Representations by certain octonary quadratic forms with coefficients 1, 5, or 25

J. Math. Comput. Sci. 8 (2018), No. 5, 553-578 https://doi.org/10.28919/jmcs/3790

ISSN: 1927-5307

REPRESENTATIONS BY CERTAIN OCTONARY QUADRATIC FORMS WITH

COEFFICIENTS 1, 5, OR 25

BARIS¸ KENDIRLI

Department of Mathematics, Istanbul Aydın University, 34307 Turkey

Copyright c2018 Barıs¸ Kendirli. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract. It is an important objective to determine the number of representations of a positive integer by certain quadratic forms in number theory. Formulae forN(12i_,22j_,32k_,62l_{;n)for the nine octonary quadratic forms appear}

in the literature, whose coefficients are 1,2,3 and 6. Moreover, the formulae forN(1i_,3j_,9k_{;n)for several octonary}

quadratic forms have been given by Alaca. Here, we determine formulae, forN(1i,5j,25k;n)for several octonary quadratic forms.

Keywords: Octonary quadratic forms; representations; theta functions; Dedekind eta function; Eisenstein series; modular forms; Dirichlet character.

2010 AMS Subject Classification:11E25, 11E20, 11F11, 11F20, 11F27.

1. Introduction

It is interesting and important to determine explicit formulas of the representation number of

positive definite quadratic forms.

E-mail address: [email protected] Received June 30, 2018

The work on representation number

card

{

(x

1

,

x

2

)

∈

Z

2

|

n

=

x

21

+

x

22

}

of quadratic form

x

2

+

y

2

has been started by Fermat in 1640. It would be nice to obtain such simple formulas for other

positive definite quadratic forms so that we would be able to understand the number of solutions

of the equation

Q

=

n

for any positive integer

n

.

Later the formula

card

{

(x

1

,

x

2

)

∈

Z

2

|

n

=

x

21

+

x

22

}

=

4

∑

d|n,dis odd

(

−

1

)

d−21

!

has been proved by Euler. First systematic treatment of binary quadratic forms is due to

Le-gendre. Afterwards it was advanced by Jacobi, with the proof of

card

{

(x

1

, ...,

x

4

)

∈

Z

4

|

n

=

x

21

+

···

+

x

24

}

=

8

∑

d|n,4|d

d

!

for

x

2

+

y

2

+

z

2

+

t

2

.

The theory was advanced much further by Gauss in Disquisitiones Arithmetica. The research

of Gauss strongly influenced both the arithmetical theory of quadratic forms in more than two

variables and subsequent development of algebraic number theory. Since then, there are many

more representation number formulas obtained for quadratic forms. Especially, by means of the

deep theorems of Hecke [7] and Schoeneberg [19], modular forms have been used in the

repre-sentation number of several quadratic forms. The generalized theta series ([9],[10], [11],[12]),

quasimodular forms ([13],[14],[15], [17]). and several other methods have been also used for

the representation number formulae. The formulae for

N(

1

i

,

3

j

,

9

k

;

n)

for several

octonary

qua-dratic forms have been given by Alaca [5]. Here, we determine formulae, for

N(

1

i

,

5

j

,

25

k

;

n)

for several octonary quadratic forms

.

2. Preliminaries

The divisor function

σ

i

(n)

is defined for a positive integer

i

by

(1)

σ

i

(n)

:

=







∑

dpositive integer,d|n

d

i

,

if

n

is a positive integer

0 if n is not a positive integer.

The Dedekind eta function and the theta function are defined by

(2)

η

(z)

:

=

q

1/24

∞

∏

n=1

(

1

−

q

n

)

,ϕ

(q)

:

=

_∑

n∈Z

where

(3)

q

:

=

e

2πiz

_,

_z

_∈

_H

₌

_{

_x

₊

_iy

_:

_y

_>

₀

_}

and an eta quotient of level

N

is defined by

(4)

f

(z)

:

=

_∏

m|N

η

(mz)

am

,

N

,

m

∈

N

,

a

m

∈

Z

.

Here we give the following Lemma, see[ [16] Theorem 1.64] about the modularity of an eta

quotient.

Lemma 1.

An eta quotient of level N is a holomorphic modular form of weight

1₂

∑

m|N

a

m

on

Γ

0

(N)

,

having rational coefficients with respect to q if

a)

_∑

m|N

a

_m

is even

,

b)

_∑

m|N

ma

_m

≡

_∑

m|N

N

m

a

m

≡

0

mod 24,

c)

_∏

m|N

m

am

_{is a square of a rational number}

d)

_∑

m|N

(

gcd

(c

,

m))

2

m

a

m

≥

0

for all positive divisors c of N.

For

a

₁

, ...,

a

₈

∈

_N

and a nonnegative integer

n

, we define

N

(a

1

, ...,

a

8

;

n)

:

=

card

{

(x

1

, ...,

x

8

)

∈

Z

8

|

n

=

a

1

x

21

+

···

+

a

8

x

28

}

.

Clearly

N(a

1

, ...,

a

8

; 0

) =

1 and, without loss of generality we can assume that

a

1

≤

...

≤

a

8

,

gcd

{

a

1

, . . . ,

a

8

}

=

1

Now let’s consider octonary quadratic forms of the form

Q

:

=

x

2₁

+

· · ·

+

x

2_a

+

5

(x

2_a+1

+

· · ·

+

x

2_a+b

) +

25

(x

_a+b+12

+

· · ·

+

x

2_a+b+c

)

,

We write

N(

1

a

,

5

b

,

25

c

;

n)

to denote the number of representations of

n

by an octonary

quadratic form

(a

,

b

,

c)

. Its theta function is obviously

Θ

Q

=

ϕ

a

(q)

ϕ

b

q

5

ϕ

c

q

25

.

Formulae for

N(

1

2i

,

2

2j

,

3

2k

,

6

2l

;

n)

for the nine octonary quadratic forms

(

2i

,

2

j

,

2k

,

2l

) = (

8

,

0

,

0

,

0

)

,

(

2

,

6

,

0

,

0

)

,

(

4

,

4

,

0

,

0

)

,

(

6

,

2

,

0

,

0

)

,

(

2

,

0

,

6

,

0

)

,

(

4

,

0

,

4

,

0

)

,

(

6

,

0

,

2

,

0

)

,

(

4

,

0

,

0

,

4

)

,

and

(

0

,

4

,

4

,

0

)

appear in the literature, [1],[2],[3],[4],[8]. Moreover, the formulae for

N(

1

i

,

3

j

,

9

k

;

n)

for twenty

octonary

quadratic forms have been given by Alaca [5]. Here, we determine

for-mulae, for

N(

1

a

,

5

b

,

25

c

;

n)

for twenty octonary quadratic forms

.

Of course, the formula for

N(

1

8

,

5

0

,

25

0

;

n)

is well-known.

Here, we will classify all triples

(a

,

b

,

c)

for which

Θ

Q

is a modular form of weight 4 with

level 100. Then we will obtain their representation numbers in terms of the coefficients of

Eisenstein series and some eta quotients.

Table

1

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

a

b

c

1

0

7

1

6

1

2

4

2

3

2

3

4

2

2

5

2

1

7

0

1

1

2

5

2

0

6

2

6

0

3

4

1

4

4

0

6

0

2

8

0

0

1

4

3

2

2

4

3

0

5

4

0

4

5

0

3

6

2

0

We characterize the fact that

ϕ

a

(q)

ϕ

b

q

5

ϕ

c

q

25

are in

M

₄

(

Γ

0

(

100

))

.

Theorem 2.

