Vol 9, No 3 (2018)

A

Av

va

ai

il

la

ab

b

le

l

e

o

on

nl

li

in

ne

e

T

Th

hr

r

ou

o

ug

gh

h

IS

I

SS

SN

N

2

22

22

29

9

–

–

50

5

04

46

6

C

CY

YC

CL

LI

IC

C

PA

P

AT

TH

H

CO

C

OV

VE

ER

RS

S

IN

I

N

ZE

Z

ER

RO

O

DI

D

IV

VI

IS

SO

OR

R

G

GR

RA

AP

PH

H

V

V.

.

R

RA

AJ

JA

AK

KU

UM

MA

AR

RA

AN

N*

*

_A

_AN

_ND

_D

_N

_N.

_.

_S

_SE

_EL

_LV

_VI

_I

1

1

_P

_Pa

_ar

_rt

_t

_–

_–

_T

_Ti

_im

_me

_e

_R

_Re

_es

_se

_ea

_ar

_rc

_ch

_h

_S

_Sc

_ch

_ho

_ol

_la

_ar

_r,

_,

_B

_Bh

_ha

_ar

_ra

_at

_th

_hi

_id

_da

_as

_sa

_an

_n

_U

_Un

_ni

_iv

_ve

_er

_rs

_si

_it

_ty

_y,

_,

_T

_Tr

_ri

_ic

_ch

_hy

_y,

_,

_I

_In

_nd

_di

_ia

_a.

_.

A

Ac

ch

ha

ar

ri

iy

ya

a

C

Co

ol

ll

le

eg

ge

e

o

of

f

E

Ed

du

uc

ca

at

ti

io

on

n,

,

P

Pu

ud

du

uc

ch

he

er

rr

ry

y-

-6

60

05

5

1

11

10

0,

,

I

In

nd

di

ia

a.

.

2

2

_De

_D

_ep

_pa

_ar

_rt

_tm

_me

_en

_nt

_t

_o

_of

_f

_M

_Ma

_at

_th

_he

_em

_ma

_at

_ti

_ic

_cs

_s,

_,

_A

_AD

_DM

_M

_C

_Co

_ol

_ll

_le

_eg

_ge

_e

_f

_fo

_or

_r

_w

_wo

_om

_me

_er

_rn

_n,

_,

_N

_Na

_ag

_ga

_ap

_pp

_pa

_at

_tt

_ti

_in

_na

_am

_m

_–

_–

₆

₆₁

₁₁

₁

₀

₀₀

₀₁

_1,

_,

_I

_In

_nd

_di

_ia

_a.

_.

(

(RReecceeiivveedd OOnn:: 0055--0011--1188,, RReevviisseedd && AAcccceepptteedd OOnn:: 1144--0022--1188))

A

ABBSSTTRRAACCTT

L

Leett RR bbee aa ccoommmmuuttaattiivvee rriinngg aanndd lleett 𝛤𝛤((𝑧𝑧_𝑛𝑛 )) bbee tthhee zzeerroo ddiivviissoor r ggrraapphh ooff aa ccoommmmuuttaattiivvee rriinngg RR,, wwhhoossee vveerrttiicceess aarree nnoonn-- z

zeerroo zzeerroo ddiivviissoorrss oof f𝑧𝑧_𝑛𝑛 ,, aanndd ssuucchh tthhaatt tthhee ttwwoo vveerrttiicceess uu,,vv aarree aaddjjaacceenntt iiff nn ddiivviiddeess uuvv.. IInn tthhisis ppaapeperr,, wwee hhaavvee aannaallyyzzeedd t

thhee mamaxxiimmuum mnnumumbbeerr ofof zezerroo didivviissoorr grgraapphh 𝛤𝛤( (𝑧𝑧_𝑛𝑛)), , wwhheerree 𝑛𝑛 iiss a a ppoossiittiivvee iinntteeggeerr,, bbyy ssttuuddyyiinng g ititss prprooppeerrttiieess anandd s

sttrruuccttuurree aanndd tthheerreebbyy ddeeccoommppoossiinngg itit iinnttoo aa ffiinniittee nunummbbeerr oof f ppaatthhss anand d ccyycclleess,, wwhhoossee ssuumm ofof tthhee vveerrttiicceess iinn ththee cycyccllee a

arere eqequuaall whwheerree ddeeccoommppoossiittiioonn iiss a asesett ooff ssuubbggrarapphhss HH1,₁,……HH_kk tthhaat t ppaarrttiittiioonn ooff ththee eeddggeess oof f GG.. ThThaatt isis ffoorr aallll ii aanndd j j iiss

𝐻 𝐻𝑖𝑖 1

1≤≤𝑖𝑖≤≤𝑘𝑘 ==𝐺𝐺anandd𝐸𝐸 𝐻𝐻𝑖𝑖 ∩∩𝐸𝐸 𝐻𝐻𝑗𝑗 ==∅∅..

K

Keeyywwoorrddss::CoCommmmuuttaattiivvee rriinngg,, ZZeerroo ddiivviissoorr ggrraaphph,, DDeeccoommppoossiittiioonn,, CCyycclleess..

1

1. .IINNTTRROODDUUCCTTIIOONN

L

LeettRRbbeeaaccoommmmuuttaattiivveerriinnggaannddlleettZ(Z(RR))bbeeiittsssseettooffzzeerroo--ddiivviissoorrss..WWeeaassssoocciiaatteeaaggrraapphhΓΓ(( RR))..ttooRRwwiitthhvveerrttiicceess

Z

Z((RR))∗∗_{== ZZ((RR)) −− {0{0}},, tthheesseett ooff nnoonn--zzeerroo zzeerroo ddiivviissoorrss ooffRR aanndd ffoorrddiissttiinncctt x,x,yy ϵϵ ZZ((RR))}∗∗_{,, tthhee vveerrttiicceess 𝑥𝑥aanndd 𝑦𝑦 aarree} a

addjjaacceennttiiffaannddoonnllyyiiff xyxy == 00[[11,,22,,55,,66]]..TThhrroouugghhoouutttthhiissppaappeerr,,CCoonnssiiddeerrtthheeccoommmmuuttaattiivveerriinnggRRaass zz_nn..aannddzzeerroo d

diivviissoorrggrraapphhΓΓ ((RR))aassΓΓ( (𝑧𝑧_𝑛𝑛)).. IInntthhiissppaappeerrwweeaarreeaabboouuttttooddeeccoommppoossee[[33,,44,,77,,88]]..tthheezzeerrooddiivviissoorrggrraapphhiinnttooppaatthhss a

anndd ccyycclleesswwhhoosseessuummoofftthheevveerrttiicceessiinntthheeccyycclleeaarreeeeqquuaall..PPrroobblleemmssoofftthhiissttyyppeeaarreennoottoonnllyyiinntteerreessttiinnggiinntthheeiirroowwnn r

riigghhtt,, bbuutt aallssoo hhaavvee ppootteennttiiaall aapppplliiccaattiioonnss iinn ccoommmmuunniiccaattiioonn aanndd sswwiittcchhiinngg nneettwwoorrkkss.. SSoommeettiimmeess iitt iissddeessiirraabbllee ttoo d

deeccoommppoosseeaaccoommmmuunniiccaattiioonnoorrsswwiittcchhiinnggnneettwwoorrkkiinnttooppaarrttssooffcceerrttaaiinnssppeecciiffiieeddttyyppeess..

