Physik ungeordneter Systeme

Physik ungeordneter Systeme

K. Ziegler

Institut f¨ ur Physik, Universit¨at Augsburg

Vorl¨aufige Fassung (December 10, 2013)

Inhaltsverzeichnis

1. Perkolation

2. Klassische Spinsysteme mit Unordnung (Spinglas) 3. Zufallswege im Zufallspotential

4. Zufallsmatrizen

5. Quantentransport und Anderson-Lokalisierung 6. selbstorganisierte Unordnung: Falicov-Kimball Model

Ich m¨ochte Cenap Ates f¨ur seine Vorlesungsmitschrift und Verena K¨orting f¨ur ihre Hilfe bei den Abbil- dungen danken.

Introduction

These lecture notes give an introduction to the physics of disordered systems. In the following the term disordered refers to systems with broken translational invariance, i. e. to inhomogeneous systems in thermodynamic equilibrium (frozen disorder).

In contrast, the term thermodynamic disorder is used for disordered microscopic degrees of freedom in systems with thermal fluctuations, where the translational invariance of the whole system is not broken.

For instance, a paramagnet is thermodynamically disordered, whereas its ferromagnet counterpart (i.e.

below the Curie temperature) is thermodynamically ordered.

A classic example for an ordered system is an ideal solid (a crystal), which presents a periodic structure of the atoms. The translational symmetry strongly affects the physical properties of the solid state and thus is an essential feature of models of this system (see e. g. Bloch theorem).

In real solids the translational invariance is broken by imperfections of the crystal. Thus their physical properties differ from that of the ideal system. The resistivity of silicon, for example, depends strongly on the purity of the material. Therefore, any description of real systems has to take into account the effects of disorder, where the specific meaning of disorder depends on the considered system.

substitutional disorder:

A periodic arrangement of at least two sorts of particles is considered. Then the particles are randomly mixed. The periodicity of the underlying lattice is not changed (e, g. binary alloys).

structural disorder:

One sort of particles is considered. The positions of the atoms are at random (e. g. amorphous materialslike glass).

quasi–crystals:

One sort of particles is considered. The positons of these are determined by some (iterative) rule, but the obtained lattice is not periodic.

other kinds of disorder:

Disordered systems, which do not fall into one of the above mentioned categories are e. g. polymers, which build up a random network, or the percolation problem, where the sites or bonds of a lattice are occupied at random with a certain probability.

What is disorder in a theory?

1) Model has a static random variable (e.g. random potential, random coupling etc.) 2) physical quantities are averaged with respect to this random variable

Why is disorder interesting?

It can give new phases (e.g., localized phases or glass phases) or a new length scale (e.g. localization length)

How can disorder appear in nature?

It is caused by imperfections (impurities) in real systems here: the heavy fermions in a mixture of light and heavy fermions

self-organized disorder

Figure 1: Perkolation auf einem Dreiecksgitter. Die besetzten Pl¨atze sind weiß, die unbesetzten schwarz markiert.

Figure 2: Rekursive Konstruktion des Bethegitters mit z = 3

1 Perkolation

1.1 Perkolation in einer Dimension

Der einfachste Fall eines Perkolationsmodell ist die Kette. Im Folgenden sollen wichtige Begriffe und Gr¨oßen der Perkolationstheorie am Beispiel der Kette eingef¨uhrt und diskutiert werden. Die Diskussion soll dabei auf Platz-Perkolation beschr¨ankt bleiben, wobei eine Erweiterung auf Bindungsperkolation vielfach m¨oglich ist.

Die Wahrscheinlichkeit f¨ur ein festes Cluster der L¨ange s ist p^s(1− p)²

und die Anzahl der Cluster der L¨ange s auf einer Kette der L¨ange L ist

≈ Lp^s(1− p)² (s≪ L).

Damit ist die mittlere Anzahl von Clustern der L¨ange s pro Gitterplatz ns= p^s(1− p)²

Die Perkolationsschwelle pc ist der Wert von p, bei dem ein unendliches Cluster existiert f¨ur alle p≥ p^c. Im Falle der Kette ist also pc = 1, denn f¨ur alle Werte p < 1 verschwindet ns exponentiell mit s. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein gegebener Punkt zu einem Cluster der L¨ange s geh¨ort, ist

sns

und die Wahrscheinlichkeit, daß er zu einem Cluster irgendeiner Gr¨oße geh¨ort, ist X

s≥1

sns= (1− p)²X

s≥1

sp^s= (1− p)²pd dp

X

s≥1

p^s= p,

Figure 3: Rekursive Konstruktion des Bethegitters

was offensichtlich konsistent ist mit der Definition der Besetzung.

Die mittlere Wahrscheinlichkeit, daß ein Punkt zu einem Cluster der Gr¨oße s geh¨ort, ist ws= sns

P

s≥1sns

,

woraus die mittlere Clustergr¨oße

S =X

s≥1

sws= P

s≥1s²ws

P

s≥1sws

= 1 + p

1− p (1)

folgt.

Korrelationen zwischen zwei besetzten Punkten auf der Kette werden durch die Gr¨oße g(r) beschrieben, die die Wahrscheinlichkeit daf¨ur angibt, daß zwei Pl¨atze mit Abstand r zum selben Cluster geh¨oren:

g(r) = p^r= exp(−r/ξ) mit der Korrelationsl¨ange ξ =−1/ log p. Die Summe

X∞ r=−∞

= 2X

r≥0

p^r− 1 = 1

1− p − 1 = 1 + p 1− p gibt die Clustergr¨oße S (s. Gl. (1)).

1.2 Perkolation auf dem Bethegitter

Lokale Definition das Gitters ist dadurch gegeben, daß es zu jedem Gitterplatz z (Koordinationszahl) n¨achste Nachbarn gibt. Das Bethegitter kann rekursiv konstruiert werden: Ausgehend vom Startpunkt werden an diesen z n¨achste Nachbarpunkte geheftet. An jedem Punkt auf der Oberfl¨ache wird jeweils ein neuer Punkt geheftet. Eine Kugel kann man auf dem Bethegitter dadurch definieren, daß man einen Ursprung festlegt und um diesen Punkte mit einem maximalen Abstand r (Radius) anordnet. Das Kugelvolumen (Anzahl der Punkte in der Kugel) V (r) kann rekursiv bestimmt werden:

V (2) = 1 + z + z(z− 1)

V (r) = 1 + z + z(z− 1) + z(z − 1)²+ ... + z(z− 1)^r−1

= 1 + z1− (z − 1)^r

1− (z − 1) = z(z− 1)^r− 2 z− 2 . Die Oberfl¨ache der Kugel ist

∂V (r) = z(z− 1)^r−1, so daß das Verh¨altnis von Oberfl¨ache zu Volumen lautet

∂V (r)

V (r) = z− 2

z− 1 − 2/(z(z − 1)^r−1) → z− 2 z− 1.

