A moving mesh finite element algorithm for the adaptive solution of time-dependent partial differential equations with moving boundaries

This is a repository copy of

A moving mesh finite element algorithm for the adaptive

solution of time-dependent partial differential equations with moving boundaries

.

White Rose Research Online URL for this paper:

http://eprints.whiterose.ac.uk/1764/

Article:

Baines, M.J., Hubbard, M.E. and Jimack, P.K. (2005) A moving mesh finite element

algorithm for the adaptive solution of time-dependent partial differential equations with

moving boundaries. Applied Numerical Mathematics, 54 (3-4). pp. 450-469. ISSN

0168-9274

https://doi.org/10.1016/j.apnum.2004.09.013

[email protected]

https://eprints.whiterose.ac.uk/

Reuse

See Attached

Takedown

If you consider content in White Rose Research Online to be in breach of UK law, please notify us by

White Rose Consortium ePrints Repository

http://eprints.whiterose.ac.uk/

This is an author produced version of a paper published in Applied Numerical

Mathematics.

White Rose Repository URL for this paper:

http://eprints.whiterose.ac.uk/1764/

Published paper

Baines, M.J., Hubbard, M.E. and Jimack, P.K. (2005) A moving mesh finite

element algorithm for the adaptive solution of time-dependent partial differential

equations with moving boundaries. Applied Numerical Mathematics, 54 (3-4).

pp. 450-469.

! #"$&%' ()*'!+ ,.-/ 1032#4%5"

6 $&7$&82#9:!!$&8<;)*$=7>?! @

A

*"$&74

BDCFE!CHGI3JLKMON!PB/CRQ)CSTU!UVIXWZY\[^]CR_`CEaJcbI3dfe,[

gih4jLk lmonqpjorsn!tvuxwylznR{ j|p@lznq}q~|€x‚ƒ{„j+…Xr†}R‡j|mˆ}Rnq‰&tvu‹ŠjlŒ}RrŽ€…’‘

“ ”

~o{ftit•3tvu—–˜tpHkš™„nq}FrŽz€›…3r†}F‡zjomœœ}qnq‰—tvuxƒjjŒ7€1…’‘

ž—Ÿ3 |¡i¢7£†¤z¡

¥.¦@§i¨ ©«ª„¬)¦­¯®±°³²sª†©µ´¶­—­¯·µ­¯¦­¯ª´¸z·µ¬z§z¹©µ´±°s¦º©«®1»†¹±§z»¼§®¶­¯½³¾R§z¹´±°†­&¸z½s¸»†´±©µ¨z­¿®¶§·«À„´±©«§ªy§z¾ ª„§ªs·«©«ª„­¯¸¹Á½†©Ã’À†®±©«§ª­¯ÄfÀ†¸´±©µ§ª†®xÅH©µ´±°)¦§i¨ ©«ª„¬¿Æ¼§À†ªs½†¸¹©µ­¯®‹©«ª§ª„­@¸zª†½´LÅǧ+½†©«¦­¯ª†®©µ§ª†®|È É °†­4¦@§i¨ ©«ª„¬&¦­¯®±°­¯ÄfÀ†¸´±©µ§ª†®x¸¹±­Æs¸z®±­¯½\À†»O§ªÊo§ª†®±­|¹±¨f©Ëª„¬—¸¿·«§fÊ|¸z·3»†¹±§z»¼§z¹±´±©«§ª’ÌsÅV©«´±°†©«ª ­¯¸zʜ°»s¸´±Êœ°y§z¾Í²sª†©µ´¶­4­¯·µ­¯¦@­¯ªZ´±®|̃§z¾Í´±°†­@´¶§z´±¸z·›Î¶¦@¸z®®±Ï¿´±°†¸´›©Ë®x»†¹±­¯®¶­¯ª´›©«ª´±°„­»s¹±§7Ðv­¯Êo´¶­¯½ ©«ªs©µ´±©«¸z·½†¸´±¸ È

É

°„­Ç¸zÊ|Ê|À„¹œ¸zÊoћ§z¾s´±°†­Í¸z·µ¬z§z¹œ©µ´±°†¦Ò©«®XÊ|¸¹­|¾RÀ†·Ë·µÑÓ¸z®±®¶­¯®±®±­¯½1´±°†¹±§À„¬°4ďÀs¸zªZ´±©µ´±¸´±©«¨z­ Êo§¦»š¸¹©«®¶§ªÅV©µ´±°)Ô ª„§iÅHª³®±©Ë¦@©«·«¸¹©«´ÕÑ+®±§·«À„´±©µ§ª†®¯ÌÖ¸zª†½©µ´±®›¹±§zÆsÀ†®±´±ª„­¯®±®›©Ë®Á´¶­¯®¶´¶­¯½'§ª¦§z¹­ ¬z­¯ª„­|¹œ¸z·’»†¹±§zÆs·«­¯¦@®|È

¥H»†»s·Ë©«Ê|¸´±©µ§ª†®˜¸¹±­‹®±°„§ÅVª@´¶§4¸Ó¨¸¹©µ­|´Lѧz¾O»s¹±§zÆs·µ­¯¦@®×©«ªZ¨z§·«¨f©«ª†¬Á´±©«¦­oØÕ½„­|»¼­¯ª†½„­¯ª´Ù»s¸¹´±©«¸z· ½†©µÂO­|¹±­¯ª´±©«¸z·„­¯ÄfÀ†¸´±©µ§ªs®ÙÅV©µ´±°¦§i¨ ©«ª„¬ÓƼ§À†ªs½†¸¹©µ­¯®|ÈzÚ×¹±§zÆs·µ­¯¦@®ÙÅV°†©«Êœ°@Êo§ª†®¶­|¹±¨z­x¦@¸z®±®¯ÌZ®±À†Êœ° ¸z®Ç´±°„­V»¼§z¹±§Às®×¦­¯½†©ËÀ†¦­¯ÄÀs¸´±©µ§ª=¸zªs½¸Ó¾R§À„¹±´±°§z¹½„­|¹Íª„§ª†·«©«ª†­¯¸¹×½†©Ã’À†®±©µ§ª4»s¹±§zÆs·µ­¯¦¿ÌÊ|¸zª Ƽ­Í´¶¹±­¯¸´¶­¯½4ƏÑ1¸H®±©Ë¦»s·«©µ²s­¯½Á¾F§z¹œ¦Û§z¾š´±°„­Í¦@­|´±°„§f½ÖÌÅV°s©«·µ­Ù»†¹§zÆs·µ­¯¦@®ƒÅV°†©«Êœ°1½„§xª„§z´˜Êo§ª†®¶­|¹¨z­ ¦@¸z®®!¹±­¯ÄfÀ†©µ¹±­x´±°„­Ó¾qÀ†·«·O´±°„­|§z¹ÑzÈ

‘j|‰@Ü×tm¶Œ7oÝ ´±©Ë¦­oØÕ½„­|»¼­¯ª†½„­¯ª´!ª„§ª†·«©«ª†­¯¸¹½s©Ã¼Às®±©µ§ª’Ì ¦§i¨ ©«ª„¬Æ¼§À†ªs½†¸¹©µ­¯®|Ìf²sª†©«´¶­Á­¯·µ­¯¦­¯ª´ ¦­|´±°†§f½’̆ÞX¸¬z¹¸zª„¬©«¸zª¦­¯®±°„­¯®|̚Êo§ª†®¶­|¹±¨¸´±©µ§ª¿§z¾˜¦@¸z®±®

ß àáXâzãä˜å×æÇçfâzèÕäƒá

ñ7òë?+

Áì¼ñ@û¼îˆñøùÍ÷øzôšíFê &÷ñ7îœì¼ñ7îÓì’ðfî ƒñ7ñêyï¼òˆø ïƒø îœñ7óíRê)÷+ðfê\ó¼íËü3ñòˆñê†ë ø ê„ëoñ šëˆî1øzôfñ7ò ëoì¼ñ)ï¼ðfîœë&ëˆì¼òˆññ)ó¼ñ7ðfó¼ñî!òoðê íRê*³ùúòˆøf÷ï¼ì¼ðfîˆñ |ì’ðê ñ)ï¼òœø+¼öRñ÷+î *(" OöRø!

û¼ï ï¼òˆø+OöRñ7÷î "ø òyìsïXñòƒø öRí 7ø ê¼îœñ7òôfðZëoíRøfê öRðQÓî " ‹ëˆø fñ7ê¼ñòoðfö7öRðfîˆîœñ7îyøfù ëoíF÷+ñ

ó¼ñïXñê¼ó¼ñ7ê„ëÁïOòˆø+¼öFñ7÷ (( " sévëÁíFîxðfï¼ï¼ðfòˆñê†ë‹ùúòˆø ÷/ëoìOíRîxîœí% ê¼íËõ ðê†ë Xøsó*øfù òˆñîˆñðò|ìyëoì’ðëx÷+øzôsíRê òˆíFó¼îxì’ðô ñ@÷&û*|ìyëˆø¿øfüXñ7òxíFêëoñ7òœ÷+î‹øfù×íR÷ï¼òˆøzô ñó)ñB7íFñ7ê ðföFëˆì¼ø û fì†íRê\øfòˆó¼ñòHëoø=ï¼òˆøzôsíRóOñòˆø)¼û¼îœëÁðfê¼ó\òœñ7öFíqð)¼öFñÓîˆøfù ë?‹ðfòˆñšëˆì¼ñ+÷&û¼îëxøfùëˆñ7ê ƒñ ðfï¼ï¼öFíRñóíFê 7ø êœûOê ëˆíRø ê ÓíFëˆì+øfëˆì¼ñ7òVðfó¼ðfïOëoíËô ñÁëoñ|ì¼ê¼íFýsûOñ7î‹îœû |ì)ðfîöFø(7ðfö¼òˆñ÷+ñîˆì¼íFê )"›ø ò+øfòˆó¼ñò\ñ7êOòˆí%|ìO÷+ñê†ë 6)" é¶ê ðó¼ó¼íFëˆíRø ê Óì¼ñ7êëˆì¼ñ7òœñ'íRîîˆû íRñê†ë &†ê¼ø!ÓöRñ7ó* ñëˆø+ñê¼îˆûOòˆñ=ëˆì’ðë›ëoì¼ñ@íFê¼íFëˆíqðföX÷+ñîˆì'ïOòˆøzôsíRó¼ñîðfê³ðfó¼ñý†û’ðëoñ=òˆñîˆø öFûOëoíFø ê)ëoø ðô ø íFó ëoì¼ñêOñ7ñ7ó:ùúø ò—öqðëˆñ7ò—òœñõ’êOñ7÷ñ7ê„ëQ÷øzôsíRê fòˆíRóOî ðê:ï¼òˆøzôsíRó¼ñyðê ñsëoòœñ7÷ñ7öG ïXø!Hñ7òùúû¼ö 7ø ÷ï¼ûOëoðëoíFø ê’ðföƒëoøsø ö3íFêyëˆì¼ñ7íFòÁø!Óê³òœí% ì„ëQ

é¶ê¿ëoì¼ñÓðfïOï¼òˆø„ð|ìëoð)&fñê+íFê&ëoì¼íFî ‹øfò&—ëˆì¼ñÁ÷+øzôsíRê*÷+ñîˆì,ñ7ý†û’ðëˆíRø êOîðfòˆñ ’ðîˆñ7óû¼ïƒø ê 7ø êOîˆñ7òôsíRê 'ëˆì¼ñöRø ðfö!ï¼òœø ïƒø òœëˆíRø êÓíËëoì¼íFê ñ7ð)|ì ï’ðZë |ì øfù‹õ’ê¼íFëˆñ+ñöRñ÷+ñê†ëˆî×øfù‹ëˆì¼ñ ëoøfëoðföÍíFê„ëoñfòoðföxþÕ÷+ðfîˆî 1øfùëoì¼ñ¿óOñ7ïƒñ7ê¼ó¼ñê„ë=ôðfòœíqð)¼öFñ—ð7òˆøfîˆîëoì¼ñ¿óOø ÷\ðíRê! öËëoì¼øfû ì ê¼øfëK7ø êOîˆíRóOñ7òˆñóì¼ñòˆñ)sëoì¼ñ›íRê„ëˆñ òˆðföÖ÷\ðQ ƒñ$ ñê¼ñ7òˆðföRíFîˆñ7ó,ëoø 7ø êOîˆñ7òô ñøfëˆì¼ñ7òVý†û’ðfê„ëoí

ëoíFñ7î (" " síRñ7öFó¼íRê*+ðê'ðfïOï¼òˆø„ð|ì'îˆíF÷+íFöqðfòVëoøëoì’ðë›øfùÍû¼îˆíFê +ð÷ø ê¼íËëoø òxùúû¼ê*ëoíFø êyëoø 7ø ê„ëˆòˆø öÖëoì¼ñ›÷øôfñ7÷ñ7ê„ëxøùaëoì¼ñ1÷+ñîˆìšðfîVíRêëoì¼ñ$#³øzôšíFê %#ñ7îˆìyÿÇðfòœëˆíqðfö#4íËü3ñòˆñê†ëˆíqðfö !ýsû¼ðëoíFø ê þ&#'#'ÿ ›÷ñëˆì¼øšó ( " "˜ùúø òÓñOðf÷ï¼öRñ’évë›íRî›ðföRîœø+îëoòœø ê öG)òˆñöqðëˆñ7óyëoø ëoì¼ñE4ñùúø òœ÷\ðëˆíRø ê,÷ñëˆì¼øšó\øfù*)˜íqðfø—ðfê¼ó ø

