THE THEORETICAL BASIS OF MATHEMATICAL MODELING OF ELECTROLYTIC COATING PROCESSES

УДК 629.4.027

В

.

В

.

АРТЕМЧУК

,

А

.

А

.

БОСОВ

(

ДИИТ

)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

ОСНОВЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПРОЦЕССОВ

ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКОГО

ПОКРЫТИЯ

Запропонованітеоретичніосновиструктурногомоделюванняелектролітичнихпроцесівзалізнення.

Предложенытеоретическиеосновыструктурногомоделированияэлектролитическихпроцессовжелезнения. Theoretical bases of structural modelling the electrolit processes of a covering by iron are offered.

В настоящее время все более находит при

-менениеэлектролитическое покрытие. Особен

-но необходимо отметить применение данного процесса для восстановления деталей подвиж

-ногосостава.

Вобщемвидепроцессвосстановлениявлюбой момент времени можно характеризовать некото

-рым набором показателей X =

{

x x₁, , ,₂ … x_n

}

,

среди которых могут быть показатели как количественные, так и качественные. Напри

-мер, электролиты железнения могут быть ки

-слотными или щелочными, тогда x₁=1, то можно этим отмечать кислотность раствора,

а при x₁=0 будем считать, что раствор ще

-лочной. Далее считаем, что x₂ характеризует качественное состояние железа в растворе.

Другими словами, это может быть хлорный электролитилисульфатный, илиборфтористый ит. д., т. е. – качественныйпоказатель. Вкаче

-стве примера количественного показателя мо

-гут выступать: температура раствора, толщина покрытия, еготвердость, сцепляемостьит. д.

Очевидно, что междупоказателями из X в любой момент времени существуют опреде

-ленные связи, определяемые физико-хими

-ческойприродойпроцессажелезнения.

Вобщем виде данныесвязи будем описы

-вать в виде графа G V E

(

,

)

, где V − перечень вершинграфа, названиякоторыхсовпадаютс названиямипоказателейизперечня X, а E−

множество дуг (ребер) между вершинами.

Так, например, дуга из x₂ в x₃, где x₃−

толщина покрытия означает, что тип элек

-тролита влияет на толщину покрытия. На графеданная дуганачинаетсяввершине x₂ и оканчивается в вершине x₃. Краткости ради эту дугу будем обозначать как e₂₃. Заметим,

что еслимежду вершинойграфа x_i и x_j име

-ется дуга e_ij, то может быть и дуга из x_j в

i

x , т. е. e_ji, причем эти дуги не эквивалент

-ны втомплане, что дуги можнохарактеризо

-вать некоторым показателем P e

( )

_ij и в об

-щемслучае P e

( ) ( )

_ij ≠P e_ji .

Пример.Рассмотримреакцию

2

2 2

FeOH ++H O Fe(OH)++H+,

Тогда скорость реакции в одну сторону может не совпадать со скоростью реакции в другую сторону.

Такимобразом, граф G V E

(

,

)

являетсяори

-ентированнымграфом.

Определение 1. Максимальный набор вер

-шин M ⊂V будем называть наборомпредик

-торных переменных, если вершины из M не имеют между собой дуг и любая вершина из множества V M\ достижима из множества

M . Смысл предикторных переменных со

-стоит в том, что, зная их, можно определить всеостальное.

Под понятием максимальный набор

подразумевается, что множество M не мо

-жет быть пополнено без нарушения требова

-ния отсутствия дуг или достижимости ос

-тальныхвершни.

Отметим, что в общем случае может воз

-никнуть ситуация, когда исходный граф рас

-падается на несколько между собой не свя

-занных подграфов. Этот факт означает, что рассматриваемый процесс распадается на со

-ответствующее количество между собой не связанныхподпроцессов.

В такой ситуации можно каждый процесс рассматриватьнезависимоиотдельно.

нераспадаетсянанесвязныеподграфы.

Рассмотрим модельныйпример, на котором дадиминтерпретациювведенныхпонятий.

