Décomposition de Helmholtz par ondelettes : convergence d'un algorithme itératif

(1)

Jean-Frédéric Gerbeau & Stéphane Labbé, Editors

D´

ECOMPOSITION DE HELMHOLTZ PAR ONDELETTES : CONVERGENCE

D’UN ALGORITHME IT´

ERATIF

∗

Erwan Deriaz

1

_{, Kai Bittner}

2

_{et Val´}

_{erie Perrier}

1

Résumé. Dans ce qui suit, on présente des ondelettes à divergence nulle et des ondelettes à rotationnel nul, et on définit des projecteurs associés : ces projecteurs permettent de construire un algorithme itératif de décomposition de Helmholtz par ondelettes. Cette décomposition de Helmholtz est localisée en espace, contrairement à une décomposition de Helmholtz qui serait calculée par transformée de Fourier. On démontre la convergence de l’algorithme en dimensions 2 et 3, dans le cas particulier des ondelettes de Shannon.

Abstract. In what follows, we present tensor-product divergence-free and curl-free wavelets, and we define associated projectors. These projectors permit the construction of an iterative algorithm for the computation of the Helmholtz decomposition in terms of wavelets. This Helmholtz decomposition is localized in space, in contrast to a Helmholtz decomposition calculated by the Fourier transform. Finally, we show the convergence of the algorithm in 2 and 3 dimensions for the particular case of Shannon wavelets.

Introduction

Dans de nombreux problèmes, comme la simulation d’écoulements incompressibles (problème de Stokes, équations de Navier-Stokes [2,11]), ou en électromagnétisme (équations de Maxwell [10]), la solution doit vérifier une condition de divergence nulle. Lors de l’implémentation de méthodes numériques, il est souvent nécessaire de disposer d’un projecteur orthogonal sur l’ensemble des fonctions à divergence nulle.

La décomposition de Helmholtz [2, 6] consiste à décomposer un champ de vecteursu∈(L2₍_Rn₎₎n _{en somme} de sa composante à divergence nulleudiv et de sa composante à rotationnel nulurot. Plus précisément, il existe

une fonction de courantψ et un potentielptels que :

u=udiv+urot (1)

avec

udiv =rot ψ , (div udiv= 0) et urot=∇p , (rot urot= 0)

De plus, les fonctionsrotψ et ∇psont orthogonales dans (L2₍_Rn₎₎n_{, et les fonctions courant}_ψ_{et potentiel} _p sont uniques, `a une constante additive pr`es.

∗_{Ce travail a re¸}_{cu le soutien du projet europ´}_{een HPRN-CT-2002-00286 ”Breaking complexity”.}

1 _{Laboratoire de Mod´}_{elisation et Calcul de l’IMAG, BP 53, 38 041 Grenoble cedex 9, France ; e-mail :}_{[email protected]}

& [email protected]

2 _Universit´_{e d’Ulm, Helmholtzstr. 18, D-89069 Ulm, Allemagne ; e-mail : e-mail :}_{[email protected]}

c

EDP Sciences, SMAI 2007

(2)

Cette d´ecomposition d´ecoule de la mise en somme directe orthogonale des espaces Hdiv 0(Rn), l’espace des

fonctions vectorielles `a divergence nulle, et Hrot 0(Rn) celui des fonctions vectorielles `a rotationnel nul. En

r´esum´e :

(L2₍_Rn₎₎n ₌_H

div 0(Rn)⊕⊥Hrot 0(Rn)

Cette d´ecomposition est imm´ediate dans (L2₍_Rn₎₎n_{, grˆ}_{ace au projecteur de Leray (projecteur orthogonal de} (L2₍_Rn₎₎n _dans_H

div 0(Rn)) qui est explicite dans le domaine de Fourier. Sur des ouverts Ω, la d´ecomposition

(1) est toujours v´erifi´ee [2, 6].

On construit dans la partie 1 des bases d’ondelettes biorthogonales de Hdiv 0(Rn) et Hrot 0(Rn), et des

projecteurs associés. Comme ces projecteurs sont obliques, on définit dans la partie 2 un algorithme itératif de décomposition de Helmholtz par ondelettes, dont on prouve la convergence en partie 3.

1. _{Ondelettes `}

_{a divergence nulle et `}

_{a rotationnel nul}

Les ondelettes à divergence nulle ont été définies par P.G. Lemarié en 1992 [8]. K. Urban les utilise pour la résolution du problème de Stokes [12], puis élargit la construction à des ondelettes à rotationnel nul [13]. Le principe fondamental de ces constructions repose sur l’existence de bases d’ondelettesbiorthogonales(voir [3,9]) liées par différentiation. En particulier on utilisera le résultat suivant de [8] :

Proposition 1.1. Si (V1

j )est une analyse multir´esolution (AMR) de L2(R), d’ondelette associ´ee ψ1, alors il existe une AMR(V0

j), d’ondelette associ´ee ψ0, v´erifiant :

ψ1′(x) = ψ0(x) (2)

On dispose ainsi de deux bases de Riesz deL2(R) : ψ1,j,k(x) = 2j/2ψ1(2jx−k))_j,k_∈_Zet (ψ0,j,k)_j,k_∈Z, reli´ees

par d´erivation.

