαργεστ δι¤ερενχε βετωεεν αν εστιmατε ανδ τηε ταργετ ϖαλυε οφ 5% βεινγ 0.3%, χοmπαρεδ ωιτη 0.4% ωηενΝ = 40.
Ταβλε 4
Εστιmατεδ νυλλ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ, ωιτη Ν = 40ανδ νοmιναλ σιγνι…χανχε λεϖελ οφ 5%
2
= 1 2
= 10 2
= 100
ΡΕΣ Φ Π ς ΡΕΣ Φ Π ς ΡΕΣ Φ Π ς
Χασε 1Α 5.2 5.6 5.0 4.6 4.6 4.0
Χασε 1Β 4.8 4.9 4.9 4.4 4.7 4.1
Χασε 1Χ 5.2 5.3 5.0 4.5 4.6 4.0
Χασε 2Α 5.2 5.0 5.3 4.7 5.1 4.4
Χασε 2Β 5.0 4.6 5.4 4.7 5.2 4.6
Χασε 2Χ 4.8 4.4 5.0 4.4 5.1 4.5
Χασε 3Α 5.2 5.6 5.2 4.9 5.1 4.5
Χασε 3Β 4.9 5.1 4.9 4.5 4.9 4.4
Χασε 3Χ 5.0 5.2 4.7 4.4 4.8 4.2
Χασε 4Α 5.4 5.9 5.2 5.2 5.0 4.6
Χασε 4Β 4.9 5.3 4.9 4.5 4.8 4.2
Χασε 4Χ 4.8 5.2 5.1 4.9 5.1 4.5
Χασε 5Α 5.2 5.1 5.2 4.6 5.0 4.3
Χασε 5Β 5.1 4.8 5.3 4.7 5.0 4.3
Χασε 5Χ 4.8 4.6 5.0 4.4 5.1 4.4
Χασε 6Α 5.2 5.5 5.1 4.7 5.0 4.3
Χασε 6Β 5.1 5.1 4.8 4.4 4.7 4.2
Χασε 6Χ 5.0 5.0 5.0 4.6 4.9 4.2
Νοτε: Τηε χασε χοδεσ γιϖεν ιν τηε …ρστ χολυmν αρε δεριϖεδ φροm τηε χοδεσ οφ Ταβλε 1.
Φινδινγσ χονχερνινγ εστιmατεσ οβταινεδ υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ ηαϖε ιmπλιχατιονσ φορ χοmπαρισονσ οφ εστιmατεσ δεριϖεδ υνδερ αλτερνατιϖε ηψποτηεσεσ. Ιν ορδερ το mακε σενσιβλε χοmπαρισονσ οφ ποωερ, τηερε σηουλδ νοτ βε ιmπορταντ δι¤ερενχεσ ιν εστιmατεσ οφ νυλλ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ. Τηερε ισ στρονγ εϖιδενχε τηατ, ωηεν τηε νυλλ ηψποτηεσισ ισ τρυε, Μ Υ Ρ ρεϕεχτσ λεσσ φρεθυεντλψ τηαν ΡΕΣ, ΡΥ Ρανδ Φ Π ς, αλλ τηρεε οφ ωηιχη ηαϖε εστιmατεσ τηατ αρε χλοσερ το δεσιρεδ λεϖελσ τηαν τηοσε φορΜ Υ Ρ; σεε Ταβλε 3. Ιτ ισ τηερεφορε νοτ συρπρισινγ τηατ Μ Υ Ρφαιλσ το δετεχτ σεριαλ χορρελατιον ασ φρεθυεντλψ ασ τηε οτηερ τεστσ ωηεν νονζερο χοε′χιεντσ αρε υσεδ ιν (17). Γιϖεν τηε αργυmεντσ οφ Ηοροωιτζ ανδ Σαϖιν (2000), ιτ ωασ δεχιδεδ το εξχλυδε Μ Υ Ρ φροm ποωερ χοmπαρισονσ, ρατηερ τηαν το αττεmπτ το ∀σιζε−χορρεχτ∀ τηισ τεστ. Εστιmατεσ φορ τηε ρεmαινινγ τεστσ, ϖιζ., ΡΕΣ, ΡΥ ΡανδΦ Π ς; αρε ρεπορτεδ ιν Ταβλεσ 5−7. Τηεσε εστιmατεσ αρε ρεπρεσεντατιϖε οφ τηε φυλλ σετ δεριϖεδ ωιτη ϖαριουσ σεριαλ χορρελατιον mοδελσ τηατ αρε σπεχιαλ χασεσ οφ (17).
