Profilne kaskade

hidrom ehanike in hidravlike, kakor tudi z eksperi- m entalnim delom na m odelih in velik ih izvedbah. K akor je iz zgornjega kratkega orisa n jegovih n alog popolnoma razum ljivo, mora biti težišče nje­ govega dela na eksperim entih. Zato z nestrpnostjo pričakujem o trenutka, ko se bo m ogel Inštitut pre­ seliti v svojo novo zgradbo v Šentvidu, kjer bo m ogel v znatno večji m eri razvijati eksperim en­ talno delo kakor doslej.

Glede form alne razvojne poti In štitu ta za. tur­ binske stroje naj om enim o sam o n a kratko, da je bil ustanovljen dne 28. junija 1948 z uredbo zvezne vlade in je b il najprej v p risto jn o sti bivšega m i­ nistrstva težk e industrije. P o v ečk ra tn ih reorgani­ zacijah je b il nato z odločbo v la d e LRS z dne 17. m aja 1952 in s sklepom letn e sk u p ščin e Slo­ venske akadem ije znanosti in u m etn osti z dne 27. oktobra 1952 dodeljen A kadem iji.

A v to r: a k a d . p r o f. d r. in g . A n to n K u h e lj, r e k to r u n iv e rz e v L ju b lja n i.

P r o f ilile k a s k a d e

N j ih o v p o m e n za h id r a v lič n e s tr o je in m e to d e n jih o v e g a p r o u č e v a n ja

A N T O N K U H E L J

U v o d

Teoretična hidrodinam ika ne more upošte­ v a ti vseh onih lastn osti tekočin, ki vp liv a jo na p ojave pri gibanju, ker bi postale vse naloge preveč zamotane; pa tudi če popolnoma zanem a­ rim o židkost (notranje trenje) tekočin, ne m orem o teoretično zajeti prostorskih gibanj okrog vseh d elov v hidravličnih strojih. Po drugi- strani pa je ravno podrobno poznavanje gibanja tekočin skozi take stroje za sodobnega tehnika neogibno po­ trebno, ker moremo le tako skrajšati in olajšati delo v laboratoriju in presoditi s precejšnjo' za­ nesljivostjo vpliv raznih ukrepov na obnašanje stroja med obratom, na njegove izgube itd. Zato ni čudno, če iščejo tehniki posebne m etode, ki om ogočajo teoretično obravnavanje vsaj nekaterih vrst gibanja idealnih tekočin okrog takih teles-, ki so od daleč podobna d-elo-m hidravličnih strojev, pa čeprav se je treba p-ri tem odpovedati zahtevam po-po-lne podobnosti in čeprav nam. om ejitev na gibanje idealnih tekočin omogoča v najboljšem pri­

s l. 1. P rerez sk o zi K aplanovo turbino

meru neposredno določanje sam o en ega d ela odpora (tzv. inducirani odpor). R azlike v tok ih po teoriji in kakršni se pojavljajo v resnici na strojih, skušamo pač zajeti z upoštevanjem tzv. sekundarnih izgub; v p liv ži-dkosti p a upoštevam o naknadno s tem, da suponiramoi, da je v splošnem tu-di tok žid-ke teko­ čine podoben toku- idealne tekočine in -se pojavljajo razlike sam o ob površini teles. Teorija, k i jo- izpo­ polnim o še s podatki iz poskusov n a podobnih telesih, m-or-e predvideti potem tudi v e lik o st odpora, ki nastane zaradi židkosti, in določiti se dajo- z do­ kajšnjo natančnostjo tu-di m esto in po-goji za začetek od-leplj anjia tekočine od površine teles, ki so tako važni za praviln o presojo uspeš-no-sti vsake-ga hi­ dravličnega stroj-a.

Sl. 4. Gibanje tekočine skozi hidromehanično korito.

(Brown-Boveri Mitteilungen, avg. 1953, str. 273.)

v sp lo šn em ra z m e re n a p laščih v a lje v z ra z n im i p o l­ m e ri d ru g a č n e in se z a to p o ja v lja jo p o v rh h itro s ti ta n g e n c ia ln o k plašču v a lja tu d i ra d ia ln e k o m p o ­ n e n te ; za p rib ližen p ro ra č u n p a v sp lo šn em za­ došča, če. o b ra v n a v a m o ra v n in sk o g ib a n je o k ro g k a sk a d e za sred n jo v re d n o s t p o lm era lo p a tic in n a k n a d n o up o štev am o ra z lik e v z u n a n jih in n o ­ tr a n jih obm očjih p ro ti srednjiem u p rerezu .