Нарис. 1 данграф, вершиныкоторогопро

-нумерованы от 1 до 8, т. е. множество

{

1, , ,2 8

}

X = x x … x .

Рис. 1. Графмодельногопримера

У данного графа имеются четыре висячие вершины – 1, 6, 7, 8. Однаковершины 6 и 7 яв

-ляютсястокамиионинемогутвходитьвнабор предикторных переменных. Вершины 1 и 8 яв

-ляются истоками и они обязательно должны входитьвнаборпредикторныхпеременных.

Такимобразом, набор M =

{

x x x₁, ,_{4 8}

}

явля

-ется набором предикторных переменных, а оставшийсянабор \V M представляетсобой

{

2 3 5 6 7

}

\ , , , , .

V M = x x x x x

До каждой из указанных вершин можно указатьпуть, по которомуможно доних «доб

-раться». Так, например, в вершину x₂ из M

можнодобратьсяпо следующимпутям:

1: 1 2;

ω = →

2: 1 3 2;

ω = → →

3: 8 5 4 3 2.

ω = → → → →

Знание этих путей позволяет предложить структуру зависимости x₂ от предикторных переменных, исходяизправила, чтовэтузави

-симость должны входить все тепоказатели, от которыхимеютсядуги, входящиеввершину 2.

Следовательно

,

структура

функциональной

связи

для

x2

будет

следующей

x2 = f x x2

(

1, 3

)

,

адля x₃

имеем

x3= f x x x3

(

1, ,2 4

)

.

Для x x₅, ₆

и

x7

соответственно

получаем

(

)

5 5 3, ,4 8 ;

x = f x x x x₆ = f x₆

( )

₄ ; x₇ = f x₇

( )

₅ .

Таким образом, структура математической модели длялокальных взаимосвязей, представ

-ленных виде графа (см. рис. 1) и выбранных предикторныхпеременныхпредставляетсобой

(

)

(

)

(

)

( )

( )

2 2 1 3 3 3 1 2 4

5 5 3 4 8

6 6 4 7 7 5

, ;

, , ;

, , ;

; . x f x x x f x x x x f x x x x f x x f x ⎧ = ⎪ = ⎪⎪ ₌ ⎨ ⎪ = ⎪

= ⎪⎩

(1)

Однако может случиться такая ситуация,

когдакакой-либопоказатель, входящийвнабор

M неможет бытьизмерен. Пустьпоказатель 4

x не может быть измерен, тогда его исклю

-чаем из набора M, а структуру математиче

-скоймодели (1) пополняемзависимостью

(

)

4 4 2, 5 .

x = f x x

Получивструктуруматематическоймодели,

мы еще никаких ограничений не накладывали на характер зависимостей функций f f f₂, , ,_{3 4}

5, 6

f f и f₇. В работе [1] отмечается, что ме

-ханический процесс или физико-химический будут протекать в соответствии с законами физики, химиии т. д. ине зависят от выбора единиц измерения. Последнее означает, что если все размерности увеличим в k раз, то для математической модели получим (для примера x₄= f x x₄

(

₂, ₅

)

)

(

)

(

)

4 4 2, 5 4 2, 5 .

kx = f kx kx =kf x x

А это означает, что указанные функции должныбытьоднороднымипервогопорядка.

Следовательно, при раскрытии зависимо

-стейвмодели (1) функции f_i должны быть из классаоднородныхпервогопорядка.

Так, например, если мы желаем взять в качестве f₄ простейшую линейную зависи

-мость, то требование однородности означает,

что f₄ должноиметьследующийвид

4 2 2 5 5,

x =a x +a x (2)

где a₂

и

a5

–

некоторые

коэффициенты

.

Необходимо указать теорему Л. Эйлера для функцийоднородныхпервогопорядка

( , ) f f .

f x y x y

x y

∂ ∂ = +

∂ ∂ (3)

Это свойство для (2) очевидно, но, напри

-мер, взявфункцию

( , ) ,

f x y = ⋅A x yα β

требованию, чтобы α + β =1

.