Let

where, a

,

b

,

c

∈

_Z

,

0

≤

a

≤

8

,

0

≤

b

≤

8

,

0

≤

c

≤

8

and a

+

b

+

c

=

8

,

be an octonary quadratic

form. Then its theta series is of the form

Θ

Q

=

ϕ

a

(

q

)

ϕ

b

q

5

ϕ

c

q

25

=

η

−2a

(

q

)

η

5a

q

2

η

−2a

q

4

η

−2b

q

5

η

5b

q

10

η

−2b

q

20

η

−2c

q

25

η

5c

q

50

η

−2c

q

100

Moreover, it is in M

₄

(

Γ

0

(

100

))

if and only if b

≡

0 mod 2

, i.e.,(a

,

b

,

c)

is given in the Table

1

.

Proof.

It follows from the Lemma 1, holomorphicity criterion in [[18] Corollary 2.3,p.37] and

the fact that

ϕ

(q) =

η

5

q

2

η

2

(q)

η

2

(q

4

)

.

The condition

1

−2a

2

5a

4

−2a

5

−2b

10

5b

20

−2b

25

−2c

50

5c

100

−2c

=

2

5a−4a+5b−4b+5c−4c

5

−2b+5b−2b−4c+10c−4c

=

2

a+b+c

5

2c

5

b

implies that

b

≡

0 mod 2 if and only if

Θ

Q

is in

M

4

(

Γ

0

(

100

))

.

Now, consider an eta quotient of

the form

F

=

η

a1

(q)

η

a2

(

2

q)

η

a3

(

4

q)

η

a4

(

5

q)

η

a5

(

10

q)

η

a6

(

20

q)

η

a7

(

25

q)

η

a8

(

50

q)

η

a9

(

100

q)

.

Since

1

a1

₂

a2

₄

a3

₅

a4

₁₀

a5

₂₀

a6

₂₅

a7

₅₀

a8

₁₀₀

a9

₌

₂

a2+2a3+a5+2a6+a8+2a9

₅

a4+a5+a6+2a7+2a8+2a9

_,

F

is in

M

4

(

Γ

0

(

100

))

if and only if

a

2

+

a

5

+

a

8

≡

0 mod 2,

a

4

+

a

5

+

a

6

≡

0 mod 2.

Now let

ψ

be the Dirichlet character mod 5 sending 2 to

i

,

φ

be another Dirichlet character

mod 5 and

E

₄

(q) =

1

+

240

∞

∑

n=1

σ

3

(n)

q

n

,

E

_kψ,φ

(z) =

+∞

∑

n=1

σ

ψ_k−,φ₁

(n)e

2πinz

,

σ

ψ_k−,φ₁

(n) =

_∑

d|n

ψ

n

d

Moreover, let

A1(q) : =

η(2z)9η(5z)6η(50z)η(100z) η(z)5η(4z)η(10z)2η(25z)

,A2(q):=

η(2z)9η(5z)6η(50z) η(z)5η(10z)2η(25z) ,

A3(q) : =

η(2z)9η(4z)η(5z)3η(50z)4 η(z)5η(10z)η(25z)2η(100z)

,A4(q):=

η(2z)10η(5z)8η(20z)3η(50z)7 η(z)5η(4z)4η(10z)5η(25z)3η(100z)3

,

A5(q) : =

η(2z)10η(5z)6η(20z)4η(50z)2

η(z)5η(4z)3η(10z)4η(25z)η(100z),A6(q) =

η(2z)10η(5z)6η(20z)η(50z)5 η(z)5η(4z)3η(10z)3η(25z)η(100z)2,

A7(q) : =

η(2z)10η(5z)4η(20z)2

η(z)5η(4z)2η(10z)2η(25z),A8(q) =

η(2z)10η(5z)6η(100z)2 η(z)5η(4z)2η(10z)2η(25z),

A9(q) : =

η(2z)10η(5z)η(10z)3η(100z)

η(z)5η(4z)η(50z) ,A10(q):=

η(2z)10η(5z)2η(25z)3η(100z) η(z)5η(4z)η(50z)2 ,

A11(q) : =

η(2z)7η(5z)9η(20z)4η(50z)2 η(z)4η(4z)3η(10z)5η(25z)η(100z)

,A12(q):=

η(2z)6η(5z)9η(50z)η(100z) η(z)4η(4z)η(10z)3η(25z)

,

A13(q) : =

η(2z)6η(5z)9η(50z) η(z)4η(10z)3η(25z)

,A14(q):=

η(2z)6η(5z)6η(50z)4 η(z)4η(4z)η(10z)2η(25z)2η(100z)

,

A15(q) : =

η(2z)7η(5z)6η(10z)η(50z)4

η(z)4η(4z)2η(20z)η(25z)2η(100z),A16(q):=

η(2z)7η(5z)7η(20z)2η(25z) η(z)4η(4z)2η(10z)3 ,

A17(q) : =

η(2z)7η(5z)6η(50z)3η(100z) η(z)4η(4z)η(10z)2η(25z)2

,A18(q):=

η(2z)7η(5z)4η(100z) η(z)4η(4z)η(10z)2η(50z)

,

A19(q) : =

η(2z)7η(10z)5η(25z) η(z)4η(4z)2η(5z)η(20z)2

,A20(q):=

η(2z)7η(5z)6η(50z)3 η(z)4η(10z)2η(25z)2 ,

A21(q) : =

η(2z)7η(5z)η(10z)3η(50z)2

η(z)4η(4z)η(25z)η(100z) ,A22(q):=

η(2z)7η(5z)2η(25z)2η(50z) η(z)4η(4z)η(100z) ,

A23(q) : =

η(2z)8η(5z)6η(50z)2η(100z)3 η(z)4η(4z)3η(10z)2η(25z)2

,A24(q):=

η(2z)8η(5z)η(10z)6η(50z)2 η(z)4η(4z)2η(20z)η(25z)η(100z)

,

A25(q) : =

η(4z)2η(5z)9η(10z)η(50z)3

η(z)2η(20z)2η(25z)3 ,A26(q):=

η(4z)4η(5z)7η(20z)η(50z)2 η(z)2η(10z)2η(25z)η(100z),

A27(q) : =

η(2z)2η(4z)2η(5z)9η(10z)η(50z)

η(z)3η(20z)2η(25z)2 ,A28(q):=

η(2z)3η(5z)9η(10z)η(100z)2 η(z)3η(20z)2η(25z)2 ,

A29(q) : =

η(2z)3η(4z)η(5z)9η(50z)4 η(z)3η(10z)3η(25z)2η(100z)

,A30(q):=

η(4z)5η(5z)5η(25z) η(z)2η(20z)

,

A31(q) : =

η(2z)3η(4z)5η(5z)2η(10z)η(25z)

η(z)3η(20z) ,A32(q):=

η(2z)5η(10z)7η(20z)2η(100z) η(z)η(4z)3η(5z)3 ,

A33(q) : =

η(2z)5η(10z)η(20z)6η(50z)6

η(z)η(4z)3η(5z)η(25z)2η(100z)3,A34(q):=

η(2z)6η(10z)5η(25z)2η(50z) η(4z)2η(5z)2η(20z)η(100z),

A35(q) : =

η(2z)8η(5z)2η(20z)η(50z)5 η(4z)4η(10z)η(25z)2η(100z)

,

A36(q) : =

η(5z)3η(10z)10η(20z)9η(25z)3η(50z)8η(100z)5 η(z)10η(2z)10η(4z)10

be some eta quotients of level 100 with weight 4.