D

Deeffiinniittiioonn 11..11::AAggrraapphhG Giissddeeccoommppoossaabbllee iinnttooHH11; ;HH22;;::::: :;;HHkk iiffG GhhaassssuubbggrraapphhssHH11;;HH22;;::::: :;;HHk k ssuucchhtthhaatt

1

1.. eeaacchheeddggeeooffGG bbeelloonnggssttoooonneeoofftthheeHHii’’ssffoorrssoommeeii==11;;22;;::::::;;kk;;aanndd

2

2.. IIffii≠≠jj,,tthheennHHiiaannddHHjjhhaavveennooeeddggeessiinnccoommmmoonn..

D

Deeffiinniittiioonn 11.2.2::LLeettG GaannddH Hbbeettwwooggrraapphhss..AAggrraapphhG GiissddeeccoommppoossaabblleeiinnttooHH’’s siiffeeaacchhoofftthheeHHii’’ssiinntthheeddeeffiinniittiioonn

a

abboovveeiissiissoommoorrpphhiiccttooHH..

2

2.. DDEECCOOMMPPOOSSIITTIIOONN OFOF ZEZERROO DDIIVVIISSOORR GRGRAAPPHH

T

Thheeoorreemm 22..11::FFoorraannyypp>>33,,ΓΓ( (𝑧𝑧_3𝑝3𝑝))ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoo(p(p−−11))//22cc₄₄..

P

Prrooooff::TThheepprrooooffiissbbaasseeddoonniinndduuccttiioonnoovveerr pp..

C

Caassee--((ii))::WWhheennpp==55,, T

Thhee vveerrtteexx sseett ooff ΓΓ(( 𝑧𝑧₁₅₁₅)) =={3{3,,55,,66,,99,,1010,,1212}}.. TThhaatt iiss ||𝑉𝑉(Γ(Γ( (𝑧𝑧₁₅₁₅))))||==66.. LLeett 𝑢𝑢==33 aanndd 𝑣𝑣==66 tthheenn 1155 ddooeess nnoott d

diivviiddee𝑢𝑣𝑢𝑣..TThheenntthheerreeiissnnooppaatthhbbeettwweeeenn𝑢𝑢aanndd𝑣𝑣..SSiimmiillaarrllyy,,aannyyttwwoovveerrttiicceesswwhhiicchhaarreemmuullttiipplleeooff33aarreennoonnaaddjjaacceenntt..

C

C

o

o

r

r

r

r

e

e

s

s

p

p

o

o

n

n

d

d

i

i

n

n

g

g

A

A

u

u

t

t

h

h

o

o

r

r

:

:

V

V

.

.

R

R

a

a

j

j

a

a

k

k

u

u

m

m

a

a

r

r

a

a

n

n

*

*

_,

_,

L

Leett xx==55 aanndd yy==1515 tthheenn 1155 ddiivviiddeess bbootthh uxux aanndd uxux.. CClleeaarrllyy,, uxux aanndd uyuy aarreeaaddjjaacceenntt..TThheenn V(V(ΓΓ( ( zz₁₅₁₅)))) ccaann bbee p

paarrttiittiioonneeddiinnttoottwwooppaarrttssvv₁₁ =={5{5,,1010}}.. aannddvv₂₂ =={{33,,66,,9,9,12}12}..CClleeaarrllyy,,ΓΓ( ( zz₁₅₁₅))ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoottwwoocc₄₄..TThhaatt i

iss,,{{33,,55,,1122,,1100,,33}}aanndd{{99,,55,,66,,1100,,99}}..SSiinnccee,,55,,1100aarreetthheeccoommmmoonnppooiinnttssiinnbbootthhtthheeccyycclleess..TThhiissccyycclleeiisscchhoosseenniinn s

suucchhaawwaayytthhaatttthheettoottaallvvaalluueeooffeeaacchhccyycclleeiiss==33 ++ 55 ++ 1212 ++ 1010 ==3030==2(2(1515))==2(2(33pp))..HHeenncceetthheennuummbbeerrooff

c

c44==22==(5(5−−1)1)//22==(p(p−−11))//22..

C

Caassee--((iiii)):: WWhheennpp==77,, T

Thheevveerrtteexxsseettooff ΓΓ(( zz₂₁₂₁)) =={{33,,6,6,7,7,9,9,12,12,14,14,15,15,1818}}..TThhaattiiss ||VV((ΓΓ(( zz₂₁₂₁))))||==88.. LLeettuu==33aannddvv==1212tthheenn2211ddooeess n

noottddiivviiddeevv..CClleeaarrllyy,,uvuvaarreennoonnaaddjjaacceenntt..LLeettuu==1818,,xx==77aannddyy==1414,,tthheenn2211ddiivviiddeessbbootthhuxuxaanndduyuy..TThhaattiiss77,,1144 a

arreeaaddjjaacceenntt ttoo aallll tthheerreemmaaiinniinngg vveerrttiicceess.. TThheenn VV((ΓΓ( ( zz₂₁₂₁)))) ccaann bbee ppaarrttiittiioonneedd iinnttoo ttwwoo ppaarrttssvv₁₁=={{77,,1414}} aann vv₂₂ ==

{

{33,,6,6,9,9,1212,,15,15,18}18}..CClleeaarrllyy,,ΓΓ( ( zz₂₁₂₁) ) ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttootthhrreeeecc₄₄..TThhaattiissccyycclleessaarree{{33,,77,,1188,,1144,,33}},,{{66,,77,,1155,,1144,, 6

6}}aanndd{{99,,77,,1122,,1144,,99}}..SSiinnccee,,77,,1144aarreetthheeccoommmmoonnppooiinnttssiinnaalllltthheeccyycclleessaannddtthheesseeccyycclleessaarreecchhoosseenniinnssuucchhaawwaayy t

thhaatttthheettoottaallvvaalluueeooffeeaacchhccyycclleeiiss 33++77++1188++1144==4422==22((2211))==22((33pp))..TThheennuummbbeerrooffcc₄₄==33==(7(7−−11))//22==(p(p−−

1

1))//22..HHeennccee,,ΓΓ(( zz₂₁₂₁))ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoo(p(p−−11))//22cc₄₄,,wwhheerreepp==77..

C

Caassee--((iiiiii)):: wwhheennpp>>77,, I

Innggeenneerraall,,ΓΓ(( zz_33pp))=={3{3,,66,,……,3,3 pp−− 11 ,,pp,,22pp }}..tthhaattiiss|V|V((ΓΓ( ( (( zz_33pp))))||==pp++1.1. UUssiinnggtthheeaabboovveettwwooccaasseessΓΓ( ( zz_3p3p))ccaann b

beeddeeccoommppoosseeddiinnttoo(p(p−−11))//22cc₄₄..tthheenntthheennuummbbeerrooffcc₄₄.. iinn kk_{22,,pp−−11}iiss(p(p−−11))//22cc₄₄..

T

Thheeoorreemm 22..22::FFoorraannyypp>>55,,tthheennΓΓ( ( zz_55pp) )ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoo( ( pp−−11))//22cc₈₈ oorr ((pp−−1)1)cc₄₄..