Sl. 3. Tunel za raziskovanje kaskad

M — motor, V —ventilator, U — usmerjevalci, H —komora,

K — kaskada

Z a določanje g ib a n ja tekočin Skozi k a sk a d e slu ži več m etod: v p o se b n ih ae ro d in a m ič n ih tu n e lih (sl. 3 )aii tudi' v h id ro m e h a n ič n ih k o ritih (sl. 4) š tu ­ d ira m o la h k o ta k o g ib a n je n a p o m a n jša n ih m o d e lih e k sp e rim e n ta ln o s te m , d a k a k o r k o li n a p ra v im o v id n o p re d v se m s m e r h itro s ti tek o čin sk ih delcev n a p o sam ezn ih m estih . P r i ta k ih po sk u sih iz v rta m o ra z e n te g a še vzdolž z g o rn je in sp o d n je s tra n i s re d ­ n je g a p ro fila vse p o ln o m a jh n ih o d p rtin , k i1 jih skozi n o tra n jšč in o p r o f ila zvežem o z m an o m etri. T ak o izm erim o p o ra z d e lite v p ritis k a p o p ro filu v k a sk ad i in iz te g a m o re m o s k le p a ti ta k o i n a v elik o st, sm e r in lego v zgona (sile, ki s to ji p ra v o k o tn o 1 k sm eri sre d n je h itro sti), k a k o r tu d i n a p o ra z d e lite v h itro sti. N am esto n e p o sre d n e re p ro d u k c ije te k o č in ­ s k ih tokov p a se v e č k r a t p o slu žu jem o tu d i tzv. e le k tro d in a m ič n e a li re o e le k trič n e an alo g ije za po­ te n c ia ln a p o lja in določam o h itro s ti te k o čin e s to ž i k a s k a d o p o sred n o s tem., d a izm erim o ra z p o re d itev p o te n c ia la o k ro g n je n e g a e lek tričn eg a m o d ela (sl. 5). P r i te j1 an alo g iji p a z a n e m a rim o v p rv i .aproksim a­ c iji v e s v p liv židkosti in g a u v ed em o la h k o sam o n a k n a d n o k o t p o p ra v e k k sliki, k a k ršn o sm o1 d o b ili z elek tričn im i m e ritv a m i.

-ra z d e lite v d e b elin e vzdolž tetiv e, v p a d n i bot), še drugi- p a ra m e tri, m e d k a te rim i je tre b a n a p rv e m m e s tu o m e n iti pač r e la tiv n o d e litev t/l (recipročno v re d n o s t Ut im e n u je jo n e k a te ri tu d i gostoto k a s k a ­ de) in p a k a sk a d n i k o t X (a t 2). P r i to lik e m šte v ilu n e o d v isn ih s p re m e n ljiv k p a je e k sp e rim e n ta ln o is k a n je n aju g o d n e jših -rešitev vsaj siln o zam u d n o , če n è -sploh neizvedljivo-. O d to d ra v n o v e lik p o m en te o re tič n ih m etod, od k a te r ih n a m vsaj n e k a te r e p o d a ja jo v več ali m a n j o d p rti o b lik i že v p liv po­ sam ezn ih fa k to rje v n a h itro s tn e ra z m e re te k o č in e in ta k o om ogočajo p re so jo o u p o ra b n o sti iz b ra n e o b lik e, n e -da b i se b ilo tre b a za vsako p o d ro b n o st za te č i k poskusom . Š e le k o n a jd e m o teoretično- n a j­ u g o d n e jše k o m b in acije, jih e k sp e rim e n ta ln o p r e ­ iščem o v kaskadn-em tu n e lu in sp re m in ja m o p o te m vse p a ra m e tre samo- v okolici tis tih v re d n o sti, za k a te r e sm o dobili že p re j te o re tič n o n a ju g o d n e jše re z u lta te .