Ταβλε 5 χονταινσ ρεσυλτσ φορ ρεγρεσσιον mοδελσ ωιτη ερρορσ γενερατεδ βψ
(1 0:7Β+ 0:17Β2
0:017Β3
+ 0:0006Β4
)υτ= τ; τιιδ(0;1); (19)
ωηιχη ηασ τηε σαmε ΑΡ(4) στρυχτυρε ασ τηε ϖερσιον οφ (8) υσεδ το γενερατε ρεσιδυαλσ φορ ιmπλεmεντινγ τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστ ΡΥ Ρ. Τηε πολψνοmιαλ ινΒ υσεδ ιν (19) χαν βε φαχτοριζεδ ασ
(1 0:3Β)(1 0:2Β)(1 0:1Β)2
:
Εστιmατεσ ιν Ταβλε 6 αρε χαλχυλατεδ φροm σιmυλατεδ δατα οβταινεδ ωιτη τηε σεριαλ χορρελατιον mοδελ
(1 0:3Β)(1 0:3Β4
)υτ= (1 0:3Β 0:3Β 4
+ 0:09Β5
)υτ= τ; τιιδ(0;1); (20)
ωηιχη ισ α ρεστριχτεδ ϖερσιον οφ αν ΑΡ(5) mοδελ. Φορ τηε χασεσ οφ Ταβλε 7, ερρορσ αρε γενερατεδ βψ
υτ= (1 + 0:3Β 4
) τ; τιιδ(0;1); (21)
ι.ε., βψ α σιmπλε ΜΑ(4) σχηεmε. Τηε χοε′χιεντσ οφ τηεσε ανδ τηε οτηερ σεριαλ χορρελατιον mοδελσ αρε σελεχτεδ βψ τριαλ ανδ ερρορ ωιτη τηε αιm οφ αϖοιδινγ ποωερ εστιmατεσ τηατ αρε χλοσε ειτηερ το νοmιναλ σιγνι…χανχε λεϖελσ ορ το 100% ιν αλλ χασεσ.
Ταβλε 5
Εστιmατεδ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ φορ τηε ερρορ mοδελ (1 0:7Β+ 0:17Β2
0:017Β3
+ 0:0006Β4
)υτ= τ; τιιδ(0;1); ωιτηΝ = 80ανδ νοmιναλ σιγνι…χανχε λεϖελ οφ 10%
ΡΕΣ ΡΥ Ρ Φ Π ς
Χασε 1Α 55.6 55.2 55.8
Χασε 1Β 58.2 58.0 57.7
Χασε 1Χ 56.8 56.6 56.6
Χασε 2Α 69.2 69.2 68.8
Χασε 2Β 70.3 70.3 69.4
Χασε 2Χ 69.7 69.8 69.2
Χασε 3Α 73.7 73.7 74.2
Χασε 3Β 73.8 73.9 73.7
Χασε 3Χ 73.8 73.9 73.8
Χασε 4Α 93.8 94.0 94.2
Χασε 4Β 94.3 94.4 94.4
Χασε 4Χ 93.8 93.8 93.9
Χασε 5Α 79.0 79.0 78.9
Χασε 5Β 79.5 79.6 78.9
Χασε 5Χ 79.5 79.6 79.2
Χασε 6Α 52.9 52.4 52.9
Χασε 6Β 53.9 53.7 53.5
Χασε 6Χ 53.2 53.1 53.1
Νοτεσ: α. Τηε χασε χοδεσ γιϖεν ιν τηε …ρστ χολυmν αρε δεριϖεδ φροm τηε χοδεσ οφ Ταβλε 1. β. Τηε εστιmατεσ οφ τηισ Ταβλε αρε οβταινεδ ωιτη 24956># ρεπλιχατιονσ>23433.