D.h., die Oberfl¨ache w¨achst wie das Volumen auf dem Bethegitter. Auf dem Euklidischen Gitter dagegen ist V (r)∼ r^d und ∂V (r)∼ cr^d−1, womit

∂V (r)

V (r) ∼ cr⁻¹.

Andererseits kann man die Oberfl¨ache durch das Volumen ausdr¨ucken durch ∂V ∼ cV^1−1/d, was zur Aussage verleitet, daß sich das Bethegitter wie ein unendlich-dimensionales Euklidisches Gitter verh¨alt.

0

P

P

Aeste von P

Zweige von P

Figure 4: ¨Aste und Zweige zum Punkt P0.

Der Umfang eines Clusters (Menge der Punkte, die benachbart sind) auf dem Gitter ist die Anzahl derjenigen Punkte, die Nachbarn von Punkten des Clusters sind aber nicht selbst zum Cluster geh¨oren.

Der Umfang t ist auf dem Bethegitter eindeutig bestimmt: Ein Punkt (Clustergr¨oße s = 1) hat den Umfang t = z. F¨ur s > 1 hat ein Punkt P0 des Umfangs z− 1 nicht zum Cluster geh¨orige Nachbarn.

Wird dieser Punkt dem Cluster hinzugef¨ugt, verringert sich t um 1 und erh¨oht sich um z− 1. Daher gilt

∆t = z− 2 falls ∆s = 1.

Eine iterative Anwendung dieser Regel liefert schließlich

t = z + (s− 1)(z − 2). (2)

1.2.1 Perkolationsschwelle pc auf dem Bethegitter

Angenommen, P0 sei ein besetzter Gitterplatz. Außerdem geh¨ore P0 zu einem Cluster, das aus mehr als einem Punkt besteht. Dann stehen im Mittel p(z− 1) M¨oglichkeiten zur Verf¨ugung, das Cluster von P0 aus fortzusetzen. Daraus folgt, daß im Mittel [p(z− 1)]ⁿ M¨oglichkeiten zur Verf¨ugung stehen, das Cluster von P0 aus n-fach fortzusetzen. Die mittlere Anzahl der M¨oglichkeiten nimmt f¨ur p(z− 1) < 1 exponentiell ab. Daraus ergibt sich als Perkolationsschwelle

pc = 1 z− 1, was mit pc= 1 f¨ur die Kette z = 2 ¨ubereinstimmt.

F¨ur ein unendlich großes (perkolierendes) Cluster definieren wir die Clusterst¨arke P , die die Wahrschein- lichkeit daf¨ur angibt, daß daß ein Gitterplatz zum perkolierenden Cluster geh¨ort.

Bem.: P h¨angt im unendlichen Gitter nicht von der speziellen Wahl des Gitterplatzes ab.

Berechnung von P f¨ur z = 3: Q sei die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ast von einem Punkt P0 nicht zum perkolierenden Cluster geh¨ort. Das gilt dann ebenfalls f¨ur die Zweige von P0, die wiederum ¨Aste von P1 sind. Die Wahrscheinlichkeit daf¨ur, daß P1 nicht zu einem perkolierenden Cluster geh¨ort, ist die Wahrscheinlichkeit, daß keiner der beiden ¨Aste von P1 zu einem perkolierenden Cluster geh¨ort, n¨amlich Q². F¨ur einen endlichen Ast von P0, der P1 enth¨alt, gilt somit:

a) pQ²ist die Wahrscheinlichkeit, daß P1 besetzt ist und nicht zu einem perkolierenden Cluster geh¨ort.

b) Der Punkt P1 muß auch dann ber¨ucksichtigt werden, falls er unbesetzt ist. Das ist mit Wahrschein- lichkeit 1− p der Fall. Damit gilt

Q = 1− p + pQ². (3)

Die Wahrscheinlichkeit (Clusterst¨arke), daß P0besetzt ist und im perkolierenden Cluster liegt, ist P = p(1− Q³).

L¨osungen der quadratischen Gleichung (3) sind

Q1= 1, Q2= (1− p)/p.

Aus Q = Q1folgt f¨ur die Clusterst¨arke P = 0. Diese L¨osung gilt daher unterhalb der Perkolationsschwelle.

Q2 dagegen liefert

P = p− (1 − p)³/p²,

was offensichtlich das Verhalten oberhalb der Perkolationsschwelle repr¨asentiert.

1.2.2 Mittlere Clustergr¨oße S f¨ur z = 3

Ein Ast von P 0 sei im Mittel ein Cluster der Gr¨oße T . Falls P1 unbesetzt ist, tr¨agt der Ast (P0, P1) nichts zu S bei. Mit Wahrscheinlichkeit p ist P1besetzt, und dann liegen P1 und seine ¨Aste im Cluster.

Daher gilt

T = p(1 + 2T ), woraus dann

T = p

1− 2p (p < pc= 1/2)

folgt. Die mittlere Gr¨oße des gesamten Clusters ist 0 falls P0 unbesetzt ist und 1 + 3T , falls P0 besetzt ist. Daher gilt

S = p(1 + 3T ) =p(1 + p) 1− 2p . 1.2.3 Kritisches Verhalten von P und S f¨ur p↓ p^c

Entwicklung von P = p− (1 − p)³/p² um p = pc = 1/2 liefert P ∼ 6(p − p^c),

d.h. P verschwindet linear bei der Ann¨aherung an die Perkolationsschwelle. Die Entwicklung der mit- tleren Clustergr¨oße gibt

S∼ 3

8(pc− p)⁻¹. 1.2.4 Mittlere Zahl von s-Clustern pro Gitterplatz

Allgemein gilt f¨ur die mittlere Zahl von Clustern der Gr¨oße s pro Gitterplatz ns(p) =X

t

gs,tp^s(1− p)^t,

wobei gs,tdie Anzahl der Konfigurationen eines Clusters der Gr¨oße s mit Umfang t ist. Speziell f¨ur das Bethegitter gilt, daß t eindeutig durch s bestimmt ist (2):

t = 2 + (z− 2)s.

Damit ist also in diesem Spezialfall

ns(p) = gsp^s(1− p)^2+(z−2)s und f¨ur z = 3

= gsp^s(1− p)^2+s

Allerdings ist gsnoch unbekannt. Wir wollen dessen Bestimmung umgehen, indem wir nur das Verh¨altnis Clusterzahlen zu verschiedenen p-Werten betrachten. Im Fall von z = 3 erh¨alt man damit

ns(p)

ns(pc)= 1− p 1− p^c

2 p(1− p) pc(1− p^c)

s

und unter Verwendung von pc = 1/2

= 4(1− p)²[4p(1− p)]^s∝ [1 − 4(p − p^c)²]^s=: e^−cs mit c =− log[1 − 4(p − p^c)²]∼ 4(p − p^c)². Damit gilt

ns(p)

ns(pc) ∼ const.e^{−4(p−pc)2s}. (4) 1.2.5 Verhalten nahe der Perkolationsschwelle (p∼ p^c)

Allgemein gilt f¨ur die mittlere Clustergr¨oße

S∝X

s

s²ns

Diese Summe muß f¨ur p↑ p^cdivergieren, da die mittlere Clustergr¨oße an der Perkolationsschwelle beliebig anwachsen sollte. Zu diesem Zweck verwenden wir den Ansatz

ns(pc)∼ s^−τ (τ < 3),

der sich aus dem Tr¨opfchen-Modell ergibt. (Letzteres besagt hier, daß große Cluster unwahrscheinlicher als kleine sind.) Im Falle des Bethegitters kann der Exponent τ bestimmt werden:

S∝X

s

s²ns∼X

s

s²ns(p) ns(pc)s^−τ ergibt unter Verwendung von Gl. (4) n¨aherungsweise mit c = 4(p− p^c)²

∼ Z ∞

0

s^2−τe^−csds = c^τ−3 Z ∞

0

x^2−τe^−xdx.

