• No results found

Manipulating Subgroups of the Modular Group »

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "Manipulating Subgroups of the Modular Group »"

Copied!
25
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

���

������������

®

��������

������������

��������������

���

��������������

������

��������

��������������������������������������������������������������� ����(ℤ)��������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������� �����������������������������������������������

■ ������������

�������������������������������������������������������� �(�) = � � + � � � + �� ����� �� �� �� � ∈ � (�) ������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������� �+��+�� +�+��+� +� = (�+�)� + ��+� (�+�)� + ��+� � ������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������� �������������������������������������������������������� ���������������������������� � � ���������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������(ℤ)��������� ������������ � � �����������(ℤ)�������- � � � ����������������(ℤ)������������������������ ���������������� ���� ����� �������� ��� ��������� ���� ������ ��� ���� ��������

(2)

����(ℤ) = ± � �� ��� �� �� � ∈ ℤ� � � - � � = �� ������������������������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������� �(�) = - ��� �(�) = � + �� ������������������ ��������� �� = ±� -� � � ���� �� = ± � � � ���������� ���� ��� �������� ���������������������(ℤ)������������������������� ������������������������� � � ���������������������������������� � � � � �� ����[{� = {{�� - �}� {�� �}}� � = {{�� �}� {�� �}}}� ����������[�����������]] � � � � ��������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������� ������ � > ���� Δ(�) = �� π � � �=� ∞ � - �� π � � ��� ���������� �������� ���� ������ ��� ������ ��������� �������� ���� ����� ����� �������� �� �������� �����������������������ℍ����Δ(�)������������������������������������������������������������� Δ � � + � � � + � = (� � + �) ��Δ(�) (�) ������������������ � � ���������������������������������������������������������������� ����������������������������������������� �� � � + � � � + � = (� � - � �) ��(�) � � + � � = ��(�) � � + � �� ����������������������������������������������������������������������������������������������� �����������Δ(�)������������������������Δ(�)������������������������������������������ ��������������

(3)

-� -� � � � ��� ��� ��� ��� ��� �������������������������������������������������������(ℤ)������������������������������� ��������������������������������������������������ℍ���������������������������������������� �������������������������������������������������(ℤ)������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������� π �/���������� ���������������� π �/�

■ ���������

���������������������

��������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������� �(�) = Δ(� �) Δ(�) ��������������������������������������������������������(ℤ)����������������������Δ(� �) �������� ����� �� ��������������� �������� ������ ���� ��������� ��� �����(ℤ)���������� ��� � � � ������������(ℤ)������������������������������ Δ� � �+�� �+� Δ� �+�� �+� = Δ(� (� �)+� ��/�) (� �)+� Δ� �+�� �+� = ((� / �) (� �) + �) ��Δ(� �) (� � + �)��Δ(�) = Δ(� �) Δ(�) � ��������������������������������������������������(ℤ)��������� Γ�(�) = ±� �� ��� �� �� � ∈ ℤ� � � - � � = �� � ≡ � (��� �)� ���������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������(ℤ)���� �����������������������������������������������������������������������������Γ�(�)����������� �������������������������������������������

(4)