Hø ò&ñ7òœî=6() "aðfêOó\ëoø—ëˆì¼ñ,+ñ7ø ÷ñëˆòˆí - ø ê¼îœñ7òœôðëˆíRø ê.)ÙðQ þ&+ - )/—÷ñëˆì¼øšó:øù - ðø 0/1û¼ðfê ðfê¼ó.1Óû¼îˆîœñ7öRö6+"þÕîœñ7ñðföRîœø 2 " Çé¶ê:ï¼ðfòœëˆí%7ûOöqðfòëoìOñíRó¼ñ7ð³øfù›ð³÷+ñîˆì5ôfñ7öRø 7íËë? ïXøfëˆñ7ê„ëoíRðföVï¼òˆø ïƒø îœñ7ó:íRê 6)"‹íFî ñšï¼öFø íFëˆñ7ó^íRêø òœó¼ñ7òëˆø)ø+Oë|ðíRê^û¼ê¼íFýsûOñ7ê¼ñîˆîøfùHëˆì¼ñ¿÷ñ7îˆì^ô ñöRø 7íËë?íRê fòˆñðZëoñ7òëˆì’ðfê ø ê¼ñ@îˆï¼ð)7ñó¼íR÷ñ7êOîˆíRøfê

Áì¼ñyø ò ðfê¼íRîˆðëoíFø ê øfù›ëoìOñ)ï’ðfïƒñ7ò,íRî¿ðî,ùúøföRöRø!ÓîÍé¶ê:ëoì¼ñyê¼ñ së+îœñiëoíRøfêÛîëoòœø ê ðfê¼ó ‹ñ7ð)&)ùúø òˆ÷—û¼öqðëˆíRø êOî‹øfùÇëoì¼ñ=ÿÒíRê³ð÷øzôsíRê ,òˆñiùúñ7òœñ7ê ñ=ùúòoð÷+ñ@ðfòœñ@ó¼íRîH7û¼îœîˆñ7ó ƒëˆø

ñëˆì¼ñ7òKÓíFëoìëoì¼ñöRø ðfö#7øfê¼îˆñòœôðëoíFø êï¼òœíRê íRï¼öFñÓû¼ïXøfê Óì¼í%|ìëˆì¼ñ4ï¼òœø ïƒø îˆñó÷+ñiëoì¼øsó íRî ’ðfîˆñó'sñëˆíRø ê43$7ø ê„ëoðfíRê¼î×ëoì¼ñHó¼ñëoðfíRöFîÇøù’ëoì¼ñH÷+ñiëoì¼øsóRÓì¼í%|ì&íFîð$fñ7ê¼ñòoðföFíRîoðZëoíRøfê øfùaëˆì¼ñ1øfê¼ñ

ó¼íR÷ñ7ê¼îœíRø ê¼ðfö¼õ’ê¼íËëoñÓô ø öFû¼÷+ñ›ðfïOï¼òˆø„ð|ìó¼ñ7îH7òœí%ƒñ7óíFê *" " 5 1ï¼ï¼öRíðëˆíRø êOî ðfòˆñ,ï¼òœñ7îœñ7ê„ëoñó íRê 'šñiëoíFø ê¼î,'ðê¼ó6 Áì¼ñ+÷+ðfîœî=ø ê¼îœñ7òœôsíFê 'ðï¼ï¼öRíðëˆíRø êOî4íRê 'šñ

ëoíFø ê7 Öùúø ò Óì¼í%|ì'ëˆì¼ñ—ëˆì¼ñ7ø ò4îˆíR÷ï¼öFíFõ’ñî#7ø êOîˆíRîë4øfù÷øzôsíRê Xø ûOê¼ó’ðfò4³ïOòˆø+¼öFñ7÷î øzô ñòˆê¼ñó —ëˆì¼ñÓïXø òœø û¼î!÷ñ7ó¼íFû¼÷ ñ7ý†û’ðëˆíRø ê³þLÿ8# !ðfê¼óðùúø ûOòœëoì,ø òœó¼ñ7ò!êOø ê¼öRíFê¼ñðò ó¼íFüXû¼îœíRø êïOòˆø+¼öFñ7÷ :9›û¼÷ñ7òˆíðföƒòˆñîˆû¼öËëoîÁðòˆñ4ï¼òœñ7îœñ7ê„ëoñó³íFêëoì¼íFî‹îˆñëˆíRø êùúø ò 7ø ÷ï’ðfò

íRîœø ê)ð)„ðíRê¼îë,&†ê¼ø!ÓêyîˆíR÷íRöRðfòˆíËë?&îœø öRûOëˆíRø êOîþÕíFê\ø òœó¼ñ7òHëoø,ðfîœîˆñ7îœîxëoì¼ñ4ð)û¼òoð)øfù˜ëˆì¼ñ ëoñ|ì¼ê¼íRý†û¼ñQƒðfî Hñ7öRöÙðî›ïOòˆø+¼öFñ7÷îxùúø ò,Óì¼í|ìëˆì¼ñ7òœñíFîÁê¼øB&sêOøRÓê'ðfê’ðföG†ëoí%îˆø öFûOëoíFø ê þúëˆø\ðfîœîˆñîˆîíËëoîÓòˆø)¼û¼îœëˆê¼ñ7îœî 'šñëˆíRø ê7,íFîÓó¼ñôføfëoñó'ëoø,ëoì¼ñ=ðfï¼ïOöRí%7ðëoíFø ê)øfù×ëoì¼ñ@ëoñ|ì

ê¼íRý†û¼ñëˆøë?Hø\ê¼øfê

÷+ðfîˆî

ø ê¼îˆñòœôsíRê*+ï¼òœø+¼öFñ7÷î 7øfê¼îˆíFîœëoíFê ,øfù!ð,ø ê¼ñ

ï¼ì¼ðfîˆñ 'sëˆñùÕðfê ï¼òˆø)¼öRñ÷Dðfê¼ó)ðó¼íFüXû¼îˆíFø ê\ïOòˆø+¼öFñ7÷ ÓíËëoì)ðê¼ñ„ðZëoíFôfñîœø û¼òñ1ëˆñ7òˆ÷ Áì¼ñï’ðïXñò 7øfê

Áì¼òˆøfû ì¼ø ûšë‹ëoìOíRîVðfê¼ó\ëˆì¼ñÓùúø öRöFøRÓíFê @îˆñëoíFø êðêð)¼îëoòˆð)ëHëoíR÷ñ

ó¼ñ7ïƒñ7êOó¼ñ7ê„ëHï’ðfòœëˆíqðfö ó¼íFüXñ7òœñ7ê„ëoíRðföañýsû¼ðëoíFø ê þLÿ ÁøùÇëˆì¼ñ ñ7ê¼ñòoðföaùúøfòˆ÷

þ R

ø ê ð)ëˆíR÷ñ

ó¼ñ7ïƒñ7ê¼óOñ7ê„ëó¼ø ÷+ðfíRê@þ EÓíFöRö Xñ 7øfê¼îˆíFó¼ñ7òœñ7ó 'šïƒñíFõ ,ñ7ý†û’ðZëoíRøfê¼îÓíRöRö XñÓëoòœñðëˆñ7óíFêëˆì¼ñîœû ¼îœñ7ý†û¼ñ7ê„ëÓîœñëˆíRø êOîsé¶ê+ëoìOñ4ÿ8þ4R

þ

!íRîVó¼ñiõ’ê¼ñ7ó\íRê ð\õ*šñ7óùúòoð÷+ñ=øfùòˆñiùúñ7òˆñê 7ñ ÓíËëoì 7øsø òœó¼íRê’ðZëoñÛðZëëoíF÷+ñ ðfê¼ó

íRîð\óOíFüXñ7òˆñê„ëoíqðö ø ïƒñ7òoðZëoø ò¿íFê†ôfø öFôsíFê îˆï’ð7ñó¼ñ7òœíFôðëoíËô ñîøfê¼ö)’ø ò 7öRðfòˆíËë?:ðföFö‹ó¼ñîòˆíRïšëoíRøfê¼î,øfù1ëˆì¼ñ ÷+ñiëoì¼øsó ÓíFöRö Xñ fíFô ñê:íRê5ëˆì¼ñ ø ê„ëoñsë,øfùÁë?Hø^îˆï’ð7ñ)ó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê¼î ÓíËëoì5ëˆì¼ñîœíR÷

ï¼öRíËõ ðZëoíRøfêyëˆø\ðîˆíFê öRñóOíR÷ñ7ê¼îœíRø êyùúø öRöFø!ÓíRê ¿ñ7ðfîˆíFöùúòœø ÷ ëoìOíRîÖé¶ê 'šñiëoíRøfê(Gëˆì¼ñ xðQsî&íFê Óì¼í|ì8þ4R÷+ð!ƒñ\ñ šï¼òˆñîˆîˆñó`íRê ð÷+øzôsíRê*ùúòˆðf÷+ñøfùÁòœñùúñòˆñ7ê*7ñ)ðfòœñ\ó¼ñ

îòˆí%ƒñ7óðfê¼ó'ëˆì¼ñ7êíFê 'šñëoíFø ê (ëˆì¼ñ—û¼êOó¼ñ7òœösíRê 7ø êOîˆñ7òôðëoíFø êï¼òœíRê íRï¼öFñ ƒñ7ì¼íFê¼ó ëoì¼ñ@ï¼òœø ïƒø îˆñó³ê†û¼÷ñ7òœí%ðöa÷+ñiëoì¼øsóyíRîÁíFê†ëˆòˆøsó¼û ñ7ó

! #"$ &%'$)( +*%,.- &(/"10

é¶ê¼îœëˆñðfó5øfù Hø ò&†íFê 'íFê ëˆì¼ñ+õ*šñó8þ !û¼öFñ7òˆíRðfê#1ùúòˆðf÷+ñ,íËë=íFî=ïƒø îœîˆí%OöRñ¿ëoøyë|ð)&ñð )Ùð

òoðê íqðê^ôsíFñÓïƒø íRê„ë@íRêÓì¼í|ì2 íRîë|ð&fñ7ê ëoø Xñðy÷+øzôsíRê* øšøfòˆó¼íFê’ðëoñþ aëˆì¼ñ òˆñîˆû¼öËëÓøfùð&ëˆíR÷ñ

óOñ7ïƒñ7ê¼ó¼ñê„ëÓ÷\ðfïOï¼íRê &ùúòœø ÷ ð&õ*šñó³îœñë›øfùÇòˆñùúñòˆñê 7ñ=7øsø òˆóOíRê’ðëˆñ7î

Vþ +îˆðQ+/4ñõ’êOñ\ðfê íRê„ôfñ7òœëˆí%¼öFñ¿÷\ðï¼ï¼íRê* ƒñë?Hñ7ñê5ëoìOñõ*šñó 7øsø òœó¼íRê’ðZëoñ7î ðfê¼óyëoì¼ñ@÷øzôšíFê 7øsø òœó¼íRê’ðZëoñ7î3ÖðëÁëoíF÷+ñ ’øùÇëˆì¼ñùúø òˆ÷

54 Vþ

6 þ&+

îˆø,ëoì’ðZë

þ7

þ

4

þ

6

4

þ

þ 3

îoðQ+ Óì¼ñòˆñ

4

8

4

ðfòˆñ=!û¼öFñ7òˆíRðfê(Áì¼ñ7ê ;)ëˆì¼ñ|ì’ðfíFêòœû¼öRñ

4

4

:9+; <

>=

þ;

/1ñê 7ñ#ÓòœíFëˆíRê

?

4

?

4

? ?

9+; =

þ

- öRñ7ðfòˆöG+xíFê øfòˆó¼ñòëoøÛó¼ñëˆñ7òˆ÷íRêOñ Xøfëˆì8øfù—ëˆì¼ñ^û¼ê &†ê¼ø!Óê !û¼öFñ7òˆíRðfêô ñöRø 7íËëoíRñî ? ðfê¼ó ? 3ðfê^ðfó¼óOíFëoíFø ê’ðföÙñýsû¼ðëoíFø êíRî4òœñ7ý†û¼íFòˆñ7ó Áì¼íFî$ÓíRöFö ƒñ&ó¼íFî7ûOîˆîˆñó íFê'ëoìOñ¿ê¼ñsë îˆû OîˆñiëoíFø êƒÿ!òˆíRøfò‹ëoø,ëoì¼íFîOëˆì¼ø û fì¼ë?‹øíRê„ëˆñ òˆðfö3ùúø òœ÷+îÁøfùxþ& +xðfòˆñó¼ñîòˆí%ƒñ7ó

)˜ñë @þ +$Xñ,ð)òˆñiùúñ7òœñ7ê ñ,ëˆñ7îëôfø öRûO÷+ñ¿ðZë

ðê¼ó2@þ

$ƒñ&ëoì¼ñ 7øfòˆòˆñîˆïƒø ê¼ó¼íFê ëoñîœëô ø öFû¼÷ñÁíRê¿ëoì¼ñÓ÷øzôšíFê 4ùúòoð÷+ñ3 fíFô ñê ;³þ&+ ðë!ëoíF÷+ñ

5/›ñ7ê ñ @þ

÷\ðQ ƒñ

ëoì¼øfû ì„ëÍøùÖðfîÇð1÷øôsíFê ›ëˆñ7îëÍô øföRû¼÷ñ) ïOï¼öRíðëˆíRø ê@øfù )Ùñí%¼êOíFë

òˆû¼öFñ4þúø ò*1›ñšêOø öRó¼î

Çòˆðfê¼îœïXø òë Áì¼ñ7ø òœñ7÷ šíFñ7öFó¼îxëoì¼ñ@ñýsû¼ðëoíFø ê

<

?

9

á

<

; 9

þ /?