Das Integral ist bekannt als die Gammafunktion Γ(3− τ). Die mittlere Clustergr¨oße sollte an der Perko- lationschwelle divergieren, deshalb ist

τ < 3.

Damit ergibt sich f¨ur das asymptotische Verhalten der mittleren Clustergr¨oße S∼ const.(p − p^c)^2τ−6

Andererseits hatten wir bereits gefunden, daß auf dem Bethegitter S∼ const.(p^c− p)⁻¹ gilt. Daher ist der Exponent

τ = 5/2 f¨ur das Bethegitter mit z = 3 und

ns(p)∼ ns(p)

ns(pc)s^−5/2∼ s^5/2e^−cs.

1.3 Versuch einer Skalentheorie f¨ ur Perkolation auf Euklidischen Gittern

Auf dem d-dimensionalen Gitter sollte die Perkolation ¨ahnliche Eigenschaften haben wie auf dem Bethe- gitter. Ein wichtiger Unterschied ist jedoch, daß topologisch komplexere Cluster m¨oglich sind. Daher kann man ¨Ahnlichkeit nur f¨ur Gr¨oßen erwarten, die nicht explizit von der topologischen Struktur beein- flußt werden. Ein m¨ogliches Beispiel hierf¨ur ist die mittlere Anzahl von Clustern pro Gitterplatz ns. F¨ur diese Gr¨oße nehmen wir in Analogie zum Resultat auf dem Bethegitter an, daß

ns(p)∼

s^−τe^−cs (s∼ ∞)

c∼ |p − p^c|^1/σ p≤ p^c (5)

gilt. Der Exponent f¨ur c ist im Falle des Bethegitter mit z = 3 σ = 1/2; im allgemeinen Fall wird er davon abweichen.

Bem.: speziell f¨ur d = 1 gilt

ns= p^s(1− p)²,

was vom Skalenansatz (5) abweicht. d = 1 kann deshalb nur in einem verallgemeinerten Ansatz (s. unten) behandelt werden.

1.3.1 Bestimmung der Clusterst¨arke P f¨ur d > 1

Ein Gitterpunkt ist mit Wahrscheinlichkeit p besetzt. Dabei kann unterschieden werden, daß er en- tweder zum unendlichen Cluster geh¨ort (mit Wahrscheinlichkeit P ) oder zu einem endlichen Cluster (mit WahrscheinlichkeitP

s>0sns):

p = P +X

s>0

sns. Speziell f¨ur p = pc gilt P = 0 und damit

pc=X

s>0

sns∼X

s>0

ss^−τ.

Diese Summe konvergiert f¨ur τ > 2. F¨ur p > pc (mit p∼ p^c gilt dagegen P ∼ p^c−X

s>0

sns=X

s>0

s[ns(p)− n^s(pc)]

und mit dem Ansatz (5)

∼X

s>0

s^1−τ(1− e^−cs)∼ Z ∞

0

s^1−τ(1− e^−cs)ds was mittels partieller Integration

1

2− τs^2−τ(1− e^−cs) 

∞

0 − c^τ−2 2− τ

Z ∞ 0

x^2−τe^−xdx

liefert. Der erste Term verschwindet wegen 2 < τ < 3 und das Integral liefert Γ(3− τ). Damit ist die Clusterst¨arke

P ∼ const.c^τ−2= const.(p− p^c)^(τ−2)/σ. Der kritische Exponent

β = (τ − 2)/σ

beschreibt das Verschwinden von P (p) f¨ur p↓ p^c. F¨ur das Bethegitter ist σ = 1/2 und τ = 5/2, woraus β = 1 folgt. Die direkte Berechnung von P (p) ergab

P ∼ 6(p − p^c), was mit obigem Ergebnis ¨ubereinstimmt.

1.3.2 Bestimmung der mittleren Clustergr¨oße S f¨ur p↑ p^c Der Skalenansatz (5) f¨uhrt f¨ur die mittlere Clustergr¨oße zu

S∼ const.c^τ−3∼ const.(p^c− p)^(τ−3)/σ, wobei man den neuen Exponenten

γ = 3− τ σ

erh¨alt. Aus der Bedingung 2 < τ < 3 folgt ¨ubrigens β, γ > 0. Außerdem ist beim Bethegitter mit z = 3 der Exponent γ = 1.

1.3.3 Momente der Clustergr¨oße Die Gr¨oße

Mk=X

s>0

s^kns

ist als k-tes Moment der Clustergr¨oße definiert. Spezialfall ist M2= S. Da an der Perkolationsschwelle ns(pc)∼ s^−τ ist, gilt f¨ur das k-te Moment

Mk(pc)∼X

s>0

s^k−τ,

was im Falle von k− τ ≥ −1 divergiert. Etwas unterhalb der Perkolationsschwelle gilt dagegen Mk(p)∼X

s>0

s^k−τe^−cs∼ Z ∞

0

s^k−τe^−csds

= c^τ−k−1 Z ∞

0

x^k−τe^−xdx = const.c^τ−k−1.

Bem.: Bei Ann¨aherung an die Perkolationsschwelle p ↑ p^c konvergiert Mk(p) f¨ur k − τ < −1 (d.h.

k < τ− 1). Dann kann aber kein Potenzverhalten extrahiert werden.

1.4 Einw¨ ande gegen den Skalenansatz

a) d = 1 ist nicht erfaßt b) F¨ur s < ∞ ist n^s(p) = P

tgs,tp^s(1− p)^t ein Polynom in p. Im Gegensatz dazu ist 1/σ i.a. nicht ganzzahlig. Dann ist aber ns(p) nicht analytisch in p, im Widerspruch zu dessen Definition.

Versuch einer Alternative:

cs∼ |p − p^c|^1/σs→ y = (p − p^c)s^σ. Allerdings divergiert dann

ns(p)∼ s^−τe^{−(p−pc)sσ} f¨ur p < pc.

Ein m¨oglicher Ausweg besteht darin, eine Skalenfunktion einzuf¨uhren:

ns(p) = s^−τf (y) = s^−τf ((p− p^c)s^σ).