G ibanje id ea ln e te k o č in e sko zi kaskado in k o n jo rm n o p reslik a v a n je

P r i te o re tič n e m o b ra v n a v a n ju te k o č in sk ih to ­ k o v se šele v polni m e r i pokaže, kako- v a ž e n je preh-od od prostorskega- g ib a n ja v s tro ju k r a v n in ­ sk e m u g ib a n ju skozi k ask ad o . M ed tem ko- m orem o v n a č e lu e k sp e rim e n ta ln o p re iz k u š a ti s e v e d a p o ­ lju b n e -toke (če vzam em o p a č v ra č u n povečano- š te ­ v ilo odločilnih p a ra m e tro v ), p o sta n e jo te ž a v e p ri te o re tič n e m o b ra v n a v a n ju prostorskega- g ib a n ja te k o č in sk o ra j n e p re m o stljiv e . S ic e r jem ljem o- v ed ­ no, d a je glavno g ib a n je tek o čin e brez v rtin c e v , v k a te re m p rim e ru eksistira- tu d i p-ri p ro sto rsk e m g ib a n ju p o te n c ia l hitrosti- (t. j-, en a sam a fu n k c ija ep ko-orddnat X, y, z, k a te r e p a rc ia ln i o d vodi p o ko­ o rd in a ta h n a m dajo k o m p o n en te h itro sti), tu d i za­ došča h itro s tn i potencial- v p ro s to ru razm erom a- p r e ­ p ro s ti Laplaceovi- d ife re n c ia ln i enačbi; to d a efek ­ tiv n o ra č u n a n je hitrostnega- p o te n c ia la za p ro s to r­ sk o g ib a n je je tak o težav n o , da za p r a k tič n e po­ tr e b e sk o raj n e p rid e V poštev. P re d v se m n im am o pri- p ro sto rsk ih g ib a n jih m ožnosti konform ne-ga p r e ­ s lik a v a n ja h itro s tn e g a p o lja d a n ih teles n a p o lja

Sl. 5. N aprave za hidravlična preizkušanja.

a (levo) — shematično (Der Maschinenmarkt, 61V20, 11. 3. 1955.) b (zgoraj) — izvedba tovarne Escher Wyss.

o k ro g p re p ro s te jš ih teles, o-krog k a te r ih se da giba­ n je tek o čin h itro določiti; p r i r a v n in s k ih g ib a n jih p a j-e metoda- ko-nform nega p re s lik a v a n ja obm očja o k ro g k a sk a d e v o-bm-očj-e o k ro g k a k e g a p re p ro s te j­ šega te lesa (po n a v a d i k ro žn eg a v a lja ) dokaj u čin ­ k o v ita in jo p o n ek o d p-raktično zelo v e lik o u p o ­ rab ljajo .

Bistvo- m e to d e ko-nform nega p re s lik a v a n ja je nasled n je. Č e se giblj-e te k o č in a b re z v r tin c e v sko-zi kaskado, e k s is tira h itro s tn i p o te n c ia l <p (x, y), čigar p a rc ia ln a o d v o d a po x in y n a m d a s ta že obe kom ­ p o n e n ti h itr o s ti u, v v sm e ri k o o rd in a tn ih osi. K er n im am o n ik je r v realn-em te k o č in sk e m to k u v relcev ali p o n o ro v (n e g a tiv n ih vrelcev), iz h a ja iz k-onti- n u ite tn e en a č b e (zakona o o h ra n itv i m ase), d a m ora p o ten cial h itr o s ti zadoščati L ap laceo v i d ife re n c ialn i en ačb i

(!) ^ + ^ = o.

d x 2 d y 2

Iz osnovnih zakonov teorij-e a n a litič n ih fu n k c ij p a je znano-, d a sm em o p o te m tolm ačiti- h itr o s tn i po­ ten cial ep k o t re e ln o k o m p o n e n to a n a litič n e fu n k cije

(2) f (z) = <P {%, V) + i • V (x, V)

k o m p lek sn e sp re m e n ljiv k e

(3) z = X + i . y ,

k je r p o m en i imaginairn-a- k o m p o n e n ta xp (x, y) potem tzv. to k o v n o fu n k cijo . F u n k c ijo f (z) im en u jem o k o m p lek sn i p o ten cial, p o m en fu n k c ije ip (x , y) p a n a jk ra jš e o zn aču jem o z ugotovitvijo-, d a da-jo k r i­ v u lje ip (X, y) = const, tzv. tokovnice, t. j. p r i n a ših g ib a n jih (ki so stacio n arn a) k r iv u lje p o ti posam ez­ n ih te k o č in sk ih delcev (vse n a v e d e n e en a č b e in trd itv e so p o d ro b n o o b ra v n a v a n e v v s e h k n jig a h o te o retičn i h id ro m e h a n ik i i n m e d d ru g im tu d i V

lah k o dostopni knji-gi pro-f. H. Glau-erta).