=

þ&"+

Áì¼ñ,ÿ þ R&þÕíFêëoì¼ñ¿÷øzôsíRê \ùúòˆðf÷ñ! 7ðfêëoì¼ñòˆñiùúø òˆñ ƒñ ÓòˆíËëˆëoñê^íRê'ëˆì¼ñ¿íRê„ëoñ òoðö ùúø òˆ÷ þ@iù ×þ& H

; 9

þ ?

=

þ

é¶êø òœó¼ñ7òÓëoø Xñ=ð)¼öFñëˆø\ðfïOï¼öð,õ’ê¼íFëˆñ=ñöRñ÷+ñê†ë1÷ñëoìOøšóëoì¼ñíRê„ëoñ òoðö×ñ šï¼òˆñîˆîˆíFø ê¼î þ"++ðfê¼ó þ&++÷&û¼îë Xñ ñ7ê¼ñòoðföFíRîœñ7óëoø:îœû¼íFëoð)¼öFñ Hñð)&Òùúøfòˆ÷î Áì¼íRîòœñ7ý†û¼íFòˆñ7îëˆì¼ñ íRê„ëoòœøšóOû ëˆíRø êøù‹ð\ëˆñ7îëùúû¼ê ëˆíRø ê îˆð!) Óì¼í|ì ÷øzô ñîEÓíFëoìëˆì¼ñ&ô ñöRø 7íËë? ? aðfê¼ó ëoì¼ñòˆñiùúø òˆñ@îoðZëoíRîõ’ñ7îÓëoìOñ=ðóOô ñëoíFø êyñ7ý†û’ðëˆíRø ê

<

?

9+;

=

þ

ï¼ïOöRí%7ðëoíFø êøfù )˜ñ7í%Oê¼íFë

òœû¼öRñfíFô ñîÁëoì¼ñùúø öFöRø!ÓíRê ñ7ê¼ñòoðföFíRîˆðëoíFø ê)øfùxþ"+

þ <

?

9

á

<

<

; 9

þ ?

=

þ4Q

#'ð)&†íRê*û¼îˆñÁøfùÖëˆì¼ñÁï¼òˆøfïXñòœë?yþ×ëˆì¼ñ,‹ñ7ð)&—ùúø òœ÷ øùƒëˆì¼ñÁÿ íFê&ëoì¼ñ‹÷+øzôsíRê 4ùúòˆðf÷ñ íRîþ>ù ×þ&+

; 9

þ /?

=

ëoì¼ñðfö ø òœíFëoìO÷Dëˆì’ðëÓùúø öFöRø!Óî

$0& "$ +% 0 " * +% % "

!ýsû¼ðëoíFø ê þ4+!—ì’ðfî ƒñ7ñ7ê`ó¼ñòˆíËô ñ7óÛó¼íFòˆñiëoöG ùúòœø ÷#ëˆì¼ñ øzô ñòˆê¼íFê ÿ þ4!=û¼îˆíFê ëoì¼ñ÷øôsíFê øšøfòˆó¼íFê’ðëoñî=þ+ ’ø öFöRø!ÓíRê* 6! " Öðï¼òˆíFê 7íFï¼öRñíFî1ê¼ø!ïOòˆø ïƒø îˆñóû¼ïƒø ê Óì¼í%|ì:ëˆì¼ñó¼ñòˆíFôðëˆíRø ê5øfùÁëoì¼íFî&÷øôsíFê 7øsø òœó¼íRê’ðZëoñ\î4sîœëoñ÷ ðfê ƒñ ’ðîˆñ7ó ÍíRòœîœëQ ó¼ñõ¼ê¼ñëˆì¼ñëoøfëoðföa÷+ðfîˆîOþ ,

¼þ

þ4+

Óì¼ñ7òœñ+ëˆì¼ñëˆñ7îë=ôfø öRû¼÷ñ)@þ

@íRî|ì¼ø îœñ7ê5ëˆø ƒñëˆì¼ññ7ê„ëoíFòˆñîˆï’ðëˆíqðfö!óOø ÷\ðíRê^øfù‹ëˆì¼ñ ï¼òˆø)¼öRñ÷ ðëÁëˆíR÷ñ ’÷+øzôsíRê* ÓíFëoì)ôfñ7öRø 7íËë? ? !#øfëoíËôfðZëoñ7ó ëˆì¼ñ@îðöRñ@íRê„ôðfòˆíRðfê ñ ðfòfû¼÷+ñê„ëoîÍíFê ! "šðfê¼ó—òˆñùúñòˆñê 7ñîëoì¼ñòˆñ7íFêöRñiëÇëˆì¼ñ‹ô ñöRø 7íËë? )øfù¼ëˆì¼ñ‹÷øzôšíFê 1ùúòˆðf÷ñ? Xñ@ó¼ñiëoñòˆ÷íRê¼ñó )ëˆì¼ñ‹ñ7ð)& 7ø êOîˆñ7òôðëoíFø êyï¼òˆíFê 7íFï¼öRñ

¼þ

þ4 3

Óì¼ñ7òœñ íFî1ð¿ëoñîœë›ùúû¼ê iëoíRøfê'ðfóšô ñiëoñóÓíFëˆìôfñ7öRø 7íËë? ’îoðZëoíRîù? síRê ³þ&+Öðfê¼ó

íRî›ð 7ø êOîœë|ðê†ë—ó¼ñëˆñ7òœ÷+íFê¼ñ7ó ºðê¼ó ëˆì¼ñ+íFê¼íFëˆíqðföÇó’ðëoð* !ýsû¼ðëoíFø ê þ 34íRîðfê íRê„ëoñ òoðö ñ7ý†û’ðëˆíRø ê)ùúø ò ó¼ñ7ïƒñ7êOó¼íRê ø ê¼þ xðfê¼óyëoì¼ñ@÷øôsíFê 7øsø òˆó¼íFê’ðëˆñ4îHsîœëˆñ7÷

4íFüXñ7òœñ7ê„ëoíRðëoíFø êøfùxþ43+KÓíFëoìyòœñ7îˆïƒñië1ëˆø¿ëoíR÷ñ$síRñöRó¼î

?

¼þ

=

þ4;

/1ñê 7ñ@ëoì¼ñHñð)&ùúøfòˆ÷ þ +R‹øfù×ëoìOñ=ÿ ƒñø ÷ñ7î

?

¼þ

; 9 þ /?

þ4+

ø ò¼ðù ëoñò›íFê„ëoñfòoðëˆíRø ê )ï’ðòœëoî

?

¼þ

?

9

á

<

?

9+;

Óì¼ñ7òœñ

á

íFî+ëˆì¼ñû¼ê¼íËëø ûšë?xðfòœó ê¼ø òœ÷\ðfö !évù 5ðfê¼ó ðòˆñ íËô ñêVëˆì¼ñHñð)&Ûùúø òˆ÷ þ4 ))íFî³íFê ñiü3ñë'ðfê ñý†û’ðëoíFø ê8ùúø òëˆì¼ñ ó¼íFôfñ7òfñ7ê ñ5øfù ? /›ñ7ê ñ)›íRê ø òˆóOñ7òyëoø ó¼ñëˆñ7òœ÷+íFê¼ñ yû¼ê¼íFýsûOñ7ö&ðfó¼ó¼íËëoíFø ê’ðfö? 7ø êOîœëoòˆðfíRê„ëˆîHðòˆñxòœñ7ý†û¼íRòœñ7óø ê&ëoìOñ›÷ñ7îœì¿ô ñ7öFø(íFë?) é¶ê'ï’ðòœëoí7û¼öRðfò¼ùúøföRöRø!ÓíFê 6)" ÖíËùÍëoìOñôfø òœëˆí%7íËë?

;

?

:íRîÓîˆïƒñíFõ’ñó`þúëˆø+ ñiëoì¼ñò ÓíËëoì îˆû¼íËë|ð)OöRñ ƒø û¼ê¼ó’ðòH 7øfê¼ó¼íFëˆíRø êOî+ëoìOñ7ê íËô ñ7ê

?

`ðfê¼ó ý†û’ðZëoíRøfê þ +ø ò þ4 ó¼ñëˆñ7òœ÷+íFê¼ñ7îÁëoìOñ@ôfñ7öFø(íFë? ? û¼ê¼íFý†û¼ñ7öG+

’ø òHñ Oðf÷+ïOöRñ)sîˆûOï¼ïXøfîˆñëˆì’ðë³íRî‹îœïXñ7íËõ’ñ7óyðfêOó\ëoì’ðZë ;

?

;

Áì¼ñêëoì¼ñòˆñ ñšíRîëoî›ð¿ô ñ7öFø(íFë?\ïXøfëˆñ7ê„ëoíRðfö 'îoðQ+Öîœû |ì³ëˆì’ðë

?

<

;

þ4"+

íRê Óì¼í|ì 7ðfîˆñ+þ4 ðfê ƒñÓòœíFëœëoñ7ê

?

Oþ

;

9

á

<

;

9 ;

<

9

á

9 ;

=

þ4

évù

?

’þ

×ðfê¼ó ðfòœñ,&†ê¼ø!Óê+!ý†û’ðëˆíRø ê)þ4 ðfê ƒñ‹ûOîˆñ7ó¿ëˆø4ó¼ñëˆñ7òœ÷+íFê¼ñ fðù ëˆñ7ò/Óì¼í%|ì

?

5÷+ðQ ƒñùúø û¼ê¼óyùúòˆø ÷ ëoì¼ñHñð)&ùúøfòˆ÷ øùÁþ "+

?

;

<

þ4

Óì¼í%|ìíRîxëˆì¼ñ ï¼òœøœñiëoíRøfêøù <

;

ø ê)ëoø¿ëoì¼ñ@îœï’ð)7ñøfù

öFöXëoì¼ðëÓòˆñ÷\ðfíFê¼îšíRêyï¼òœíRê íRï¼öFñ4ðëÓöFñðfîëQ¼íFî‹ëoø,ó¼ñiëoñ7òœ÷+íFê¼ñ

?

¼þ

‹íRê þ 4íFüXñ7òˆñê„ëoí

ðëoíFê þ4+KÓíFëˆìòœñ7îœïXñë›ëoø,ëoíR÷ñðfêOó÷+ð)&†íRê*ûOîˆñ@øfù×ëoì¼ñ@íRóOñ7ê„ëoíËë? þ& fíFô ñî

?

¼þ

þ

< ; 9

þ ?

þ

Óì¼í%|ì³÷\ðQ ƒñ=ñiôðföRû’ðZëoñ7ó5þÕíFêëˆñ7òœ÷+î›øfù ? Óì¼ñê íFî &†ê¼ø!Óêƒé¶êï¼òˆð)ëˆí%ñ)#!ý†û’ð

ëoíFø ê¼îþ4 xðfê¼ó5þ) +KÓíRöRö Xñ@îœø öFôfñ7óîˆíR÷—û¼öFëoðfê¼ñ7øfû¼îˆöG+ùúø òðê¼ó

?

äÙèÕá ÁèLá×èâsáXâ„â Ùä˜å

þ43+Çþ4+Çþ4+1ðfê¼ó þ) +Áùúø ò›ëoì¼ñ=û¼ê &†ê¼ø!Óê¼î ? / ðfêOó (ƒé¶êø òœó¼ñ7ò›ëoø\óOø\ëoì¼íFî íFëHíRîVõ’òˆîëxê¼ñ7ñ7îœîoðfò4ëoø—ï¼òˆøsó¼û ñ4ðfê)íFê¼íFëˆíqðfö fòˆñiùúñ7òœñ7ê ñ) òœíRóëoì’ðë 7øzô ñòˆîxëˆì¼ñíFê¼íFëˆíqðfö îˆï’ðZëoíqðöaó¼ø ÷+ðfíRê:@þ@ !)˜ñië›ëˆì¼íRîÓòœñùúñ7òœñ7ê ñ fòˆíRóyì’ðôfñ

<

ô ñòœëˆí%7ñî&þ ëoì¼ñõ’òœîœë XñíRê ÁíFê4ëoì¼ñ!íFê„ëoñ7òœíRø ò3øfù†ëoì¼ñ!ó¼øf÷\ðfíFêðfê¼óëˆì¼ñ!òˆñ÷\ðfíFê¼ó¼ñòaø êëoì¼ñ ƒø û¼êOó’ðfòH)Óì¼í|ìíFî ðfîˆîœû¼÷ñ7óëoø Xñð 4íRòˆí|ì¼öRñië Xø ûOê¼ó’ðfò4ùúøfò‹îˆíF÷+ïOöRí%íFë?*!ðëxïƒø îœíFëoíFø ê¼î

=== öFîˆø\öFñë 4

±þ —þÕí

+GG9 <

,ƒñëˆì¼ñ—û¼îœû’ðföÙï¼íFñ7ñÓíRîœñ—öRíFê¼ñðò ¼ðfîˆíFî›ùúû¼ê*ëoíFø ê¼î›ø ê ëoì¼íFî÷+ñîˆìÒþÕí ñ

4 ¶þ

˜évë@íRîê¼ø! ïƒø îœîˆí%OöRñ&ëoøyó¼ñiõ’ê¼ñ+ð)ó¼íRîH7òˆñiëoñ¿ùúø òœ÷?øfù

þ+ þ ±þ 4 ±þ þ R

Óì¼ñ7òœñ±þ +

!ùúø ò === <!