Table

2

Θ

Q

=

54

∑

i=1

α

i

f

i

(z)

,

f

i

basis elements in Corollary 4

Θ

_(a,b,c)

E

4

E

4

(

2

z)

E

4

(

4

z)

E

4

(

5

z)

E

4

(

10

z)

E

4

(

20

z)

E

4

(

25

z)

E

4

(

50

z)

E

4

(

100

z)

(

1 3 4

)

_{1170 000}1

−

1 585 000

1

73 125

−

7 65 000

7

32 500

−

14 8125 125 1872

−

125 936 125 117

(

1 2 5

)

_{234 000}1

−

_{117 000}1 _{14 625}1

−

₉₀₀₀1 ₄₅₀₀1

−

₁₁₂₅2 ₁₈₇₂125

−

125₉₃₆ 125₁₁₇

(

1 4 3

)

_{46 800}1

−

1 23 400 1 2925

−

1 7800 1 3900

−

2 975 125 1872

−

125 936 125 117

(

1 6 1

)

₉₃₆₀1

−

₄₆₈₀1 ₅₈₅1

−

₄₆₈₀1 ₂₃₄₀1

−

₅₈₅2 ₁₈₇₂125

−

125₉₃₆ 125₁₁₇

(

2 0 6

)

_{292 500}1

−

_{146 250}1 _{73 125}4 _{73 125}31

−

_{73 125}62 _{73 125}496 ₄₆₈31

−

₂₃₄31 124₁₁₇

(

2 2 4

)

_{58 500}1

−

_{29 250}1 _{14 625}4 _{58 500}149

−

_{29 250}149 _{14 625}596 ₇₈5

−

₃₉5 40₃₉

(

2 4 2

)

_{11 700}1

−

₅₈₅₀1 ₂₉₂₅4 ₅₈₅₀77

−

₂₉₂₅77 ₂₉₂₅616 ₄₆₈25

−

₂₃₄25 100₁₁₇

(

2 6 0

)

₂₃₄₀1

−

₁₁₇₀1 ₅₈₅4 ₄₆₈31

−

₂₃₄31 124₁₁₇

0

0

0

(

3 0 5

)

_{46 800}1

−

_{23 400}1 ₂₉₂₅1

−

₇₈₀₀1 ₃₉₀₀1

−

₉₇₅2 ₁₈₇₂125

−

125₉₃₆ 125₁₁₇

(

3 2 3

)

₉₃₆₀1

−

₄₆₈₀1 ₅₈₅1

−

₄₆₈₀1 ₂₃₄₀1

−

₅₈₅2 ₁₈₇₂125

−

125₉₃₆ 125₁₁₇

(

3 4 1

)

₁₈₇₂1

−

₉₃₆1 ₁₁₇1

−

₁₅₆₀1 ₇₈₀1

−

₁₉₅2 ₁₈₇₂125

−

125₉₃₆ 125₁₁₇

(

4 0 4

)

₉₇₅₀1

−

₄₈₇₅1 ₄₈₇₅8 ₁₆₂₅4

−

₁₆₂₅8 ₁₆₂₅64 ₇₈5

−

₃₉5 40₃₉

(

4 2 2

)

₁₉₅₀1

−

₉₇₅1 ₉₇₅8 _{11 700}149

−

₅₈₅₀149 ₂₉₂₅596 ₄₆₈25

−

₂₃₄25 100₁₁₇

(

4 4 0

)

₃₉₀1

−

1 195 8 195 5 78

−

5 39 40

39

0

0

0

(

5 0 3

)

₁₈₇₂1

−

₉₃₆1 ₁₁₇1

−

₁₅₆₀1 ₇₈₀1

−

₁₉₅2 ₁₈₇₂125

−

125₉₃₆ 125₁₁₇

(

5 2 1

)

₁₈₇₂5

−

5 936 5 117

−

1 360 1 180

−

2 45 125 1872

−

125 936 125 117

(

6 0 2

)

_{11 700}31

−

₅₈₅₀31 ₂₉₂₅124 ₂₉₂₅31

−

₂₉₂₅62 ₂₉₂₅496 ₄₆₈25

−

₂₃₄25 100₁₁₇

(

6 2 0

)

₂₃₄₀31

−

31 1170 124 585 25 468

−

25 234 100

117

0

0

0

(

7 0 1

)

₁₈₇₂25

−

₉₃₆25 ₁₁₇25

−

₅₂₀7 ₂₆₀7

−

14_{65 1872}125

−

125₉₃₆ 125₁₁₇

(

8 0 0

)

₁₅1

−

2 15

16

Θ

_(a,b,c)

E

ψ 2_,

ψ2

4

E

ψ2,ψ2

4

(

2

z)

E

ψ2,ψ2

4

(

4

z)

A

1

A

2

A

3

A

4

(

1 3 4

)

₄₈₇₅1 ₄₈₇₅2 ₄₈₇₅16 147 902_{901 875} 1413 414 629_{9018 750 60 125}5963 217 240 406_{4509 375}

(

1 2 5

)

₉₇₅1 ₉₇₅2 ₉₇₅16 _{60 125}4354 321 024 749_{1803 750}

−

36 299₇₂₁₅ 57 770 486_{901 875}

(

1 4 3

)

₁₉₅1 ₁₉₅2 ₁₉₅16 68 462_{36 075} 121 500 149_{360 750}

−

3353 185

20 894 486 180 375

(

1 6 1

)

₃₉1 ₃₉2 16₃₉ 4138₄₈₁ 2571 269₂₈₈₆

−

65 959₁₄₄₃ 1902 142₇₂₁₅

(

2 0 6

)

0

0

0

−

520 868_{901 875} 302 646 277_{4509 375} 475 714_{180 375} 130 316 396_{4509 375}

(

2 2 4

)

0

0

0

−

317 188_{180 375} 26 989 657_{901 875}

−

58 898_{12 025} 41 586 236_{901 875}

(

2 4 2

)

0

0

0

−

54 308_{36 075} 20 863 237_{180 375}

−

261 374₇₂₁₅ 21 143 276_{180 375}

(

2 6 0

)

0

0

0

−

1844₁₄₄₃ 1092 821₇₂₁₅

−

75 506₄₈₁ 2598 988₇₂₁₅

(

3 0 5

)

₉₇₅1 ₉₇₅2 ₉₇₅16

−

205 198_{180 375}

−

1207 517_{138 750}

−

37 669_{36 075} 22 558 306_{901 875}

(

3 2 3

)

₁₉₅1 ₁₉₅2 ₁₉₅16 49 882_{36 075} 59 331 439_{360 750}

−

45 567₂₄₀₅ 16 982 146_{180 375}

(

3 4 1

)

₃₉1 ₃₉2 16₃₉ 18 682₁₄₄₃ 13 053 611_{14 430}

−

109 333₁₄₄₃ 2222 906₇₂₁₅

(

4 0 4

)

0

0

0

−

371 216_{60 125}

−

114 012 876_{300 625 12 025}4168

−

40 592₅₅₅

−

3517 648_{300 625}

(

4 2 2

)

0

0

0

−

89 488_{36 075} 4973 944_{60 125}

−

40 592₅₅₅ 11 166 912_{60 125}

(

4 4 0

)

0

0

0

2864₄₈₁

−

1109 676₂₄₀₅

−

101 464₄₈₁ 871 472₂₄₀₅

(

5 0 3

)

₁₉₅1 ₁₉₅2 ₁₉₅16

−

100 738_{36 075}

−

162 594 451_{360 750} 23 427₂₄₀₅

−

4484 314_{180 375}

(

5 2 1

)

₃₉1 ₃₉2 16₃₉ 6170₄₈₁ 14 411 377_{14 430}

−

199 375 1443

617 270 1443

(

6 0 2

)