P r i m e to d i konfo-rmnega- presiikavan-jia- uvede­ mo- poleg k o m p le k sn e r a v n in e x — y še n ra v n in

X 1 — Yj, X 2 ■— Y 2, . . . X — Y in sk u šam o z a n a li­ tičn im i fu n k c ija m i

p re s lik a ti k a sk a d o ra v n in e z v k ro g a li v kaikšen d ru g p re p ro s t lik v ra v n in i Z. K e r naxn je k o m ­ p le k sn i p o te n c ia l f (Z) za g ib a n je tek o čin e v r a v ­ n in i Z znan, dobim o k o m p lek sn i p o te n c ia l v ra v n in i z b re z težav, če si m islim o v fu n k c iji f (Z) zam e­ n ja n o sp rem en ljiv k o Z po en ačb ah (4) s sp re m e n ­ ljiv k o z.

N a žalost u te g n e b iti isk a n je fu n k c ije (z), F , (Z,), . . . F« (Zn—i) ta k o z a m u d n a s tv a r, d a p o sta n e t a n a č in določanja g ib a n ja id ealn e tek o čin e skozi k a sk a d o p ra k tič n o n e u p o ra b e n . Z a u p o ra b n o st te m e to d e je zelo važno, če m o rem o z razm ero m a p r e ­ p ro s to funkcijo' p re s lik a ti kaskado (ali to, k a r iz k a s k a d e s p re d h o d n im p re slik a v a n je m n a sta n e ) v ta k e oblike, k i so zelo podobne p re p ro stim o b r i­ som , za k a te r e p o z n a m o kom pleksni p otencial. V t a ­ k e m p rim e ru se da n a m re č izvesti p reh o d iz v m esn e o b lik e v k o n čn o obliko z e n im ali d ru g im r a č u n sk im

procesom , k i p a vedno zelo h itro k o nvergira. E no n ajp rap ro stejšiih m e to d k o n fo rm n eg a p r e ­ slik a v a n ja , ki p a sev ed a n i zato m o rd a ravno' n a j­ h itre jša , p o d a ja v se zn am u lite r a tu r e o m e n je n i čla­ n e k W. T rau p ela. P ro filn o k ask ad o položimo' v ko­ o rd in atn i' siste m X —■ y , k a k o r k aže slik a 6, ta k o , da leži k o o rd in a tn i za č e tek z n o tra j1 p ro fila in d a je os y v z p o red n a h k a sk a d i1. T ra n sfo rm a c ija

(5) ez + 1

e 2 — 1

p re v e d e obm o čje z u n a j k ask a d e v obm očje z n o tra j ene sa m e sk le n je n e č rte, k i p a im a še zelo n e p ra ­ vilno obliko (sl. 6 a). T ra n sfo rm a c ija

7 1 (6) Z 2 = [Z1 —- Z x (A )]2 TC - s

p re v e d e n a to obm očje zn o tra j č rte n a sl. 6 a v ob­ m o čje zn o traj sk le n je n e č rte n a sl. 6 b , ki n im a več v o g ala v točki A,, k a k o r ga je im ela k r iv u lja r a v ­ n in e Z j v u stre z a jo č i to čk i A t . T oda tu d i n o v a k r i­ v u lja im a še v d o lb in e, ki' s e p a d a jo posto p n o o d p ra v iti, če v zam em o n a z u n a n ji s tra n i v d o lb in e to čk o B 2, p otegnem o d v e p re m ic i n ek ak o p a ra le ln o k ob risu in tra s fo rm ira m o obm očje ra v n in e Z 2 v novo ra v n in o Z 3 s tra n sfo rm a c ijo