P

Prrooooff::TThheepprrooooffiissbbaasseeddoonniinndduuccttiioonnoovveerr pp..

C

Caassee--((ii))::WWhheennpp==77,, T

Thheevveerrtteexxsseettooff ΓΓ zz₃₅₃₅ == 55,,7,7,10,10,1414,,1515,,2020,,21,21,25,25,2828,,3030..TThhaattiiss VV ΓΓ zz₃₅₃₅ ==1010..LLeettuu==55aannddvv==2020tthheenn 3

355ddooeess nnoottddiivviiddee110000.. CClleeaarrllyyuuaannddvvaarreennoonn--aaddjjaacceenntt.. LLeettuu==1010 aannddX X == 7,7,14,14,2121,,2828 tthheenn3355ddiivviiddeessuxux f

foorr aallll x x ϵϵ XX..CClleeaarrllyy uxux aarree aaddjjaacceenntt.. TThheenn VV ΓΓ zz₃₅₃₅ ccaann bbeeppaarrttiittiioonneedd iinnttoo ttwwoo ppaarrttss VV₁₁ == 77,,1414,,2121,,2828 aanndd

V

V22 == {5{5,,10,10,15,15,20,20,25,25,3300}}..CClleeaarrllyy,,ΓΓ zz3535 iiss kk44,,66aannddtthhiiss kk44,,66ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoossiixxcc44..TThhaattiiss,,{{55,,77,,3300,, 2

288,,55}},,{{1155,,77,,2200,,2288,,1155}},,{{2255,,77,,1100,,2288,,2255}},,{{55,,1144,,3300,,2211,,55}},,{{1155,,1144,,2200,,2211,,1155}},,{{2255,,1144,,1100,,2211,,2255}}..CClleeaarrllyy,,77,, 2

288aarreetthheeccoommmmoonnppooiinnttssiinntthhrreeeeccyycclleessaanndd1177,,2211aarreetthheeccoommmmoonnppooiinnttssiinntthheerreemmaaiinniinnggtthhrreeeeccyycclleess..TThheesseeccyycclleess a

arreecchhoosseenniinnssuucchhaawwaayytthhaatttthheettoottaallvvaalluueeooffeeaacchhccyycclleeiiss== 55 ++ 77 ++ 3030 ++ 2828 == 7070 == 22 3535 == 22 7p7p ..TThheenn n

nuummbbeerr ooff cc₄₄ == 66 ==77−−11 2 2 ==

p p−−11

2

2 .. SSiimmiillaarrllyy iitt ccaann bbee ddeeccoommppoosseedd iinnttoo {5{5,,77,,3030,,2828,,5,5,14,14,30,30,21,21,55}} ,,

{{1515,,77,,2020,,2828,,15,15,14,14,20,20,2121,,1515}},, {25{25,,7,7,10,10,28,28,2525,,1414,,10,10,21,21,25}25}wwiitthhtthheettoottaallvvaalluueeooffeeaacchhccyycclleeiiss== 55 ++ 77 ++

30

30 ++ 2828 ++ 55 ++ 1414 ++ 3030 ++ 2121 == 140140 == 44((3535)) == 44((55pp))..TThheenntthheennuummbbeerrooff CC88iiss3 3 == ((77−−1)1)//22 == (p(p−−

1

1))//22..TThheerreeffoorree,,ΓΓ((ZZ3355))ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoo( ( pp−−11))//22cc₈₈ oorr ((pp−−1)1)cc₄₄..

C

Caassee--((iiii))::WWhheennpp == 1111.. T

Thheevveerrtteexx sseettooff ΓΓ( ( zz₅₅₅₅))=={5{5,,10,10,15.15...,,50,50,1111,,....,,4444}}.. TThhaatt iiss|V|V((ΓΓ( ( zz₃₅₃₅))))||==1414 ..LLeettu u == 55 aanndd v v == 3030tthheenn 5555 d

dooeessnnoottddiivviiddee115500..TThhaattiiss,,uuaannddvvaarreennoonn--aaddjjaacceenntt..LLeettuu == 3030aannddX X == {11{11,,22,22,33,33,44}44}tthheenn5555ddiivviiddeessuxuxffoorraallll

x

x ϵϵ XX.. CClleeaarrllyy uxux aarreeaaddjjaacceenntt.. TThheenn VV((ΓΓ(( zz₅₅₅₅)))) ccaann bbee ppaarrttiittiioonneedd iinnttoo ttwwoo ppaarrttssVV₁₁ == {{1111,, 2222,,3333,,4444}} aanndd VV₂₂ ==

{{55,,10,10,1515,,20,20,25,25,30,30,35,35,4040,,4545,,50}50}..CClleeaarrllyy,,ΓΓ((ZZ5555))iiss kk_44,,1010aannddtthhiiss kk_44,,1010 ccaannbbee ddeeccoommppoosseeddiinnttootteenncc₄₄..TThhaattiiss,,

{

{55,,1111,,5500,,4444,,55}},,{{1100,,1111,,4455,,4444,,1100}},,{{1155,,1111,,4400,,4444,,1155}},,{{2200,,1111,,3355,,4444,,2200}},,{{2255,,1111,,3300,,4444,,2255}},,{{55,,2222,,5500,,3333,, 5

5}},,{{1100,,2222,,4455,,3333,,1100}},,{{1155,,2222,,4400,,3333,,1155}},,{{2200,,2222,,3355,,3333,,2200}},,{{2255,,2222,,3300,,3333,,2255}}..CClleeaarrllyy,,1111,,4444aarreetthheeccoommmmoonn p

pooiinnttssiinnffiivveeccyycclleessaanndd2222,,3333aarreetthheeccoommmmoonnppooiinnttssiinntthheerreemmaaiinniinnggffiivveeccyycclleess..TThheesseeccyycclleessaarreecchhoooosseenniinnssuucchhaa w

waayy tthhaatt tthheettoottaall vvaalluueeooffeeaacchh ccyycclleeiiss55++1111++5050 ++4444==110110==2(2(5555))== 22((55pp))..TThheennnnuummbbeerrooff cc₄₄ == 1010 ==

((1111−−11))//22 == ((pp−−1)1)//22oorriittccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoo{{55,,1111,,5500,,4444,,55,,2222,,5500,,3333,,55}},,{{1100,,1111,,4455,,4444,,1100,,2222,,4455,, 3

333,,1100}},,{{1155,,1111,,4400,,4444,,1155,,2222,,4400,,3333,,1155}},,{{2255,,1111,,3300,,4444,,2255,,2222,,3300,,3333,,2255}},,{{2200,,1111,,3355,,4444,,2200,,2222,,3355,,3333,,2200}} w

wiitthhtthheettoottaall vvaalluueeooffeeaacchh ccyycclleeiiss==55++1111++5050++44 44 ++55++22 22++5050++3333==220 220 ==44((5555))==44((55pp)).. TThheenntthhee n

nuummbbeerrooffCC₈8iiss55 ==((1111−−11))//22 == ((pp−−1)1)//22TThheerreeffoorree,,ΓΓ((ZZ5555))ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoo(( pp−−1)1)//22cc₈₈ oorr ((pp−−1)1)cc₄₄..