0

0

0

132 412_{36 075} 98 698 957_{180 375}

−

844 526₇₂₁₅ 54 252 236_{180 375}

(

6 2 0

)

0

0

0

50 476₁₄₄₃

−

4977 859

7215

−

57 730 481

255 148 7215

(

7 0 1

)

₃₉1 ₃₉2 16₃₉ 6106₁₄₄₃ 53 760 059_{14 430}

−

782 341₁₄₄₃ 10 716 698₇₂₁₅

Θ

_(a,b,c)

A

5

A

6

A

7

A

8

A

9

A

10

A

11

(

1 3 4

)

−

26 572 553 6012 500

−

17 071 921 360 750

375 513 917 3607 500

−

37 134 731 4509 375

−

808 546 769 9018 750

28 530 022 1503 125

−

5342 13 875

(

1 2 5

)

−

1383 383_{277 500}

−

3145 681_{72 150} 84 507 877_{721 500}

−

5409 037_{300 625}

−

175 193 689_{1803 750} 3248 546_{901 875} 335 758_{12 025}

(

1 4 3

)

−

2173 193 240 500

−

903 313 14 430

29 889 677

144 300

−

4355 411 180 375

−

55 470 689 360 750

−

3180 218 60 125

900 634 7215

(

1 6 1

)

−

662 383_{28 860}

−

497 521₂₈₈₆ 3087 089₅₇₇₂

−

33 729₂₄₀₅

−

5428 373_{14 430}

−

1159 718₇₂₁₅ 159 150₄₈₁

(

2 0 6

)

−

21 563 947_{9018 750}

−

2180 011_{60 125} 8214 097_{138 750}

−

57 867 046_{4509 375}

−

285 267 377_{4509 375} 5467 004_{115 625}

−

2923 972_{60 125}

(

2 2 4

)

−

4970 327_{1803 750}

−

143 463_{12 025} 1101 077_{27 750}

−

36 535 886_{901 875}

−

16 602 519_{300 625} 28 435 796_{901 875}

−

775 036_{36 075}

(

2 4 2

)

−

2000 107_{360 750} 54 037₂₄₀₅ 463 057₅₅₅₀

−

15 485 926_{180 375}

−

12 009 137_{180 375}

−

5099 188_{60 125} 392 508₂₄₀₅

(

2 6 0

)

−

177 691_{14 430} 100 713₄₈₁ 26 401₂₂₂

−

2145 238₇₂₁₅

−

121 307₂₄₀₅

−

3351 932₇₂₁₅ 1072 580₁₄₄₃

(

3 0 5

)

−

1234 603_{1202 500}

−

1564 531_{72 150} 18 817 967_{721 500}

−

24 064 181_{901 875}

−

71 297 419_{1803 750} 60 460 966_{901 875}

−

2728 066_{36 075}

(

3 2 3

)

−

3683 569_{721 500}

−

112 535₂₈₈₆ 5969 149_{48 100}

−

8189 521_{180 375}

−

36 806 579_{360 750}

−

1898 794_{180 375} 124 218₂₄₀₅

(

3 4 1

)

−

183 983₉₆₂₀

−

443 923₂₈₈₆ 3202 867₅₇₇₂

−

408 121₇₂₁₅

−

391 643₁₁₁₀

−

126 778₅₅₅ 635 870₁₄₄₃

(

4 0 4

)

444 218_{300 625} 909 404_{12 025}

−

781 518₄₆₂₅

−

28 776 152_{300 625} 17 531 676_{300 625} 47 750 672_{300 625}

−

2530 352_{12 025}

(

4 2 2

)

−

1127 476_{180 375} 165 704₂₄₀₅ 215 476₂₇₇₅

−

26 893 136_{180 375}

−

7181 432_{180 375}

−

31 171 904_{180 375} 2173 984₇₂₁₅

(

4 4 0

)

1098₂₄₀₅ 170 988₄₈₁

−

5118₃₇

−

1005 272₂₄₀₅ 354 876₂₄₀₅

−

889 328₂₄₀₅ 282 000₄₈₁

(

5 0 3

)

−

647 393_{240 500} 1411 799_{14 430}

−

29 507 323_{144 300}

−

19 827 611_{180 375} 16 658 311_{360 750} 13 584 982_{60 125}

−

2209 526₇₂₁₅

(

5 2 1

)

−

10 007

444

−

254 089 2886 3565 385 5772

−

75 013 481

−

1009 513 2886

−

572 350 1443 345 470 481

(

6 0 2

)

−

7325 827_{360 750} 157 629₂₄₀₅ 1779 577₅₅₅₀

−

22 008 886_{180 375}

−

25 820 057_{180 375}

−

24 864 468_{60 125} 1587 228₂₄₀₅

(

6 2 0

)

146 189_{14 430} 124 849₄₈₁

−

58 199

222

−

1316 998 7215 629 453 2405 234 148 7215

−

85 660 1443

(

7 0 1

)

−

594 559₉₆₂₀

−

511 267₂₈₈₆ 12 494 851₅₇₇₂

−

2742 313₇₂₁₅

−

13 723 247_{14 430}

−

15 429 202₇₂₁₅ 4943 870₁₄₄₃

Θ

_(a,b,c)

A

12

A

13

A

14

A

15

A

16

A

17

(

1 3 4

)

−

563 549 807 18 037 500

−

1240 426 503 6012 500

−

148 859 039 6012 500

132 762 329 9018 750

9151 007

360 750

−

428 046 227 3607 500

(

1 2 5

)

−

11 786 459_{277 500}

−

286 859 943_{1202 500}

−

96 841 477_{3607 500} 23 811 649_{1803 750} 786 389_{24 050}

−

32 481 929_{240 500}

(

1 4 3

)

−

60 289 967 721 500

−

106 653 543

240 500

−

10 092 559 240 500

554 573 27 750

189 427

2886

−

36 942 947 144 300

(

1 6 1

)

−

5947 219_{28 860}

−

10 855 771₉₆₂₀

−

2616 977_{28 860} 647 261_{14 430} 154 101₉₆₂

−

1274 853₁₉₂₄

(

2 0 6

)

−

116 277 631_{9018 750}

−

895 168 997_{9018 750}

−

47 137 247_{3006 250} 57 728 537_{4509 375} 394 117_{60 125}

−

95 846 771_{1803 750}

(

2 2 4

)

−

36 497 371_{1803 750}

−

112 452 377_{1803 750}

−

14 304 881_{1803 750}

−

1738 161_{300 625} 373 691_{36 075}

−

632 347_{27 750}

(

2 4 2

)

−

26 669 311_{360 750}

−

69 373 157_{360 750}

−

896 607_{120 250}

−

4228 903_{180 375} 106 117₂₄₀₅

−

6027 251_{72 150}

(

2 6 0

)

−

3604 943_{14 430}

−

5168 341_{14 430} 378 227_{14 430}

−

291 853₂₄₀₅ 189 035₁₄₄₃

−

337 283₂₈₈₆

(

3 0 5

)

−

11 793 757_{3607 500}

−

52 417 759_{3607 500}

−

23 219 567_{3607 500} 11 946 979_{1803 750}

−

703 811_{72 150} 1584 463_{721 500}

(

3 2 3

)

−

36 496 237_{721 500}

−

13 159 963_{55 500}

−

14 357 047_{721 500} 330 539_{360 750} 145 023₄₈₁₀

−

17 429 017_{144 300}

(

3 4 1

)

−

526 109₂₂₂₀

−

33 100 019_{28 860}

−

428 951₅₇₇₂ 271 127_{14 430} 449 437₂₈₈₆

−

3632 077₅₇₇₂

(

4 0 4

)