'šøyöRø ê ðfîê¼ø)ë|ðfê* öRíFê ø 7ûOòˆîíRêëˆì¼ñ ÷+ñîˆì" þ

„ëoì¼ñê^þ(!!íFî‹ðê\íRê„ôfñ7òœëˆí%¼öFñÓ÷\ðfïOï¼íRê =ðfê¼ó+îˆø=íFëVíRîïƒø îˆîœí%¼öFñ›ëˆø=ó¼ñiõ’ê¼ñ

¶þ# 4 ±þ þ# ===

<$ þ+

Óì¼ñ7òœñ

íRî›ëoì¼ñ—ïXø íFê„ëëoì¼ðë4÷+ðfï¼î›ëoø íFê:þ R—þ "

þ

H 91øfëˆñ—ëoì¼ðë4íËë íRîÁñ7ðfîˆíFö\ôfñ7òœíFõ’ñóëˆì’ðë›ñð)|ìøfù×ëoì¼ñîˆñ@ùúû¼ê iëoíRøfê¼îÙîˆðëoíFîœõ’ñî›ëˆì¼ñ7ø ê¼îëoòˆðfíRê„ë=þ&+

9 ? þ ; @ 9 ? &%' ? )(* 9+; ? 9; = þ23

.ï¼òˆøsøfùÙëoì’ðZë›ëˆì¼ñ@îˆñ7ø ê¼ó³öRíFê¼ñùúø öFöRø!Óî‹ùúòˆøf÷ ëoì¼ñõ’òœîœë ðê ƒñùúø û¼ê¼óíRê "

+5ñðfòœñ@ê¼ø!ð)¼öFñ4ëoø,ó¼ñiõ’ê¼ñó¼íRîH7òˆñiëoñ@ñ7ý†û¼íËôðföRñê†ëˆîÁëoø ðfêOó ,&þ# ,±þ -±þ. þ; /þ#

/0þ 1¶þ#

=

þ+

% ' ( * þ

+ þ2

Óì¼ñ7òœñ þ. ===

*ÁìOñ@ùúøföRöRø!ÓíFê —îœñ7ý†û¼ñ7ê*7ñ÷\ðQ Xñû¼îœñ7óyëoø¿ñiôfðöRû’ðëˆñ

þ )

þ R +@íËô ñ7ê

?ðfê¼ó (’îœø öFôfñ@ëˆì¼ñ@ó¼íRîH7òœñëoñùúø òœ÷ øfùxþ43+

, þ"+ ùúø ò === <! ëoøyø+OëoðfíRê , === ,

þLðfêOó ëˆì¼ñ7òœñùúø òœñ , ùúòˆø ÷ þ2;H íRê³ëˆñ7òœ÷+î›øfù +ðfê¼ó === 91øfëˆñëˆì’ðë4îœíRê ñ =ëˆì¼ñ=ëˆøfë|ðö ÷\ðfîœîxíRî 7ø ê¼îœñ7òô ñ7ó ^þ"+VîœøöFø ê ¿ðî‹ëoì¼ñîœû¼÷ øù×ëˆì¼ñ

ÙíRîHñ7ý†û’ðföaëˆø +*ÁìOíRî íRîñ7ê¼îœû¼òˆñó ÓìOñ7ê ëoìOñ

Áðfòœñ ðö%7ûOöqðëˆñ7ó5ûOîˆíRê*'ñð|ì ëoñ7îë&ùúû¼ê iëoíFø ê ÓíËëoì ëoì¼ñ@íRêOíFëoíRðföƒó’ðë|ð(

þ&+ +@íËô ñ7ê, Öîˆø öËô ñëoìOñóOíRîòˆñiëoñùúø òˆ÷ºøfùxþ4

? ¼þ , ; / 9 á < , ; / 9+;

, <

, 9 á , 9 ; þ2 ùúø ò === <$

Oëoø) ñëˆì¼ñ7ò ÓíFëˆì)ëoì¼ñ@ó¼íFî7òœñëˆñùúø òœ÷ øfùxþ

? ¼þ , < ; 9 þ , ? þ2 ëoøø)Oë|ðfíFê/ === /

þLðfê¼óëoì¼ñòˆñiùúø òˆñ / ùúòœø ÷ºþ )Ùðfê¼ó

?

9›øfëoñVëoì’ðëîˆíRê*7ñ ø ê¼ö)ëˆì¼ñ fòoðfó¼íFñ7ê„ë1øfù /<ðfïOïXñ7ðfòˆî1íRê:þ& ’íFë1íRî›ê¼ññ7îˆîˆðfòHëoø+îˆïƒñíFù ³ðôðföFû¼ñ øfù/ðë@þÕðëHöRñðîœë ø ê¼ñ1ïXø íFê„ëQsîˆû |ìyðfî /

*šíFê\ø òœó¼ñ7òVëoø&ñê¼îˆûOòˆñëˆì’ðë / ì’ðfî›ð¿û¼ê¼íRý†û¼ñ@îœø öRûOëˆíRø ê

þ3 +@íËô ñ7ê/$ÖîˆøföFô ñëˆì¼ñ@ó¼íRîH7òˆñiëoñùúø òœ÷ øfùxþ4+

% ' ( * 9 ? % ' ( * 9+; / < % ' ( * 9 % ' ( * 9 ? % ' ( * 9+; / < % ' ( * 9 þ&3) ùúø ò ===

< ëoø,ø+OëoðfíRê

? === ? þLðfê¼ó)ëˆì¼ñ7òœñùúø òœñ ?

þ; 1›ñiëoû¼òœê

þÕí ñ)

?

?ðfû* ÷+ñê„ëoñ7ó ÓíFëˆì

?

+

ê^îœëoðfê¼ó’ðòˆó î|ì¼ñ÷+ñ¿ùúø òíFê†ëˆñ òˆðëoíFê ëoìOñòœñ7îœû¼öFëˆíRê yíRêOíFëoíRðföÙôfðöRû¼ñ î4sîœëoñ÷ þ +‹÷\ðQ ƒñ@û¼îˆñó³ëˆøBø ÷ï¼öRñiëoñ4ëoìOñîœø öRûšëoíRøfêyðfö% øfòˆíFëˆì¼÷

é¶ê ëˆì¼íRî)ï¼ðfïXñò)ëoì¼ñ^îHsîëoñ7÷ þ& \ì’ðî ƒñ7ñê íFê„ëoñfòoðëˆñ7ó û¼îˆíFê Ûðfê8ñšï¼öRí7íËë)ëoíR÷ñ

îœëˆñ7ï¼ï¼íFê ðö% ø òœíFëˆì¼÷ ùúøfòîœíR÷ï¼öRí7íËë?<þ ùúø òH‹ðfòœó !û¼öRñòÁû¼êOöRñ7îœî³îë|ðëˆñ7ó øfëoì¼ñòHÓíFîˆñ! Áì¼ñ ñšï¼öRí7íËë)ê’ðëˆû¼òˆñ^øfù=îˆû |ì î|ì¼ñ÷+ñî³íF÷+ïƒø îœñ7îyð:îœëoð)¼íRöFíFë? òˆñîœëoòœí%iëoíRøfê øfê8ëˆì¼ñ ÷\ðROíF÷&û¼÷ ðöRöRø!‹ð)¼öFñ,ëˆíR÷ñ

îœëoñï×ðfê¼ó íFë=íRî@ëoì¼íFî=òœñ7îœëˆòˆíëoíFø ê ëˆì’ðë=ì’ðfî û¼íRóOñ7ó ëˆì¼ñ ëoíF÷+ñ

îœëˆñ7ïîœñ7öFñëˆíRø ê'÷+ñ|ì’ðfê¼íFîˆ÷û¼îˆñó íFê'ëoìOíRî Hø òH& ÖûOòœëoìOñ7òˆ÷ø òœñ)ƒû¼ê¼öRñîˆî4îë|ðëˆñ7ó øfëoìOñ7òHÓíFîˆñfëoì¼ñ‹íRê¼íËëoíqðö„ó’ðë|ð4ûOîˆñ7ó,íFê—ëoì¼ñ‹ñOðf÷ï¼öRñîÍëoì’ðZëùúø öRöFø!:ì’ðfîƒñ7ñê ñ7ê¼ñòoðëˆñ7ó ø ê=ð›û¼êOíFùúø òœ÷ íRêOíFëoíRðföf÷ñ7îœì!Áì¼íFîÇíFî˜ó¼ø ê¼ñVû¼îˆíFê 1ð ø ê„ëoíRê†û¼øfû¼îÇïOíRññÓíFîˆñVöRíRêOñðfòaöFñðfîë îˆý†û’ðfòœñ7î@õ¼ëëoøëˆì¼ñ,ñOð)ië@íRê¼íËëoíqðöÇó’ðZë|ð)ðëëˆì¼ñ¿÷+ñîˆì^ê¼øsó¼ñ7î öFöÍòˆñîˆû¼öËëoîï¼òœñ7îœñ7ê„ëoñó íRê)ëoìOíRîÁï’ðfïƒñ7ò›ðfòœñ7ø ÷ï¼ûOëˆñ7óû¼îˆíFê

(

|ç äƒá †ã ˜èLá8 ÕèLç OâzèÕäƒá

+5ñ‹ê¼ø! ø ê¼îœíRó¼ñòðfï¼ïOöRí%7ðëoíFø ê¼îÙøfù’ëˆì¼ñx÷ñëoìOøšóëoø4ï¼òœø+¼öFñ7÷î/Óì¼í|ì 7ø êOîˆñ7òô ñÓ÷+ðfîˆî é¶ê ëˆì¼ñ7îœñ,ï¼òˆø+OöRñ7÷î4ëoìOñ,ëˆøfë|ðöÍ÷+ðfîˆî íRê þ +íRî$7ø ê¼îë|ðfê„ë—ðfê¼ó^îˆø

?

íRî

ñ7òœø Áì¼ñ ðfö%fø òˆíËëoì¼÷ íRî˜ëoì¼ñòˆñiùúø òˆñHîˆíR÷ï¼öFíFõ’ñóíFêëˆì’ðë ›íFîÇêOøöRøfê ñ7ò×ðÓó¼ñ7ïƒñ7êOó¼ñ7ê„ëôðfòœíqð)¼öFñVðfê¼ó ëoì¼ñòˆñ¿íFîê¼ø)ê¼ññ7óëoø 7ø ÷ï¼ûOëˆñ

?

\íRê³ëoì¼ñ¿ðö% ø òœíFëˆì¼÷ íRê'ëˆì¼ñ&ï¼òœñôsíRøfû¼îîˆñëoíFø ê ,‹ø ÷+øzôsíRê* Xø ûOê¼ó’ðfò4ï¼òœø+¼öRñ÷+î@ðòˆñ¿ï¼òœñ7îˆñê„ëoñ7ó ×øfê¼ñ¿íRê„ô øföFôsíRê ëˆì¼ñ¿ïƒø òˆø ûOî÷+ñó¼íRû¼÷ ñ7ý†û’ðëˆíRø êðfêOóëˆì¼ñ@øfëoì¼ñò XñíRê ð&ùúø û¼òëoìyø òˆóOñ7òÓê¼ø ê¼öFíRê¼ñ7ðfòxó¼íËü3ûOîˆíRøfêñý†û’ðëoíFø ê

'

" 02"$(: +%

Áì¼ñ=ÿÇø òœø û¼î #³ñ7óOíRû¼÷ !ý†û’ðëˆíRø ê þÕÿ # K

; 9

þ

;

þ&3(R

þÕíFê ðõ(Oñó òˆñiùúñ7òœñ7ê ñ\ùúòoðf÷ñ! Óì¼ñ7òœñ ³íFî—ðê5íRê„ëˆñ ñò=ñ Oïƒø ê¼ñê„ëQÍíFî—ð ‹ñöRö

&†ê¼ø!Óê5÷øšó¼ñöñ7ý†û’ðZëoíRøfê^ùúøfò„ðfî’ø!Óî@íRê^ïXøfòˆø û¼î@÷ñ7ó¼íRð*3îœï¼òˆñ7ðfó¼íFê ³öFíRý†û¼íFó¼îXñë +8íFëˆìëoì¼ñ ƒø û¼ê¼ó¼ðfòH7ø ê¼óOíFëoíFø ê

*!ý†û’ðëˆíRø êÛþ&) fíFô ñîaøfê îœû ¼îëoíFëˆûOëoíFø êøfù

?

¼þ

þ

;

< ?

9

á

þ&3 +

÷+øzôsíRê* ƒø û¼ê¼ó¼ðfòˆíFñ7î\øfê Óì¼í|ì

*!ùúø òBÓì¼í%|ì 7ø ÷ï’ðfòœíRîˆøfê òœñ7îˆûOöFëoî\ðfòˆñ'ðföRîœø &†ê¼ø!ÓêÖ÷\ð)&†íFê ¿íFëÓðê³íFó¼ñðföXëoñ7îë›ï¼òˆø+OöRñ7÷ ’û¼òëoì¼ñòÓó¼ñëoðfíRöFîx÷\ðQ Xñùúø û¼êOóíFê 6! " ðfê¼óyëoì¼ñ@òœñùúñ7òœñ7ê ñ7îÓëoì¼ñòˆñíRê

+8ì¼ñ7êÛðfïOï¼ösíRê*:þ"+

þ&3+ ëoøîœø öFôfñ\ëoìOñyÿ # íRê ë?‹øó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê¼î—ðêsûO÷ Xñò&øfù îˆíF÷+ï¼öFíFõ 7ðëoíFø ê¼î 7ðfê ƒñ=÷+ðfó¼ñ'šíFê 7ñ +íFî ø ê¼îë|ðfê„ëíËë1÷+ðQ Xñòˆñ÷+øzô ñóùúòˆø ÷ ëˆì¼ñ îHsîœëˆñ7÷ þ& ÁìOñ&òˆí ì„ë

ì¼ðfê¼ó'îœíRó¼ñøfù›þ& "+ÓíRîÓëoì¼ñêîˆíF÷+ï¼öGyð ø ê¼îœëoðfê„ë,þ ùúø ò ñð)|ì ?Ùëoì’ðëíFîó¼ñiëoñ7òœ÷+íFê¼ñ7ó¿ùúòœø ÷ ëˆì¼ñÁíRêOíFëoíRðfö†ó’ðëoð*fé¶êðfó¼óOíFëoíFø ê

?