C

Caassee--((iiiiii))::WWhheennpp >> 1111 I

Innggeenneerraall,,ΓΓ( ( zz_5p5p))=={{55,,10,10,...,,55((pp−−11)),,pp,,22pp,,33pp,,4p4p}}..TThhaattiiss ||VV((ΓΓ(( zz_55pp) )))||==pp++33..UUssiinnggtthheeaabboovveettwwooccaasseesstthhee V

V((ΓΓ(( zz_5p5p) )))ccaannbbeeppaarrttiittiioonneeddiinnttoottwwooppaarrttssVV₁₁== {{ pp,,22pp,,33pp,,4p4p }}aannddVV₂₂ == {{55,,10,10,...,,5(5(pp−−11))}}..CClleeaarrllyy,,ΓΓ( ( zz_55pp))iiss

k

k44,,p−p−11 wwiitthhtthheeccoommmmoonnppooiinnttss{p{p,,2p2p,,3p3p,,4p4p}}wwhhiicchhiissaaddjjaacceennttttooaalllltthheerreemmaaiinnggvveerrttiicceess..TThheenntthheennuummbbeerrooffccyycclleess i

inn kk_{44,,pp−−11}iiss(( pp−−1)1)//22 cc₈₈ oror ((pp −− 11))cc₄₄..

T

Thheeoorreemm 22..33::FFoorraannyyp p >> 77,,ΓΓ( ( zz_77pp))ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoo( ( 33((pp−−1)1)//22 ))cc₄₄or or ((pp −− 11))cc₆₆

P

C

Caassee--((ii))::WWhheenn pp == 1111,, T

ThheevveerrtteexxsseettooffΓΓ((zz__7777))=={{7,7,1414,,21,21,....,,7070,,11,11,....,,66}66}..TThhaattiiss||VV((ΓΓ zz₇₇₇₇ ))||==1616..LLeettu u == 77aannddv v == 3535tthheenn7777 d

dooeessnnoottddiivviiddee224455..CClleeaarrllyyuuaannddvvaarreennoonnaaddjjaacceenntt..LLeett uu == 2121aannddXX == 11,11,2222,,33,33,44,44,55,55,6666 tthheenn7777ddiivviiddeessuxux f

foorraallllx x ϵϵ XX..CClleeaarrllyyuxuxaarreeaaddjjaacceenntt..TThheennVV ΓΓ zz₇₇₇₇ ccaannbbeeppaarrttiittiioonneeddiinnttoottwwooppaarrttss VV₁₁ == 11,11,22,22,3333,,4444,,55,55,6666 a

annddVV₂₂ == 77,,1414,,21,21,2828,,35,35,42,42,4949,,5656,,6363,,7070..CClleeaarrllyy,, ΓΓ zz₇₇₇₇ iiss kk_44,,1010aannddtthhiiss kk_44,,1010ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttooffiifftteeeenn

c

c44..TThhaattiiss,,{{77,,1111,,7700,,6666,,77}},,{{1144,,1111,,6633,,6666,,1144}},,{{2211,,1111,,5566,,6666,,2211}},,{{2288,,1111,,4499,,6666,, 2288}},,{{3355,,1111,,4422,,6666,,3355}},,{{77,, 2

222,,7700,,5555,,77}},,{{1144,,2222,,6633,,5555,,1144}},,{{2211,,2222,,5566,,5555,,2211}},,{{2288,,2222,,4499,,5555,,2288}},,{{3355,,2222,,4422,,5555,,3355}},, {{77,,3333,,7700,,4444,,77}},, {

{1144,,3333,,6633,,4444,,1144}},, {{2211,,3333,,5566,,4444,,2211}} {{77,,3333,,7700,,4444,,77}}{{1144,,3333,,6633,,4444,,1144}}{{2211,,3333,,5566,,4444,,2211}}{{2288,,3333,,4499,,4444,, 2

288}}aanndd {{3535,,3333,,4242,,44,44,35}35}..CClleeaarrllyy,,VV₁₁ aarreetthheeccoommmmoonnvveerrttiicceessiinntthheeccyycclleessaannddtthheesseeccyycclleessaarreecchhoosseenniinnssuucchhaa w

waayytthhaatttthheettoottaallvvaalluueeooffeeaacchhccyycclleeiiss 77++1111++7070++66 66 == 154154 == 22((7777)) == 22((77pp))..TThheennnnuummbbeerrooffcc₄₄== 1515 ==

33((1111−−11))//22 == 33((pp−−11))//22oorr kk_44,,1010ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoo1100cc₆₆,,TThhaattiiss,,{{77,,1111,,7700,,6666,,77,,2222,,7700,,5555,,77}},,{{1144,,1111,, 6

633,,6666,,1144,,2222,,6633,,5555,,1144}},,{{2211,,1111,,5566,,6666,,2211,,2222,,5566,,5555,,2211}},,{{2288,,1111,,4499,,6666,, 2288,,2222,,4499,,5555,,2288}}{{3355,,1111,,4422,,6666,, 3

355,,2222,,4422,,5555,,3355}},,{{77,,1111,,7700,,6666,,77,,3333,,7700,,4444,,77}},,{{1144,,1111,,6633,,6666,,1144,,3333,,6633,,4444,,1144}},,{{2211,,1111,,5566,,6666,,2211,,2222,,5566,,5555,, 2

211}}{{2288,,1111,,4499,,6666,, 2288,,3333,,4499,,4444,,2288}},,{{3355,,1111,,4422,,6666,,3355,,3333,,4422,,4444,,3355}},,..TThheenntthheennuummbbeerrooffcc66iiss1100==1111−−11==pp––

1

1TThheerreeffoorree,, ΓΓ( (zz77₇₇)) ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoo( (33((pp−−11)/)/22 ))cc44oror ((pp −− 11))cc66..

C

Caassee--((iiii))::WWhheennpp == 1313.. T

Thheevveerrtteexxsseettooff ��(( zz₉₁91 ))== {{77,,1414,,....,,8484,,1313,,2626,,....7878}} TThhaattiiss||VV((ΓΓ((zz9191))))||==1818..LLeettuu == 77aannddvv == 3535tthheenn9911ddooeess

n

noottddiivviiddee224455..CClleeaarrllyyuuaannddvvaarreennoonn--aaddjjaacceenntt..LLeettuu == 2121aannddXX =={{1313,,2626,,3939,,5252,,6565,,7878 }}tthheenn9911ddiivviiddeessuxuxffoorr a

allllxx ϵϵXX..CClleeaarrllyyuxuxaarreeaaddjjaacceennttffoorraallllxx ϵϵXX..TThheennVV ΓΓ (( zz9191)) ccaannbbeeppaarrttiittiioonneeddiinnttoottwwooppaarrttssVV11=={{1133,,2266,,3399,,5522,,

6

655,, 7788}} aanndd VV2₂ == {{77,, 1144,, 2211,, 2288,, 3355,, 4422,, 4499,, 5566,, 6633,, 7700,, 7777,, 8844}}.. CClleeaarrllyy,, ΓΓ((zz9191)) iisskk44_,,1212aanndd tthhiiss kk44_,,1212ccaann bbee d

deeccoommppoosseeddiinnttooeeiigghhtteeeenncc44..