Действительно 1 _; f Ax y x α− β

∂ _{= α} ∂ 1_, f Ax y y α β− ∂ = β ∂ тогда

(

)

f f

x y Ax y

x y

α β

∂ ∂

+ = α + β ⋅

∂ ∂ .

Откудаиполучаемограничениена α

и

β

.

Приведем еще один пример, когда f x y

( )

,

имеет

вид

1 2 3

( , ) ,

f x y =a x a y a xy+ +

тогда

2

1 2 3

( , )

f kx ky =a kx a ky a k xy+ + =

1 2 3

( ) ( , ).

k a x a y a xy kf x y = + + ≠

Следовательно, такие функции не могут быть использованы в качестве математической модели, анеобходимобратьфункциювида

2 3

( , ) _a

f x y =a x a yA a x y+ + α β

приусловии, что α + β =1

.

Столь подробное рассмотрение примеров вызвано тем, что требование однородности первого порядка, как правило, в практике ма

-тематического моделирования реальных про

-цессовнесоблюдается. К тому, чтобылоизло

-жено необходимо добавить еще некоторые ог

-раничения на выбор функций, моделирующих физико-химическийпроцесс.

Пустьразмернаявеличина z

представлена

в

виде

(

1, , , ,2 k k 1, , n

)

,

z= f x x … x x ₊ x (4)

гдевсевеличиныимеютразмерности.

Предположим, что первые x x₁, , ,₂ … x_k пе

-ременных имеют независимые размерности.

Независимость размерностей означает, что размерность любой из них не может быть вы

-ражена в виде степенного одночлена из раз

-мерностейдругих переменных. Например, раз

-мерность длины L, скорости L T/ и энергии 2_/ 2

ML T независимы, а размерность длины L,

скорости /L T иускорения L T/ 2 зависимы [1].

Положимдляразмерностейобозначения

[ ]

x1 =A1,

[ ]

x2 =A2, ,…

[ ]

xk =Ak,

тогда размерности остальных величин будут выражаться через эти размерностиследующим образом:

[ ]

1 2

1m 2m kmk;

z =A ⋅A ⋅ ⋅… A

[ ]

1 2

2 1p 2p kpk;

x =A ⋅A ⋅ ⋅… A

[ ]

1 2

1q 2q qk

n k

x =A ⋅A ⋅ ⋅… A .

Если изменим единицы измерений величин

1, , ,2 k

x x … x

соответственно

в

α α1, 2, ,… αk

раз

,

то

в

новой

системе

единиц

,

которые

будем

обозначать

x x1′ ′, , ,2 … xn′

,

получим

1 1 1;

x′ = α x 1 2

1m 2m mkk ;

z′ = α ⋅ α ⋅ ⋅ α ⋅… z

2 2 2;

x′ = α x 1 2

1 1p 2p pk 1;

k k k

x′ = α ⋅α ⋅ ⋅ α ⋅₊ … x ₊

;

k k k

x′ = α x 1 2

1q 2q qk .

n k n

x′ = α ⋅ α ⋅ ⋅α ⋅… x

Соотношение (4) в новой системе единиц принимаетвид

(

)

1 2

1 2

1m 2m mkk , , , n

z′ = α ⋅ α ⋅ ⋅ α ⋅… f x x … x =

(

1 2

1 1, 2 2, , k k, 1p 2p kpk k 1, ,

f x x x x ₊

= α α … α α ⋅ α ⋅ α ⋅… …

)

1 2

1q 2q qkk xn .

α ⋅ α ⋅ ⋅ α ⋅…

Из

этого

соотношения

следует

,

что

фун

-кция

f

обладает

свойством

однородности

относительно

масштабов

α α₁, ₂, ,… α_k

.

Еслимасштабывзятьввиде

1 1 1

; x α = ₂

2 1 ; x

α = …; _k 1 ,

k x α = тогдавеличины 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ; ; k k k m m m k p p p k

n k _{q q q}

k

z П

x x x

z П

x x x

z П

x x x

не зависят от первоначальной системы единиц измерения потому, что они имеют нулевую размерность относительно единиц измерения

1, 2, , k

A A … A .