Anstelle der Exponentialfunktion e^−cs, die wir aus dem Ergebnis des Bethegitters gefunden haben, wird eine verallgemeinerte Funktion f ((p− p^c)s^σ) eingef¨uhrt. Diese Funktion kann beispielweise durch Com- putersimulationen ermittelt werden. Oder wir verwenden wiederum das Bethegitter mit z = 3 und schreiben

f (y) = e^−y2, τ = 5/2, σ = 1/2.

Im Falle von d = 1 (Bethegitter mit Koordinationszahl z = 2) finden wir die Exponenten σ = 1 und τ = 2:

ns(p)∼ (p^c− p)²e^−(pc−p)s= s⁻²y²e^y. Damit ist diesem Fall die Skalenfunktion

f (y) = y²e^y.

Eine Bedingung f¨ur die Skalenfunktion besteht in der Forderung, daß die Clusterst¨arke P = 0 im Falle von p < pc ist. Damit ist

P = p−X

s>0

sns(p) und 0 = pc−X

s>0

sns(pc),

wobei aus der Differenz der beiden Gleichungen P = p− p^c+X

s>0

s[ns(pc)− n^s(p)]

folgt. Mit dem Ansatz

ns(p) = s^−τf (y) ns(pc) = s^−τf (0) ergibt sich dann

X

s>0

s[ns(pc)− n^s(p)] =X

s>0

s^1−τ[f (0)− f(y)] ∼ Z _∞

0

s^1−τ[f (0)− f(y)]ds

∝ |p − p^c|^(τ−2)/σ Z b

a |y|−1+(τ −2)/σ[f (0)− f(y)]dy σ mit den Integrationsgrenzen

a = 0, b =∞ f¨ur p > pc

a =−∞, b = 0 f¨ur p < p^c . Aus der Beziehung 1/σ = γ + β folgt dann noch

(γ + β)|p − p^c|^β Z b

a |y|^1−β[f (0)− f(y)]dy

Da dieses Integral f¨ur p≤ p^c endlich sein sollte, darf f (y) nicht monoton mit y anwachsen oder abfallen, sondern es muß Beitr¨age f (y) < f (0) und Beitr¨age f (y) > f (0) f¨ur y < 0 geben. Damit ns(p) eine analytische Funktion f¨ur s <∞ ist, muß f(y) analytisch sein.

1.5 Clusterzahl n

(p) abseits von p

Im Falle von p < pc kann die Anzahl der Clusterkonfigurationen (”lattice animals”) abgesch¨atzt werden.

Mit gs=P

tgs,tgilt f¨ur s∼ ∞

gs∼ s^−Θa^s, (6)

woraus

log gs∼ s(−Θ

s log s + log a)∼ s log a folgt. Speziell f¨ur p∼ 0 finden wir

ns(p) =X

t

gs,tp^s(1− p)^t∼ g^sp^s

und durch Vergleich mit (6) das Potenzgesetz

ns(p) = s^−Θ(ap)^s. Deshalb ist

log ns∼ s[−Θ

s log s + log(ap)]∼ s log(ap), d.h., f¨ur hinreichend kleines p ist log(ap) < 0. Aus Simulationen wurde

Θ = 1 d = 2 3/2 d = 3

gefunden. Genauere Absch¨atzungen (Kunz/Soulliard) ergeben f¨ur p > pc und s∼ ∞ log ns(p)∼ s^1−1/d, ns(p)∼ s^−Θe^−cs1−1/d

1.6 Dualit¨ at in d = 2

Liefert Resultate, indem durch Austausch von p mit 1− p und der Gitterstruktur (Dreiecks- bzw. Hexag- onalgitter) eine Beziehung hergestellt wird, aus der man pc bestimmt. [1]

1.7 Potenzreihen-Entwicklung

Entwicklung von ns(p) auf dem Quadratgitter in Potenzen von p liefert [1, 2]

n1(p) = p(1− p)⁴ n2(p) = 4p²p²(1− p)⁶ n3(p) = 6p³(1− p)⁸+ 12p³(1− p)⁷

n4(p) = 8p⁴(1− p)¹0 + 32p⁴(1− p)⁹+ (16 + 16 + 4)p⁴(1− p)⁸ Das impliziert f¨ur die Clusterst¨arke

P (p) = 1− (1 − p)⁴+ (1− p)⁵− 4(1 − p)⁶− 4(1 − p)⁷− 15(1 − p)⁸− 69(1 − p)⁹+ ...

und die mittlere Clustergr¨oße

S(p) = 1 + 4p + 12p²+ 24p³+ 52p⁴+ ...

Spezielle Methoden zur Analyse dieser Potenzreihen (Pad´e Approximation) liefern [1, 2]

γ≈n 2.38 d = 2 1.70 d = 3 .

1.8 Perkolation und Statistische Mechanik

Modelle der statistischen Mechanik stehen in Beziehung zum Problem der Perkolation. Das betrifft insbesondere die bond-Perkolation, die im Folgenden an Hand des Ising- und des Potts-Modells betrachtet werden sollen.

1.8.1 Das verd¨unnte Ising-Modell

Das Ising-Modell auf einem d-dimensionalen Gitter beschreibt diskrete Spins Sr(r∈ Gitter) mit S^r=±1.

Spins auf benachbarten Gitterpl¨atzen haben die Energie−J^rr′ falls die Spins den gleichen Wert haben und Jrr^′ falls die Spins verschiedene Werte haben. Das ergibt die Wechselwirkungsenergie

H =− X

<r,r^′>

Jrr^′SrSr^′

f¨ur das gesamte Spinsystem auf dem Gitter. Die Verd¨unnung erh¨alt man aus der Beseitigung von einigen Kopplungen Jrr^′. Formal kann das durch die zuf¨allige Auswahl von Jrr^′ = J > 0 oder Jrr^′ = 0 erreicht werden mit

P rob(Jrr^′ = J) = p, P rob(Jrr^′ = 0) = 1− p

statistisch unabh¨angig f¨ur verschiedene bonds < r, r^′>. Die Statistik des Ising-Modells bei der Temper- atur T = 1/β kann nun mit Hilfe des Boltzmann-Gewichts

e^−βH Z mit der Zustandssume

Z = X

{Sr}

e^−βH.

beschrieben werden. e^−βH schreibt sich auch Y

<r,r^′>

e^{βJrr′SrSr′} = Y

<r,r^′>

[cosh(βJrr^′) + SrSr^′sinh(βJrr^′)]

= Y

<r,r^′>

cosh(βJrr^′)[1 + SrSr^′tanh(βJrr^′)]

Im Grenzfall verschwindender Temperatur (d.h. β→ ∞) erhalten wir

β→∞lim 1 + SrSr^′tanh(βJrr^′) = 1 + SrSr^′Jrr^′/J

Damit kann jetzt die Zustandssumme f¨ur eine gegebene Realisierung der Kopplungen Jrr^′ berechnet werden. Angenommen, wir haben n Cluster C1, ..., Cn, auf denen die Kopplungen Jrr^′ = J sind, w¨ahrend die Kopplungen sonst 0 sind. Dann gilt

Z(C1, ..., Cn) =X

{Sr}

Y

<r,r^′>

(1 + SrSr^′Jrr^′/J) = X

{Sr}

Yn k=1

Y

<r,r^′>∈Ck

(1 + SrSr^′) (7)

Wenn skjetzt die Anzahl der Gitterpunkte (=Clustergr¨oße) und s^′_k die Anzahl der Bindungen im Cluster Ck ist, ergibt sich aus der Summation ¨uber die Spins jeweils ein Faktor 2 f¨ur Gitterpunkte außerhalb der Cluster, d.h.