T

Thhaattiiss,,{{77,,1133,,8844,,7788,,77}},,{{1144,,1133,,7777,,7788,,77}},,{{2211,,1133,,7700,,7788,,2211}},,{{2288,,1133,,6633,,7788,,2288}},,{{3355,,1133,,5566,,7788,,3355}},,{{4422,,1133,,4499,,7788,,4422}},, {

{77,,2266,,8844,,6655,,77}},,{{1144,,2266,,7777,,6655,,77}},,{{2211,,2266,,7700,,6655,,2211}},, {{2288,,2266,,6633,,6655,,2288}},,{{3355,,2266,,5566,,6655,,3355}},,{{4422,,2266,,4499,,6655,,4422}},,{{77,,3399,, 8

844,,5522,,77}},,{{1144,,3322,,7777,,5522,,77}},,{{2211,,3399,,7700,,5522,,2211}},,{{2288,,3399,,6633,,5522,,2288}},,{{3355,,3399,,5566,,5522,,3355}},,{{4422,,3399,,4499,,5522,,4422}}..CClleeaarrllyy,,VV11aarree t

thhee ccoommmmoonn vveerrttiicceessiinn tthheeccyycclleess aanndd tthheesseeccyycclleess aarreecchhoosseenn iinn ssuucchh aawwaayy tthhaatttthhee ttoottaall vvaalluueeooff eeaacchh ccyyccllee iiss

=

= 77++1313++8484++7878 ==185185 == 22((9191)) == 22((77pp))..TThheennnnuummbbeerrooffcc₄4== 1818 == 33((1313−−11))//22 == 33((pp−−11))//22oorr kk44_,,1212ccaann b

beeddeeccoommppoosseeddiinnttoo1122cc66,,TThhaattiiss,,{{77,,1313,,8484,,7878,,77,,2626,,8484,,6565,,77}} ,,{{1144,,1133,,7777,,7788,,77,,2266,,7777,,6655,,77}},,{{2211,,1133,,7700,,7788,,2211,,2266,,7700,,6655,, 2

211}},, {{2828,,1313,,6363,,7878,,2828,,2626,,6363,,6565,,2828}},, {{3535,,1313,,5656,,7878,,3535,,3939,,5656,,5252,,3535}},, {{4422,,1133,,4499,,7788,,4422,,3399,,4499,,5522}} {{77,,1313,,8484,,7878,,77,,3939,,8484, , 52

52,,77}},, {{1144,,1133,,7777,,7788,,77,,3399,,7777,,5522,,77}},, {{2211,,1133,,7700,,7788,,2211,,3399,,7700,,5522,,2211}},, {{2828,,1313,,6363,,7878,,2828,,3939,,6363,,5252,,2828},},{{3535,,1313,,5656,,7878,,3535,,3939,, 56

56,,5252,,3535}},,{{4422,,1133,,4499,,7788,,4422,,3399,,4499,,5522,,4422}}..TThheenntthheennuummbbeerrooffcc6₆ iiss1212 == 1313−−11 == pp−−11TThheerreeffoorree,,ΓΓ( (zz9191) ) ccaannbbee d

deeccoommppoosseeddiinnttoo ((33((pp−−11))//22))cc44oror ((pp −− 11))cc66

C

Caassee--((iiiiii))::WWhheenn pp >> 1313.. I

Inn ggeenneerraall,, ΓΓ( (zz_77pp)) == {{77,,1414,,...,,77((pp−−11)),,pp,,22pp,,....,,66pp}}.. TThhaatt iiss ||VV((ΓΓ(( zz_77pp))|| ==pp++55.. UUssiinngg tthhee aabboovveettwwoo ccaasseesstthhee

Γ

Γ( (zz7₇pp)) ccaann bbee ppaarrttiittiioonneedd iinnttoo ttwwoo ppaarrttss VV11 == {{ pp,,22pp,,33pp,,44pp,,55pp,,66pp }} aanndd VV22 == {{7777,,1414,,...,,77((pp −− 11)})}.. CClleeaarrllyy,,

Γ

Γ( (zz77pp) ) iiss kk66,,pp−−11wwiitthhtthheeccoommmmoonnppooiinnttss{{pp,,22pp,,33pp,,44pp,,55pp,,66pp}}wwhhiicchhiissaaddjjaacceennttttooaalllltthheerreemmaaiinniinnggvveerrttiicceess..TThheenntthhee n

nuummbbeerrooffccyycclleessiinn kk₆6_,,pp−₋11iiss((33((pp−−11))//22))cc44oror ((pp −− 11))cc66

T

Thheeoorreemm 22..44:: FFOORRaannyyddiissttiinnccttpprriimmeeppaannddqq,, ΓΓ( (zz_pqpq))ccaannbbeeddeeccoommppoossaabblleeiinnttoo((qq−−11))CCpp−−11,,wwhheerree qq >> pp..

P

Prrooooff:: TThheevveerrtteexxsseettooffΓΓ( (zzpqpq))iiss{{pp,,22pp,,33pp,,....((pp−−11))pp,,qq,,22qq,,....((pp−−11))qq}}..TThhaattiiss||VV((ΓΓ( (zzpqpq))))||== pp ++ qq −− 22..UUssiinngg t

thheeaabboovveetthheeoorreemmΓΓ( (zz_pqpq))iiss kk_{pp−−11,,qq−−11} ffoorrpp>>33,,wwiitthhtthheeccoommmmoonnppooiinnttss{{qq,,22qq,,....((pp −− 11))qq}}wwhhiicchhiissaaddjjaacceennttttooaallll t

thheerreemmaaiinniinnggvveerrttiicceess..TThheerreeffoorreetthheennuummbbeerrooffccyycclleessiinn kkpp−₋11_,,qq₋−11iiss((qq −− 11))ccpp₋−11..

T

Thheeoorreemm 22..55::FFoorraannyypprriimmeepp >>44,, ΓΓ(( zz44pp))ccaannbbeeddeeccoommppoossaabblleeiinnttoo kk11_,,22(₍pp₋−11₎)aanndd kk22_,,pp−₋11 oorr ((pp−−11)/)/22cc44..

P

Prrooooff::TThheepprrooooffiissbbaasseeddoonniinndduuccttiioonnoovveerr pp..

C

Caassee--((ii))::WWhheennpp == 55,, T

ThheevveerrtteexxsseettooffΓΓ(( zz2020))=={{22,,44,,66,,....1188,,55,,1100,,1155}}..TThhaattiiss||VV((ΓΓ(( zz2020))))||==1111..LLeettuu==44aannddvv==1100tthheenn2200ddiivviiddeessuvuv..