4ó¼íRîˆðfï¼ïƒñðfòœîùúòˆø ÷ !ýsû¼ðëoíFø êyþ2 Áì¼íRîÍöqðfîëñ7ý†û’ðZëoíRøfê&÷\ðQ XñHùúû¼òœëˆì¼ñ7òîœíR÷ï¼öRíËõ’ñ7óÓì¼ñê,ëˆì¼ñ 4íFòˆí%|ìOöRñë Xøfû¼ê¼ó’ðfò4 7øfê¼ó¼íFëˆíRø ê

¿íRîÓíF÷+ïƒø îˆñóyðfê¼ó

¿íFîÁîˆñë

,

;

/

9+;

,

;

,

9;

=

þ&33

'šïƒñ7íËùsíRê 'ð³ôðföRû¼ñøfù/ îëoòˆøfê ö ðë—ø ê¼ñ+ê¼øšóOñ\ø ê5ëˆì¼ñ ƒø û¼ê¼ó¼ðfòH ñ7êOîˆû¼òœñ7î&ëoì¼ðë ëoì¼íFîîHsîœëˆñ7÷ ì’ðî@ðyûOê¼íRý†û¼ñ,îˆøföRûOëˆíRø êìOøRHñôfñ7ò=íRêëoìOíRîEHø ò&'ëˆì¼ñ 7øfê¼ó¼íFëˆíRø ê /

íRî›ðfï¼ïOöRíRñó³øfê³ëoìOñ=Óì¼øföRñ÷+øzôsíRê ƒø û¼ê¼ó¼ðfòH) ÁìOíRî›íRî›ñ7ý†û¼íFôðföFñ7ê„ëÓëoø+íR÷ïXø îœíRê &ëˆì¼ñ 7ø êOîœëoòˆðfíRê„ë@ëoì¼ðëëoì¼ñ¿ëoðfê ñê†ëˆíqðfö 7ø ÷ïXøfê¼ñ7ê„ëøfùíFî

ñ7òœø³ø êëˆì¼ñ Xø ûOê¼ó’ðfò4 ðfê¼ó ÷+ñ7ðfê¼îÁëoì¼ðë=þ&3 3+‹ê¼ñ7ñó'ø ê¼öG ƒñîˆø öËô ñó³ùúø ò

===

Áì¼ñ=|ì¼ø í%ñ

ðföRîœøîœíR÷ï¼öRíËõ’ñ7î !ýsû¼ðëoíFø ê¼î=þ&3+ +

Áì¼òˆøfû ì¼ø ûšëëoìOíRîï¼ðfïXñòíËëíFîðfîœîˆû¼÷ñ7óëˆì’ðë4ðfê 4íFòˆí%|ìOöRñë ƒø û¼êOó’ðfòH 7øfê¼ó¼íFëˆíRø êOî ø ê ðfòˆñ@ðfïOï¼öRíFñ7ó Hñð)&†öG+

ëoì¼íFîÁíFë‹íRîx÷ñðfê„ëxëˆì’ðëÁëˆì¼ñ4íRòœí%|ì¼öFñë 7ø ê¼óOíFëoíFø êø ê íRîÇû¼îˆñó,ëˆø4îˆíF÷+ïOöRíFù ,þ4VþLðê¼ó¿ì¼ñ7ê*7ñþ2¼ûOëëˆì’ðëÇëoì¼íFî 7øfê¼ó¼íFëˆíRø ê=íRîÇê¼øfë!íF÷+ïƒø îˆñó îœëˆòˆø ê föøfêëˆì¼ñ@îˆø öFûOëoíFø ê ,ºþÕí ñ ,

=== ,

ðfòœñîœëoíFöRöaûOê &†ê¼ø!Óê¼î1íFê þ "+H

1›ñîˆû¼öËëoî1ðfòˆñ@ï¼òœñ7îœñ7ê„ëoñóì¼ñ7òœñ Óì¼í|ì³óOñ7÷ø ê¼îœëˆòoðëˆñëˆì¼ñ=ð)û¼òoð)yøfùÍëˆì¼ñ÷+ñiëoì¼øsóyíRê ø ê¼ñ)ðê¼ó5ë?Høó¼íR÷ñ7ê¼îœíRø êOî&ð)„ðíRê¼îë &†ê¼ø!Óê`îˆíF÷+íFöqðfòœíFë?³îˆø öFûOëoíFø ê¼î 3" ,Hø ðfîœñ7î ðfòˆñ=7øfê¼îˆíFó¼ñ7òœñ7ó#ÓíFëˆì'ñšïƒø ê¼ñê†ëˆî

)þúùúøfò ÓìOí%|ì'ëˆì¼ñ—îœöRø ïƒñ@øfùëoìOñ—îˆñöFù

îˆíR÷íRöRðfò îˆø öFûOëoíFø êðëÓëoì¼ñ@÷øzôšíFê Xøfû¼ê¼ó’ðfò4yíRîÁõ’ê¼íËëoñQxðfê¼ó

3'þùúø ò Óì¼í%|ìëoì¼ñ@îœöRø ïƒñðë ëoì¼ñ Xøfû¼ê¼ó’ðfò4 íRî@íRêOõ¼ê¼íFëˆñ!Ùévë ðfê Xñ+îˆì¼ø!Óê5ëˆì’ðë=íRê îœï’ð)ñ\ó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê¼î\þÕì¼ñòˆñ

@ø ò )Óð¿òˆðfó¼íqðöRöî4š÷÷ñëoòœí%îœñ7öFù

îˆíF÷+íFöqðfòîˆøföRûOëˆíRø ê)ñ OíFîœëˆî1øfù×ëoìOñ@ùúøfòˆ÷

þ

Çþ

×þ

þ&32;

íRê Óì¼í|ì&íFîxëoì¼ñ@û¼îœû’ðfö˜òˆðfó¼íqðö7øsø òˆóOíRê’ðëˆñ)’ðê¼ó Óì¼ñ7òœñ

Çþ

!#"

ðê¼ó

$

¼þ <

=

Áì¼ñ@ï¼òˆø)¼öRñ÷ºíFîxï’ðfòˆðf÷+ñiëoñòˆíRîœñ7ó ëˆì¼ñíRê¼íËëoíRðfö’ùúòˆø ê„ëÁïƒø îˆíËëoíFø ê =þLðZëxëoíF÷+ñ xðfê¼ó ëoì¼ñ,ïƒø îˆíËëoíFø êøfùëoìOñ÷øzôsíRê ùúòœø ê„ë@íRîE íËô ñê $Çþ aévë@îœì¼ø û¼öFó ƒñ¿ñ7÷ï¼ì’ðîˆíRîœñ7ó ëoì’ðZë4ðföËëoì¼øfû ìyíRêë?‹ø+ó¼íR÷ñ7ê¼îœíRø êOîÓëˆì¼ññOð)ëîˆø öFûOëoíFø êíRîÓòoðfóOíqðföFö+îHs÷+÷ñëˆòˆí@ëˆì¼ñ õ’ê¼íËëoññ7öFñ7÷ñ7ê„ë›÷+ñîˆì¼ñîÓû¼îˆñó'íRê)ëˆì¼ñùúø öRöFøRÓíFê &ñ ¼ð÷+ï¼öFñ7îÓðfòœñ@ê¼øfëQ

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

Porous Medium Equation (1D): T=10.0 (solution error)

LOG(dx)

LOG(error)

m=1

m=3

optimal m=3

slope=2

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

Porous Medium Equation (1D): T=10.0 (mesh error)

LOG(dx)

LOG(error)

m=1

m=3

optimal m=3

slope=2

©µ¬„ÈÈÇ¥‹Ê|Ê|À„¹¸zÊoÑ^§z¾Á´±°„­+¸»†»†¹±§ ©«¦¸´¶­+®¶§·«À†´±©µ§ª†® ¸zªs½@§ª ¸®±­¯ÄÀ„­¯ªsÊo­§z¾ ¦­¯®°„­¯®×¸´f®¶§·«À„´±©µ§ª@­|¹±¹±§z¹Ç©Ëª@´±°„­

ª„§z¹¦q·µ­|¾R´˜¸zª†½=¦­¯®±°@­|¹¹±§z¹¯Ì }Rj ´±°„­V­|¹±¹§z¹ ©«ª&´±°†­Ó»¼§®±©µ´±©µ§ª—§z¾a´±°„­Ó¦§¨f©«ª†¬ÆO§Àsª†½†¸¹±Ñz̄©«ª¿´±°†­Ó¦@¸ ©Ë¦1À†¦ª†§z¹¦R¹©µ¬°´œÈ

Íí%fû¼òˆñ ¿íFöRöFû¼îœëˆòoðëˆñ7î1ëˆì¼ñ,ð)7û¼òˆð)'øfùëoì¼ñ¿÷ñëˆì¼øšóíFêëoì¼ñ¿øfê¼ñ

ó¼íR÷ñ7ê¼îœíRø ê¼ðfö 7ðfîˆñ Áì¼ñ)íRêOíFëoíRðföó¼ø ÷+ðfíRê xðî,ëoð)&fñê:ëoø ƒñ

=

=

"Hùúø ò ƒøfëoì

yðfê¼ó

3

ðfê¼óƒø êëoì¼ñ 7ø„ðfòœîˆñîœë4ûOê¼íFùúø òœ÷ ÷+ñîˆì`þ

=

RÓð ø ê¼îœëoðfê„ëëˆíR÷ñ

îëoñï'øfù

=

+ ( xðî=û¼îœñ7ó5ùúøfò

+ðfê¼ó

=

+ yùúø ò

3*˜é¶ê ƒøfëoì ðîˆñ7î@ëoìOñëˆíR÷ñ

îëoñï ‹ðfî òˆñó¼û 7ñó ð@ùÕðëoøfòVøù ñð)|ìëoíR÷ñxëoìOñ1÷ñ7îœì ‹ðfîHòœñõ’êOñ7ó 4êëˆì¼ñ1øfïOëoíF÷\ðföš÷+ñîˆì ùúø ò

3+ëˆì¼ñ—ëˆíR÷ñ

îëoñï'ë|ð)&ñ7êø êëˆì¼ñ ø„ðfòœîˆñ7îë@÷+ñîˆì ‹ðfî

=

( ¼ûOë4ñð)|ìëˆíR÷ñ ëoì¼ñ=ê†û¼÷ ƒñ7ò›øfù 7ñöRöFî ‹ðfî4óOø û ¼öFñ7ó'íËë xðfî1òˆñó¼û 7ñó 'ð,ùÕð)ëˆø òÓøfùðfïOï¼òˆøQšíR÷+ðëoñö ! *#'sñ7øfê¼ó'ø òœó¼ñ7ò›ð)7û¼òˆð)yíFî 7öFñðfòœöóOñ7÷ø ê¼îœëˆòoðëˆñ7óyùúø ò

=û¼îœíRê ð¿û¼ê¼íËùúø òˆ÷ íRê¼íËëoíRðföÁ÷+ñîˆì‹ðföFëˆì¼ø û fìê¼øfë+ùúø ò

3 íRê ëoì¼íFî ðîˆñ)‹ï¼òˆñîˆû¼÷+ð)¼öGÒó¼ûOñ'ëoø5ëˆì¼ñ íRêOõ¼ê¼íFëˆñ+îœöRø ïƒñ+øù‹ëoìOñ\ñOð)ië¿îˆøföRûOëˆíRø ê ðëëoì¼ñ+÷+øzôsíRê ƒø û¼ê¼ó’ðòH+ /1ø!Hñôfñ7ò Óì¼ñ7ê ëoì¼ñ)íFê¼íFëˆíqðfö÷ñ7îœìÛíFî&ø+OëoðfíRêOñ7ó ë|ð&síFê ^ðöRñ7ðfîœë,îœý†û’ðfòˆñî Xñîœë¿õ¼ë¿ëˆøëoì¼ñ)íFê¼íFëˆíqðfö 7ø êOó¼íFëˆíRø ê¼îû¼îœíRê $! 0 "ê¼øsó¼ñîþÕîœñ7ñ 3* "’ùúø òHð=óOñ7îòˆíFïOëoíFø ê\øfù3ëoì¼ñðfö% øfòˆíFëˆì¼÷ û¼îˆñó#Xîˆñ7ø ê¼óøfòˆó¼ñòð)7û¼òˆð)³íRî1ðföFîˆø\ø)Oë|ðfíFê¼ñ7óùúø ò

3*#Áì¼íFîø ïOëˆíR÷+ðföaíFê¼íFëˆíqðfö òˆíFóyì’ðfî1ð,÷—û |ì'ó¼ñê¼îˆñòó¼íFîœëˆòˆí%OûOëoíFø ê)øfùÇïXø íFê„ëoîÓê¼ñðòÓëˆøëˆì¼ñ@ùúòˆñ7ñƒø û¼ê¼ó¼ðfòH)ëˆì’ðfê ëoì¼ñÓû¼êOíFùúø òœ÷ ÷ñ7îˆì Áì¼ñ 7ø ÷ï’ðfòœíRîˆøfê¼î Xñië?‹ññ7ê\ëˆì¼ñ 7ø ÷ï¼ûOëoðëoíFø ê’ðföOðfê¼ó,ëoì¼ñÓñ ¼ðë îˆø öFûOëoíFø ê¼îÓðfòœñ÷\ðó¼ñ@ðëÓëoíF÷+ñ#"