Contrairement aux ondelettes proposées dans les travaux de Lemarié et de Urban, on préférera utiliser des bases d’ondelettes anisotropes à divergence nulle et à rotationnel nul, c’est-à-dire des produits tensoriels de bases d’ondelettes unidimensionnelles [4, 5]. Nous reprenons ici les principaux ingrédients de leur définition, et des projecteurs associés. Ces constructions se généralisent en dimensionnquelconque d’espace [4].

1.1. Ondelettes anisotropes `

a divergence nulle

1.1.1. Cas de la dimension 2

En dimension 2, les ondelettes `a divergence nulle anisotropes sont construites simplement en consid´erant le rotationnel des ondelettes de l’AMR tensorielle (V1

j ⊗Vj1) :

Ψdivj,k(x1, x2) =rot ψ1(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)= 2

j2_ψ

1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)

−2j1_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)

j= (j1, j2)∈Z2 est le paramètre d’échelle, etk= (k1, k2)∈Z2 le paramètre de position. Quandj etkvarient

dans Z2_{, la famille} _{Ψ

divj,k} forme une base de Hdiv 0(R2). Pour la compl´eter en une base de (L2(R2))2, on

introduit les fonctions :

Ψnj,k(x1, x2) = 2

j1_ψ

1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)

2j2_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)

(3)

Si on veut d´ecomposer un champ de vecteurs u dans cette nouvelle base, on part d’une d´ecomposition classique deuen ondelettes tensorielles de l’AMR (V1

j ⊗Vj0)×(Vj0⊗Vj1) :

u= X

j∈Z2

X

k∈Z2

d1,j,k Ψ1j,k+d2,j,kΨ2j,k

o`u on a not´e, pourj,k∈Z2 _:

Ψ1

j,k(x1, x2) = ψ1(2

j1_x

1−k1)ψ0(2j2x2−k2)

0

Ψ2

j,k(x1, x2) =

0ψ0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)

les ondelettes anisotropes pour chaque composante (avec une normalisationL∞_).

On écrit ensuiteusur la base d’ondelettes à divergence nulle et sur la base d’ondelettes complémentaires :

u=X

j∈Z2

X

k∈Z2

(ddivj,k Ψdivj,k+dnj,k Ψnj,k) (3)

ce qui conduit directement aux coefficientsddivj,k etdnj,k : 

 

ddivj,k= 2

j₂

22j1+22j2 d1,j,k−

2j1

22j1+22j2 d2,j,k

dnj,k= 2

j1

22j1+22j2 d1,j,k+

2j2

22j1+22j2 d2,j,k

(4)

Remarque 1.2. Le choix des ondelettes complémentaires Ψnj,k n’est pas unique, et ce choix conditionne le calcul des coefficients ddivj,k et dnj,k. Nous verrons à la section 4 que ce choix conditionne également la convergence de l’algorithme de décomposition de Helmholtz par ondelettes. Bien sûr siuest à divergence nulle, on retrouvednj,k= 0.

1.1.2. Cas de la dimension 3

Comme en dimension 2, les ondelettes `a divergence nulle anisotropes sont construites en consid´erant le rotationnel d’ondelettes anisotropes standard :

Ψdiv 1,j,k(x1, x2, x3) =rot

ψ0ψ1ψ1

0 0

=

0 2j3_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

−2j2_ψ

0(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

0 ψ1ψ0ψ1

0

=

−2j3_ψ

1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

0 2j1_ψ

0(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

0 0 ψ1ψ1ψ0

=

2j2_ψ

1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

−2j1_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

0

Comme c’est une famille li´ee (2j1_Ψ

(4)

compl´ementaire celle orthogonale aux trois autres :

Ψnj,k(x1, x2, x3) =

2j1_ψ

1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

2j2_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

2j3_ψ

0(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

(5)

Pour calculer la d´ecomposition d’un champ de vecteurs sur cette nouvelle base, on introduit de nouveau les ondelettes tensorielles, composante par composante, de l’AMR (V1

j⊗Vj0⊗Vj0)×(Vj0⊗Vj1⊗Vj0)×(Vj0⊗Vj0⊗Vj1) :

Ψ1

j,k(x1, x2, x3) =

ψ1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

0 0

Ψ2

j,k(x1, x2, x3) =

0

ψ0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

0

Ψ3j,k(x1, x2, x3) =

0 0

ψ0(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

avecj= (j1, j2, j3)∈Z3et k= (k1, k2, k3)∈Z3.

On passe alors de la d´ecomposition deu, sur ces ondelettes classiques :

u=

3 X

i=1 X

j∈Z3

X

k∈Z3

dij,k Ψij,k

à la décomposition sur les ondelettes vecteurs à divergence nulle et leurs complémentaires :

u= X

j∈Z3

X

k∈Z3

(ddiv 1,j,k Ψdiv 1,j,k+ddiv 2,j,kΨdiv 2,j,k+ddiv 3,j,k Ψdiv 3,j,k+dnj,k Ψnj,k) (6)

en ajoutant comme condition

2j1 _d

div 1,j,k+ 2j2 ddiv 2,j,k+ 2j3 ddiv 3,j,k= 0

pour avoir autant d’´equations que d’inconnues, et pour que la matrice de changement de coordonn´ees soit orthogonale [4]. On obtient alors :

  

ddiv 1,j,k=2

j₃

d2,j,k−2j2d3,j,k

22j1+22j2+22j3 ddiv 2,j,k=

−2j3_d₁_,_j_,_k+2j1_d₃_,_j_,_k

22j1+22j2+22j3

ddiv 3,j,k=2

j2_d₁_,_j_,_k−2j1_d₂_,_j_,_k

22j1+22j2+22j3 dnj,k=

2j1_d₁_,_j_,_k+2j2_d₂_,_j_,_k+2j3_d₃_,_j_,_k

22j1+22j2+22j3

(7)