2^N−Pn k=1sk,

wenn N die Gesamtzahl der Gitterpunkte ist. Ansonsten geben Bindungen mit Jrr^′ = 0 nur einen Faktor 1 zum Produkt. Die Summe ¨uber die Ising-Spins f¨ur Punkte innerhalb der Cluster liefert dagegen insgesamt nur einen Faktor 2 f¨ur das Cluster auf Grund der Tatsache, daß SrSr^′ = 1 f¨ur alle Bindungen auf dem Cluster sein muß, um einen nichtverschwindenden Beitrag zu erhalten. Daher gibt es f¨ur jedes Cluster Ck nur zwei Beitr¨age von der Summe ¨uber die Ising-Spins, n¨amlich diejenige, bei der entweder alle Spins Sr= 1 oder alle Spins Sr=−1 sind. Das ergibt schließlich

Z(C1, ..., Cn) = 2^N Yn k=1

2^s′k+12^−sk = 2^{N +n+}Pn

k=1(s^′_k−sk). (8)

Daher beschreibt Z f¨ur eine gegebene Realisierung der Kopplungen Jrr^′ = J (n¨aherungsweise) die Wahrscheinlichkeit f¨ur das Auftreten der zugeh¨origen Cluster Ck. Daraus lassen sich Gr¨oßen konstru- ieren, die Clustereigenschaften messen. Zum Beispiel l¨aßt sich mit SrSr^′ die Wahrscheinlichkeit einer besetzten Bindung < r, r^′ > ermitteln:

X

{Sr}

SrSr^′

Yn k=1

Y

<r,r^′>∈Ck

(1 + SrSr^′)

=

0 falls r, r^′ außerhalb der Cluster Z(C1, ..., Cn) falls r, r^′ innerhalb der Cluster ,

da SrSr^′(1 + SrSr^′) = (1 + SrSr^′). Damit ist die mittlere Besetzung einer Bindung r, r^′ nr,r^′ =hhS^rSr^′ri^Si^J

mit

h...i^S = 1 Z(C1, ..., Cn)

X

{Sr}

...

Yn k=1

Y

<r,r^′>∈Ck

(1 + SrSr^′).

Direkte Berechnung der Wahrscheinlichkeit f¨ur das Auftreten der Cluster C1, ..., Cnbei Bindungsperko- lation ergibt dagegen (N^′ ist die Gesamtzahl der Bindungen des Gitters)

P (C1, ..., Cn) = pP

ks^′_k

(1− p)^N′−P

ks^′_k

= (1− p)^N′ p 1− p

P

ks^′_k

, (9)

weicht also zumindest bei kleinen Clustern vom Ergebnis der Zustandssumme des verd¨unnten Ising- Modells in Gl. (8) ab. Bei großen Clustern erwarten wir jedoch

sk/s^′_k∼ a,

je nach Gitter. Dann kann man (8) und (9) direkt vergleichen und erh¨alt

2^s′k(1−a)∼

 p 1− p

s^′_k

Z.B. ist in einer Dimension a = 1 (d.h. p = 1/2) und beim Quadratgitter a = 1/2, so daß p =√

2/(1+√ 2).

1.8.2 Das Potts-Modell

Das Potts-Modell beschreibt die Statistik einer diskreten Variablen σr, die auf jedem Gitterplatz r s Werte 1, 2, ..., s annimmt. Dabei gibt es eine Energie

H =− X

<r,r^′>

J(sδσr,σ_r′− 1),

wobei wiederum r, r^′ die Koordinaten auf einem Gitter, < r, r^′ > die Koordinaten von benachbarten Punkten und δσr,σ_r′ das Kronecker Delta sind. Als statistisches Problem betrachten wir das Boltzmann- Gewicht

e^−βH P

{σj}e^−βH, (10)

was man auch schreiben kann als 1 Z

Y

<r,r^′>

he^−βJ+ δσr,σ_r′(e^(s−1)βJ− e^−βJ)i

= e^−βJN′

Z +X

n≥1

X

C1,C2,...,Cn

e^{−βJ(N′−}Pn k=1s^′_k)

Z

Yn k=1

Y

<r,r^′>∈Ck

δσr,σ_r′(e^(s−1)βJ− e^−βJ) mit der Zustandssumme Z. Die Summation bzgl. σrauf dem Cluster Ck liefert

X

{σ^r}

Y

<r,r^′>∈Ck

δσr,σ_r′ = s ,

so dass die Zustandssumme Z = s^Ne^−βJN′+X

n≥1

sⁿ X

C1,C2,...,Cn

e^{−βJ(N′−}Pn k=1s^′_k)

s^N−Pn k=1s^′_k

(e^(s−1)βJ− e^−βJ)Pn k=1s^′_k

= s^Ne^−βJN′



1 +X

n≥1

sⁿ X

C1,C2,...,Cn

e^βJPn k=1s^′_k

s⁻Pn k=1s^′_k

(e^(s−1)βJ− e^−βJ)Pn k=1s^′_k





= s^Ne^−βJN′



1 +X

n≥1

sⁿ X

C1,C2,...,Cn

s⁻Pn k=1s^′_k

(e^sβJ− 1)Pn k=1s^′_k





lautet. s is jetzt nur noch ein (frei w¨ahlbarer) Parameter. Im Falle von s = 1 ist Z = 1, der Faktor sⁿ= 1 und

s⁻Pn

k=1s^′_k(e^sβJ− 1)Pn k=1s^′_k

s=1= (e^βJ− 1)Pn k=1s^′_k

ist das statistische Gewicht f¨ur besetzte bonds auf den Clustern C1, C2, ..., Cn, wo jeder bond mit e^βJ− 1 gewichtet ist, und den unbesetzten bonds, die mit 1 gewichtet sind: p/(1− p) = e^βJ − 1, woraus p =

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

f(m)

m

0.1*x**2+x**3/6+x**4/12 -0.05*x**2+x**3/6+x**4/12

Figure 5: Molekularfeldn¨aherung der Freien Energie des s = 1 Potts-Modells.

1− e^−βJ folgt. Damit ist das Potts-Modell im Grenzfall s = 1 ein Modell f¨ur bond-Perkolation. Die Freie Energie des Potts-Modells lautet in Molekularfeld-N¨aherung [3]

F

(s− 1)N =1

2(T − T^c)m²−T

6(s− 2)m³+ T

12(s²− 3s + 3)m⁴+ o(m⁶)

mit m = hsδ^σj,1− 1)i/(s − 1). Der Perkolations¨ubergang erfolgt bei T = T^c, und in der N¨ahe dieses Uberganges ist¨ |m| ≪ 1 erf¨ullt, so daß die Entwicklung in Potenzen von m abgebrochen werden. s = 2 ist das Ising-Modell, f¨ur das der kubische Term verschwindet.