Ταβλε 6
Εστιmατεδ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ φορ τηε ερρορ mοδελ
(1 0:3Β 0:3Β4
+ 0:09Β5
)υτ= τ; τιιδ(0;1);
ωιτηΝ = 80ανδ νοmιναλ σιγνι…χανχε λεϖελ οφ 10%
ΡΕΣ ΡΥ Ρ Φ Π ς
Χασε 1Α 59.3 59.3 59.8
Χασε 1Β 59.8 60.0 59.7
Χασε 1Χ 58.7 58.7 58.6
Χασε 2Α 67.0 67.1 66.7
Χασε 2Β 68.1 68.2 67.3
Χασε 2Χ 67.3 67.5 66.7
Χασε 3Α 62.7 62.7 63.3
Χασε 3Β 63.8 63.7 63.6
Χασε 3Χ 62.7 62.9 62.9
Χασε 4Α 66.8 67.0 67.7
Χασε 4Β 67.4 67.4 67.6
Χασε 4Χ 67.1 67.3 67.6
Χασε 5Α 68.1 68.2 68.0
Χασε 5Β 69.2 69.3 68.5
Χασε 5Χ 68.6 68.7 68.1
Χασε 6Α 58.4 58.2 58.6
Χασε 6Β 59.0 59.0 58.9
Χασε 6Χ 58.3 58.3 58.2
Νοτεσ: α. Τηε χασε χοδεσ γιϖεν ιν τηε …ρστ χολυmν αρε δεριϖεδ φροm τηε χοδεσ οφ Ταβλε 1.
Ταβλε 7
Εστιmατεδ ρεϕεχτιον προβαβιλιτιεσ φορ τηε ερρορ mοδελ
υτ= (1 0:3Β4) τ; τιιδ(0;1);
ωιτηΝ = 80ανδ νοmιναλ σιγνι…χανχε λεϖελ οφ 10%
ΡΕΣ ΡΥ Ρ Φ Π ς
Χασε 1Α 46.2 46.2 46.7
Χασε 1Β 46.2 46.2 45.9
Χασε 1Χ 46.1 46.1 46.0
Χασε 2Α 47.5 47.6 47.0
Χασε 2Β 47.7 47.8 46.8
Χασε 2Χ 47.9 47.9 47.0
Χασε 3Α 47.1 47.2 47.5
Χασε 3Β 47.2 47.2 46.9
Χασε 3Χ 47.5 47.3 47.2
Χασε 4Α 45.8 45.8 46.5
Χασε 4Β 46.4 46.3 46.2
Χασε 4Χ 45.7 45.5 45.8
Χασε 5Α 46.4 46.5 46.2
Χασε 5Β 46.8 47.0 45.9
Χασε 5Χ 47.0 47.0 46.3
Χασε 6Α 47.0 47.2 47.5
Χασε 6Β 47.2 47.3 47.0
Χασε 6Χ 47.2 47.1 47.2
Νοτεσ: α. Τηε χασε χοδεσ γιϖεν ιν τηε …ρστ χολυmν αρε δεριϖεδ φροm τηε χοδεσ οφ Ταβλε 1.