1.2. Ondelettes anisotropes `

a rotationnel nul

En dimension 2, on construit des ondelettes `a rotationnel nul en consid´erant le gradient des ondelettes tensorielles de l’AMR (V1

j ⊗Vj1) :

Ψrotj,k(x1, x2) =∇ ψ1(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)= 2

j1_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)

2j2_ψ

(5)

qui engendrent une base de l’espaceHrot 0(R2), et que l’on compl`ete en une base de (L2(R2))2avec les fonctions :

ΨNj,k(x1, x2) = 2

j2_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)

−2j1_ψ

1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)

La d´ecomposition sur ces ondelettes s’obtient en partant de la d´ecomposition standard :

u=X

j∈Z2

X

k∈Z2

d1,j,kΨ#₁_,j,k+d2,j,kΨ#₂_,j,k

sur les ondelettes canoniques, composante par composante :

Ψ#₁,j,k(x1, x2) = ˛ ˛ ˛ ˛ ψ0(2

j1_x

1−k1)ψ1(2j2x2−k2)

0 Ψ

#

2,j,k(x1, x2) = ˛ ˛ ˛

˛ 0ψ1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)

On ´ecrit alors la nouvelle d´ecomposition :

u= X

j∈Z2

X

k∈Z2

(drotj,k Ψrotj,k+dNj,kΨNj,k) (8)

avec les coefficients : ₍

drotj,k= 2

j₁

22j1+22j2 d1,j,k+

2j2

22j1+22j2 d2,j,k

dNj,k= 2

j2

22j1+22j2 d1,j,k−

2j1

22j1+22j2 d2,j,k

De la même manière, en dimension 3, les ondelettes à rotationnel nul sont construites en considérant le gradient des ondelettes tensorielles de l’AMR (V1

j ⊗Vj1⊗Vj1) :

Ψrotj,k(x1, x2) = ∇ ψ1(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

=

2j1_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

2j2_ψ

1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

2j3_ψ

1(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

qui engendrent une base de l’espace Hrot 0(R3), et que l’on complète en une famille génératrice de (L2(R3))3

avec les fonctions (li´ees carP3_i₌₁2ji_Ψ

Ni,j,k= 0) :

ΨN 1,j,k(x1, x2, x3) =

0 −2j3_ψ

1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

2j2_ψ

1(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

ΨN 2,j,k(x1, x2, x3) =

2j3_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

0 −2j1_ψ

1(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ0(2j3x3−k3)

(9)

ΨN 3,j,k(x1, x2, x3) =

−2j2_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

2j1_ψ

1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)ψ1(2j3x3−k3)

0

2. _D´

_{ecomposition de Helmholtz par ondelettes : pr´}

_{esentation d’un}

algorithme it´

eratif

(6)

Leray, etQle projecteur orthogonal sur les fonctions vectorielles `a rotationnel nul) :

u=Pu+Qu , Pu=udiv , Qu=urot (10)

où udiv et urot sont cherchés sous la forme de leurs décompositions en ondelettes à divergence nulle et à

rotationnel nul :

udiv=Pu= X

j,k

ddivj,kΨdivj,k et urot=Qu= X

j,k

drotj,kΨrotj,k (11)

Cependant les bases d’ondelettes à divergence nulle, comme les bases d’ondelettes à rotationnel nul, ne sont pas des bases orthogonales, et les projecteurs associés sont des projecteurs obliques qui dépendent du choix des espaces complémentaires Hn=Span{Ψn} et HN=Span{ΨN} introduits à la section 2.

On dispose des d´ecompositions d’espaces non orthogonales suivantes :

(L2₍_Rn₎₎n ₌_H

div 0⊕Hn et (L2(Rn))n = HN⊕Hrot 0 (12)

et on note, pour un champ de vecteursu∈ L2₍_Rn₎n _:

u= Pdivu+ Qnu (13)

la décomposition en ondelettes à divergence nulle plus le supplémentaire dans Hn, puis

u= PNu+ Qrotu (14)

la décomposition en ondelettes à rotationnel nul plus le supplémentaire dans HN. La dimension d’espacen est

quelconque, mais on ne va traiter ici que les casn= 2 et 3.

Construction itérative des composantes à divergence nulle et à rotationnel nul du champ

Disposant des deux décompositions (13) et (14), une permettant d’extraire imparfaitement la partie à di-vergence nulle du champ et l’autre la partie à rotationnel nul, on se propose de les alterner de fa¸con itérative, jusqu’à convergence du résidu vers 0. On s’attend alors à un processus de convergence comme schématisé à la figure 1.

En tenant compte des notations définies précédemment et en partant de u0 = u, la première étape de l’algorithme s’écrit :

  

u1/2₌_u0₋_P

divu0= Qnu0

u1=u1/2−Qrotu1/2= PNu1/2

puis se généralise à :

  

u1= PNQnu0

up+1_{= P}

NQnup ∀p≥1

(15)

La suiteup _{ainsi d´efinie v´erifie :}

up= Pdivup | {z } up_div

+ QrotQnup

| {z }

up_rot

+ PNQnup | {z }

(7)

H

H H HN

u

0 div

n

N

div 0

u u_div1

1

u

rot _rot rot 0

0

u u u

u2 0₌

u = 1/2

0 0

1

Figure 1. Schéma idéalisé du processus de convergence de l’algorithme de Helmholtz par ondelettes avec Hn=vect{Ψnj,k}et HN=vect{ΨNj,k}.