���������������(ℤ)������������������������{�� �}�����{�� �� � �}�������������������������� ���(ℤ)������������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������== ±���������� = � � � ��������������������������������� ����������������������������� �����������Γ��������������������������(ℤ)��������������������������������������(ℤ)���� ����(ℤ)����������������������������������� ����(ℤ) =�Γ ⋃�Γ ⋃ ⋯ ⋃μΓ �����������������Γ������������������������ Γ�����������������Γ = {��� � ∈ Γ}�������������� ��������������(ℤ)�����������������������������������������Γ������������������������������Γ �������������������(ℤ)���������������������μ�����Γ����������������������������������(ℤ) �����������μ�������������������Γ� …� �μΓ�������������������������������Γ = Γ������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ �������������� � ��Γ =��(�)Γ � ��Γ =��(�)Γ ������� ���� �� ������� ��� ������� ��� ����� ������������� ��� ���� ���� �{�� �� …� μ}� ����� ���� �����������������������������������μ� ���������������������������������������������������������������������������������������������� �������������� �Γ� ������ ��� ���� ��� ���������� ���� ��������� ��� ����(ℤ)����� ������� ������� �������������������������Γ���������������������������������μ����������������������� ∈ ���μ� ������� ���� ������������ �� ∈ ���μ����� ������������� �� ���� �� ���� ���� ����������� ���� ����� ����������������������������������������������������������������� � ∈ ���μ����������������� �����������������������������Γ� �����==��������� μ���������������������������������μ�������������������������������� ��������������������������������== ±�� �������������������������������������������������μ�������������������������������������� ����� ���������� ������ ��� ����������� ����� ���������� ������� �������� ���� ������� ����-�∈����(ℤ)�������������������Γ����������������Γ��������������������������(ℤ)������� �������������������������������������������������� �� ������ ���� ����������� ���� ����������� ���� ������ �Γ ���� ��� ����������� ��� Γ = {����� � �� � ��� � �(�) = �}������� ���� ���������� �� (�) = � ������ ��� ��� ���������� �������������� ��� �� ��� �� ������������ ��� ����������� �� ���� �� ����� ������ �������������� ��������������

(5)

����������������������������Γ����������������������������������������������������������� �� ���� ����������� ������� ���Γ� …� �μΓ� ���� ���������� ���������������� �(μ� �� ��) ���� (μ� ��� ��)���������� ���� ����� ������ ���������� ����� ������ ��� �� ����������� ��� ���� �������� �� …� μ���������������������������μ�������������������������������������������������� ��������������������������������������� Γ�= (�� � = {� → �� � → �� � → �� � → �}� � = {� → �� � → �� � → �� � → �}) Γ�= (�� � = {� → �� � → �� � → �� � → �}� � = {� → �� � → �� � → �� � → �}) ��������������������������������������������{� → �� � → �� � → �}����������Γ�����Γ�� ����������������� �������������� ������� ��������� ��� �� ��������� �Γ ��� ������� ������ ��� ���� ������������ ���� �Γ� ��� ���������� ��� ����� ����� ������� ��������� �������� �� ������������ ���������� �Γ ��� ����� ��� ���� ������������� ��������� ���� ����� ������������ �������� �������� ���������� �������� ������������ ����������� ���� �Γ� ��������� ������ ���� ������������ ��� ���� �������������������Γ������������������������������������������������������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������������Γ�

■ ����������

����������

�����������Γ�������(ℤ)������������������������������������������������������������������ ���������������������������� Γ(�) = � ∈ ����(ℤ) � ≡ ±� �� � (��� �)� ����������������������������������������������������������������Γ������������������������ ��������������� �������� ������������ ������� ��� ���� ��������� ���� ��������� ��� ����������� ��������������Γ�(�)�����Γ�(�)���������������������� Γ(�) = � ∈ ���(ℤ) � ≡ ±� * � � (��� �)� Γ�(�) = � ∈ ����(ℤ) � ≡ ±* *� * (��� �)� �����������������������������������������������������������������������������������(ℤ)����� ����������������������������������������������������(ℤ /� ℤ)�������������������������� ����������������������������������������������������������������������������Γ���������� �����������������������������������������������Γ� �������������������������������������������

(6)

■ ��������

��������������

�����������������������������Γ���������������������������������������������������������� ���������������������������������Γ������������μ��������������������������������������� ����������������������������������������μ������������ …� μ������ μ�������������� �  �(�)� …� μ � �(μ)� � � �(�)� …� μ � �(μ)� ������������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������������� �������� ��� ����� ������ ��� ���� ����� ������ ���� ������������� ����� ���� ������ ��� ����� ��� ��� �������������������������������������������������������������������������Γ��������������� �������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������Γ�������������� ����������������������������� ���������[{{� → �� ���}� {� → �� ���}� {� → �� ���}� {� → �� ���}� {� → �� ���}� {� → �� ���}}� ������������� → ����� �������������� → ����] � � � � � � � � � ���������� = � � � ���������������������������������� � � � � = ±-� � -� �� ������Γ������������������������������������������ � �  �  � ���������������� ����������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������Γ����������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������������������� ��������������

(7)

■ ��������

���������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������� �����[�������������������] ������������ ���� �������� ������ ���� ����������� ��� ���� ���������� �������[μ� �� �]� ������������������������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������� ���������� /@ {��� ��� ��� ��} � - � � � �  � - � � � �  � � � ��  � � � �

□ �������

�����������������������������������

������� ���� ������ �Γ ����� ���� �������� ��� ��������� ������� �������� ���� ������������� ���� ����������������(�) = �〚�〛������(�) = �〚�〛������������������������������������������������� ����������������� Γ =������[�� {�� �� �}� {�� �� �}]� �������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� {������[Γ]� ���������� /@ ����������������[Γ]} �� � � � ��  � � � ��  � � � �� � � � ��  � � � ��  � � � ��  � � � ��  � � � � ���������������������������Γ�������������������� Γ = ± � � � �� � - � � = �� � � + � � ≡ � (��� �)� �������������������������������������������

(8)

□ �������

���������������������������������������������

��������� ���������� ��� ������� �� ��� ��� ������� ������ ����� ���� �� = ±�� ±�� ����������� ���� ��������������������������������������������������������� = ±�� ±�� ±�� {{���� �〈 ��� � � 〉�� �〈 ��� � � 〉�}} ~ ���� ~ �����[{�� ���������������[{�����������[��� �]� ��}]� ���������������[{�����������[��� �]� ��}] }� {�� - �� �}] // ��������� � 〈 ��� � � 〉 〈 ��� � � 〉 -� �������������� �������������� -� �������������� �������������� -� �������������� �������������� -� �������������� ������[�� {�� �� �� �}� { -� ������[�� {�� �� �}� {�� �� �}] ������[�� {�� �}� {�� �} -� ������[�� {�}� {�}] ������[�� {�}� {�}] � �������������� �������������� � ������[�� {�}� {�}] ������[�� {�}� {�}] � ������[�� {�� �� �}� {�� �� �}] ������[�� {�� �}� {�� �} � �������������� ������[�� {�� �� �� �}� { � �������������� �������������� � �������������� �������������� � �������������� ��������������

□ �������

������������������������

��������� ���� ���������� �������� ��� ����������� ���������� ��� ������ ��� ������ ��� ������� ������������������������� ���������������������������������Γ� �� μ�����������������Γ��������(ℤ)� �� ��������������������������������������(ℍ ⋃ ∞) / Γ� �� ϵ∞���������������������������Γ����������������������∞/ Γ� �� ϵ����������������������������������������������Γ����ℍ / Γ� �� ϵ���������������������������������������������Γ����ℍ / Γ� ��������������

(9)

������������������������������� � = �� + μ - � ϵ-� ϵ-� ϵ∞� �� = ���������������[{��� �����������[��� �]���������������[��� - �]� �����������[��� �]���������������[��� - �]� �����������[��� �]���������������[��� - �]}]� �� = ���������������[{��� �����������[��� �]���������������[��� - �]� �����������[��� �]���������������[��� - �]� �����������[��� �]���������������[��� - �]}]� {���� /@ ������[��]� ���� /@ ������[��]}  μ� � �� � ϵ∞� � ϵ�� � ϵ�� � �� (�)(���)(���)(�)(�) �� (�����)(�)(�����) �� (�������������) � μ� � �� � ϵ∞� � ϵ�� � ϵ�� � �� (�)(���)(���)(�)(�) �� (�����)(�����)(�) �� (�������������)  ������������������������������ �����������[��� ��] ����� ������������������������������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������� �����[��� ��] ������[��� {�� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� �� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��}� {�� �� �� �� �� ��� ��� ��� �� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��}] �����[��� ��] ������[�� {�}� {�}] �������������������������������������������

(10)

�������������������������������������������������� ��������[�������[�����[��� ��]]� ���� → ����] � � � � � ��� ��� ��� �������� ��������� ���� ����� ������������ ������� ���� ������ ��� ���� ������ �������� ������ - ��������� ���� ��������� �������� ����� ���� ����� �������� ������ �� ���� ������� ���������� ���������������������������●����○���������������������������� �����[��� ��] // ������������ // ������ ∞� ○ � � �� � � �� � � �○ � � �○ � � �� � � �� � � �● � � �○ � � �� � � �� ∞ ������������ ��������� ��� ������������ ���� ���� ��������� ������������ ���� �������� ���� ������������������ ���[����������� �����[��� ��] // �����������] � - � � � �  � - �� � -� �  � - �� � -� �  -�� �� -� ��� -� �� -� ���  � � -� ��  �� - � � -��  � -� �� - � �� ��������������

(11)

□ �������

������������������������

�������������������������������������Γ�������������������������������������������������� Γ�������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������� � = ���������������[{��� �����������[��� �]���������������[��� - �]� �����������[��� �]���������������[��� - �]� �����������[��� �]���������������[��� - �]}] ������[�� {�� �� �� �� �� �� �}� {�� �� �� �� �� �� �}] � = ��������������[�]〚�〛 ������[�� {�� �� �� �� �� �� �� �� �}� {�� �� �� �� �� �� �� �� �}] ������������[�] ����� ��������������������������������������������� �� = ������������������[�] ������[�� {�� �� �}� {�� �� �}] ��������������������������������������������������������������������������������������� ������������������� ��� ���� ����� ������� ���� ���� �������� ����� �� ����� ����� ���������� ������������������ ��� ���� ������� �Γ(�)� �Γ�(�)����� �Γ�(�)���� ��� ������� ����� ��Γ[�]� �Γ�[�]�������Γ�[�]�������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ������[��� �����[�� �����������[�Γ[������[�]]]]] ���� ������������������������������������������������������������������ ������[������������������[�����[�� �]]� �����[��� �]] ���� ������������������������������������������� ��

(12)

������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������� � = ������[��� {�� �� �� �� �� �� �� �� ��� �}� {�� �� �� �� �� �� �� �� �� ��}]� ������������������[�] ������[�� {�}� {�}]

□ �������

�������������������Γ(�)

��������������������������������������������������������������������������� � = �����������[�Γ[�]]� ������[�]〚�� - �〛 � � � � �� � � � �� �� � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��������������

(13)

�������������� ��� ��������� �������� ����� ����� ������������ ���������������� ���� ��� ���� ����������������������������������������������������������������� ���[����������� ���� = �����������[�]] -� � � -��  -� � � -��  � - � � - �� -� - � � � �  �� - �� � -� �  -�� - �� -� -� �  � -� �� - ���  -� -� -�� - ���  -�� �� -�� ���  -�� - �� -�� - ���  �� �� -�� - �� ������[�� ���������������[����]] ����

□ �������

����������������������

������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������������������������� ��������(ℤ)������������������������������������������������������������������������������������ ����������������(ℤ)������������������������������������������������������������������ ����������������������������������� � = �����������[�Γ[�]]� �� = ������������[�]� � = ������������ @@@ ��������[�����[������� ��� ��]� ����]� ����� = �����[�� �_  �_ /� ���[������[�� {___� �_  �� ___� �  �_� ___}]]]� �����[�����[ �������[�������[�� ������[��〚�� �〛� ������]]� ��〚�〛]� {�� �� ������[��]}]� ������ ���������� → ����� ����������� → �����] � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ������������������������������������������� ��

(14)