C

Clleeaarrllyyuuaannddvvaarreeaaddjjaacceenntt..LLeettXX == {{55,,1515}}aannddvv == 1010tthheenn2200ddiivviiddeessvvxxffoorraallllxx ϵϵXX..CClleeaarrllyyuxuxaarreennoonn--aaddjjaacceenntt.. T

ThheennffiirrssttΓΓ(( zz₂₀₂₀))iissddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk_11,,88..CCoonnssiiddeerruu == 44aannddvv == 55tthheenn2200ddiivviiddeessuvuv..TThhaattiissuuaannddvvaarreeaaddjjaacceenntt.. T

ThheenntthheerreemmaaiinniinnggvveerrttiicceessccaannbbeeppaarrttiittiioonneeddiinnttoottwwooppaarrttssVV11=={{44,,88,,1122,,1166}}aannddVV22=={{55,,1155}}wwhhiicchhaarreeaaddjjaacceenntt

t

tooeeaacchhootthheerr..SSeeccoonnddllyy,,ΓΓ(( zz2020))iissffuurrtthheerrddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk22_,,44 FFuutthheerriittccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoottwwooccyycclleessooffcc44,,tthhaatt i

iss{{44,,55,,1166,,1155,,44}}aanndd{{88,,55,,1122,,1155,,88}}..TThheesseeccyycclleessaarreecchhoosseenniinnssuucchhaawwaayytthhaatttthheettoottaallvvaalluueeooffeeaacchhccyycclleeiiss 40

C

Caassee--((iiii))::WWhheennpp==77.. T

ThheevveerrtteexxsseettooffΓΓ( (zz2828))=={{22,,44,,66,,....2266,,77,,1144,,2211}}..TThhaattiiss||VV(Γ(Γ( (zz2828))|| ==1515LLeett uu == 66aannddvv == 1414tthheenn2288ddiivviiddeess uv

uv..CClleeaarrllyyuuaannddvvaarreeaaddjjaacceenntt..LLeettXX == {{77,,2121}}aannddvv == 1414tthheenn2244ddiivviiddeessvxvx..CClleeaarrllyyuxuxaarreennoonn--aaddjjaacceennttffoorraallll x

x ϵϵXX..TThheennffiirrssttΓΓ(( zz28₂₈))iissddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk11_,,1212..CCoonnssiiddeerr uu == 88aannddvv == 77tthheenn2244ddiivviiddeessuvuv..TThhaattiissuuaannddvvaarree a

addjjaacceenntt..TThheenntthheerreemmaaiinniinnggvveerrttiicceessccaann bbeeppaarrttiittiioonneeddiinnttoo ttwwooppaarrttssVV11 =={{44,,88,,1122,,1166,,2200,,2244}}aannddVV22=={{77,,2211}} w

whhiicchhaarreeaaddjjaacceennttttooeeaacchhootthheerr..SSeeccoonnddllyy,,ΓΓ(( zz₂₈₂₈))iissffuurrtthheerrddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk_22,,66 wwhhiicchhiissffuurrtthheerrddeeccoommppoosseeddiinnttoo t

thhrreeeeccyycclleessooffcc44,,tthhaattiiss{{44,,77,,2244,,1144,,44}},,{{88,,77,,2200,,1144,,88}}aanndd{{1122,,77,,1166,,1144,,1122}}..TThheesseeccyycclleessaarreecchhoosseenniinnssuucchhaa

w

waayy tthhaatt tthhee ttoottaall vvaalluuee ooff eeaacchh ccyyccllee iiss 5656 == 22((2828)) == 22((44pp)).. FFiinnaallllyy,, tthhiiss iimmpplliieess ΓΓ zz₂₈₂₈ ccaann bbee ccoommpplleetteellyy d

deeccoommppoosseeddiinnttoo kk_11,,1212 aanndd kk_22,,66oorr33cc₄₄..

C

Caassee--((iiiiii))::WWhheennpp >>77.. I

Innggeenneerraall,,VV ((((zz44pp)))) == {{22,,44,,66...22((pp −− 11),),pp,,22pp,,33pp}}..TThhaattiiss||VV((ΓΓ( (zz44pp))|| ==22pp++11..UUssiinnggtthheeaabboovveeccaasseessΓΓ( (zz44pp))ccaann

b

beeddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk_{11,,22((pp−−11))} aanndd kk_{22,,pp−−11} wwhhiicchhccaannbbeeffuurrtthheerrddeeccoommppoosseeddiinnttoo((pp−−11)/)/ 22ccyycclleessoofflleennggtthh44tthhaattiiss

(

(pp−−11))//22cc44..

T

Thheeoorreemm 22..66::FFoorraannyypprriimmeepp >>66,,ΓΓ( (zz6₆pp))ccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk11,_,33(₍pp₋−11₎),,kk22_,,pp−₋11aanndd kk22,_,22₍(pp−₋11)₎oorr33((pp−−11)/)/22cc44..

P

Prrooooff::TThheepprrooooffiissbbaasseeddoonniinndduuccttiioonnoovveerr pp..

C

Caassee--((ii))::WWhheennpp == 77.. T

ThheevveerrtteexxsseettooffΓΓ(( zz4242)) =={{22,,33,,44,,...4400,,77,,1144,,2211,,2288,,3300}}..TThhaattiiss||VV((ΓΓ(( zz4242))|| ==2929LLeettuu==2121aannddlleettXXbbeetthheesseett

c

coonnssiissttiinnggooffmmuullttiipplleeooff22ootthheerrtthhaannmmuullttiipplleeooff33..TThheennuxuxiissddiivviiddeeddbbyytthhee4422..TThhaattiissuxuxiissaaddjjaacceenntt..TThheenn,,ΓΓ( (zz4242)) iiss

f

fiirrssttddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk_11,,2020 FFrroommtthheerreemmaaiinniinnggvveerrttiicceessccoonnssiiddeerr tthheesseettVV₁₁=={{1144,,2288}}aannddVV₂₂=={{33,,99,,……..,,3399,,66,,1122,,…… 3

366}}.. CClleeaarrllyyaannyyvveerrtteexxooffVV₁1iissaaddjjaacceennttttooaannyyvveerrtteexxooff VV22.. TThheenn,, ΓΓ( (zz4242))iissddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk22_,,1212..FFuurrtthheerriittccaann

b

bee ddeeccoommppoosseedd iinnttoo ssiixx ccyycclleessooff cc₄₄..TThhaatt iiss {{1144,,33,,2288,,3399,,1144}},,{{1144,,99,,2288,,3333,,1144}},,{{1144,,1155,,2288,,2277,,1144}},,{{1144,,66,,2288,,3366,,1144}},, {

{1144,,1122,,2288,,3300,,1144}},,{{1144,,1188,,2288,,2244,,1144}}.. TThheesseeccyycclleessaarreecchhoosseenniinnssuucchhaawwaayytthhaatttthheessuummoofftthheevveerrttiicceessiiss9988..FFiinnaallllyy t

thheerreemmaaiinniinnggvveerrttiicceessccaannbbeeppaarrttiittiioonneeddiinnttooVV₃₃=={{77,,3355}}aannddVV₄₄=={{66,,1122,,……3366}}.. CClleeaarrllyyaannyyvveerrtteexxooff VV33iissaaddjjaacceenntt

t

tooaannyyvveerrtteexxooff VV₄₄ ..TThheenn,,ΓΓ( (zz₄₂₄₂))iissddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk_22,,66 ..FFuurrtthheerriittccaannbbeeddeeccoommppoosseeddiinnttootthhrreeeeccyycclleessooffcc₄₄.. TThhaatt

i

iss{{77,,66,,3355,,3366,,77}},,{{77,,1122,,3355,,3300,,77}},,{{77,,1188,,3355,,2244,,77}}..TThheesseevveerrttiicceessiisscchhoosseenniinnssuucchhaawwaayytthhaatttthheessuummoofftthheevveerrttiicceessiiss 9

911..FFiinnaallllyy,,tthhiissiimmpplliieessΓΓ zz₄₂42 ccaannbbeeccoommpplleetteellyyddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk11_,,2020,,66cc44aanndd33cc44..TThhaattiiss kk11_,,2020,,99cc44..