5
Χονχλυσιονσ
Εϖιδενχε χονχερνινγ τηε βεηαϖιουρ οφ τεστσ φορ σεριαλ χορρελατιον ηασ βεεν οβταινεδ υσινγ Μοντε Χαρλο δεσιγνσ τηατ αρε mορε γενεραλ ιν τερmσ οφ δψναmιχ σπεχι…χατιον, ερρορ διστριβυτιον ανδ αλτερνατιϖε ηψ− ποτηεσισ τηαν τηοσε πρεϖιουσλψ εmπλοψεδ. Τηε Φ−τεστ αππροαχη οφ Κιϖιετ (1986) προϖιδεσ αν αππροπριατε ασψmπτοτιχ τεστ ιν αν ιντυιτιϖελψ αππεαλινγ ανδ σιmπλε φασηιον. Ηοωεϖερ, τηε εϖιδενχε ρεπορτεδ αβοϖε ινδιχατεσ τηατ τηε υσε οφ αν Φ−διστριβυτιον ασ α σουρχε οφ αππροξιmατε χριτιχαλ ϖαλυεσ χαν λεαδ το αν υνδερσιζεδ τεστ.
Τηρεε αππροαχηεσ το βοοτστραππινγ τηε Φ−στατιστιχ φορm οφ τηε Λαγρανγε mυλτιπλιερ στατιστιχ ιν ορδερ το ιmπροϖε χοντρολ οφ …νιτε σαmπλε σιγνι…χανχε λεϖελσ ηαϖε βεεν εξαmινεδ. Τηε αππροαχηεσ δι¤ερ ιν τηε τρεατmεντ οφ τηε παραmετερσ οφ τηε σεριαλ χορρελατιον mοδελ, ωηιχη χαν βε τρεατεδ ασ …ξεδ χονσταντσ, ασ δριφτινγ τοωαρδσ ζερο ϖαλυεσ ασ τηε σαmπλε σιζε ινχρεασεσ, ορ σετ εθυαλ το ζερο ϖαλυεσ.
Τηε υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστΡΥ Ροφ Ραψνερ (1993), βασεδ υπον α …ξεδ αλτερνατιϖε, ισ ϖυλνερα− βλε το εστιmατιον προβλεmσ τηατ α¤εχτ ιτσ αϖαιλαβιλιτψ. Ινστρυmενταλ ϖαριαβλε εστιmατορσ οφ τηε ρεγρεσσιον mοδελ αρε νεεδεδ φορ χονσιστενχψ υνδερ …ξεδ αλτερνατιϖεσ ανδ σαmπλε ϖαλυεσ οφ τηεσε εστιmατορσ χαν θυιτε φρεθυεντλψ βε ατ οδδσ ωιτη τηε ρεθυιρεmεντ τηατ τηε βοοτστραπ δατα γενερατιον προχεσσ βε δψ− ναmιχαλλψ σταβλε. Ιτ ισ σοmετιmεσ αργυεδ τηατ υνρεστριχτεδ βοοτστραπ τεστσ χαν ενϕοψ συπεριορ ποωερ βυτ τηε ρεσυλτσ οβταινεδ ιν τηε Μοντε Χαρλο εξπεριmεντσ ωιτη σεριαλλψ χορρελατεδ ερρορσ δο νοτ συππορτ τηισ ϖιεω.
Τηε βοοτστραπ τεστ Μ Υ Ρ οφ Μανταλοσ (2003) ισ δεριϖεδ βψ χονσιδερινγ λοχαλ, ρατηερ τηαν …ξεδ, αλτερνατιϖεσ. Βψ υσινγ τηε λοχαλ εθυιϖαλενχε οφ τηε τεστ mοδελ ανδ τηε χορρεσπονδινγ σεριαλ χορρελατιον αλτερνατιϖε, ιτ ισ ποσσιβλε το ϕυστιφψ τηε υσε οφ ΟΛΣ, ασ οπποσεδ το ινστρυmενταλ ϖαριαβλεσ, ιν τηε υνρε− στριχτεδ βοοτστραπ ωιτη σεριαλλψ χορρελατεδ ερρορσ. Ηοωεϖερ, τηε ρεσυλτσ οβταινεδ σηοω τηατ ασψmπτοτιχ λοχαλ εθυιϖαλενχε χαν προϖιδε α ποορ αππροξιmατιον ιν …νιτε σαmπλεσ ανδ Μ Υ Ρχαν βε σεριουσλψ υν− δερσιζεδ. Τηισ φαιλινγ υνδερ τηε νυλλ ηψποτηεσισ λεαδσ το ρελατιϖελψ λοω ρεϕεχτιον ρατεσ ιν τηε πρεσενχε οφ σεριαλλψ χορρελατεδ ερρορσ.