12 568 914_{300 625} 128 522 918_{300 625} 12 782 454_{300 625}

−

16 764 156_{300 625}

−

719 588_{12 025} 16 996 074_{60 125}

(

4 2 2

)

−

6211 916_{60 125}

−

864 484₄₆₂₅ 1766 572_{180 375}

−

10 762 408_{180 375} 322 456₇₂₁₅

−

1831 868_{36 075}

(

4 4 0

)

−

489 246₂₄₀₅ 776 598₂₄₀₅ 274 214₂₄₀₅

−

503 196₂₄₀₅ 17 580₄₈₁ 150 074₄₈₁

(

5 0 3

)

33 901 033_{721 500} 127 222 257_{240 500} 1115 757_{18 500}

−

32 303 551_{360 750}

−

1022 809_{14 430} 50 155 093_{144 300}

(

5 2 1

)

−

1942 559

5772

−

2437 703

1924

−

1014 953

28 860

−

72 919 1110 163 053 962

−

91 153 148

(

6 0 2

)

−

90 810 871_{360 750}

−

271 660 877_{360 750}

−

1126 327_{120 250}

−

10 870 783_{180 375} 253 037₂₄₀₅

−

27 108 011_{72 150}

(

6 2 0

)

−

584 903 14 430

10 487 939 14 430

1842 827

14 430

−

234 613 2405

−

150 205 1443 1379 557 2886

(

7 0 1

)

−

37 488 041_{28 860}

−

136 553 987_{28 860}

−

4329 859_{28 860}

−

414 725₂₈₈₆ 1790 221₂₈₈₆

−

13 784 125₅₇₇₂

Θ

_(a,b,c)

A

18

A

19

A

20

A

21

A

22

A

23

A

24

(

1 3 4

)

21 519 683_{1803 750}

−

83 402 908 4509 375

134 876 901 875

163 867 138 750

49 384 056 1503 125

−

37 584 1503 125

−

125 991 115 625

(

1 2 5

)

6177 523_{360 750}

−

28 518 748_{901 875} 96 372_{60 125}

−

1252 049_{360 750} 35 207 608_{901 875 901 875}22 088

−

275 323_{300 625}

(

1 4 3

)

3494 723_{72 150}

−

12 841 948 180 375

62 876 36 075

−

1175 969 72 150

4640 536

60 125

−

11 104 60 125

87 877 60 125

(

1 6 1

)

32 627₂₂₂

−

1205 996₇₂₁₅

−

204₃₇

−

109 597₂₈₈₆ 113 432₅₅₅

−

5384₇₂₁₅ 16 129₂₄₀₅

(

2 0 6

)

635 539_{901 875} 1240 024_{1503 125} 1322 936_{901 875} 7991 983_{901 875} 60 019 088_{4509 375 1503 125}197 056

−

1798 678_{1503 125}

(

2 2 4

)

3169 199_{180 375}

−

3536 616_{300 625} 305 192_{60 125} 1158 283_{180 375} 2543 536_{300 625} 387 488_{901 875}

−

331 598_{300 625}

(

2 4 2

)

2543 059_{36 075}

−

4879 656_{60 125} 389 816_{36 075}

−

724 817_{36 075} 6627 728_{180 375} 41 536_{60 125} 114 282_{60 125}

(

2 6 0

)

31 519₁₁₁

−

691 528₂₄₀₅ 19 976₄₈₁

−

130 369₁₄₄₃ 213 488₂₄₀₅ 15 904₇₂₁₅ 32 746₂₄₀₅

(

3 0 5

)

−

3454 567_{360 750} 6498 092_{901 875} 258 652_{60 125} 1547 887_{120 250}

−

1207 832_{901 875} 23 896_{69 375}

−

338 833_{300 625}

(

3 2 3

)

924 451_{24 050}

−

7639 828_{180 375} 150 356_{36 075}

−

4421₁₈₅₀ 2440 296_{60 125 180 375}55 568 57 647_{60 125}

(

3 4 1

)

38 041₂₂₂

−

1540 868₇₂₁₅

−

3476₄₈₁

−

51 165₉₆₂ 1529 768₇₂₁₅ 2408₇₂₁₅ 11 747₂₄₀₅

(

4 0 4

)

−

670 932_{60 125} 13 845 664_{300 625} 920 032_{60 125} 2373 276_{60 125}

−

23 134 144_{300 625} 415 616_{300 625}

−

600 008_{300 625}

(

4 2 2

)

4390 424_{36 075}

−

8022 816_{60 125} 54 752₂₇₇₅

−

439 464_{12 025} 7332 608_{180 375} 222 688_{180 375} 27 504₄₆₂₅

(

4 4 0

)

7036₃₇

−

544 736₂₄₀₅ 29 792₄₈₁

−

31 236₄₈₁

−

53 184₂₄₀₅ 6016₂₄₀₅ 7352₂₄₀₅

(

5 0 3

)

1677 323_{72 150} 13 406 852_{180 375} 36 332₂₇₇₅ 4931 911_{72 150}

−

5559 464_{60 125} 89 696_{60 125} 89 277_{60 125}

(

5 2 1

)

70 715₂₂₂

−

476 188

1443

−

1980 481

−

235 861 2886 355 864 1443 3032 1443 4613 481

(

6 0 2

)

10 544 299_{36 075}

−

14 851 816_{60 125} 371 576_{36 075}

−

2665 817_{36 075} 27 486 608_{180 375 60 125}8896 1447 802_{60 125}

(

6 2 0

)

−

10 601 111 89 592 2405 8776 481 36 791 1443

−

247 952 2405

−

18 656 7215

−

5894 2405

(

7 0 1

)

272 713₂₂₂

−

9421 124₇₂₁₅

−

2196₄₈₁

−

456 397₉₆₂ 6674 984₇₂₁₅ 32 744₇₂₁₅ 116 211₂₄₀₅

Θ

_(a,b,c)

A

25

A

26

A

27

A

28

A

29

A

30

A

31

A

32

(

1 3 4

)

−

1984 4875

7936 8125

160 256 24 375

−

20 992 1625

−

81 664 4875

−

5632 8125

20 093 132 4509 375

3142 283 346 875

(

1 2 5

)

−

128₃₂₅ 1536₁₆₂₅ 33 856₄₈₇₅

−

13 376₉₇₅

−

5888₃₂₅

−

4096₄₈₇₅ 5340 892_{901 875} 3840 533_{300 625}

(

1 4 3

)

−

64 195

256 325

8576

975

−

1152

65

−

4864

195

−

512 325

1861 292 180 375

4522 799 180 375

(

1 6 1

)

0

0

704₃₉

−

1472₃₉

−

768₁₃

−

1024₁₉₅ 13 628₅₅₅ 146 801₂₄₀₅

(

2 0 6

)

−

1984₄₈₇₅ 7936₈₁₂₅ 156 736_{24 375}

−

61 504₄₈₇₅

−

15 872₉₇₅

−

15 872_{24 375} 2508 104_{1503 125} 18 227 614_{4509 375}

(

2 2 4

)

−

128₃₂₅ 1536₁₆₂₅ 10 112₁₆₂₅

−

3968₃₂₅

−

1024₆₅

−

1024₁₆₂₅ 2228 792_{901 875} 474 398_{69 375}

(

2 4 2

)

−

₁₉₅64 256₃₂₅ 5056₉₇₅

−

1984₁₉₅

−

512₃₉

−

512₉₇₅ 38 248₄₆₂₅ 4333 534_{180 375}

(

2 6 0

)