Q ³þúîˆññ\þ3;xðfêOó þ 3 +

Íí%fû¼òˆñ'5îˆì¼ø!Óî)ëoì’ðZë)îˆñ7ø ê¼ó ø òœó¼ñ7ò)ð7ûOòoð) íRî\ðföRîœø:ø+Oë|ðíRê¼ñóùúø ò

íRê ëoì¼ñ 7øfòˆòˆñîˆïƒø ê¼ó¼íFê =ë?Hø

ó¼íR÷ñ7ê¼îœíRø ê¼ðfö ðfîœñ$¼ûšëQ†ø ê ñ4ð)„ðíRê íFîHêOøfëHð)|ì¼íRñiô ñó Óì¼ñ7ê û¼îˆíFê 4ð1û¼ê¼íFùúøfòˆ÷íRêOíFëoíRðfö ÷ñ7îœì Óì¼ñ7ê

3*Zé¶ê ƒøfëoì ðfîœñ7îfëoì¼ñHíRê¼íËëoíRðfö ó¼ø ÷+ðfíFê=‹ðfî ð 7íFòöRñøfùòoðfóOíRû¼î

=

BÓì¼íRöFñëˆì¼ñ ø„ðfòˆîœñ&÷ñ7îˆì³ëoíR÷ñ

îœëˆñ7ï ‹ðfî

=

−2.5

−2

−1.5

−1

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

Porous Medium Equation (2D): T=2.0 (solution error)

LOG(dx)

LOG(error)

m=1

m=3

non−uniform m=3

slope=2

−2.5

−2

−1.5

−1

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

Porous Medium Equation (2D): T=2.0 (mesh error)

LOG(dx)

LOG(error)

m=1

m=3

non−uniform m=3

slope=2

©µ¬„ÈfÈ¥‹Ê|Ê|À„¹¸zÊoÑÁ§z¾„´±°„­×¸»s»†¹±§ „©«¦@¸´¶­Í®¶§·«À„´±©«§ª†® Ǹzª†½ ’§ª1¸®±­¯ÄÀ„­¯ªsÊo­×§z¾†¦­¯®±°†­¯® ¸´ Z®¶§·ËÀ„´±©µ§ª­|¹±¹§z¹×©«ª´±°„­

ª„§z¹¦ q·µ­|¾F´Ù¸zª†½@¦­¯®°­|¹±¹±§z¹Í©«ª4´±°„­H¦¸ ©«¦À†¦ ª„§z¹œ¦ R¹©«¬°Z´œÈ

íRêë?Hø+óOíR÷ñ7ê¼îœíRø ê¼îHíRîÓð&îœí% ê¼íËõ ðê†ëˆö+÷+øfòˆñEø ÷+ïOûOë|ðëˆíRø ê¼ðföRöG,íRê„ëoñê¼îˆíËô ñ4ë|ðî&\ëˆì’ðfê íRê ø ê¼ñ\óOíR÷ñ7ê¼îœíRø ê 3* "HðfêOó ðfö7û¼öRðëoíFø ê¼î@û¼îœíRê 'ðfê ø ïOëˆíR÷+ðfö!íRêOíFëoíRðfö÷ñ7îœì ì’ðô ñ ê¼øfë=ƒñ7ñ7ê5ðëˆëˆñ7÷ïOëoñó5ì¼ñòˆñ,ùúø ò

3*Ùé¶ê¼îœëˆñðfó Íí û¼òœñ )íRê*7öRûOó¼ñ7î@òˆñîˆû¼öËëoî@ùúòˆø ÷ ê¼ø ê

û¼ê¼íËùúø òˆ÷íFê¼íFëˆíqðfö ÷ñ7îœì¼ñ7îÍíRê Óì¼í|ì—ëoìOñxê¼øsó¼ñ7îÇì’ðô ñ ƒñ7ñ7ê 7öRûOîœëoñòˆñó&ëoø!xðòˆó¼îÍëˆì¼ñ ÷+øzôsíRê* Xø ûOê¼ó’ðfò4+Áì¼ñ¿øfòˆó¼ñòøfùHð)û¼òoð)íRîíRê òˆñðîˆñ7ó 'ëˆì¼íRîîëoòoðZëoñ ¼ûOë@íFî îœëˆíRöRöföRñ7îœîÇëˆì’ðfêîˆñø ê¼ó¿ø òœó¼ñ7òRÁì¼ñHíFê¼íFëˆíqðföó¼ø ÷+ðfíRêðfêOó=ëoíF÷+ñ

îëoñ7ïû¼îœñ7ó Hñ7òœñ‹ñOð)iëoöG ëoì¼øfîˆñøfùÇëˆì¼ñ@û¼ê¼íËùúø òˆ÷º÷+ñîˆì¼ñî#Áì¼ññô øföRûOëˆíRø êyøfù×ëoì¼ñë?Hø

óOíR÷ñ7ê¼îœíRø ê’ðö3ëoñîœë ðfîœñ7î ðfòˆñ—íRöRöFû¼îœëˆòoðëˆñ7óíRê Çí% û¼òœñ 3( 91øëoñ—ìOøR ëoìOñ—íRêšõ’ê¼íFëˆñ—îœöRø ïƒñ—øfù!ëˆì¼ñ&îœø öRûOëˆíRø ê'ðëëˆì¼ñ Xøfû¼ê¼ó’ðfò4 Óì¼ñ7ê

3\÷+ðfê¼íËùúñ7îëoî›íFëoîœñ7öËùÍëoìOòˆø û fìð\ê¼ø ê

ñòˆøîœø öRûšëoíRøfêôðföFû¼ñXðfê ðfóOôðfê„ë|ð ñøfù×íR÷ïXøfîˆíRê*=ëoìOñ4íRòˆí|ì¼öRñië,ø ê¼ó¼íËëoíRøfê ‹ñ7ð)&†ö)íFî‹ëoì¼ðëÓíFëxðföRöFøRÓîxð&÷+ø òœñ ð)û¼òoðZëoñ'òœñ7ï¼òœñ7îœñ7ê„ë|ðëˆíRø êÒøfù4ëoìOñ³íFê¼íFëˆíqðfö,ø ê¼ó¼íËëoíFø ê¼îðê¼óÒì¼ñê 7ñ'øfù4ëoìOñ³ñiô ø öËôšíFê îˆø öFûOëoíFø ê891øëoñðföFîˆø ëoì’ðë\íRê ðöRöÓøfùëoìOñ7îˆñ 7ðfö%û¼öqðZëoíRøfê¼î¿ëoì¼ñ÷+ðfîœî 5íRê<þ4 + HíFî 7ø êOîˆñ7òô ñóïXñòœùúñëoöG+ÖðfîÁñ šïXñëoñó

' 6$" " (

Áì¼ñ@ùúø û¼òœëˆìyø òˆó¼ñòÓó¼íFüXû¼îˆíFø ê)ñ7ý†û’ðZëoíRøfê

; 9

þ

;

þ&3

Óì¼ñ7òœñ

;

−1.5

0

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0.25

0.5

0.75

1

Porous Medium Equation: m=1; T = 0.0,0.5,1.0,2.0

x

u

Approximate

Exact

−1

0

1

−1

0

1

0

0.05

0.1

0.15

Porous Medium Equation: m=1; T = 2.0

−1.5

0

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

0.25

0.5

0.75

1

Porous Medium Equation: m=3; T = 0.0,0.5,1.0,2.0

x

u

Approximate

Exact

−1

0

1

−1

0

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Porous Medium Equation: m=3; T = 2.0

©µ¬„È fȄ·«©«Êo­¯®|Ìs¸z·«§ª„¬ ÌO§z¾˜­ „¸zÊo´x¸zªs½+¸»†»s¹±§ „©«¦@¸´¶­®¶§·«À„´±©µ§ªs®¾R§z¹ ›¸zª†½ =¸´ ¾R§À„¹Ó½†©Ã¼­|¹±­¯ª´x´±©«¦­¯® q·µ­|¾R´x¸zª†½´±°„­@¸»s»†¹±§ „©«¦@¸´¶­®¶§·ËÀ„´±©µ§ª)®±À„¹¾R¸zÊo­¯®Á¸´ R¹©µ¬°´œÈ

É

°†­Á¹±­¯®±À†·µ´±®ÅÍ­|¹±­Ó§zÆs´±¸z©«ª„­¯½,À†®©«ª„¬¸À†ª†©µ¾R§z¹¦ =ª„§f½†­zÌ @Êo­¯·«·’¦­¯®°’È

ÓíFëˆì³ð¿ùúòˆññXø ûOê¼ó’ðfò4^þúùúøfò 3KÓìOñ7ê

=

þ&3 "+

Áì¼ñ ƒø û¼ê¼ó¼ðfòH 7ø êOó¼íFëˆíRø ê¼î'þ&3 "+ñê¼îˆû¼òœñ'ëoì¼ðë\ëˆì¼ñ'ëoøë|ðföÓ÷+ðfîˆîøù4ëoì¼ñ'îHsîœëˆñ7÷ íFî 7ø êOîˆñ7òô ñóÓíFëˆìyëˆíR÷ñ4îˆíFê 7ñ

<

?

9

á

; 9

þ

;

; 9

á

=

ñ(7ñïOë›ùúø òÓðfê³ðfó¼ó¼íËëoíRøfê’ðföƒîœëoñï'òœñ7ý†û¼íRòœñ7óyëoø,òˆñ7øzô ñò›ëˆì¼ñðfï¼ï¼òœøQOíF÷\ðZëoíRøfê

\þ.

±þ

1±þ# þ&3

ëoøëoìOñïOòˆñ7îœîˆû¼òœñ

þ

Áì¼íRî 7ðfê ƒñ)ó¼ø êOñûOîˆíRê* ëˆì¼ñ ‹ñ7ð)& ùúø òœ÷ øfù

;

íRê„ëoñ òoðZëoñ7ó yï’ðfòëoî

;

9+;

,

þ +

ùúø ò

===

< *ƒñùúø òœñ4îˆø öËôsíRê —ùúøfò /íRê 'sëˆñ7ï —øfù˜ëˆì¼ñ@ðfö ø òˆíËëoì¼÷/íFê 'šñëoíFø ê 3*+Áì†û¼î†ëˆì¼ñÁùúû¼öRöš÷+ñiëoì¼øsó 7ø êOîˆíRîëoîøfùXîˆø öËôsíRê îˆû 7ñîˆîˆíËô ñö+3þ"+Öþ ’þ&33Áþ>ÓíËëoì ëoì¼ñõ’ê¼ðfö˜ø(7û¼òœòˆñê 7ñøfù ,.íRê)ëoìOíRîÁñ7ý†û’ðZëoíRøfêòœñ7ï¼öRð)7ñó xðfê¼ó þ&3)

1›ñîˆû¼öËëoî=ðfòˆñ,ï¼òœñ7îœñ7ê„ëoñó:ì¼ñ7òœñùúø ò@ø êOñ

ðfê¼ó ë?‹ø

ó¼íR÷ñ7êOîˆíRøfê’ðföï¼òœø+¼öFñ7÷îÓíFëˆì ëˆì¼ñ ñšïƒø ê¼ñ7ê„ë

)¼é¶êëˆì¼íRî 7ðfîˆñÖðfêñOð)ë›òˆðfó¼íqðöRöî4š÷÷ñëoòœí%4îœø öRûšëoíRøfêëoø'þ&3 VíRê

îœï’ð)7ñó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê¼îþÕîœñ7ñ 3"‹íRî íFôfñ7ê

þ

. , Zþ4

þ *R

íRê Óì¼í|ì

<

ðfê¼ó

=

þ +

Áì¼íRîÍîˆø öFûOëoíFø ê&ðfîœîˆû¼÷ñ7îðfê¿íRê¼íËëoíRðfö„ïXøfîˆíFëˆíRø êùúø òÇëˆì¼ñx÷øzôšíFê 1ùúòœø ê„ëøfù

+ÓìOíRöRñ ðfê¼ó, ì’ðô ñ Xññ7ê |ì¼ø îˆñêì¼ñòˆñ@ëoø íFôfñ þ@

\þ>Óì¼í|ì³ì¼ðfîð 7øfòˆòˆñîˆïƒø ê¼ó¼íFê ôðföRû¼ñøù

Íí%fû¼òˆñ íRöRöFû¼îœëˆòoðëˆñ7î&ëˆì¼ñ'ð7ûOòoð) øùëoìOñ'÷ñëoìOøšóÛíRê Xøëoì`ëoì¼ñø ê¼ñ

ðfêOóÛë?Hø

ó¼íR÷ñ7êOîˆíRøfê’ðföðîˆñ7îfé¶ê&øfê¼ñ‹ó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê@ùúø û¼òœëˆì—ø òœó¼ñ7òÍð)û¼òoð=íRîÇðfï¼ï’ðfòœñ7ê„ëÓþëoì¼øfû ì ëoì¼íFî\íFî\òˆñó¼û ñ7óëoø5îˆñø ê¼ó8ø òœó¼ñ7ò+íFù@ð % " ¿öFñðfîëîœýsû¼ðfòˆñî Xñîœëõ¼ë\íRî+û¼îˆñóëoø ðfï¼ï¼òœøQOíF÷\ðZëoñ¿ëoì¼ñíRêOíFëoíRðfö ø ê¼ó¼íËëoíFø ê¼îíRêOîœëoñ7ðfó5øùxû¼îœíRê ëoì¼ññOð)ië—íFê¼íFëˆíqðföÇîˆø öFûOëoíFø ê ðë@ëoì¼ñê¼øsó¼ñ7î 1ê¼íËùúø òˆ÷ íRê¼íËëoíRðföÍ÷ñ7îœì¼ñ7î=‹ñòˆñ\ûOîˆñ7ó ëoì¼òœø û ìOø ûOëQ /ëoíF÷+ñ