Α ρεστριχτεδ (νυλλ ηψποτηεσισ) βοοτστραπ ισ υσεδ φορ τηε τεστΡΕΣ. Τηισ τεστ ισ αϖαιλαβλε ωιτη ϖερψ ηιγη φρεθυενχψ ιν τηε εξπεριmεντσ ανδ γιϖεσ ϖερψ γοοδ χοντρολ οφ …νιτε σαmπλε σιγνι…χανχε λεϖελσ. Μορεοϖερ, τηε ποωερ εστιmατεσ φορ ΡΕΣ mατχη τηοσε οφ οτηερ τεστσ. Τηε οϖεραλλ χονχλυσιον τηατ ισ δραων φροm τηε σιmυλατιον εϖιδενχε ισ, τηερεφορε, τηατ α σιmπλε ρεστριχτεδ βοοτστραπ σηουλδ βε υσεδ ωηεν τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον αφτερ ΟΛΣ εστιmατιον οφ mοδελσ ωιτη λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ ασ ρεγρεσσορσ.
ΑχκνοωλεδγεmεντΙ αm γρατεφυλ το Α.Ρ. Τρεmαψνε φορ ηισ χονστρυχτιϖε ανδ ηελπφυλ χοmmεντσ.
Ρεφερενχεσ
Βεραν, Ρ., 1988. Πρεπιϖοτινγ τεστ στατιστιχσ: α βοοτστραπ ϖιεω οφ ασψmπτοτιχ ρε…νεmεντσ. ϑουρναλ οφ τηε Αmεριχαν Στατιστιχαλ Ασσοχιατιον 83, 687−697.
Βρευσχη, Τ.Σ., 1978. Τεστινγ φορ αυτοχορρελατιον ιν δψναmιχ λινεαρ mοδελσ. Αυστραλιαν Εχονοmιχ Παπερσ 17, 334−355.
Βρευσχη, Τ.Σ., Γοδφρεψ, Λ.Γ., 1981. Α ρεϖιεω οφ ρεχεντ ωορκ ον τεστινγ φορ αυτοχορρελατιον ιν δψναmιχ σιmυλτανεουσ mοδελσ. Ιν Χυρριε, D., Νοβαψ, Ρ., Πεελ, D. (εδσ.). Μαχροεχονοmιχ αναλψσισ: εσσαψσ ιν mαχροεχονοmιχσ ανδ εχονοmετριχσ. Χροοm Ηελm, Λονδον.
Dαϖιδσον, Ρ., ΜαχΚιννον, ϑ.Γ., 1981. Σεϖεραλ τεστσ φορ mοδελ σπεχι…χατιον ιν τηε πρεσενχε οφ αλτερνατιϖε ηψποτηεσεσ. Εχονοmετριχα 49, 781−793.
Dαϖιδσον, Ρ., ΜαχΚιννον, ϑ.Γ., 2004. Εχονοmετριχ Τηεορψ ανδ Μετηοδσ. Οξφορδ Υνιϖερσιτψ Πρεσσ, Οξφορδ.
Dαϖιδσον, Ρ., ΜαχΚιννον, ϑ.Γ., 2006. Ιmπροϖινγ τηε ρελιαβιλιτψ οφ βοοτστραπ τεστσ ωιτη τηε φαστ δουβλε βοοτστραπ. Χοmπυτατιοναλ Στατιστιχσ ανδ Dατα Αναλψσισ, το αππεαρ.