−

₁₉₅64

0

0

0

0

0

152 536₇₂₁₅ 664 942₇₂₁₅

(

3 0 5

)

−

128₃₂₅ 1536₁₆₂₅ 33 856₄₈₇₅

−

13 376₉₇₅

−

5888₃₂₅

−

4096₄₈₇₅ 534 844_{300 625} 1971 629_{901 875}

(

3 2 3

)

256₃₂₅ 256₃₂₅ 8576₉₇₅

−

1152₆₅

−

4864₁₉₅

−

512₃₂₅ 101 524_{13 875} 2860 189_{180 375}

(

3 4 1

)

0

0

704₃₉

−

1472₃₉

−

768₁₃

−

1024₁₉₅ 76 204₂₄₀₅ 502 249₇₂₁₅

(

4 0 4

)

−

128₃₂₅ 1536₁₆₂₅ 10 112₁₆₂₅

−

3968₃₂₅

−

1024₆₅

−

1024₁₆₂₅

−

49 312_{23 125}

−

2956 232_{300 625}

(

4 2 2

)

−

₁₉₅64 256₃₂₅ 5056₉₇₅

−

1984₁₉₅

−

512₃₉

−

512₉₇₅ 2593 792_{180 375} 5515 424_{180 375}

(

4 4 0

)

0

0

0

0

0

0

63 584₂₄₀₅ 222 648₂₄₀₅

(

5 0 3

)

−

₁₉₅64 256₃₂₅ 8576₉₇₅

−

1152₆₅

−

4864₁₉₅

−

512₃₂₅

−

579 508_{180 375}

−

2826 601_{180 375}

(

5 2 1

)

0

0

704₃₉

−

1472

39

−

768

13

−

1024 195

65 596 1443

36 533 481

(

6 0 2

)

−

₁₉₅64 256₃₂₅ 5056₉₇₅

−

1984₁₉₅

−

512₃₉

−

512₉₇₅ 1552 264_{60 125} 8956 174_{180 375}

(

6 2 0

)

0

0

0

0

0

0

101 656₇₂₁₅ 333 982₇₂₁₅

(

7 0 1

)

0

0

704₃₉

−

1472₃₉

−

768₁₃

−

1024₁₉₅ 328 812₂₄₀₅ 1763 737₇₂₁₅

Θ

_(a,b,c)

A

33

A

34

A

35

A

36

(

1 3 4

)

−

13 569 693 1503 125

−

51 167 1202 500

637 753 120 250

0

(

1 2 5

)

−

11 380 999_{901 875 721 500}6419 165 033_{24 050}

0

(

1 4 3

)

−

1460 733 60 125

−

927 48 100

63 833

4810

0

(

1 6 1

)

−

412 283_{7215 5772}823 31 945₉₆₂

0

(

2 0 6

)

−

16 821 614_{4509 375 138 750}24 959 389 147_{180 375}

0

(

2 2 4

)

−

1587 058_{300 625 120 250}82 549 105 167_{36 075}

0

(

2 4 2

)

−

2927 534_{180 375} 119 027_{72 150} 74 267₇₂₁₅

0

(

2 6 0

)

−

127 914₂₄₀₅ 2497₉₆₂ 49 055₁₄₄₃

0

(

3 0 5

)

−

1579 429_{901 875} 185 849_{721 500 72 150}1969

0

(

3 2 3

)

−

822 663_{60 125} 25 603_{48 100} 97 729_{14 430}

0

(

3 4 1

)

−

423 809₇₂₁₅ 11 749₅₇₇₂ 101 905₂₈₈₆

0

(

4 0 4

)

3844 232_{300 625} 79 702_{60 125}

−

99 636_{12 025}

0

(

4 2 2

)

−

2851 424_{180 375} 79 636_{36 075} 28 384₂₄₀₅

0

(

4 4 0

)

−

45 048₂₄₀₅ 1862₄₈₁ 10 620₄₈₁

0

(

5 0 3

)

1107 467_{60 125} 71 673_{48 100}

−

56 367₄₈₁₀

0

(

5 2 1

)

−

89 767 1443

24 415 5772

44 865

962

0

(

6 0 2

)

−

5774 174_{180 375} 116 747_{72 150} 176 627₇₂₁₅

0

(

6 2 0

)

100 806₂₄₀₅ 1097₉₆₂

−

4585 1443

0

(

7 0 1

)

−

1791 857₇₂₁₅ 35 797₅₇₇₂ 500 065₂₈₈₆

0

(

8 0 0

)

0

0

0

0

Table

3

A

i

=

36

∑

i=1

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅

A

₆

A

₇

A

₈

A

₉

A

₁₀

A

₁₁

∆

5,4 ₄₈1 ₂₄5 ₂₄₀41 ₁₀1 ₁₆1 ₁₅1 ₂₄1 1_{8 48}1

−

₂₄₀1 ₁₂₀1

∆

5,4

(

2

z)

11₃₀ 17₁₂ 151_{120 10}17 41₆₀ 23₃₀ 1₆ 13₁₂ 3₈ 11_{60 20}9

∆

5,4

(

4

z)

43₁₅

0

46₁₅ 104₁₅ 49₁₅ 8₃

0

8₃ 10₃ 5₃ 12₅

∆

5,4

(

5

z)

125₄₈ 325₂₄ 425₄₈ 25₂ 125₁₆ 25₃ 125₂₄ 25₈ 125₄₈ 95₄₈ 85₂₄

∆

5,4

(

10

z)

125₆ 1225₁₂ 1675₂₄ 125₂ 725₁₂ 395₆ 275₆ 125₁₂ 275₈ 455₁₂ 145₄

∆

5,4

(

20

z)

475₃

0

550₃ 200₃ 625₃ 520₃

200

−

200₃ 650₃ 625₃

140

∆

10,4

−

₁₄₄1 ₂₄1 ₇₂₀37

−

₄₅7

−

₁₄₄11

−

₄₅2 ₁₂1

−

₇₂1

−

₄₈1 ₇₂₀17

−

₃₆₀23

∆

10,4

(

2

z)

−

₁₈₀41

0

−

₄₅8 ₄₅8

−

₁₈₀13

−

1₉

−

1₃ 1₉

0

−

₃₆5

−

11₉₀

∆

10,4

(

5

z)

−

1075₁₄₄ 175₂₄

−

625₁₄₄ 25₉ 175₁₄₄ 20₉

−

25₁₂

−

175₇₂

−

125₁₆

−

785₁₄₄ 155₇₂

∆

10,4

(

10

z)

1625₃₆

0

500₉ 100₉ 925₃₆ 185₉

25

175₉ 100₃ 625₃₆ 395₁₈

∆

20,4

(z)

₃₆1

0

₃₆1 2_{9 72}1 ₃₆1

−

1_{8 36}5

0

−

₇₂5 ₇₂1

∆

20,4

(

5

z)

175₃₆

0

125₁₈ 125₉ 475₇₂ 175₃₆ 175₂₄

−

25₃₆ 125₁₂ 625₇₂ 475₇₂

∆

25,4,1

(z)

₄₂5

−

13_{42 28}1 ₂₁4 11_{42 105}16 1₆

−

1_{6 28}5 ₂₁₀23 1₆

∆

25,4,1

(

2

z)

−

11₂₁ 17₇ 1₄ 5₇

−

₂₁2 13₄₂

−

11₂₁ 37₄₂

−

13₁₂

−

197₂₁₀

−

₄₂1

∆

25,4,1

(

4

z)

8₃

0

24_{7 21}80 24₇ 8₃ 32₇

−

8₇ 136₂₁ 128₂₁ 40₂₁

∆

25,4,2

(z)