îëoñ7ï øfù

=

+ + ‹ðfîû¼îœñ7ó ø êëoì¼ñ ø„ðfòœîˆñ7îë÷+ñîˆì þ

=

+ðfêOó^ëˆì¼íRî xðfîòœñ7ó¼û*7ñ7ó ^ð ùÕð)ëˆø ò›øfù ) ñð)|ì³ëoíR÷ñëoì¼ñ÷ñ7îˆì xðfî1òˆñiõ’ê¼ñ7ó Áì¼ñ—ð)û¼òoð³òˆñ7óOû 7ñîëoøîˆñ7ø ê¼ó ø òˆóOñ7òÍíFê=ë?Hø4ó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê¼îRÁì¼ñ 7ø„ðfòœîˆñVëoíR÷ñ

îœëˆñ7ï—ìOñ7òˆñ xðî

=

+ + + *)QÓíFëoì=ëoì¼ñHîoðf÷ñ òˆñó¼û ëˆíRø êùÕð)iëoø ò ÓíFëoìñ7ð)|ì^òˆñiõ’ê¼ñ7÷ñ7ê„ëÁì¼ñ¿ñôfø öRûOëˆíRø êøùVëˆì¼ñ&ë?Hø

−2

−1.9

−1.8

−1.7

−1.6

−1.5

−1.4

−1.3

−1.2

−1.1

−1

−7

−6.5

−6

−5.5

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

Fourth order diffusion (1D), m=1: T = 2.0

LOG(dx)

LOG(error)

solution error

mesh error

slope=4

−2

−1.5

−1

−0.5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

Fourth order diffusion (2D), m=1: T = 0.01

LOG(dx)

LOG(error)

solution error

mesh error

slope=2

©µ¬„È „Èš¥‹Ê|Ê|À„¹¸zÊoÑ¿§z¾˜´±°„­›¸»s»†¹±§ „©«¦@¸´¶­®¶§·«À„´±©«§ª†® §ª\¸@®¶­¯ÄfÀ„­¯ª†Êo­1§z¾Ù¦­¯®±°„­¯®H¸´ 1©Ëª§ª„­Á½†©Ë¦­¯ª†®±©µ§ª q·µ­|¾R´×¸zªs½ Á©«ª—´ÕÅͧ4½s©«¦­¯ª†®±©«§ª†® R¹©«¬°Z´œÈ É °„­x®¶§·«À†´±©µ§ª ­|¹±¹§z¹V®±°„§ÅVª,©«®!©«ª&´±°†­

ª„§z¹¦.ÅV°†©«·µ­‹´±°„­›¦@­¯®±°¿­|¹±¹±§z¹H©«ª&´±°„­Ó¦@¸„©«¦À†¦.ª„§z¹¦,È

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

0

0.25

0.5

0.75

1

Fourth order diffusion: m=1; T = 0.0,0.05,0.1,0.2

x

u

Approximate

Exact

−2

−1

0

1

2

−2

−1

0

1

2

0

0.1

0.2

0.3

Fourth order diffusion: m=1; T = 0.2

©µ¬„ÈfÈ ·«©«Êo­¯®|ÌÖ¸z·«§ª„¬ ÌÖ§z¾­ „¸zÊo´1¸zª†½¸»†»†¹±§ ©«¦¸´¶­®¶§·«À„´±©«§ª†®x¾F§z¹ ¸´Ó¾F§À†¹ ½†©µÂO­|¹±­¯ª´V´±©Ë¦­¯®#q·«­|¾F´V¸zª†½+´±°„­1¸»†»s¹±§ „©«¦@¸´¶­4®¶§·«À„´±©«§ª®±À„¹¾R¸zÊo­¸´ R¹©µ¬°´œÈ

É

°„­ ¹±­¯®À†·µ´±®ÅÍ­|¹±­Ó§zƆ´±¸z©«ª†­¯½,À†®±©«ª†¬4¸Àsª†©µ¾R§z¹¦ ª„§ ½„­zÌ =Êo­¯·Ë·Ö¦­¯®±°’È

'

" (/" ."100

Áì¼ñ4÷ñëˆì¼øšó\íRê\ë?Hø¿ó¼íR÷ñ7êOîˆíRøfê¼î‹íFî‹ê¼øfë‹òˆñîœëoòœí%iëoñ7óëˆø¿û¼ê¼íËùúø òˆ÷/÷ñ7îœì¼ñ7îÁø òVëoø&òˆðfó¼í

ðföRöG,îHs÷÷+ñiëoòˆíï¼òœø+¼öFñ7÷îþ>ÓìOí%|ì)ì’ðô ñîœíR÷ï¼ö ƒñ7ñêyû¼îˆñóyëˆø&íRöFöRû¼îëoòˆðëoñÁëoìOñ@ð)û

òoð)\øù˜ëoì¼ñëˆñ|ì¼êOíRý†û¼ñ4ôsíqð ø ÷ï’ðfòˆíFîˆø êBÓíFëˆì)ðfê’ðföG†ëoí%1îˆø öFûOëoíFø ê¼î Íí%fû¼òˆñ —îˆì¼ø!Óî ëoì¼ññôfø öRûšëoíRøfê’íRêyëoì¼ñ ðfîœñ—øfùÇëoì¼ñ=ÿ8# ÓíFëˆì

&ðê¼ó

3*’øfùê¼ø ê

7ø ê„ô ñ íRê¼íËëoíRðföOó¼øf÷\ðfíFê¼îVðfîëoì¼ñ\ðï¼ï¼òˆø ð)|ì\ëoìOñ1îœíR÷íRöqðòˆíFë?=îˆøföRûOëˆíRø ê¼îVðfîœîˆø 7íRðëoñó ÓíFëˆìëˆì¼ñ7íFò íRê¼íËëoíRðföX÷+ðfîœîˆñ7î

Íí%fû¼òˆñ "\îœì¼ø!Óîëˆì¼ñ¿îˆøföRûOëˆíRø êøùxðfêíFê„ëoñ7òœñ7îëoíRê*yëˆñ7îë@ï¼òˆø+OöRñ7÷ëoì’ðZë@ì’ðfîƒñ7ñ7ê^îœñ

−3

0

3

−3

0

3

−3

0

3

−3

0

3

−3

0

3

−3

0

3

−2

0

2

−2

0

2

−2

0

2

−2

0

2

−2

0

2

−2

0

2

©µ¬„È fÈX¥H»†»†¹±§ ©Ë¦@¸´¶­—®±§·«À„´±©µ§ªy®À„¹±¾q¸zÊo­¯®¸´´±°„¹±­|­—½†©Ã¼­|¹±­¯ª´›´±©«¦­¯®1¾R§z¹ª„§ª„ØÕÊo§ªZ¨z­ ³©Ëª†©ÃØ ´±©«¸z·×½„§¦@¸z©«ª†®¯È

É

°„­¹±­¯®±À†·«´±®xÅÇ­|¹±­§zƆ´±¸z©«ª„­¯½¾R§z¹ R´¶§z» xÀ†®©«ª„¬¿¸,À†ª†©«¾F§z¹¦ ÆsÀ†´xÀsª Ø ®¶´¶¹œÀ†Êo´±À„¹±­¯½ ª„§ ½„­zÌ Êo­¯·«·‹¦­¯®±° ¸zª†½5¾R§z¹ RƼ§z´¶´¶§¦ —À†®±©«ª†¬¸À†ª†©µ¾R§z¹¦¿Ì À†ªs®¶´¶¹À†Êo´±À„¹­¯½ 1ª„§ ½„­zÌ

Êo­¯·«·ƒ¦­¯®±°’È

öRñëoñó+ëˆø=íFöRöRûOîœëoòˆðëoñÁøfê¼ñ1øù3ëoìOñ1öFíR÷íFë|ðZëoíRøfê¼îÍøfùXëoì¼ñ 7ûOòˆòˆñê„ëx÷ñëoìOøšó'þÕø òíF÷+ï¼öFñ7÷ñ7ê

ë|ðëˆíRø ê +Áì¼ñÓó¼øf÷\ðfíFê,îˆì¼ø!Óê\ì¼ðfîñô øföFô ñó\îœí% ê¼íËõ ðê†ëˆö=ùúòˆø ÷ ëˆì¼ñÓíRê¼íËëoíRðfö(ø ê¼ó¼íËëoíFø ê ëoø&òœñð)|ìð—ïƒø íFê†ëKÓì¼ñ7òœñíFë |ì’ðfê ñîxëoø ïƒø öFø+),ó¼û¼ñ4ëˆø—ëoìOñë?‹ø¿ñê¼ó¼îÁøfùÙëˆì¼ñœì¼øfòˆîˆñ

îˆì¼øsñ@íFê†ëˆñ7òœîˆñiëoíFê ñð)|ì,øfëˆì¼ñ7ò)Áì¼ñ û¼òˆòœñ7ê„ëíR÷ï¼öRñ÷+ñê„ë|ðëˆíRø êøfùÖëoì¼ñÁ÷ñëˆì¼øsó&ó¼øsñ7î ê¼øfë@ðûOëoø ÷+ðëˆí%ðöRöð)ø û¼ê„ëùúø ò4íFê„ëoñ7òœîˆñëoíFø ê¼îðê¼óîˆøyòˆñý†û¼íRòœñ7î4÷+ðfê†û’ðföÇíRê„ëoñòœô ñê

ëoíFø ê þ1"

,

;yíFê„ëoñ7òœïXøföqðëˆíRê —ëˆì¼ñîˆø öFûOëoíFø ê)ø êyëoøðêOñ÷ñ7îœì ÓíËëoìð÷ø òœñ@ðfï¼ï¼òœø

ï¼òˆíRðëoñø ê¼ê¼ñëˆíFôsíFë?*xíRê)ø òœó¼ñ7òÁëˆøïOòˆø 7ñ7ñóƒñfø ê¼óyëoì¼íFîÁïXø íFê„ëQ Áì¼íFîÓíRîÓð 7ø ÷÷ø ê ùúñðëˆû¼òˆñHøfù¼ëˆñ|ì¼ê¼íFý†û¼ñ7îÍëˆì’ðëÇòˆñö@ø ê&÷øzôsíRê òˆíFó¼îÇðföRø êOñHðê¼ó&íRî ñê¼ñ7òˆðföRöG@øzô ñ7òH7ø ÷ñ ðfûOëoøf÷\ðëˆí%1ó¼ñëˆñëˆíRø êøfù×ëoì¼ñëˆø ïXøföRø+) |ì’ðfê* ñëoòˆí+ ñòˆíRê*,ð,óOíRîòˆñiëoñ@òˆñ÷+ñîˆì

−1.5

0

1.5

−1.5

0

1.5

−1.5

0

1.5

−1.5

0

1.5

−1.5

0

1.5

−1.5

0

1.5

©µ¬„È È,¥H»†»†¹±§ ©Ë¦@¸´¶­8®¶§·«À„´±©«§ª ®À„¹±¾q¸zÊo­¯®`¸´`´±°„¹±­|­8½s©ÃÂO­|¹­¯ªZ´ ´±©«¦­¯® ¾R§z¹Û¸zª/©«ªs©µ´±©«¸z· ª„§ª„ØÕÊo§ªZ¨z­ =½†§¦@¸z©«ªÅV°s©«Ê°­|¨z­¯ªZ´±À†¸z·Ë·µÑ4§i¨z­|¹·«¸»š®×ÅV©«´±°@©µ´±®¶­¯·µ¾cÈ

É

,‹ø+ë?šïƒñ7îøfù!ê¼ø ê

÷+ðfîˆî

7øfê¼îˆñòœôsíRê \ï¼òˆø+OöRñ7÷ ðòˆñï¼òˆñîˆñ7ê„ëˆñ7óaé¶ê³ëoì¼ñîˆñ 7ðfîˆñî

?

íFî ê¼øfë

ñ7òˆø,îœø —ðföRîœø¿ê¼ñ7ñó¼î›ëˆø Xñ7ðfö%û¼öqðZëoñ7óyðîÁï’ðfòœëxøfùÙëoì¼ñîœø öRûOëˆíRø ê)ïOòˆø 7ñ7óOû¼òˆñ’ðfî ó¼ñ7îH7òœí%ƒñ7óíRê 'šñiëoíFø ê73(

%," +0 " "7-&% " (

Áì¼ñîˆíRê* öRñ4ïOì’ðfîˆñ 'sëˆñùÕðfêyï¼òœø+¼öRñ÷ íRî fíFô ñê ëˆì¼ñ@îœëoðfê¼ó’ðfòœó³óOíFüXû¼îˆíFø ê)ñ7ý†û’ðëˆíRø ê

;

þ 3

ÓíFëˆìyëˆì¼ñXøfû¼ê¼ó’ðfò4 7øfê¼ó¼íFëˆíRø êOî

?