`

A la limite, si la suite (up₎

p∈N converge vers 0, on obtient la d´ecomposition (10) avec :

udiv= +∞ X

p=0

up_div et urot = +∞ X

p=0

uprot

Idéalement, cet algorithme converge de la même fa¸con que la suite (up_{) tend vers 0 dans le schéma de la} figure 1 : dans le chapitre suivant, la convergence est démontrée dans les cas bi et tridimensionnels, et pour le cas particulier des ondelettes de Shannon qui sont à support physique infini mais à localisation optimale en Fourier. Cette convergence a aussi été testée et observée sur des champs divers et variés (réguliers, irréguliers, aléatoires ou issus de simulations) 2D et 3D avec des ondelettes splines [4].

Cependant, une rapide analyse de la figure 1 donne une bonne idée de ce qui va être crucial dans cette conver-gence : la proximité de l’espace Hnengendré par la famille{Ψnj,k}, et celle de l’espace HNengendré par{ΨNj,k} avec respectivement les espaces Hrot 0 et Hdiv 0.

3. _{Preuves de la convergence}

On procéde en deux temps. Tout d’abord on énonce un théorème général de convergence : on peut voir qu’un critère simple portant sur les espaces Hnet HN permet d’aboutir à la convergence de l’algorithme. Le principe

est de dire que si Hn est toujours plus proche de Hrot 0 que de Hdiv 0, et si HN est toujours plus proche de

Hdiv 0 que de Hrot 0, alors l’algorithme converge. Dans un deuxi`eme temps, on montre que les hypoth`eses de ce

théorème sont vérifiées dans le cas des ondelettes de Shannon.

3.1. Convergence de l’algorithme

Théorème 3.1. S’il existe deux réels strictement positifs qn, qN tels que :

∀fn∈Hn, kPfnkL2 ≤q_nkQf_nk_L2 (16)

et

(8)

alors

∀fN∈HN, kQnfNkL2≤

s 1 +q2

n

1 +q2 N

qNkfNkL2 (18)

et

∀fn∈Hn, kPNfnkL2 ≤

s 1 +q2

N

1 +q2 n

qnkfnkL2 (19)

On en d´eduit alors que la suite (up₎

p∈N d´efinie par la formule (15) v´erifie :

kup+1kL2 ≤q_nq_Nkupk_L2 (20)

Si bien que, si le produit qn×qN est strictement inférieur à1, la suite décroˆıt exponentiellement. Démonstration. SoitfN∈HN.

Comme PdivfN∈Hdiv 0, on a QPdivfN= 0 et QQnfN=Q(fN−PdivfN) =QfN.

Et comme QnfN∈Hn, d’apr`es l’hypoth`ese (16),

kPQnfNkL2 ≤q_nkQQ_nf_Nk_L2=q_nkQf_Nk_L2

Si bien que dansL2_,

kQnfNk2=kQQnfNk2+kPQnfNk2≤(1 +qn2)kQfNk2

Par ailleurs, d’apr`es l’hypoth`ese (17), on akQfNk ≤qNkPfNk et donc

kfNk2=kPfNk2+kQfNk2≥

1 q2 N

kQfNk2+kQfNk2=

1 +q2 N

q2 N

kQfNk2≥

1 +q2 N

q2 N

1 1 +q2

n

kQnfNk2

D’o`u finalement

kQnfNk2≤q 2

N(1 +q2n)

1 +q2 N

kfNk2

Ce qui établit l’inégalité (18).

La seconde inégalité (19) se démontre de fa¸con symétrique en échangeant les rôles des lettres dans les formules ci-dessus.

Ainsi pourup+1= PNQnup, on obtient :

kup+1kL2=kP_NQ_nupk_L2≤

s 1 +q2

N

1 +q2 n

qn s

1 +q2 n

1 +q2 N

qNkupkL2 =q_nq_Nkupk_L2

Ce qui démontre l’inégalité (20) et termine la démonstration.

3.2. V´

erification des hypoth`

eses de convergence avec les ondelettes de Shannon

Si les hypothèses (16) et (17) du théorème 3.1 sont vérifiées avec des constantesqnetqNtelles queqnqN<1,

alors l’algorithme converge exponentiellement comme (qp

(9)

dans le cas général, on se propose de démontrer qu’avec les ondelettes de Shannon, on peut prendreqn=qN=3₄.

L’ondeletteψ1 considérée dans cette partie aura pour transformée de Fourier1 :

b

ψ1(ξ) =−e−iξ/2χ[−2π,−π]∪[π,2π](ξ) ∀ξ∈R

o`uχd´esigne la fonction indicatrice. En particulier, pour toutj, k∈Z:

|ψ1(2\j· −k)(ξ)|= 2−jχ[−2j+1_π,₋₂j_π_]∪[2j_π,₂j+1_π_](ξ) (21)

3.2.1. D´emonstration dans le cas 2D

Une estimation de la valeur de qn dans la formule (16) est obtenue en comparant les normes kQfnkL2 et

kfnkL2 pourf_n∈H_n.