C

Caassee--((iiii))::WWhheennpp == 1111.. T

ThheevveerrtteexxsseettooffΓΓ( (zz7777)) =={{22,,33,,44,,...6600,,1111,,2222,,3333,,4444,,5555}}..TThhaattiiss||VV(Γ(Γ(( zz7777)|)| ==4545..LLeettuu==3333aannddlleettXXbbeetthheesseett

c

coonnssiissttiinnggooffmmuullttiipplleeooff22ootthheerrtthhaannmmuullttiipplleeooff33..TThheennuxuxiissddiivviiddeeddbbyytthhee7777..TThhaattiissuxuxiissaaddjjaacceenntt..TThheenn,,ΓΓ( (zz42₄₂))iiss

f

fiirrssttddeeccoommppoosseedd iinnttoo kk11_,,3232. .FFrroommtthheerreemmaaiinniinngg vveerrttiicceessccoonnssiiddeerrtthheesseettVV11=={{2222,,4444}} aanndd VV22=={{33,,99,,……..,,6633,,66,,1122,,……

6

600}}..CClleeaarrllyyaannyyvveerrtteexxooff VV11iissaaddjjaacceennttttooaannyyvveerrtteexxooff VV22..TThheenn,,ΓΓ(( zz4242))iissddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk22,,2020..FFuurrtthheerriittccaannbbee

d

deeccoommppoosseedd iinnttoo tteenn ccyycclleess ooff cc₄4.. TThhaatt iiss {{2222,,33,,4444,,6633,,2222}},, {{2222,,99,,4444,,5577,,2222}},, {{2222,,1155,,4444,,5511,,2222}},, {{2222,,2211,,4444,,4455,,2222}},,

{

{2222,,2277,,4444,,3399,,2222}},,{{2222,,66,,4444,,6600,,2222}},,{{2222,,1122,,4444,,5544,,2222}},,{{2222,,1188,,4444,,4488,,2222}},,{{2222,,2244,,4444,,4422,,2222}},,{{2222,,3300,,4444,,4466,,2222}}..TThheesseeccyycclleess a

arreecchhoosseenniinnssuucchhaawwaayytthhaatttthheessuummoofftthheevveerrttiicceessiiss115544== 22((7777)) == 22((66pp))..FFiinnaallllyytthheerreemmaaiinniinnggvveerrttiicceessccaannbbee p

paarrttiittiioonneeddiinnttooVV33=={{1111,,5555}}aannddVV44=={{66,,1122,,……6600}}.. CClleeaarrllyyaannyyvveerrtteexxooff VV33iissaaddjjaacceennttttooaannyyvveerrtteexxooff VV44 ..TThheenn,,

Γ

Γ( (zz₄₂₄₂)) iiss ddeeccoommppoosseedd iinnttoo kk_22,,66.. FFuurrtthheerr iitt ccaann bbee ddeeccoommppoosseedd iinnttoo tthhrreeee ccyycclleess ooffcc₄₄..TThhaatt iiss {{1111,,66,,5555,,6600,,1111}},, {

{1111,,1122,,5555,,5544,,1111}},,{{1111,,1188,,5555,,4488,,1111}},,{{1111,,2244,,5555,,4422,,1111}},,{{1111,,3300,,5555,,3366,,1111}}..TThheesseevveerrttiicceessaarreecchhoosseenn iinn ssuucchh aawwaayy tthhaatt t

thheessuummoofftthheevveerrttiicceessiiss114433..FFiinnaallllyy,,tthhiissiimmpplliieessΓΓ zz₄₂₄₂ ccaannbbeeccoommpplleetteellyyddeeccoommppoosseeddiinnttoo kk_11,,3232,,1010cc₄₄aanndd55cc₄₄..TThhaatt i

iss kk₁1_,,3232,,1515cc44..

C

Caassee--((iiiiii))::WWhheennpp >> 1111.. I

Innggeenneerraall,,VV ((((zz66pp)))) == {{22,,44,,66...22((33pp−−11),),33,,66……..33((22pp−−11)),,pp,,22pp,,33pp,,44pp,,55pp}}..TThhaattiiss||VV((ΓΓ(( zz44pp))|| ==44pp++11..UUssiinnggtthhee a

abboovveeccaasseessΓΓ( (zz_66pp))ccaann bbeeddeeccoommppoosseedd iinnttoo kk_{11,,33pp−−11} kk_{22,,22((pp−−11))} aanndd kk_{22,,pp−−11} wwhhiicchh ccaann bbeeffuurrtthheerr ddeeccoommppoosseedd iinnttoo

(

(pp−−11)/)/ 22ccyycclleessaanndd((pp−−11))ccyycclleessoofflleennggtthh44tthhaattiisspp−−11 2

2 ++pp−−11ooff cc44..TThhaattiiss 33((pp−−11))//22cc44..

T

Thheeoorreemm 22..77::FFoorraannyypprriimmeepp,,ΓΓ zz_pp22 iissnnoottddeeccoommppoossaabblleeiinnttooHHaammiillttoonnccyycclleess..

P

Prrooooff::TThheevveerrtteexxsseettooffΓΓ zz_pp22 iiss{{pp,,22pp,,33pp,,....((pp−−11))pp}}..CClleeaarrllyyppiissaaddjjaacceennttttooaalllltthheevveerrttiicceessiinnVV((ΓΓ( (zz_pp22))))..AAllssoo

n

noottee tthhaatt aannyy ttwwoo vveerrttiicceess iinn ΓΓ(( zz_pp22)) iiss aaddjjaacceenntt aanndd hheennccee ΓΓ( (zz_pp22))iiss aa ccoommpplleettee ggrraapphh.. CClleeaarrllyy eeaacchh vveerrttiicceess ooff

Γ

Γ( (zz_pp22))hhaass ddeeggrreeeepp −− 22.. LLeett qq bbee tthhee nnuummbbeerr ooff eeddggeessooff ΓΓ( (zz_pp22)) tthheenn qq == ((pp−−11))((pp−−22)/)/22.. SSuuppppoossee ΓΓ( (zz_pp22))iiss

d

deeccoommppoossaabbllee iinnttoo HHaammiillttoonn ccyycclleess CCpp−−11.. SSiinnccee eeaacchh CCpp−−11 hhaasspp−−11 eeddggeess.. SSoo tthhee nnuummbbeerr ooff ssuucchh ccyycclleess iinn tthhee

d

deeccoommppoossiittiioonnmmuussttbbeeqq((pp−−11 ))== ((pp−−11))((pp−−22))//22((pp−−11)) == ((pp−−22))//22 == pp//22 −− 11,,wwhhiicchhiissnnoottaanniinntteeggeerrffoorr a

T

Thheeoorreemm 22..88::FFoorraannyypprriimmeepp >>22,,ΓΓ(( zz_pp22))iissddeeccoommppoossaabblleeiinnttoo((pp−−11)/)/22 HHaammiillttoonnppaatthhssPP_pp--11