□ �������

������������������������

���Γ����������������������������������������������������������Γ���������∞������������ ���������������� ����� �∞ ���������� ���� ����������� �∞����� ������������ ��������� ��� ���� �������������������������������������������������������Γ���������������������������Γ����� ��������������������������������������������������∞���������������������Γ���������������� ����������Γ���������������������������������������Γ��������������������������������������� ��������������������������������������Γ�����������������������������������Γ���������������� ��������������(ℤ)����������������� ���������������������������� � = ±� � � �� � ≡ � (��� �)� � � ≡ � (��� �)� � = ±� � � �� ≡ � ( ��� �)� � ≡ � (��� �)� � + � ≡ � (��� �) � ����[{{�_� �_}� {�_� �_}}] �= ���[�����[� �]� �����[� �]]� ����[{{�_� �_}� {�_� �_}}] �= ���[���[�� �] ⩵ �� ���[�� �] ⩵ �� �����[� + �]]� � = �����������[����]� � = �����������[����]� ����������������������������������������������������������� ������[�] {∞� �}� {�� ��}� � �� ���  � �� � ����������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������� �����������[�� �������������[{�� ��}� ��] / �������������[{�� ��}� ��]] ∞� ∞� �� �� � �� � �� �� � �� � �� � �� � �� � �� �� �� � �� �� � �� �� �� � �� ��������������

(15)

�������������������������������������������� ������[ �� = �����������[(��������[�� #] �� ��������[�� #]) �]] // ����� // ���� � � � � � � � �� � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ������ �� ������ �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ��������������������������������������������������������������� ������[��� �����[�� �]] ����

□ �������

������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������� � �(�) / �(�) = ∑� ���=� + ��+� ��+� ��+ …����������(�) = � + � + � ��/� + …����������� ������������������ -� �(�) + � �+� �-� �-� �-� �+� �(�) + � ��+� �-� �+-� �-� �-� - � �(�) = �� �������� ������������������������������������������� ��

(16)

����������������������������������������������������∑������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������(�)���������� �������������������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������������������������� ������� ������ �� �������� ���� ���� ����������� ��������� ��� ���� ������ ������� ��� ���������� ���������������������������������������������������������� ������[ ������ = ������[������������������������[�]� ���[������������[#]] �]] �� ������������������������������������������������������������������������������������� ����������� ���� ������� ��� ���� ������� ������ ��� ������� ����� ������ ���� ������� ��� ���������� ������������������������������������������������� �� = ���������� /@ { ������[∞� - �� �� - �� � / �� - �� �� - �� ∞]� ������[∞� - �� �� - �� �� - �� �� - �� ∞]� ������[∞� - �� �� �� � / �� �� � / �� �� �� �� ∞]� ������[∞� - �� �� �� �� �� �� - �� �� - �� ∞]� ������[∞� �� �� - �� � / �� - �� � / �� �� �� - �� ∞]� ������[∞� - �� �� �� �� �� �� �� �� �� ∞]� ������[∞� �� �� �� � / �� �� � / �� �� �� - �� ∞]� ������[∞� - �� �� - �� �� - �� �� �� �� �� ∞]� ������[∞� �� �� �� �� - �� �� �� �� �� ∞]� ������[∞� �� �� �� �� - �� �� - �� �� - �� ∞]� ������[∞� - �� �� �� � / �� �� � / �� �� �� �� ∞]}� { ������[����������������[��� �����������]]� ������[������[��� ���[������������[#]] �]] } {��� ��} ������������������������������������������������� �� ��������������

(17)

□ �������

�����������������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������(ℤ)���� ��������������������������������������������������������������������������(ℤ)�������� �������������������������������������������������������������������� ��������������������� ��������� �������������� ��� ��� ������������������������������������ ��������������������������� = � + � �������������������� = � (� - �) / (� + �)� ����������������������������������������������������������������������������������������� �����(�)������������������������������������������������������������������ �[�_] �= ���� ���������������[�]� �� = ������������ ������������� � � + � � � > ����� {�� �� �}� � + � π ����� � - ⅈ � + � - ⅈ +� + ⅈ � � �� �� {�� �� - �� - � / ���}� {�� - �� �� � / ���}� ���������� → ������ ������ �������������[��� �����[��������[{ ����[{{�� - �}� {�� �}}]� ������[{�� - �}� �� {� π / �� π}]� ������[{�� �}� �� {π� � π / �}]}� ��������� → {{- �� �}� {- �� �}}]� ��������� → ���������������[��]]] ������������������������������������������� ��

(18)

���������������������������������������������������������������������������������������(�) ����Γ�(�)����������������������������������������(ℤ)���������������������������������������� �������������������������Γ�(�)���������������� �[�_] �= �����������[�] �� �����������[� �]��� �� = ������������ ������������� � � + � � � > ����� {�� �� �}� � + � π ����� � - ⅈ � + � - ⅈ +� + ⅈ �� �� �� {�� �� - �� - � / ���}� {�� - �� �� � / ���}� ���������� → ������ ������ �������������[��� �����[��������[{ ����[{{�� - �}� {�� �}}]� ������[{�� �}� �� {π� � π / �}]� ������[{�� - �}� �� {π / �� π}]}� ��������� → {{- �� �}� {- �� �}}]� ��������� → ���������������[��]]] �� ��������������

(19)

�����������������������������������Γ(�)����������������������������������������Γ(�)��������� ����������� ��������[�������[�����������[�Γ[�]]]� ���� → ����] -��� -��� ��� ��� ��� ��� ��� ������������������������������������������� ��

(20)

������������������������������������������������������������������������������ℍ / Γ(�) ������������������������������������������Γ(�)������������(�) = �(� + �) = �� �+�� ���������� �������������������������������������������������������������� �[�_] �= �� / �������������[�] - �� �� = ������������ ������������� � � + � � � > ����� {�� �� �}� � + � π ����� � - ⅈ � + � - ⅈ +� + ⅈ � � �� �� {�� �� - �� - � / ���}� {�� - �� �� � / ���}� ���������� → ������ ������ �������������[��� �����[��������[{ ������[{- �� �}� �� {� π / �� � π}]� ������[{- �� - �}� �� {�� π / �}]� ������[{�� �}� �� {π� � π / �}]� ������[{�� - �}� �� {π / �� π}]}� ��������� → {{- �� �}� {- �� �}}]� ��������� → ���������������[��]]] �� ��������������

(21)

■ �

������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ ������������� ���������� ��� ���� ��� ���������� ������������ �������� ��������� ������ ��������� ���������������������������� ���������������������������������������������������������������������������Γ������������� ������������������������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������������� �������������� ��� ���� ������� ����� ����� ����� ����� ���������� ��������� ����� ��������� �� ��������������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������Γ�������������� �������������������������������������������������������������������� � � � � � � �������������������������������������Γ������������������������������������������� � � �� ����������������������������������������������������������������==��������������������� ���������������������������������������������������  �������  ���������������������� ����������� ���� ����� ������������ ���� ������� �������� ���� ������ ��� ��� ���������� ���� ����� �  �������������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������� ��

References

Related documents

malignant ovarian tumors observed at Memorial Hospital in New York, none had.. occurred before 10 years of age, and between the 10th and 1 5th year only four cases

Keywords: Strong Gelfand pairs; wreath products; hyperoctahedral group; signed symmetric group; Stembridge subgroups; multiplicity-free subgroups.. This is an Open Access

[r]

According to basic density, above 0.70 g/cm³, Tul- pay is classified in group A, which comprises wood types of the highest stress suggested for heavy duty construction

The existing methods for fitting mixture regression models assume a normal dis- tribution for error and then estimate the regression parameters by the maximum likelihood

Given the importance of FDI to developing countries, a very important question arises: Why does FDI go where it goes? There are two popular perspectives in

The value of preoperative SAE observed in our study for a better control of intraoperative blood loss during splenectomy confirms the results of previously pub- lished studies in

Existence and uniqueness result of the solutions to mean-field backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs in short) with locally monotone coefficients as well as