D’apr`es la partie 2 (3), toute fonctionfn∈Hn s’´ecrit :

fn= X

j,k

dnj,k Ψnj,k avec Ψnj,k(x1, x2) = 2

j1_ψ

1(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)

2j2_ψ

0(2j1x1−k1)ψ1(2j2x2−k2)

On d´ecomposefn en utilisant (10) :

fn=rot~ g+∇p=Pfn+Qfn

avecg etples fonctions courant et potentiel, qui sont des fonctions scalaires en dimension 2. La divergence de l’´equation donne divfn= ∆p, soit

∆p(x1, x2) = X

j,k

(22j1_{+ 2}2j2₎_d

nj,kψ0(2j1x1−k1)ψ0(2j2x2−k2)

On applique la transformée de Fourier à cette équation :

−|ξ|2 b

p(ξ1, ξ2) = X

j,k

(22j1_{+ 2}2j2₎_d

nj,k2−j1−j2e−i2

−j_k_·_ξ

c

ψ0(2−j1ξ1)ψc0(2−j2ξ2)

o`u on a not´e 2−j_k_{= (2}−j1_k

1,2−j2k2) . On obtient alors :

d

∇p(ξ1, ξ2) =−

1 |ξ|2



X

j,k

(2j1−j2_{+ 2}j2−j1₎_d

nj,ke−i2

−j_k_·_ξ

c

ψ0(2−j1ξ1)ψc0(2−j2ξ2)   i ξ1

i ξ2

et la normeL2 _:

kd∇pk2L2=

ZZ

ξ∈R2

1 |ξ|2

X

j,k

(2j1−j2_{+ 2}j2−j1₎_d

nj,ke−i2

−j_k_·_ξ

c

ψ0(2−j1ξ1)ψc0(2−j2ξ2) 2

dξ

CommekQfnk2_L2 =k∇pk2_L2 =₍₂_π1₎2kd∇pk2_L2, on cherche à minorer cette quantité à l’aide de la norme de

b

fn(ξ1, ξ2) = X

j,k dnj,k

2−j2_e−i2−jk·ξ_ψc

1(2−j1ξ1)ψc0(2−j2ξ2)

2−j1_e−i2−j_k_·_ξc

ψ0(2−j1ξ1)ψc1(2−j2ξ2)

1_{La transform´}_{ee de Fourier d’une fonction}_f _∈_L1₍_R_{) est not´}_{ee ˆ}_f₍_ξ_{) =}R+∞ −∞f(x)e

−ixξ_dx_{, et on rappelle que}_f _7→ 1

√

2πfˆest

(10)

Or, la relation de d´erivation (2) entre les deux ondelettesψ1etψ0(ψ1′ =ψ0), conduit `aψc0(ξ) =i ξψc1(ξ) (ξ∈R).

On a alors la r´e´ecriture :

b

fn(ξ1, ξ2) = X

j,k

dnj,kie−i2

−j_k_·_ξ

2−2j2_ξ

2ψc1(2−j1ξ1)ψc1(2−j2ξ2)

2−2j1_ξ

1ψc1(2−j1ξ1)ψc1(2−j2ξ2)

D’o`u :

kfbnk2_L2=

RR

ξ∈R2 ξ22

Pj,k 2−2j2dnj,ke−i2

−j_k_·_ξ

c

ψ1(2−j1ξ1)ψc1(2−j2ξ2) 2dξ

+RR_ξ_∈_R2 ξ12

Pj,k 2−2j1dnj,ke−i2

−j_k_·_ξc

ψ1(2−j1ξ1)ψc1(2−j2ξ2) 2dξ

On se place dans le quart de plan R+_×_R+ _{(sachant que les trois autres quarts du plan} _R2 _{v´erifieront les}

mˆemes encadrements) et on consid`ere le rectangle Rℓ = [2ℓ1π,2ℓ1+1π]×[2ℓ2π,2ℓ2+1π] pour ℓ= (ℓ1, ℓ2)∈Z2.

En utilisant (21), on obtient :

kfbnk2L2_(R ℓ)=

ZZ

ξ∈Rℓ

2−4ℓ1_ξ2

1+ 2−4ℓ2ξ22

X

k

dnℓ,ke−i2

−ℓ_k_·_ξ

c

ψ1(2−ℓ1ξ1)ψc1(2−ℓ2ξ2) 2 dξ

De la mˆeme mani`ere,

kd∇pk2

L2_(R ℓ)=

Z Z

ξ∈Rℓ

2−2ℓ1_{+ 2}−2ℓ22 ξ

2 1ξ22

|ξ|2 X k

dnℓ,ke−i2

−ℓ_k_·_ξ

c

ψ1(2−ℓ1ξ1)cψ1(2−ℓ2ξ2) 2 dξ

Il faut donc comparer

q1(ξ) = 2−2ℓ1+ 2−2ℓ2 2 ξ2₁ξ2₂

|ξ|2 avec q2(ξ) = 2 −4ℓ1_ξ2

1+ 2−4ℓ2ξ22

pour ξ= (ξ1, ξ2)∈[2ℓ1π,2ℓ1+1π]×[2ℓ2π,2ℓ2+1π] .