9

á

þ ;

/1ñòˆñ

þ

Óì¼ñòˆñ

þ òˆñ7ïOòˆñ7îœñ7ê„ëoî,ëoìOñ)÷+øzôsíRê Xø ûOê¼ó’ðfò4:ðfê¼ó

òˆñï¼òˆñîˆñ7ê„ëˆî=ðê;yõ*šñó ïƒø òëoíRøfê³øfù!ëˆì¼ñ ø ÷+ïOûOë|ðëˆíRø ê¼ðföXøfû¼ê¼ó’ðfò4+Xé¶ê'ëoì¼íFî Hø ò& íRî,íR÷ïƒø îˆñó ø êÛëoì¼ñõ*šñ7ó ƒø û¼êOó’ðfòH

Áì¼ñ³îˆí êÒøfù

ó¼ñ7ïƒñ7ê¼óOî\ø ê Óì¼ñëˆì¼ñ7ò ùúòˆññ

íFê ÛþÕïƒø îœíFëoíËô ñQ=ø ò=ëˆì’ðQÓíRê Ûþúê¼ñ ðëoíËô ñ!—íFî ƒñ7íFê ÷+øsó¼ñöRöRñó 5ëˆì¼ñ)ï¼òœø+¼öRñ÷ ùúø ò,Óì¼í|ìëˆì¼ñ@îˆíRê* öRñï¼ì¼ðfîˆñ@òˆñï¼òˆñîˆñê†ëˆñ7óíFîxëoì¼ñ@öFíRý†û¼íRó)ïOì’ðfîˆñ

Áì¼ñó¼íËü3ñòˆñê 7ñîùúòˆø ÷ ëˆì¼ñ÷+ðfîˆî

7øfê¼îˆñòœôsíRê 5ï¼òˆø+OöRñ7÷î\íFê ëˆì¼ñï¼òœñôsíRø ûOîîˆñëoíFø ê ðfòˆíFîˆñ³÷\ðfíFê¼ö íRêÒëˆì¼ñ7ðfö%û¼öqðëˆíRø êÛøfù

?

KÓì¼í|ì íRîê¼ø:öRø ê* ñ7ò

ñòˆø`ðfê¼ó ëoì¼ñòˆñùúøfòˆñ ðfêOê¼øfë Xñ@í ê¼ø òœñ7ó’òœø ÷ þ&) ý†û’ðZëoíRøfê¼îþ 3+xðfê¼ó5þ ; fíFô ñ

?

¼þ

þ

;

< ?

9

á

þ

?

< ?

9

á

<

!

þ

;

< ?

9

á

þ

<

;

/

9

á

<

!

; 9

á

=

þ +

’ø òëoì¼ñ,õ’ê’ðföñýsû¼ðföRíËë?ëoì¼ñB7øfê¼îœëˆòoðfíFê†ëëoì¼ðë ?

9

á

ø ê ëˆì¼ñ,õ*šñ7ó ï’ðòœëøfù‹ëˆì¼ñ Xøfû¼ê¼ó’ðfò4+

Áì¼ñ)ñ7ý†û’ðZëoíRøfê5ùúø ò=ëˆì¼ñ\ôfñ7öRø 7íËë? ïXøfëˆñ7ê„ëoíRðfö /DðZë&íRê„ëˆñ7òˆíFø òê¼øšóOñ7îyþ.

===

íFî

ëoì¼ñê fíFô ñê þ>ù ×þ&

?

¼þ <

, ; / 9+; ; , 9+; = þ

îHíRê+ëˆì¼ñ4ï¼òœñôsíRøfû¼î‹ñ ¼ð÷+ï¼öFñ7î /

=íFîHíF÷+ïƒø îˆñó\ø ê+ëoì¼ñ1÷+øzôsíRê Xøfû¼ê¼ó’ðfò4

þ

þÕí ñOëoì¼ñ@ë|ðê ñ7ê„ëˆíqðföø ÷ïXø êOñ7ê„ë›øfù

?

íRî

ñ7òˆø!/1ø!Hñôfñ7ò / íFîÁê¼øfë›ï¼òˆñîòˆí%ƒñ7ó³ø ê ëoì¼ñòœñ7îë1øù×ëˆì¼ñƒø û¼ê¼ó’ðòHîœø,íFëÁíFîxê¼ññ7îœîoðfò4ëˆø¿îˆø öËô ñ@ðfóOó¼íFëˆíRø ê’ðö / ñ7ý†û’ðëˆíRø êOîxùúø ò ñð)|ì³ê¼øsó¼ñ)1îoðQ+Öø ê ?

’þ <

, ; / 9+; ; , 9; < ! #; 9 á =

þ "+

91øfëˆñ\ëoì¼ðë ø ê

Íîœøëoì¼ñòˆñ)íRî—ê¼ø ƒø û¼ê¼ó’ðòH íFê„ëoñfòoðföVø ê ëoìOñ)öRñù ë

ì’ðê¼ó îˆíFó¼ñøfù@ëoì¼íFî)ñ7ý†û’ðëˆíRø ê î)ñ OïOöqðfíFê¼ñ7ó8íRê 'sñëˆíRø ê 35ëˆì¼ñôfðòˆíqð¼öRñ íRîû¼ïƒó’ðëˆñ7ó ëoø+fñëoìOñ7ò$ÓíËëoì

ðë4ñð)|ìëˆíR÷ñ

îëoñïðfê¼óêOñ ôfðöRû¼ñîùúñ7ó ¼ð)&'íFê†ëˆø^þ"+Óëˆø\õ’ê¼ó ëoì¼ñê¼ñ îˆø öFûOëoíFø ê\ôðföFû¼ñ7î, ÁìOñï¼òˆíFê 7íFï¼öRñÓùúø òx÷øzôšíFê =ëˆì¼ñ÷ñ7îˆì)íFîxîœëˆíRöFöÖëˆì’ðëxëˆì¼ñ ï¼òˆøfïXø òëoíFø ê øù‹ëoìOñëˆøfë|ðfö÷+ðfîˆî=ðfîœîˆø 7íqðZëoñ7ó ÓíFëˆì ñ7ð)|ì ê¼øsó¼ñòˆñ7÷+ðfíFê¼î ø ê¼îë|ðfê„ë=íRê ëoíF÷+ñÁì¼ñ¿ùúû¼öRöÍ÷+ñiëoì¼øsó îœû ñ7îœîˆíFôfñ7öG îœø öFôfñ7î\þ ")þ Oþ5"+1ðfê¼óÒþ 5+ ˜ðfê¼óÒþ&3) þ>ÓíËëoì ? ,ùúøfòÓðföRöXê¼øšóOñ7îø ê

+5ñ+õ’òˆîë 7øfê¼îˆíFó¼ñ7ò¿ðø ê¼ñ

ó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê’ðfö!ô ñòˆîœíRø ê:øfù‹ëoì¼íFî—ï¼òœø+¼öRñ÷ ÓíFëoì

+ Áì¼íRîÁùúø òœ÷&û¼öRðëoíFø ê\ïƒñ7òœ÷+íËëoîxëoìOñ=ðê’ðfö†ëˆí%4îœø öRûOëˆíRø ê

þ < þ

ùúø ò ÓìOí%|ì íRî×ëoì¼ñ‹íRê„ëoñòœùÕð)ñ‹ô ñöRø 7íFë?—ðfê¼ó=ëoì¼ñÁíFê¼íFëˆíqðföø ê¼ó¼íËëoíRøfê¼îÍðòˆñxîœñëVðë

( ’û¼öRöÁó¼ñië|ðfíFöRî 7ðfê ƒñùúøfû¼ê¼óÒíFê " Áì¼ñ7ðfîˆñ³îœëoûOó¼íRñóÒì¼ñòˆñyë|ð)&ñ7î

'ðfê¼ó ðfê íRê¼íËëoíqðöÇó¼øf÷\ðfíFêøfùE " aì¼ø!Hñôfñ7òÇí% û¼òœñ íFê¼ó¼íðëˆñ7î4ëoì¼ðë@ø ê¼öG'õ’òœîœë=ø òˆó¼ñò ð)û¼òoð íFî&ð)|ìOíRñôfñ7ó`íRê5ø ê¼ñó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê/Áì¼ñëoíF÷+ñ

îëoñ7ïOî—û¼îœñ7ó ‹ñòˆñ

=

+ * 'ø ê ëoì¼ñø„ðfòˆîœñ7îë÷ñ7îœì Óì¼í%|ì ‹ðfîÓó¼ñòˆñðîˆñ7ó;)ð¿ùÕðëoøfò›øù ðëÓñ7ð)|ì'òœñõ’ê¼ñ÷+ñê„ëQ

Áì¼ñ4ë?Hø

ó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê’ðföÖëoñîœë 7ðfîˆñ÷øsó¼ñ7öFî‹òoðó¼íqðföFö,î4š÷÷ñëoòœí%1îˆø öFíRó¼íËõ ðëˆíRø ê+ðfê¼ó)íFî &†ê¼ø!ÓêðfîÁëoìOñ’òˆðfê &\îœï¼ì¼ñòˆñ7î1ï¼òˆø)¼öRñ÷ " ÁìOññ Oð)ë1îˆø öFûOëoíFø ê)íRî fíFô ñê ;

!

þ

ó

=

þ

Áì¼ñyï¼òˆø)¼öRñ÷ íRî¿ï¼ðfòoðf÷ñëˆñ7òœíRîˆñó ;5ëoì¼ñyý†û’ðfê„ëoíËë? Óì¼ñòˆñ,þ

!

íRî&ëˆì¼ñ òoðfóOíRû¼îÁøfù×ëoìOññ šï’ðfê¼ó¼íFê íRê„ëoñòœùÕð)ñ)’évëoîÁôðföFû¼ñíRî 7ðfö%û¼öqðëˆñ7ó)ùúòˆøf÷ )îœø öFôsíFê

þ

þ

;

=

þ R

/1ñòˆñ

=

( íËôsíRê

=

( 3 (OðfêOóëˆì¼ñ@íRê¼íËëoíqðö ø ê¼ó¼íËëoíRøfê¼î Hñ7òˆñîˆñië1ðë

+

Áì¼ñ)ë?‹ø

ó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê’ðföVòˆñîˆû¼öËëoî Hñ7òˆñyø+šë|ðfíFê¼ñ7ó:ø ê`ð÷ñ7îœì øzô ñ7òœíRê ðfê`ðê¼ê†û¼öRû¼î ëoì¼ñ¿÷øzôsíRê ƒø û¼êOó’ðfòHXñíRê ëˆì¼ñ¿íRêOê¼ñ7òEíRòH7öRñ)þ>Óì¼í|ì ì¼ðfîòoðfóOíRû¼î êíFê¼íFëˆíqðfö ÷+ñîˆì ‹ðfîîˆñöRñiëoñóÓíËëoìì¼í ì¼ñò4òˆñîˆø öFûOëoíFø êê¼ñðòëoì¼ñ¿÷øzôsíRê ƒø û¼êOó’ðfòH³ëoì’ðêíRê ëoì¼ñùÕðfòxõ¼ñ7öRó Áì¼ñ=òœñ7îœû¼öFëˆî›øù Íí û¼òœñ,,îœû + ñîœë›ëoì’ðZëQ’û¼ê¼öFí%&ñ4ëoì¼ñ@ø ê¼ñ

ó¼íF÷+ñê¼îˆíFø ê’ðfö ðfîœñ) ƒñëˆëˆñ7ò@ëoì’ðê õ’òœîœë=ø òˆó¼ñòð)û¼òoð) íRîð)|ì¼íFñô ñó/Áì¼ñ+òœñðfîœø ê ùúøfò@ëˆì¼íRî@íFîêOøfë 7öFñðfò ¼ûOë1íFë›÷\ðQ ƒñòˆñ7öRðëoñóëˆø+ëˆì¼ñùÕðëÓëoì’ðZëQÖíRê)ëoìOíRî ðfîœñ)’ëoì¼ñ@õ*šñ7óXø ûOê¼ó’ðfò4

ì¼ðfîXññ7ê ÷+øzôfñ7ó^ùÕðfò4ñ7êOø û ì ðQxðQùúòœø ÷ ëˆì¼ñ¿÷øôsíFê Xøfû¼ê¼ó’ðfò4`þ ëoø

Q ùúø ò,íFë¿ëˆø ì’ðôfñ'öRíËëˆëˆöRññiü3ñë !ëˆì¼ñ³îœø öRûšëoíRøfêÛóOñ7òˆíËôðëoíËô ñ7î ƒñ7íFê ðföR÷ø îœë

ñ7òœø ëoìOñ7òˆñ Áì¼ñ¿ëoíF÷+ñ

îœëˆñ7ïû¼îœñ7óxðî

=

*,ø êëˆì¼ñ 7ø„ðòˆîˆñîœë÷ñ7îˆìÒþÕòœñ7ó¼û*7ñ7ó ^ðùÕð)ëˆø ò4øfù ÓíFëˆìñð)|ì\òˆñõ¼ê¼ñ7÷ñ7ê„ë *Áì¼ññô øföRûOëˆíRø ê+øfù˜ëoì¼ñ1îˆø öFûOëoíFø êíRî‹íFöRöFû¼îœëˆòoðëˆñ7óíRê Çí% û¼òœñ ( Áì¼ñ7îœñ=òœñ7îœû¼öFëˆî ø ÷ï’ðfòˆñùÕðô øfû¼òoð)Oö ÓíËëoì)ëoìOø îˆñíRê +G "

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

−5

−4.5

−4

−3.5

−3

−2.5

−2

One phase Stefan problem (1D): T = 0.2

LOG(dx)

LOG(error)

solution error

mesh error

slope=1

−1.5

−1

−0.5

0

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

One phase Stefan problem (2D): T = 0.1

LOG(dx)

LOG(error)

solution error

mesh error

slope=2

©µ¬„È fȚ¥‹Ê|Ê|À„¹¸zÊoÑ+§z¾˜´±°„­1¸»†»s¹±§ „©«¦@¸´¶­4®¶§·«À„´±©«§ª†®!§ª¸®¶­¯ÄfÀ„­¯ª†Êo­§z¾Ù¦­¯®±°†­¯®H¸´ ©«ª\§ª„­@½s©«¦­¯ª†®±©«§ª q·µ­|¾R´‹¸zª†½ ©«ª´LÅǧ,½s©«¦­¯ª†®±©«§ª†®#R¹œ©µ¬°Z´œÈ É °„­®¶§·«À„´±©µ§ª\­|¹±¹§z¹ ®±°†§iÅVª,©Ë®!©«ª&´±°„­