7 1 (7) Z 3 = [(Z2 — Z 2 (B2)]2 k ~ Wt

in n a to ponovim o ta k o tran sfo rm acijo ' v bližini' d r u ­ g ih m est z v d olbinam i. V v ečin i p rim e ro v im a k r i­ v u lja v ra v n in i Z2 d v e vzboklini, tako' d a je že k r iv u lja v ra v n in i Z 4 o v a ln a č rta b re z vd o lb in . Z d v em a n a d a ljn jim a sto p n ja m a b i m o g li p o te m b re z te ž a v p r iti do k ro g a ; n am esto te g a p a iz v a ja T ra u p e l iz pogojev, k i v e lja jo za p r e ta k a n je te k o ­ čine skozi kaskado, in iz pogoja, d a m o ra n a z a d ­ n je m ro b u p ro filo v o d te k a ti te k o čin a b rez o b k ro že- v a n ja , in te g ra ln o en ačb o za hitrostni! p o te n c ia l vzdolž k riv u lje v r a v n in i Z 4. S te m p a je določen

Sl. 6. Konform no presli­ kavanje kaskade v krog

po W. Traupelu.

tu d i h itro s tn i p o te n c ia l zn o traj te č rte in vsa n a ­ loga je ta k o v b istv u že rešen a.

P o v rh p o ti, ki jo n a v a ja W. T rau p el, im am o sev ed a tu d i še d ru g e načine, d a p rid e m o do funkcij,, ki p o sre d u je jo k o n fo rm n o p re s lik a v a n je p ro fitn e k ask a d e v p re p ro s te jš e oblike. S. F. A bram ovič in. M. I. Ž u k o v ick ij p re d la g a ta n. p r. v sv o ji ra z p ra v i fu n k c ijo

(8) z = Z x + A - e iS c o th —Z.,, t

B rž ko im am o v r a v n in i Z d a n k o m p lek sn i po­ te n c ia l h itro s ti f(Z), dobim o kompleksno* h itro s t to k a v ra v n in i k ask a d e z enačbo

(9) • _

1 1 =

dZ

d z d Z d Z n _ t

d Z ,

d z

i n s te m tu d i obe k o m p o n e n ti h itro s ti u in v. Z a­ r a d i B ern o u llijev e en ačb e sledijo p o tem p r i zn an i h itr o s ti p o ra z d e lite v p ritis k o v in iz teg a tu d i sile i n m o m en ti n a v sa k e m p ro filu kaskade.

S in g u la rite tn a m e to d a za določanje to k a sk o zi kaskado

G ib an je skozi k a sk a d o se d a o b ra v n a v a ti tu d i d ru g a č e in ne sam o s k o n fo rm n im p re slik a v a n je m . P o d o b n o k a k o r p ri te o r iji g ib a n ja te k o č in e okrog o sa m lje n e g a p ro fila d a n. pr. tu d i t u zelo d o b re r e z u lta te sin g u la rite tn a m etoda. B istv o te m eto d e je , d a n am estim o po določenih k riv u lja h zn o tra j v s a k e g a p ro fila k a sk a d e p o ra z d e lje n e v relce, po­ n o re (n egativne v relce) in v rtin c e tako, d a dobim o z d o d atk o m e n a k o m e rn o se g ib ajo če te k o č in e po c e lo tn i r a v n in i k o m b in acijo v eč to k o v . Ce j e ja k o st v r e lc e v en ak a jak o sti v s e h ponorov, se te k o č in sk i t e k i z a ra d i v rtin c e v , p o z itiv n ih in n e g a tiv n ih v r e l­ c e v su p e rp o n ira jo z e n a k o m e rn im to k o m ta k o , da d o b im o o k ro g n jih n e k o sk le n je n o črto, ob k a te ri te č e tek o čin a ta k o n a z u n a n ji k a k o r n a n o tr a n ji s tr a n i tan g en cialn o . S p ra v iln o p o razd elitv ijo ' v re l­ c e v se d a doseči, d a u s tre z a ta č r ta o b ris u p ro fila i n v re d n o sti za k o m p o n e n te h itro s ti zunaj* t e črte določajo zato g ib a n je id e a ln e tek o čin e o k ro g k a ­ sk a d e . V m e stih z n o tra j p o sam ezn ih p ro filo v , k je r im a m o vrelce, v rtin c e ali oboje, n im a m o seveda to k o v n e fu n k cije oz. p o te n c ia la in k o m p lek sn i po­ te n c ia l f (z) ta m zato n e eksistira. T ak a m e s ta im e­ n u je m o 'Singularna m e sta , jak o sti v re lc e v in v r tin ­ c e v p a s in g u la rite te in p o n jih im a p o te m tudi- m e to d a svoje ime.