Si on pose

y=

2−ℓ1_ξ

1

2−ℓ2ξ₂

2

∈[1

4,4] pourξ∈Rℓ on obtient

q2

q1

(ξ) = 2

2ℓ1+2ℓ2

(22ℓ1+ 22ℓ2)2(y+

1 y + 2

2ℓ1−2ℓ2_{+ 2}2ℓ2−2ℓ1₎

Ainsi, le rapportq2(ξ)/q1(ξ) dont on cherche un majorant sur le rectangle Rℓest minimum eny= 1, donc sur la droite {2−ℓ1_ξ

1= 2−ℓ2ξ2}, et atteint son maximum sur le rectangle Rℓ aux deux coins (ξ1, ξ2) = (2ℓ1π,2ℓ2+1π)

et (ξ1, ξ2) = (2ℓ1+1π,2ℓ2π) du rectangle Rℓo`uyvaut respectivement 14 et 4. Par sym´etrie sur les variablesℓ1et

ℓ2, on n’en consid`ere qu’un, (2ℓ1+1π,2ℓ2π). Le rapportq2(ξ)/q1(ξ) vaut alors :

q2

q1

(2ℓ1+1_π,₂ℓ2_{π) =}2

2ℓ1+2ℓ2+2_{+ 2}4ℓ1_{+ 2}4ℓ2_{+ 2}2ℓ1+2ℓ2−2

(22ℓ1+ 22ℓ2)2

qui donne en posant 2ℓ1 ₌_ρ_cos_θ_{et 2}ℓ2 ₌_ρ_sin_θ,

q2

q1

(2ℓ1+1_π,₂ℓ2_{π) = 1 +} 9

16 sin

(11)

qui est maximum pourθ=π/4 c’est-`a-direℓ1=ℓ2.

On a donc∀ℓ∈Z2_,_∀_(ξ

1, ξ2)∈Rℓ, q1(ξ)≥ 16₂₅q2(ξ) .

En r´eintroduisant cette majoration dans les int´egrales,

∀ℓ∈Z2_,_k_d_∇_pk2

L2_(R ℓ)≥

16 25kfbnk

2

L2_(R ℓ)

et en sommant sur tous lesℓ∈Z2 _{et sur les quatre quarts du plan, on obtient :}

k∇dpk2L2₍_R2₎≥

16 25kfbnk

2

L2₍_R2₎ ou encore k∇pk2_L2₍_R2₎≥

16 25kfnk

2

L2₍_R2₎

Ainsi,kfnk2L2=kPfnk2L2+kQfnk2L2≤ 25₁₆kQfnk2L2 .

FinalementkPfnk2_L2≤ ₁₆9 kQfnk2_L2, et la constanteqn= 3/4 convient.

De mani`ere analogue, pourfN∈HN, on d´emontre que

kQfNk2L2≤

9 16kPfNk

2

L2

et on peut prendre qN = 3/4 . Ainsi le produit qnqN = 9/16 est strictement inf´erieur `a 1 et l’algorithme

converge. Il est remarquable que ce taux corresponde assez bien à celui qui est obtenu expérimentalement avec des ondelettes splines à faible nombre de moments nuls, qui est d’environ 0.5 [4].

3.2.2. D´emonstration dans le cas 3D

Le cas de la convergence 3D est abord´e de fa¸con similaire, mais ici il faut distinguer les cas des espaces Hn

et HN.

Soitfn∈Hn, on a :

fn= X

j,k

dnj,kΨnj,k

les Ψnj,kétant définies à la formule (5). Comme en 2D, on décomposefnsuivant (10) :

fn=rot~ g+∇p=Pfn+Qfn

et par application de la transform´ee de Fourier :

d

Qfn(ξ1, ξ2, ξ3) =∇dp(ξ1, ξ2, ξ3)

=− 1 |ξ|2



X

j,k (2

2j1_{+ 2}2j2_{+ 2}2j3

2j1+j2+j3 )dnj,ke

−i2−j_k_·_ξ

c

ψ0(2−j1ξ1)ψc0(2−j2ξ2)cψ0(2−j3ξ3)  

  i ξi ξ12

i ξ3  

dont il faut comparer la normeL2 _{avec celle de}

b

fn(ξ1, ξ2, ξ3) =i X

j,k

dnj,k2−2j1−2j2−2j3e−i2

−j_k_·_ξ

22j1_ξ

2ξ3ψc1(2−j1ξ1)ψc1(2−j2ξ2)ψc1(2−j3ξ3)

22j2_ξ

1ξ3ψc1(2−j1ξ1)ψc1(2−j2ξ2)ψc1(2−j3ξ3)

22j3_ξ

(12)

Pour effectuer cette comparaison dans le cas des ondelettes de Shannon, on d´ecoupe le domaine d’int´egration

R3 _{en pav´es R}

ℓ,ε = [2ℓ1πε1,2ℓ1+1πε1]×[2ℓ2πε2,2ℓ2+1πε2]×[2ℓ3πε3,2ℓ3+1πε3] pour ℓ = (ℓ1, ℓ2, ℓ3) ∈ Z3 et