Diskussion der Molekularfeldl¨osung:

Die Minima der Freien Energie sind entweder m = 0 oder paarweise L¨osungen mit m6= 0. F¨ur die Werte s = 1, 2, 3 gibt es die folgenden:

m0=







(3/4)[−1 ±¹3

p48Tc/T − 39] for s = 1

±√ 3p

Tc/T− 1 for s = 2 (1/4)[1±p

16Tc/T − 15] for s = 3 .

Damit liefert nur s = 2 (Ising-Modell) einen stetigen ¨Ubergang (d.h. ¨Ubergang zweiter Ordnung) von m6= 0 nach m = 0 bei T ↑ T^c. Dagegen tritt bei s 6= 2 ein unstetiger ¨Ubergang (d.h. ¨Ubergang erster Ordnung) auf.

References

[1] D.J. Thouless, in Ill-condensed Matter, eds. R. Balian, R. Maynard, & G. Toulouse (North- Holland/World Scientific, Amsterdam 1979)

[2] J.W. Essam, Rep. Prog. Phys. Vol. 43, 834 (1980)

[3] P.M. Chaikin and T.C. Lubensky, Principles of condensed matter physics, (Cambridge University Press, Cambridge 1995)

2 Klassische Spinsysteme mit Unordnung

Wir verallgemeinern das im Zusammenhang mit der Perkolation betrachtet Ising-Modell durch eine all- gemeinere Verteilung der Kopplungen und durch Hinzuf¨ugen eines symmetriebrechenden Magnetfeldes:

H =−X

r,r^′

Jrr^′SrSr^′−X

r

hrSr.

Unordnung kann sowohl durch eine Zufallsverteilung der Kopplungen wie des Magnetfeldes hr eigef¨uhrt werden. Aus der Zustandssumme kann die freie Energie

F =−βN log Z,

wobei N ist die Anzahl der Gitterpunkte. Außerdem k¨onnen Erwartungwerte berechnet werden, z.B. die Magnetisierung

hS^ri = 1 Z

X

{Sr′}

Sre^−βH.

Diese Gr¨oße kann im Rahmen der Molekularfeldn¨aherung berechnet werden. Zu diesem Zweck schreiben wir die Wechselwirkungsenergie in der Form

H =−X

r

(X

r^′

Jrr^′Sr^′+ hr)Sr

und n¨ahern den Ausdruck in der Klammer als ein effektives Magnetfeld, das an den Spin Sr koppelt:

X

r^′

Jrr^′Sr^′ ≈X

r^′

Jrr^′hS^r′i = h^′r.

Damit lautet der gen¨aherte Ausdruck der Wechselwirkungsenergie H ≈ H^′X

r

(h^′_r+ hr)Sr.

H^′ kann verwendet werden, um die Magnetisierung zu berechnen. Da H^′ bereits die Magnetisierung enth¨alt, ergibt sich daraus eine selbstkonsistente Bestimmung der Magnetisierung:

h^′_r=X

r^′

Jrr^′hS^r′i =X

r^′

Jrr^′

P

{Sr′}Sre^−βP

R(h^′_R+hR)SR

P

{Sr′}e^−βP

R(h^′_R+hR)SR

=X

r^′

Jrr^′tanh[β(h^′_r^′+ hr^′)].

Als Beispiel wollen wir zun¨achst das reine Modell betrachten: hr = h, Jrr^′ = Jr−r^′. Dann ist die Magnetisierung eine translationsinvariante Gr¨oße

hS^r′i = hS^ri.

Daraus folgt auch die Translationsinvarianz des effektiven Magnetfeldes h^′_r= h^′. Mit ¯J =P

r^′Jrr^′. Die Selbstkonsistenz-Gleichung lautet damit

h^′= ¯Jtanh[β(h^′+ h)].

Die L¨osung dieser Gleichung kann graphisch dargestellt werden (s. Abb. 2).

F¨ur h = 0 gibt es einen kritischen Punkt βc, wobei f¨ur β > βc eine geordnete (magnetische) Phase mit h^′ 6= 0 existiert und f¨ur β < β^c eine ungeordnete (paramagnetische) Phase gibt mit h^′ = 0. Der Ubergang bei β¨ c ist kontinuierlich, denn h^′ → 0 f¨ur β ↓ β^c. In der N¨ahe des ¨Uberganges kann deshalb

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figure 6: Graphische L¨osung der Molekularfeld-Gleichung

das effektive Magnetfeld durch Entwicklung des tanh(βh^′) in der Selbstkonsistenz-Gleichung als L¨osung einer quadratischen Gleichung bestimmt werden:

h^′ ≈ ¯J[βh^′−1

3(βh^′)³].

Die L¨osung lautet dann

h^′≈√

3 β ¯J− 1 β ¯J

1/2

mit dem kritischen Punkten βc= 1/ ¯J. Der kritische Exponent der Magnetisierung h^′≈ const. Tc− T

Tc

β

mit βMF = 1/2.

Ubungsaufgaben¨

1) Berechne die Zustandssumme und die Magnetisierung f¨ur das Ising-Modell mit Wechselwirkung bei unendlicher Reichweite:

H =−J N

XN j,j^′=1

SjSj^′

im Grenzfall N → ∞. Hinweis: Benutze zur Auswertung die Identit¨at e^(a

P

jSj)²

= Z ∞

−∞

e^−x2+2xa P

jSj

dx und werte das Integral per Sattelpunktsintegration f¨ur N → ∞ aus.

Figure 7: Oberfl¨achenbeitrag umgedrehter Spins zur Energie

2.1 Stabilit¨ at magnetischer Ordnung

Wir beschr¨anken uns jetzt auf Kopplungen zwischen benachbarten Spins, die positiv sind Jrr^′ > 0. Wir betrachten nun Gebiete mit Spin↑ und ↓ (s. Abb. ) Zur Vereinfachung nehmen wir zun¨achst an, daß alle Kopplungen den gleichen Wert J haben. Dann kostet das Umdrehen der Spins innerhalb eines Gebietes gleicher Spinausrichtung die Energie J×Oberfl¨ache des Gebietes der umgedrehten Spins. Nehmen wir der Einfachheit halber an, daß das Gebiet der umgedrehten Spins ein d-dimensionaler W¨urfel mit Volumen V ist. Dann ist dessen Oberfl¨ache

∂V ∼ 2dV^(d−1)/d= 2dV^1−1/d.

Das zeigt, daß sich die “Steifigkeit” der geordneten Phase mit Reduzierung der Dimension verringert.

Insbesondere gilt f¨ur d = 1, daß die Oberfl¨ache ¨uberhaupt nicht vom Volumen abh¨angt und damit auch keine “Steifigkeit” der geordneten Phase vorliegt. Daher existiert in d = 1 keine geordnete Phase f¨ur β <∞.