P

Prrooooff::UUssiinnggtthheeaabboovveetthheeoorreemm,,ΓΓ(( zz_pp22))iissaaccoommpplleetteeggrraapphh,,wwhheerreeppiissaannyypprriimmeeaanndd||VV((ΓΓ(( zz_pp22))|| ==pp−−11..SSiinnccee,,ffoorr

a

annyynn ≥≥ 11,,kk22nn++11``iissddeeccoommppoossaabblleeiinnttooHHaammiillttoonn ccyycclleess..CCoonnssiiddeerrΓΓ(( zz7722)),,tthheevveerrttiicceesssseettooffΓΓ( (zz7722)),, iiss{{77,,1144,,2211,,

2

288,,3355,,4422}}tthhaattiiss{{pp,,22pp,,33pp,,....((pp −− 11))pp}}wwhheerreepp == 77..LLaabbeelltthheevveerrttiicceessxx11,,xx22,,xx33,,xx44,,xx55,,xx66aannddffoorrmmtthheeHHaammiillttoonn

p

paatthhaassffoolllloowwss P

Paatthh11::xx₁1,,xx55 ,,xx33 ,,xx66,,xx44,,xx22 ((PP66))

P

Paatthh22::xx33,,xx11 ,,xx22 ,,xx66,,xx55,,xx44 ((PP66) ) P

Paatthh33: :xx66 ,,xx11 ,,xx44 ,,xx33,,xx22,,xx55 ((PP66))

H

HeenncceeΓΓ( (zz_pp22))iissddeeccoommppoossaabblleeiinnttoo((pp−−11))//22HHaammiillttoonnppaatthhPPp_p−−11

F

FoorreexxaammpplleeiinnΓΓ(( zz₅₅22)),, tthheennuummbbeerrooffvveerrttiicceessaarree{{55,,1010,,1515,,2020}}..

F

Foorrpp == 55,, pp−−11//22== 55−−11//22 == 44//22 ==22HHaammiillttoonnppaatthhPP₄4

3

3. .CCOONNCCLLUUSSIIOONN

I

InntthheezzeerrooddiivviissoorrggrraapphhΓΓ zz_nn wwhheerreenniissaannyyppoossiittiivveeiinntteeggeerr,,tthheennuummbbeerrooffccyycclleessooffcc44tthhaatthhaassbbeeeennddeeccoommppoosseeddffoorr n

n==33pp,,44pp,,55pp,,66pp,,77pp ffoorrmmss aann iinneeqquuaalliittyy oo((DD((ΓΓ(( zz₃3pp))))))≤≤oo((DD((ΓΓ( (zz44pp))))))<<oo((DD(Γ(Γ(( zz55pp)))))) <<oo((DD(Γ(Γ( (zz66pp)))))) ≤≤ o

o((DD((ΓΓ(( zz77pp))))))wwhheerreeoo((DD((ΓΓ(( zznn))))))iisskknnoowwnnaasstthheennuummbbeerrooffccyycclleessooff cc44,,wwhhiilleetthheeccoommpplleetteeggrraapphhΓΓ( (zzpp22))iissoonnllyy d

deeccoommppoossaabblleeiinnttooHHaammiillttoonnppaatthhPPpp--11 bbuuttnnootthhaassHHaammiillttoonnccyycclleess..

R

REEFFEERREENNCCEESS

1

1.. DD..FF..AAnnddeerrssoonnaannddPP..SS..LLiivviinnggssttoonn,,TThheezzeerroo--ddiivviissoorrggrraapphh ooffaaccoommmmuuttaattiivveerriinngg,,JJ..AAllggeebbrraa,,221177,,((11999999)),, N

Noo--22,,443344--444477.. 2

2.. KK..AAnnaanntthhii,,JJ.. RRaavvii SSaannkkaarr aanndd NN..SSeellvvii,, BBiippaartrtiittee UnUniivveerrssaall DoDommiinnatatiioonn ooff ZZeerroo DiDivviissoorr GGrraapphh,, ApAppplliieedd M

Maatthheemmaattiiccaall SScciieennccee,, VVooll..99,,22001155,,NNOO..5511,,22552255 3

3.. DD..BBrryyaannttaannddCC..AA..RRooddggeerr,,CCyycclleeddeeccoommppoossiittiioonnss,,iinnTThheeCCRRCCHHaannddbbooookkooff CCoommbbiinnaattoorriiaallDDeessiiggnnss,,22nndd e

eddiittiioonn((EEddss..CC..JJ..CCoollbboouurrnn,,JJ..HH..DDiinniittzz)),,CCRRCCPPrreessss,,BBooccaaRRaattoonn((22000077)) 337733––338822.. 4

4.. BB..WW..JJaacckkssoonn,,SSoommeeccyycclleeddeeccoommppoossiittiioonnssooffccoommpplleetteeggrraapphhss,,JJ..CCoommbbiinn..IInnffoorrmm..SSyysstteemmSSccii..,,1133((11998888)) 2

200––3322.. 5

5.. JJ..RRaavviiSSaannkkaarraannddSS..MMeeeennaa,, CCoonnnneecctteedd DDoommiinnaattiioonn NuNummbbeerr oof fa a CCoommmmuutatattiivvee RiRinngg,, InIntteerrnnaattiioonnaall JoJouurrnnaall o

of f MMaatthheemmaattiiccaall RReesseeaarrcchh55,,((22001122)),,NNOO--11,,55--1111.. 6

6.. JJ..RRaavvii SSaannkkaarraannddSS..MMeeeennaa,, ChChaannggiinngg aannd dUnUncchhaannggiinngg tthhee DDoomiminnaattiioonn NuNummbbeerr ooff a aCoCommmmuuttaattiivvee RRiinngg,, I

Inntteerrnnaattiioonnaall JJoouurrnnaall ooff AAllggeebbrraa,, 66,,((22001122)),,NNOO--2277,,11334433--11335522.. 7

7.. AA..RRoossaa,, OOnn ccyycclliiccddeeccoommppoossiittiioonnss ooff tthhee ccoommpplleettee ggrraapphh iinnttoo 44mm++ 22--ggoonnss,, MMaatt..--FFyyzz.. CCaass..,, 1166 ((11996666)),, 3

34499––335522.. 8

8.. BB..AAllssppaacchhaannddBB..NN..VVaarrmmaa,,DDeeccoommppoossiinnggccoommpplleetteeggrraapphhssiinnttooccyycclleessoofflleennggtthh22ppee,,AAnnnn..DDiissccrreetteeMMaatthh..,,99 (

(11998800))115555––116622..

Source of support: Nil, Conflict of interest: None Declared. [

[CCOOPPYY RRIIGGHHTT ©©22001188..TTHIHISS IISS AANN OOPEPENN AACCCCEESSSS AARRTTIICCLLEE DDIISSTTRRIIBBUUTTEEDD UUNNDDEERR TTHHEE TTEERRMMSS OOFF TTHHEE IINTNTEERRNNAATTIIOONNAALL JJOOUURRNNAALL OOFF M

MATATHHEEMMAATTIICCAALL AARRCCHHIIVVEE (I(IJJMMAA)),, WWHHIICCHH PEPERRMMIITTSS UNUNRREESSTTRRIICCTTEEDD UUSSEE,,DIDISSTTRRIIBBUUTTIIOONN,,ANANDD REREPPRROODDUUCCTTIIOONN IINN AANNYY MMEEDDIIUUMM,, P