−

11₄₂ 1₆

−

11₄₂

0

−

₁₄3

−

₁₀₅16

−

1₆

−

₁₄1

−

₄₂5

−

₂₁₀1

−

₄₂5

∆

25,4,2

(

2

z)

₂₁4

−

8₃

−

59₄₂

−

4₇

−

19₂₁

−

251₂₁₀

−

11₂₁

−

23₄₂

−

₁₄1 ₄₂1

−

1₂

A

₁₂

A

₁₃

A

₁₄

A

₁₅

A

₁₆

A

₁₇

A

₁₈

A

₁₉

A

₂₀

A

₂₁

A

₂₂

∆

5,4

0

₁₂₀23 ₁₂₀19 ₁₅2 ₂₀1 ₄₀1 ₆₀1

−

₃₀1 ₁₂₀13 ₁₆3 ₁₂₀13

∆

5,4

(

2

z)

19₆₀ 16₁₅ 16₁₅ 14_{15 15}2 ₁₅4 13₃₀

−

₄₀7 49₆₀ 31₂₄ 13₂₀

∆

5,4

(

4

z)

12₅ 275₂₄ 43₁₅ 32₁₅

0

5₃

3

2₅

0

10₃ 5₃

∆

5,4

(

5

z)

5₂ 250₃ 175₂₄ 20₃ 15₄ 5₈ 25₁₂ 25₃ 25₂₄ 175₁₆ 265₂₄

∆

5,4

(

10

z)

235₁₂

0

175₃ 140₃ 110₃

−

5₃ 175₆ 525₈ 325₁₂ 1775₂₄ 265₄

∆

5,4

(

20

z)

1400 0

475₃ 320₃

160

25₃

175

250

0

650₃ 625₃

∆

10,4

−

₃₀7 ₁₂₀7 ₃₆₀23 ₄₅4 ₁₈₀11

−

₃₆₀11

−

₆₀1 ₇₂₀19 ₁₀1 ₄₈1 ₉₀1

∆

10,4

(

2

z)

−

35₆

0

−

₁₈₀41

−

₄₅11

−

2_{9 36}1

−

₁₂1

−

23₄₅

0

0

−

₃₆5

∆

10,4

(

5

z)

215₆ 125₂₄

−

275₇₂

−

40₉

−

65₃₆

−

145₇₂

−

25₄

−

775₁₄₄

0

−

25₄₈ 10₉

∆

10,4

(

10

z)

₂₄1

0

1625₃₆ 335₉ 190₉ 475₃₆ 325₁₂ 275₉

0

100₃ 625₃₆

∆

20,4

(z)

25₈

0

₃₆1 ₃₆1

−

1_{9 18}1

0

−

₁₄₄23

0

0

−

₇₂5

∆

20,4

(

5

z)

₁₄1

0

175₃₆ 175₃₆ 50₉ 25₁₈ 25₃ 1375₁₄₄

0

125₁₂ 625₇₂

∆

25,4,1

(z)

−

17₄₂

−

₂₁4 ₂₁1

0

1_{7 35}2 1₇ 1₆

−

₂₁5 19₈₄ 19₇₀

∆

25,4,1

(

2

z)

40₂₁ 40_{21 21}4 ₂₁5

−

17₄₂

−

1₇

−

13₁₄

−

₁₄1 5₇ 23_{84 210}37

∆

25,4,1

(

4

z)

−

₁₄3

0

8₃ 16₇ 24_{7 21}8 16₃ 40₇

0

136₂₁ 128₂₁

∆

25,4,2

(z)

₄₂5 ₂₁4

−

₂₁4

−

₂₁4

−

1₇

−

₃₅3

−

₂₁2

−

₆1 ₂₁2

−

2₇

−

₂₁₀43

∆

25,4,2

(

2

z)

−

40₇

−

44₂₁

−

23₂₁

−

₂₁19

−

17₄₂

−

₁₀₅4 ₄₂1

−

₁₄1

−

₂₁8

−

31₄₂

−

31₇₀

A

₂₃

A

₂₄

A

₂₅

A

₂₆

A

₂₇

A

₂₈

A

₂₉

A

₃₀

A

₃₁

A

₃₂

A

₃₃

∆

5,4 ₁₂₀1 1_{6 15}2 ₂₄₀41 1₃

−

1_{6 20}3

−

₂₄1

−

₂₄₀7

0

₂₄₀7

∆

5,4

(

2

z)

−

₁₅1 19₁₅ 5₆ 29₃₀ 19₆

−

29₃₀ 53₆₀

−

₁₂1

−

₂₄₀17 ₂₀1 ₁₀1

∆

5,4

(

4

z)

1₅ 44₁₅

−

32₁₅ 46₁₅ 16₃

−

32₁₅ 12₅

0

0

₁₅2 ₁₅7

∆

5,4

(

5

z)

13₂₄ 25₃ 25₆ 425₄₈ 175₆

−

10₃ 25₄ 175₂₄ 425₄₈

−

5₂

−

65₄₈

∆

5,4

(

10

z)

2₃ 175₃ 145₆ 175₃ 1175₆

−

125₆ 605₁₂ 625₁₂ 3175₄₈

−

45₄

−

10

∆

5,4

(

20

z)

17

500₃ 160₃ 550₃ 2000₃ 160₃

140

200

250

−

70₃

−

65₃

∆

10,4

−

₃₆₀11 ₂₄1

−

17_{90 60}1

−

₁₈1

−

2_{9 120}7 ₇₂1 ₁₆₀3

−

₇₂1

−

₇₂₀11

∆

10,4

(

2

z)

₁₈₀11

−

₁₀1 41₄₅

−

₂₀3 7₉ 71₄₅

−

₃₀7

−

₁₈5

−

₁₂5

−

₄₅1 ₁₈₀1

∆

10,4

(

5

z)

−

₇₂1

−

25₂₄

−

50₉

0

−

200₉

−

85₁₈

−

25₈

−

275₇₂

−

425₉₆ 95₇₂

−

145₁₄₄

∆

10,4

(

10

z)

37₃₆ 175₆ 355₉ 325₁₂ 1225₉ 205₉ 215₆ 475₁₈ 125₄

−

35₉ 95₃₆

∆

20,4

(z)

−

₉₀1

0

11_{36 48}1 ₃₆5 ₃₆5 ₂₄1

−

₃₆5

−

₃₂5

−

₃₆1

−

₇₂1

∆

20,4

(

5

z)

−

₁₈5 25₃ 125₃₆ 125₁₆ 875₃₆ 275₃₆ 25₈ 125₁₈ 875₉₆ 25₁₈

−

25₇₂

∆

25,4,1

(z)

₁₅1 ₂₁4

−

₂₁2 19_{84 21}1 ₂₁2 ₂₁1 ₁₆₈17 13₈₄

−

₅₆3

−

₁₆₈1

∆

25,4,1

(

2

z)

−

₁₀₅11 3₇ 5_{6 28}5 4₇

−

5₆ 1₆

−

₁₆₈25

−

17₈₄

−

₅₆1

−

₁₆₈23

∆

25,4,1

(

4

z)

₂₁8 16₃

−

8₇ 100₂₁ 256₂₁ 8₇ 40₂₁ 30₇ 40₇

−

₂₁8 ₂₁8

∆

25,4,2

(z)

−

₁₀₅2

−

₂₁5

−

10₂₁

−

13₈₄

−

25₂₁

−

10₂₁

−

1₇

−

₁₆₈17

−

13_{84 56}3

−

₂₄1

∆

25,4,2

(

2

z)