Использование относительной системы изме

-ренияпозволяетсоотношению (4) придатьвид

1 2

штук

1,1, ,1, , , ,

n k n k

k

П ₋ f П П П ₋

⎛ ⎞

⎜ ⎟

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

… … . (6)

Данное представление известно под назва

-ниемП-теоремы [1]. Иногда величины ,П П₁, ,

… П_{n k−} называют критериями подобия. По

-следнее означает, что, рассматривая процессы,

у которыходинаковые критерии, можно по ре

-зультатам одного процесса предсказать значе

-ние показателей другого процесса. Другими словами, если лабораторный процесс подобен промышленному, то, зная результаты лабора

-торногопроцесса, можно определитьпоказате

-липромышленногопроцесса.

В практике электролитического покрытия,

как правило, выбирают какой-либо один пока

-затель, характеризующий свойство покрытия,

например, сопротивление сдвигу, и затем, вы

-полняя ряд специальных экспериментов, нахо

-дятего зависимостьот предикторных перемен

-ныхизвыбраннойобластиихизменения.

По результатам эксперимента строят мате

-матическую модель, которую используют для определения такихзначений предикторныхпе

-ременных, при которых выбранный показатель достигаетсвоегоэкстремальногозначения.

В общем случае покрытие характеризуется несколькими свойствами, например, сцепляе

-мостью, микротвердостью, хрупкостьюит. д.

К сожалению, по литературным источни

-кам нам не удалось найти работу, где оценка процесса электролитического покрытия про

-изводилась бы по нескольким показателям одновременно.

В работе [2] исследуются сцепляемость,

микротвердость и хрупкость электролитиче

-скихжелезных покрытий, однако, эти свойства рассматриваются каждый раз отдельно и даже наборыпредикторныхпеременныхразличны.

Так, например, сернокислый электролит железнения на образцах по методу сдвига

(мН/м2_{). В качестве предикторных перемен}

-ныхбыливзяты:

– кислотностьэлектролита x₁ (1,5 0,3± рН); – температураэлектролита x₂ ( 40 20± °С);

– начальнаяплотностьтока x₃ (2 1± А/дм2_); – время выдержкив электролитебез тока 4

x (60 60± с).

Эксперимент проводился с концентрацией сернокислого железа FeSO 7H O₄⋅ ₂ – 420 г/л и добавкойсернокислогоалюминия Al(SO ) 18H O_{4 3}⋅ ₂ – 100 г/л.

По опытным данным была получена мате

-матическаямодельвида

1 1 2 3

ˆ _{275,163 28,00 34,445 8,333}

Y = − x + x + x +

2 2

4 1 1 2 2 4 3 9,778x 13,29x 6,69x x 5,94x x 22,71 .x

+ + − + −

При изучении микротвердости условия экс

-перимента были несколько иными – не было добавоксернокислогоалюминия.

В качестве предикторных переменных бы

-ливзяты:

– кислотностьэлектролита x₁; – температураэлектролита x₂;

– начальнаякатоднаяплотностьтока x₃; – рабочаяплотностьтока x₅.

Математическая модель для микротвердо

-стиимеетвид

2 5 1 2

ˆ _{369,6920 24,0518 5,5039 71,6411}

Y = + x + x + x +

2 2

3 2 5 2 5

4,50x 70,5408x 13,078x x 11,0892 .x

+ + − −

Такимобразом, приведенныематематические моделинемогутбытьиспользованыдлярешения задачи, когдажелательносделатьсцепляемостьи микротвердостькакможнобольшими.

Нампредставляется, чтоподобнаяситуация в практике электролитического покрытия воз

-никла из-за отсутствия математических мето

-дов (на то время) решения задач оптимизации понесколькимпоказателям.