Dεζηβακηση, Η, 1990. Τηε ιναππροπριατε υσε οφ σεριαλ χορρελατιον τεστσ ιν δψναmιχ λινεαρ mοδελσ. Ρεϖιεω οφ Εχονοmιχσ ανδ Στατιστιχσ 72, 126−132.
Dεζηβακηση, Η., Τηυρσβψ, ϑ.Γ., 1995. Α Μοντε Χαρλο χοmπαρισον οφ τεστσ βασεδ υπον τηε Dυρβιν− Wατσον στατιστιχ ωιτη οτηερ αυτοχορρελατιον τεστσ ιν δψναmιχ mοδελσ. Εχονοmετριχ Ρεϖιεωσ 14, 347−366. Dυρβιν, ϑ., 1970. Τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν λεαστ σθυαρεσ ρεγρεσσιον ωηεν σοmε οφ τηε ρεγρεσ− σορσ αρε λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ. Εχονοmετριχα 38, 410−421.
Dυρβιν, ϑ., Wατσον, Γ.Σ., 1950. Τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν λεαστ σθυαρεσ ρεγρεσσιον Ι. Βιοmετρικα 37, 409−428.
Dυρβιν, ϑ., Wατσον, Γ.Σ., 1951. Τεστινγ φορ σεριαλ χορρελατιον ιν λεαστ σθυαρεσ ρεγρεσσιον ΙΙ. Βιο− mετρικα 38, 159−178.
Εαστωοοδ, Α., Γοδφρεψ, Λ.Γ., 1992. Τηε προπερτιεσ ανδ χονστρυχτιϖε υσε οφ mισσπεχι…χατιον τεστσ φορ mυλτιπλε ρεγρεσσιον mοδελσ. Ιν: Γοδφρεψ, Λ.Γ. (εδ.). Τηε ιmπλεmεντατιον ανδ χονστρυχτιϖε υσε οφ mισσπεχι…χατιον τεστσ ιν εχονοmετριχσ. Μανχηεστερ Υνιϖερσιτψ Πρεσσ, Μανχηεστερ, 109−175.
ϖαν Γιερσβεργεν, Ν.Π.Α., Κιϖιετ, ϑ.Φ., 2002. Ηοω το ιmπλεmεντ τηε βοοτστραπ ιν στατιχ ορ σταβλε δψναmιχ ρεγρεσσιον mοδελσ: τεστ στατιστιχσ ϖερσυσ χον…δενχε ρεγιον αππροαχη. ϑουρναλ οφ Εχονοmετριχσ 108, 133−156.
Γοδφρεψ, Λ.Γ., 1978. Τεστινγ αγαινστ γενεραλ αυτορεγρεσσιϖε ανδ mοϖινγ αϖεραγε ερρορ mοδελσ ωηεν τηε ρεγρεσσορσ ινχλυδε λαγγεδ δεπενδεντ ϖαριαβλεσ. Εχονοmετριχα 46, 1293−1301.
Γοδφρεψ, Λ.Γ., 1981. Ον τηε ινϖαριανχε οφ τηε Λαγρανγε mυλτιπλιερ τεστ ωιτη ρεσπεχτ το χερταιν χηανγεσ ιν τηε αλτερνατιϖε ηψποτηεσισ. Εχονοmετριχα 49, 1443−1455.
Γοδφρεψ, Λ.Γ., 1988. Μισσπεχι…χατιον τεστσ ιν εχονοmετριχσ. Χαmβριδγε Υνιϖερσιτψ Πρεσσ, Χαm− βριδγε.
Γοδφρεψ, Λ.Γ., 1998. Τεστσ φορ νον−νεστεδ ρεγρεσσιον mοδελσ: σοmε ρεσυλτσ ον σmαλλ σαmπλε βεηαϖ− ιουρ ανδ τηε βοοτστραπ. ϑουρναλ οφ Εχονοmετριχσ 84, 59−74.