Ersetzt man jetzt die einzelnen Kopplungen zwischen benachbarten Spins durch positive Zufallsgr¨oßen, sollte das Steifigkeitsargument qualitativ noch g¨ultig sein. D.h., es sollte f¨ur irgendeine Realisierung der Kopplungen {J^rr′}, d > 1 und hinreichend großem β eine geordnete Phase der Spins geben. Konkrete Uberlegungen in dieser Richtung f¨¨ uhren zum Peierls Argument, das im folgenden benutzt werden soll, um zu zeigen:

F¨ur Dimensionen d > 1 gilt f¨ur hinreichend großes β und Jmin= minrr^′Jrr^′

0≤ 1 − hS^ri ≤ e^−βJmin.

Zum Beweis dieser Aussage formulieren wir zun¨achst die Statistik der wechselwirkenden Spins als Statistik von Phasengrenzen (=Grenzen zwischen Gebieten mit Spin ↓ und Gebiete mit Spin ↑), wie in Abb.? gezeigt.

Eine Konfiguration von solchen Phasengrenzen ∂X hat die Energie H(∂X) (j entspricht den Bindun- gen entlang der Phasengrenzen)

H(∂X) = X

j∈∂X

Jj− X

j∈Λ\∂X

Jj = 2 X

j∈∂X

Jj−X

j∈Λ

Jj

wobei Λ alle Bindungen auf dem Gitter sind.

Figure 8: Konfiguration von Phasengrenzen

γ

Figure 9: Umdrehen der Spins im Innern von γ bewirkt das Verschwinden der Phasengrenze γ

Sei nun γ eine Phasengrenze mit γ⊂ ∂X. Außerdem sei ∂Xγ^′ diejenige Konfiguration, die man durch Umdrehen aller Spins im Innern von γ erh¨alt. Damit ist nat¨urlich

γ∩ ∂Xγ^′ =∅.

Nun wird das Verh¨altnis der Boltzmanngewichte der beiden Konfigurationen ∂X und ∂X_γ^′ berechnet:

e^{−βH(∂Xγ′)} e^−βH(∂X) = e^2β

P

j∈γJj

, (11)

was also nur von den Kopplungen entlang der Phasengrenze γ abh¨angt. Als n¨achstes berechnen wir das Gewicht der Phasengrenze γ:

P (γ) = P

∂X⊃γe^−βH(∂X) P

∂Xe^−βH(∂X) ≤ P

∂X⊃γe^−βH(∂X) P

∂X∩γ=∅e^−βH(∂X) was unter Verwendung von Gl. (11)

=

P

∂X∩γ=∅e^−βH(∂X) P

∂X∩γ=∅e^−βH(∂X)e^2β P

j∈γJj

= e^−2β P

j∈γJj

liefert. Jetzt sind wir der Lage, den Spinerwartungswert (Magnetisierung) zu bestimmen. Dazu wird der Spin Sr am Punkt r betrachtet. Zu jeder gegebenen Konfiguration ∂X gibt es dann eine minimale Phasengrenze γr(∂X) um den Punkt r. Der Spinerwartungswert kann dann geschrieben werden als Erwartungswert bzgl. der Phasengrenzen:

h1 − S^ri = 2X

γ

P

{∂X:γ^r(∂X)=γ}e^−βH(∂X) P

∂Xe^−βH(∂X) ≤ 2X

γ

P

∂X⊃γe^−βH(∂X) P

∂Xe^−βH(∂X) ,

c T

1

c

T

2

c

ξ

T

3

c

T

4

Figure 10: Oberfl¨achenbeitrag umgedrehter Spins zur Energie

wobei der Faktor 2 durch 1− S^r = 2 hervorgerufen wird. Die Ungleichung erhalten wir, indem in der Summe die Beschr¨ankung auf die minimale Phasengrenze γr ersetzt wird durch die Beschr¨ankung auf irgendeine Phasengrenzen γ. Die sich daraus ergebende Summe ist gerade die Summe ¨uber die Gewichte der Phasengrenzen P (γ) und kann somit durch die oben angegebenen Ungleichungen abgesch¨atzt werden:

2X

γ

P (γ)≤ 2X

γ

e^−2β P

j∈γJj

≤ 2X

γ

e^{−2βJmin|γ|}.

Die Anzahl m¨oglichen Phasengrenzen γ mit gegebener “L¨ange” (bzw. Fl¨ache in d > 2) |γ| und einem festen Punkt kann grob mittels eines Zufallswegsarguments abgesch¨atzt weden: F¨ur d > 1 gibt es eine Konstante c > 0, so daß

#(γ)≤ |γ|^dc^|γ|. (12)

Bem.: F¨ur d = 1 ist #(γ) unbeschr¨ankt, da γ in diesem Fall unzusammenh¨angend ist.

Damit ist

1− hS^ri = h1 − S^ri ≤ 2 X

|γ|≥4

|γ|^dc^|γ|e^{−2βJmin|γ|},

woraus folgt, daß f¨ur hinreichend großes β die rechte Seite die obere Schranke e^−βJmin besitzt. Das schließt den Beweis des Peierls Arguments.

Bemerkungen:

1. Die angegebenen ¨Uberlegungen f¨uhren bei nichtnegativen Kopplungen zum Ziel. Beim verd¨unnten Ferromagneten (d.h. Jrr^′ = 0 tritt auf) ist die Einbeziehung von offenen Phasengrenzen notwendig. Das

¨andert die Vorgehensweise beim Absch¨atzen in Gl. (12) nicht entscheidend.

2. Wir haben gezeigt, daß bei hinreichend tiefen Temperaturen ein ferromagnetischen Zustand mit hS^ri > 0 existiert. Das wurde erreicht, indem wir gezeigt haben, daß die Abweichung von hS^ri = 1 exponentiell mit β abf¨allt. In unsere Berechnung vonh1 − S^ri sind nur Spinkonfigurationen eingegangen, die den Spin Sr = −1 besitzen. Das bedeutet, daß wir implizit bereits die Spinsymmetrie S^r = ±1 gebrochen haben.

2.2 Einfluß von Unordnung auf Phasen¨ uberg¨ ange: Das Harris-Kriterium

Es wird ein (Spin-)System in der Umgebung eines Phasen¨uberganges betrachtet. Dabei wird angenom- men, daß das System durch die Temperatur T und die kritische Temperatur Tccharakterisiert ist (T ∼ T^c).

Eine charakteristische L¨ange (Korrelationsl¨ange) ξ ist dann gegeben durch ξ∼ ξ⁰ T− T^c

Tc

−ν

, mit dem systemspezifischen Exponent ν.