В дальнейшем подобные задачи будем на

-зывать задачами векторной оптимизации, хотя сами математики такие задачи называют зада

-чамимногокритериальными [3].

Снашейточкизрения подобнаятерминоло

-гическая неточностьвозниклаиз-затолкования понятия «критерий».

Предлагаемпод критериемпонимать прави

-лоотборавариантов.

В рассматриваемом случае правило отбора по двум и более показателям можно предста

-витьследующимобразом:

– пусть x – набор предикторных пере

( )

1

F x имикротвердость F x₂

( )

, а y – тожена

-борпредикторных переменных, которомусоот

-ветствуетсцепляемость F y₁

( )

имикротвердость

( )

1

F y , тогда будем говорить, что набор «y

лучше, чем x», еслиимеетместо

( )

( )

( )

( )

1 1

2 2 , F x F y F x F y ⎛ ≤ ⎞ ⎜ _≤ ⎟

⎝ ⎠ (7)

причем среди неравенств имеет место хотя бы одно строгое неравенство. Таким образом, со

-отношение (7) необходимо рассматривать как критерий.

В математическом плане приходим к задаче,

формальнаязаписькоторойпредставляетсобой [4]

( )

( )

1 2

max F x

F x ⎛ ⎞

→ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (8)

приусловии, что x X∈ , где X – областьизмене

-нияпредикторныхпеременных x=

(

x x₁, , ,₂ … x_n

)

.

Ради определенности напомним, что будем понимать под решением задачи векторной оп

-тимизации (8).

Определение 1.Значениепредикторныхпе

-ременных x X∈ будемназыватьэффективным,

еслилюбоеотклонениеот x приводиткумень

-шению F x₁

( )

или

F x2

( )

или

обоих

сразу

.

Определение 2. Множество X_*⊆X будем

называть решением задачи (8), если любое

* *

x ∈X является эффективным инесравнимым сдругими x_*

из

X_*.

Учитывая важность введенных понятий, рас

-смотрим модельный пример, когда функция

( )

1

F x и F x₂

( )

имеютследующийвид (рис. 2).

Пусть x₁ такое значение x∈

[ ]

0,∞ , при ко

-тором F x₁

( )

достигает максимального значе

-ния, а x₂ имеетаналогичныйсмыслдля F x₂

( )

,

тогда решением задачи типа (8) является мно

-жество X_*, которое может быть использовано для построения рационального технологичес

-когопроцессапокрытия

.

Рис. 2. Графическоепредставление модельногопримера

Все изложенное позволяет сформулировать следующиеосновныезадачи.

Задача 1. На основании априорной инфор

-мации выбрать перечень показателей, характе

-ризующих электролитический процесс покры

-тияипостроитьграфлокальныхвзаимосвязей.

Задача 2. Для заданного графа локальных взаимосвязей определить наборы предиктор

-ных переменных и построить структуры мате

-матическихмоделей.

Задача 3. Для выбранного набора предик

-торных переменных разработать способ реше

-ния задачи математической оптимизации по опытнымданным.

Задача 4. Среди допустимых наборов пре

-дикторныхпеременныхвыбратьтакие, которые быобеспечивализаданнуюточность.

Задача 5. Среди допустимых по точности наборов предикторных переменных выбрать такие, которые былибы технологическиреали

-зуемы и требовали бы как можно меньше за

-тратнаихреализацию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. СедовЛ. И. Методыподобияиразмерностивме

-ханике. – М.: Наука, 1977. – 400 с.

2. Калмуцкий В. С. Оптимизация технологии оса

-ждения износостойких покрытий. – Кишинев.:

Штиинца, 1973. – 108 с.

3. НогинВ. Д. Принятиерешенийвмногокритери

-альной среде. Количественный подход. – М.:

Физматлит, 2002. – 144 с.

4. Босов А. А. О Парето-оптимальных решениях задач векторной оптимизации / А. А. Босов,

В. В. Скалозуб // Диференціальні рівняннята їх застосування: Зб. наук. пр. ДДУ. – Д.: 1988. –

С. 66–70.