ε∈ {−1,1}3_{. Par sym´etrie, on se restreint au cas}_ε₌_{1,_1,_{1}. Sur ces pav´es, on trouve comme normes :}

kfbnk2L2_(R_ℓ₎=

Z ZZ

ξ∈Rℓ

2−4ℓ2_ξ2

22−4ℓ3ξ32+ 2−4ℓ1ξ122−4ℓ3ξ23+ 2−4ℓ1ξ212−4ℓ2ξ22 X k

dnℓ,ke−i2

−ℓ_k_·_ξ

c

ψ1(2−ℓ1ξ1)ψc1(2−ℓ2ξ2)ψc1(2−ℓ3ξ3) 2 dξ et

kQdfnk2L2_(R ℓ)=

Z ZZ

ξ∈Rℓ

22ℓ1_{+ 2}2ℓ2_{+ 2}2ℓ3

22ℓ1+2ℓ2+2ℓ3

2

ξ2 1ξ22ξ32

|ξ|2 X k

dnℓ,ke−i2

−ℓ_k_·_ξ

c

ψ1(2−ℓ1ξ1)ψc1(2−ℓ2ξ2)cψ1(2−ℓ3ξ3) 2 dξ On pose

q1(ξ, ℓ) =

22ℓ1_{+ 2}2ℓ2_{+ 2}2ℓ3

22ℓ1+2ℓ2+2ℓ3

2

ξ2 1ξ22ξ32

|ξ|2

et

q2(ξ, ℓ) = 2−4ℓ2ξ222−4ℓ3ξ32+ 2−4ℓ1ξ122−4ℓ3ξ23+ 2−4ℓ1ξ212−4ℓ2ξ22

On introduitxi= 2−ℓiξi/π, pouri= 1,2,3, qui v´erifiexi∈[1,2] . On cherche alors un majorant de kfbnk

2 L2(Rℓ)

kQdfnk2_L_2(R ℓ)

grˆace `a :

E(x, ℓ) = q2(ξ, ℓ) q1(ξ, ℓ)

= 2

2ℓ1_x2

1+ 22ℓ2x22+ 22ℓ3x23

22ℓ1_x2

2x23+ 22ℓ2x21x23+ 22ℓ3x21x22

(22ℓ1+ 22ℓ2+ 22ℓ3)2x2

1x22x23

= 2

2ℓ1_x2

1+ 22ℓ2x22+ 22ℓ3x23 22ℓ1x12 1 + 2

2ℓ2 1

x2 2 + 2

2ℓ3 1

x2 3

(22ℓ1+ 22ℓ2+ 22ℓ3)2

On pose alors, pouri= 1,2,3 :αi= 2

ℓi

(22ℓ1+22ℓ2+22ℓ3)1/2 etzi=x2i. On doit alors maximiser :

E(x, ℓ) =F(z, αi) =

3 X

i=1

α2i zi

! ₃ X i=1 α2 i zi !

pour z= (z1, z2, z3)∈[1,4]3, sous la contrainte P3i=1α2i = 1. On reconnaˆıt une inégalité de Kantorovitch qui conduit, àzfixé, à :

max αi,Pα2i=1

F(z, αi) = 1 4

r minzi maxzi

+

r_max_z

i minzi

!2

Donc pourz∈[1,4]3_{, on a :}

max

z αi,maxPα2i=1

(13)

FinalementE(x, ℓ)≤ 25

16 et kPfnk 2

L2 ≤₁₆9kQfnk2_L2.

Ainsi on peut prendreqn=3₄.

Soit maintenantfN∈HN, on a :

fN= X

j,k

dN 1,j,k ΨN 1,j,k+dN 2,j,k ΨN 2,j,k+dN 3,j,k ΨN 3,j,k

les fonctions ΨN 1,j,kétant définies à la formule (9). Pour calculer le projetéQfNdefNon utilise la transformée

de Fourier :

b fN(ξ) =i

X

j,k

e−i2−j_k_·_ξ

2−2j1_ξ

1 2−j2dN 2,j,k−2−j3dN 3,j,k cψ1(2−j1ξ1)ψc1(2−j2ξ2)cψ1(2−j3ξ3)

2−2j2_ξ

2−2j3_ξ

et comme−|ξ|2 b

p=P3_m₌₁iξm(fbN)m(on utilise de nouveau (10) pourfN) , on trouve :

d

QfN(ξ) =− 1

|ξ|2 

X

j,k

2−2j1_ξ2

1 2−j2dN 2,j,k−2−j3dN 3,j,k

+ 2−2j2_ξ2

2 2−j3dN 3,j,k−2−j1dN 1,j,k

+2−2j3_ξ2

3 2−j1dN 1,j,k−2−j2dN 2,j,k

ie−i2−j_k_·_ξ

c

ψ1(2−j1ξ1)ψc1(2−j2ξ2)ψc1(2−j3ξ3)



 i ξi ξ12

i ξ3  

Afin de calculer les normesL2 _{sur le pav´e R}

ℓ, on pose, pourm= 1,2,3 :

Xm(ξ) =X

k

“

2−ℓm+1[3]_d

Nm+1[3],ℓ,k−2−ℓm+2[3]dNm+2[3],ℓ,k

” e−i2−ℓ_k

·ξ_c

ψ1(2−ℓ1ξ1)cψ1(2−ℓ2ξ2)ψc1(2−ℓ3ξ3)

On remarque tout d’abord que X1(ξ) +X2(ξ) +X3(ξ) = 0. Et on obtient les normes :

kfbNk2L2_(R_ℓ₎=

ZZZ

ξ∈Rℓ

2−4ℓ1_ξ2

1|X1(ξ)|2+ 2−4ℓ2ξ22|X2(ξ)|2+ 2−4ℓ3ξ23|X3(ξ)|2dξ

et

kQdfNk2L2_(R ℓ)=

Z ZZ

ξ∈Rℓ

1 |ξ|2

2−2ℓ1_ξ2

1X1(ξ) + 2−2ℓ2ξ22X2(ξ) + 2−2ℓ3ξ23X3(ξ) 2

dξ

On compare les deux quantités sous le signe intégrale. On pose Xm(ξ) = am(ξ) +ibm(ξ). Cela permet de décorréler partie réelle et partie imaginaire, qui de fait, vont vérifier la même inégalité. On va comparer :

q1(a) =

1 |ξ|2 2

−2ℓ1_ξ2

1a1+ 2−2ℓ2ξ22a2+ 2−2ℓ3ξ32a3 2

et

q2(a) = 2−4ℓ1ξ12a21+ 2−4ℓ2ξ22a22+ 2−4ℓ3ξ23a23

aveca1+a2+a3= 0, `aℓ etξfix´es.