−

₁₀₅2

−

₂₁8 ₄₂1

−

₈₄59

−

20_{21 42}1

−

5₆

−

₁₆₈25

−

17₈₄

−

₅₆1 ₅₆3

A

₃₄

A

₃₅

A

₃₆

∆

5,4

−

₃₀1

−

1_{5 48}1

∆

5,4

(

2

z)

−

₁₀3

−

4₅ 11₃₀

∆

5,4

(

4

z)

−

₁₅4

−

8₅ 43₁₅

∆

5,4

(

5

z)

35₆

−

15

125₄₈

∆

5,4

(

10

z)

65₂

−

90

125₆

∆

5,4

(

20

z)

380₃

−

200

475₃

∆

10,4 ₁₈1

0

−

₁₄₄1

∆

10,4

(

2

z)

−

₄₅2

−

2₅

−

₁₈₀41

∆

10,4

(

5

z)

−

₁₈5 20₃

−

1075₁₄₄

∆

10,4

(

10

z)

110₉

0

1625₃₆

∆

20,4

(z)

₃₆1 50_{3 36}1

∆

20,4

(

5

z)

175₃₆ 25₃ 175₃₆

∆

25,4,1

(z)

−

₁₀₅4

−

₃₅8 ₄₂5

∆

25,4,1

(

2

z)

₁₀₅52

−

₃₅8

−

11₂₁

∆

25,4,1

(

4

z)

−

₁₀₅64

−

32₂₁ 8₃

∆

25,4,2

(z)

₂₁4 ₃₅8

−

11₄₂

∆

25,4,2

(

2

z)

₃₅8 8_{5 21}4

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅

A

₆

A

₇

A

₈

∆

25,4,3

(z)

23₄₈

−

23_{24 16}1

−

₃₀7 ₄₈5

−

₁₅1 ₂₄5

−

₂₄5

∆

25,4,3

(

2

z)

−

17₆ 13₄

−

13_{8 10}3

−

13₁₂

−

11₃₀

−

11_{6 12}7

∆

25,4,3

(

4

z)

25₃

0

0

104₁₅

9

104₁₅

8

0

∆

50,4,1

(z)

−

11₄₈ 1₂

−

₁₆1 1₃

−

₄₈1 ₁₅1

−

₂₄5 1₆

∆

50,4,1

(

2

z)

13₁₂

0

3₂ 4₃ 17₁₂ 19₁₅ 5₃

−

1₃

∆

50,4,2

(z)

−

₆₃8 1₃

−

₂₅₂11 2₉

−

₆₃4

−

₃₁₅1

−

1_{6 63}8

∆

50,4,2

(

2

z)

40₆₃

0

46₆₃ 92₆₃ 62₆₃ 236₃₁₅ 6₇

−

4₉

∆

50,4,3

(z)

−

₄₈1

−

1

−

₁₆9

−

1₃

−

19₄₈

−

₁₅7

−

₂₄5

−

1₆

∆

50,4,3

(

2

z)

−

23₁₂

0

−

₂5

−

2₃

−

23₁₂

−

23₁₅

−

5₃

−

1₃

∆

50,4,4

(z)

₂₁1 10_{21 252}89 16_{63 21}5 17₆₃ 1₆ 1₉

∆

50,4,4

(

2

z)

4₃

0

100₆₃

−

₆₃4 10₂₁ 4₉ 6₇ 32₆₃

∆

50,4,5

(z)

−

₄₈1 13_{24 144}25 13_{45 48}5 ₄₅8 ₁₂1 ₇₂7

∆

50,4,5

(

2

z)

₁₂5

0

5₉ 62₄₅ 13₁₂ 37₄₅

1

−

5₉

∆

100,4,1

(z)

2₉

0

₃₆11 1_{9 18}5 23₉₀ 1₃

−

₁₈1

∆

100,4,2

(z)

−

1₃

0

−

₁₈7

−

4₉

−

1₂

−

₁₈7

−

1_{3 18}1

∆

100,4,3

(z)

−

₁₂5

0

−

35₇₂

−

₁₈1

−

₂₄5

−

₃₆7

−

₂₄7

−

₃₆5

∆

100,4,4

(z)

1₄

0

₁₆5 ₂₂₈5

√

19

₂₄5 ₅₇₀1

√

19

₂₄5

−

₅₇2

√

19

−

7 228

√

19

−

13

304

√

19

+

1₄

+

₂₀3

∆

100,4,5

(z)

₂₂₈7

√

19

0

₃₀₄13

√

19

−

₂₂₈5

√

19

₂₄5

−

₅₇₀1

√

19

₂₄5 ₅₇2

√

19

1 4

5 16

1 4

3 20

A

₉

A

₁₀

A

₁₁

A

₁₂

A

₁₃

A

₁₄

A

₁₅

A

₁₆

∆

25,4,3

(z)

₁₆5 ₂₄₀53

−

₂₄1

−

139₆₀

−

19_{24 24}1

0

₂₀3

∆

25,4,3

(

2

z)

−

73₂₄

−

31₁₂

−

₁₂7 20₃ 8₃

−

4₃

−

16₁₅

−

22₁₅

∆

25,4,3

(

4

z)

26₃ 107₁₅ 20₃

−

1₆

0

25₃ 32₅ 32₅

∆

50,4,1

(z)

−

25₄₈

−

₂₄₀119 ₂₄1 5₆ 3₈

1

0

−

1₆

∆

50,4,1

(

2

z)

13_{6 12}23 7₆

−

₄₂5

0

13₁₂

1

4₃

∆

50,4,2

(z)

−

25₈₄

−

₃₁₅86 ₁₂₆1 4₇ 13₄₂

−

₆₃2

−

₆₃2

−

₁₂₆17

∆

50,4,2

(

2

z)

22₂₁ 62₆₃ 44₆₃

0

0

40₆₃ 4₉ 44₆₃

∆

50,4,3

(z)

−

₄₈5

−

₈₀7

−

₂₄5

−

3₂

−

7₈

−

11₂₄

−

1₃

−

1₆

∆

50,4,3

(

2

z)

−

11₆

−

₂₀23

−

7₆

0

0

−

23₁₂

−

5₃

−

4₃

∆

50,4,4

(z)

₂₅₂25 ₆₃5 1_{6 126}5 ₁₄5 2₇ 2_{9 126}17

∆

50,4,4

(

2

z)

80_{63 63}58 ₂₁4 68₆₃

0

4₃ 76₆₃ 44₆₃

∆

50,4,5

(z)

₁₄₄5 ₇₂₀71 ₂₄1

−

₉₀1 3₈ 1₈ 1_{9 180}13

∆

50,4,5

(

2

z)

13_{9 180}259 5_{6 18}5

0

₁₂5 13₄₅ 38₄₅

∆

100,4,1

(z)

₁₂5 17_{45 18}5 1₆

0

2₉ 2_{9 18}5

∆

100,4,2

(z)

−

₁₈5

−

2₉

−

1₂

−

₁₈5

0

−

1₃

−

2₉

−

₁₈5

∆

100,4,3

(z)

−

25₇₂

−

17₇₂

−

₂₄5

−

25₇₂

0

−

₁₂5

−

13₃₆

−

2₉

∆

100,4,4

(z)

₁₆5 ₂₈₅4

√

19

₂₄5 ₂₄5

0

1₄ 1₆ 1₆

−

5 912

√

19

₁₂₀29

−

5

228

√

19

−

7

228

√

19

−

5 228

√

19

∆

100,4,5

(z)

₁₆5

−

₂₈₅4

√

19

₂₄5 ₂₄5

0

1₄ 1₆ 1₆

5 912

√