Die Bedeutung dieser L¨ange besteht darin, daß thermodynamische Fluktuationen auf L¨angen l≪ ξ irrelevant sind und damit die makroskopischen Eigenschaften des Systems nicht beeinflussen. Anderer- seits sind Fluktuationen auf L¨angen l ≫ ξ unkorreliert. Daher kann das System in Bl¨ocke {C^j} mit Kantenl¨ange ξ aufgeteilt werden, wobei Fluktuationen in diesen Bl¨ocke als statistisch unabh¨angig zwis- chen verschiedenen Bl¨ocken angesehen werden. F¨ur eine gegebene Realisierung der Unordnung hat jeder Block Cj eine kritische Temperatur Tc,j. Im Ising-Modell kann man z.B. ein Tc,j als

Tc,j= ξ^−d X

r,r^′∈Cj

Jrr^′

definieren. Wegen der statistischen Unabh¨angigkeit der Kopplungen kann der Zentrale Grenzwertsatz angewandt werden: Die Standardabweichung der kritischen Temperatur der Bl¨ocke ist

(δTc,j)Unordnung=h

h(T^c,j− hT^c,ji)²ii1/2

∼ ξ^−d/2. Auf Grund der thermischen Fluktuationen innerhalb der Bl¨ocke gilt außerdem

(δTc,j)therm∼ ξ^−1/ν,

wobei ν der kritische Exponent des reinen Systems ist. Das Verh¨altnis der Standardabweichungen bzgl.

der Unordnungs- und der thermischen Fluktuationen lautet damit (δTc,j)Unordnung

(δTc,j)therm ∼ ξ^−d/2+1/ν.

Dieses Resultat besagt, daß die thermischen Fluktuationen die Unordnungsfluktuationen dominieren, falls 1

ν <d 2

bzw. umgekehrt. Benutzt man zus¨atzlich noch die Hyperskalenrelation f¨ur den Exponenten α der spezi- fischen W¨arme

α = 2− dν, dann dominieren die Unordnungsfluktuationen f¨ur α > 0.

2.3 Das zweidimensionale Ising-Modell mit Zufallskopplungen

Das zweidimensionale Ising-Modell ist exakt l¨osbar im Falle von konstanten Kopplungen. Zufallskop- plungen dagegen k¨onnen nur approximativ behandelt werden. Es stellt sich heraus, daß bei diesen ein neuartiges Verhalten auftritt (z.B. eine Griffiths-Phase).

2.4 Spinglas

Die Kopplung des Ising-Modells wechselt das Vorzeichen

−J ≤ J^rr′ ≤ J.

Das Modell von Edwards und Anderson hat die Verteilung

P rob(Jrr^′ =−J) = P rob(J^rr′ = J) = 1/2.

In der Natur ist ein solches Modell realisiert in CuM n–Legierung (≈ 1% Mn hat magnetisches Moment).

Das charakteristische Verhalten ist durch ein Maximum der Suszeptibilit¨at gegeben und durch Hysteresis (s. Abb ?). Tf ist die Einfriertemperatur des Spinglaszustandes. Der Spinglaszustand besitzt keine langreichweitige magnetische Ordnung f¨ur T < Tf. In diesem Fall ist die Spinumkehrsymmetrie spontan gebrochen: Das lokale magnetische MomenthS^ri 6= 0, aber hS^ri fluktuiert in Betrag und Vorzeichen auf dem Gitter:

1 N

X

r

hS^ri = 0.

c

T>T

T<T

M F

Figure 11: Freie Energie des reinen Ising-Modells

N N F

Figure 12: Komplexe Energielandschaft des Sherrington-Kirkpatrick-Modells mit vielen entarteten Min- ima

Der Edwards/Anderson-Ordnungsparameter q = 1

N X

r

hS^ri²

hat jedoch das typische Verhalten eines Ordnungsparameters am Phasen¨ubergang q = 0 T > Tf

> 0 T < Tf .

Eine Erkl¨arung f¨ur dieses Verhalten besteht in der Frustation der Spins (s. z.B. Abb. ?), das keinen eindeutigen Grundzustand im Falle einer ungeraden Anzahl von antiferromagnetischen Kopplungen (J <

0) innerhalb einer Plakette hat.

In Analogie zum ferromagnetischen Grundzustand kann man die Steifigkeit des Spinglaszustandes absch¨atzen: Der Oberfl¨achenbeitrag eines Gebietes mit Kantenl¨ange L, in dem alle Spins umgedreht worden sind, tr¨agt zur freien Energie bei mit

F0(L)∼ const.L^Θ.

Im reinen System hatten wir Θ = d− 1, w¨ahrend im Spinglas dieser Exponent in d = 3 etwa Θ ≈ 0.2 (numerisch ermittelt) ist. Im Fall von Θ > 0 gibt es zwei Gleichgewichtszust¨ande, denn es kostet Energie,

eine minimale Oberfl¨ache zu ¨andern. Absch¨atzung von Θ:

Θ≤ d− 1 2 .

Andererseits ist die Energie durch ein ¨außeres Feld h (Imry-Ma-Argument)

∼ hL^d/2. Daher zerst¨ort ein ¨außeres Feld den Spinglaszustand.

Bemerkung: Modelle mit langreichweitiger Kopplung der Spins (Sherrington-Kirkpatrick-Modell, s. n¨achster Abschnitt):

hJ^rr′i = 0, h(J^rr′)²i = N⁻¹

haben andere Eigenschaften. Z.B. ist der Grundzustand sehr stark entartet. Dabei sind die einzelnen Zust¨ande durch Energiebarrieren getrennt, die exponentiell mit N anwachsen.

2.5 Molekularfeld-N¨ aherung f¨ ur das Sherrington-Kirkpatrick-Modell

Es stellt sich die Aufgabe, die mittlere freie Energie F =− 1

N βhlog Zi^J

zu berechnen. Das SK-Modell kann mit Hilfe des Replika-Tricks behandelt werden:

log Z = lim

n→0

Zⁿ− 1 n .

F¨ur nat¨urliche n kann man Zⁿ leicht berechnen: Man repliziere den Ising-Spin Sr=±1 n-mal:

Sr→ Sr^α α = 1, 2, ..., n.

Die Zustandsfunktion lautet dann

Zⁿ=h X

Sr=±1

exp(βX

r,r^′

Jrr^′SrSr^′)in

.

Daraus folgt f¨ur die freie Energie

F =− 1 N β lim

n→0

1

nhZⁿ− 1i^J. Als Beispiel betrachten wir eine Gaußverteilung der Kopplungen

P (Jrr^′)dJrr^′=√

N exp

− N(J^rr′)²/2 ¯J² dJrr^′

√2π ¯J

f¨ur beliebige Bindungen r, r^′ (Wechselwirkung mit unendlicher Reichweite), woraus folgt

hZⁿi^J = X

{Sr^α=±1}

expJ¯²β² 4N

Xn α,β=1

X

r6=r^′

S_r^αS_r^α′S_r^βS_r^β′

. (13)

Die Wechselwirkung kann man auch umschreiben als Xn

α,β=1

X

r6=r^′

Sr^αSr^α′Sr^βS_r^β′ = Xn α,β=1

(X

r

Sr^αSr^β)²− Nn²

= Xn α6=β=1

(X

r

S_r^αS_r^β)²+ nN²+ o(N ).