Afin de majorer le quotientq1(a)/q2(a), on introduit un probl`eme de maximisation sous contraintes. On pose,

pouri= 1,2,3,αi= 2−2ℓiξiai. On travaille sur la sph`ere unit´e en posantq2(a) =Pα2i = 1. Alors,

q1(a) =

1

(14)

avec J(α) = P3_i₌₁ξiαi la fonctionnelle dont on cherche les points d’extrˆema αm, et dont le gradient vaut

∇J(α) =ξ. Lesαi vérifient une deuxième contrainte donnée parP3i=1ai =P3i=122ℓiξi−1αi = 0, c’est-à-dire queαm appartient au planP passant par 0 et de vecteur normaln= (22ℓiξi−1)i=1,2,3.

Cette maximisation de J sous contraintes implique l’existence de deux multiplicateurs de Lagrange τ et σ tels que :

∇J(αm) +τn+ 2σαm= 0 En utilisant les relations< α,n>= 0 etkαk2_{= 1, on obtient :}

τ=−<n, ξ >

knk2 et 2σ=−< αm, ξ >

D’o`u :

(J(αm))2= (< αm, ξ >)2=kξk2−

<n, ξ >2

knk2

et on trouve la majoration :

q1(a)≤

knk2_kξk2₋_<_{n, ξ >}2

knk2_kξk2 = 1−

P3

i=122ℓi 2

P3

i=122ℓix −2

i

P3

i=122ℓix2i

o`u on a de nouveau pos´exi= 2−ℓiξi/π∈[1,2].

On utilise alors l’in´egalit´e de Kantorovitch sur les 22ℓi _{qui conduit `}_a

q1(a)≤1−4

_min_x

i maxxi

+maxxi minxi

−2

≤ 9 25

Ce qui conduit `akQfNk2≤ ₂₅9kfNk2.

D’o`u kQfNk2≤ ₁₆9kPfNk2et on peut prendreqN = 3₄ .

La démonstration dans le casn-dimensionnel et avec les ondelettes à divergence nulle présentées dans [4], se démontre de fa¸con analogue au cas 3-dimensionnel.

Conclusion

Dans cet article nous avons étudié la convergence d’un algorithme par ondelettes, pour la décomposition de Helmholtz de fonctions vectorielles surRn_{. La décomposition repose sur des bases stables, localisées en espace :} contrairement aux méthodes basées sur la transformée de Fourier, notre décomposition est extensible à des domaines Ω plus généraux. Cette méthode ouvre ainsi des perspectives très intéressantes en vue de la résolution directe des équations de Navier-Stokes incompressibles sur bases d’ondelettes [4, 5].

(15)

R´

ef´

erences

[1] K. Bittner et K. Urban,On interpolatory divergence-free wavelets, `a paraˆıtre, Mathematics of Computation, 2006.

[2] A.J. Chorin, et J.E. Marsden,A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, 3rd ed., Springer, 1993. [3] A. Cohen, I. Daubechies et J.C. Feauveau,Biorthogonal bases of compactly supported wavelets, Comm. Pure

Appl. Math., 45, 485-560, 1992.

[4] E. Deriaz, Ondelettes pour la Simulation des Écoulements Fluides Incompressibles en Turbulence, Thèse de doctorat en mathématiques appliquées de l’INP Grenoble, Mars 2006.

[5] E. Deriaz et V. Perrier,Divergence-free and curl-free wavelets in 2D and 3D, application to turbulent flows, J. of Turbulence, Volume7_{, Number 3, pages 1–37, 2006.}

[6] V. Girault, P.A. Raviart,Finite element methods for Navier-Stokes equations, Springer-Verlag Berlin, 1986. [7] J.P. Kahane, P.G. Lemarié, Séries de Fourier et Ondelettes, Cassini, Nouvelle Bibliothèque Mathématique,

1998.

[8] P.G. Lemarié-Rieusset, Analyses multi-résolutions non orthogonales, commutation entre projecteurs et dérivation et ondelettes vecteurs à divergence nulle, Revista Matemática Iberoamericana,8_{(2) : 221-236, 1992.}

[9] S. Mallat, Une exploration des signaux en ondelettes, Éditions de l’École Polytechique, Novembre 2000. [10] J.C. Nédélec,Acoustic and Electromagnic Equations Integral Representation for Harmonic Problems, Springer,

New-York, 2001.

[11] O. Pironneau,Méthodes d’éléments finis pour les fluides, Masson, 1988.

[12] K. Urban,Using divergence-free wavelets for the numerical solution of the Stokes problem, AMLI’96 : Procee-dings of the Conference on Algebraic Multilevel Iteration Methods with Applications,2_{: 261–277, University}

of Nijmegen, The Netherlands, 1996.

[13] K. Urban,Wavelet Bases in H(div) and H(curl), Mathematics of Computation70_{(234) : 739-766, 2000.}