-N am esto d a bi isk a li kom pleksni' p o te n c ia l, se p r i tej m etodi ra je zan im am o za n je g o v o d v o d p o z, t . j. za kom pleksno h itro s t V = u — iv, k e r do­ b im o p o tem p o ra z d e lite v v re lc e v in v rtin c e v s p r e ­ p ro s to zahtevo, da m o ra im e ti re z u ltira jo č a h itro s t te k o č in e ta n g e n cialn o s m e r k p o v ršin i p ro fila . K o­ o r d in a tn i siste m p o sta v im o tu p ro ti k a sk a d i n e k o ­ lik o d ru g ače k a k o r p r i k o n fo rm n em p re s lik a v a n ju (sl. 7). A bscisno os x v zam em o v sm e ri te tiv e , tak o d a o k le p a os k a sk a d e z osjo y k o t X, n a m e sto k a ­ te r e g a p a jem lje jo v č a sih n e k a te ri a v to rji r a je k o m p le m e n ta rn i k o t ß.

D a dobim o izraz z a k o m pleksno h itro s t z a ra d i v r e lc a v točki z — x ' + iy ', ki d a je Q mVs n e s tis lji- v e te k o č in e n a v sa k m e te r dolžine p ra v o k o tn o k r a v n in i x — y, iz ra č u n a m o n a jp re j ra d ia ln o h itro st, h i se p o jav i za ra d i n je g a v točki z — x + i y

V r = , r = \J (x — x ’)* 2 + {y — y ')2. i n r

O be k o m p o n e n ti h itro s ti se d a s ta potem* h itro določiti in pripadajoča* k o m p le k sn a h itr o s t je n a to

Q T č ,. — l i j * * Ì Vr —

2 n (z — z')

k e r je cos & — i-s in •& = in r - ie +19- = (x — x') + + i (y — y') = z — z . P r i k a sk ad i p a n im am o v re lc a

sam o v to čk i z', tem v eč tu d i v to čk ah z '+ 1. e 'i2 '

— z + i t * e ~ ^ z '+ 2 it*e—:h , z ' + 3 it* e—*>*,... in p ra v ta k o tu d i v to č k a h z— it*e— z — 2 i t - e —lX, z — — 3 it*e—: . . . K o m p lek sn o h itro s t V ± v to čk i z =

=- x + i y z a r a d i v se h v re lc e v ja k o s ti Q v k ask ad i dobim o torej* s se šte v a n je m p risp e v k o v posam eznih v relcev . Če v n a s ta li v rs ti upoštevamo* n a jp re j v re ­ lec b liz u k o o rd in a tn e g a začetk a in nato- p a ro m a v re lc e n a d in p o d abscisno osjo, dobim o p r i p rim e rn i u re d itv i člen o v spodaj n a v e d e n i izraz. Iz fu n k c ijsk e te o rije je n a m re č znan o (gl. n. pr. knjigo* p rof. P le m ­ lja : T e o rija a n a litič n ih fu n k c ij, str. 140), d a se da v r s ta v o k le p a ju izraziti v sk le n je n i o b lik i s ko- tan g en so m

V 1= --- ---( . . . +

2 i t e - ‘ * n (z — z') .

_ i---L o i

+

e 1* + 2 ti

i t

+

---+

_---- ---- e1 A — 2 n ---e14

i t i t

Q n e 1* (z — z') ctg ■

K e r p a v se b u je z a d n ji iz ra z im a g in a rn o enoto v e č k ra t, g a p o u p o šte v a n ju zveze m e d ek sp o n en - c ia ln o fu n k c ijo in sin u so m in kosinus-om n ekoliko p re tv o rim o in dobim o ko n čn o

V Q_

2 t

e1 ^ . co tg hn e' ''•(z — z )

K e r dobim o p o p o ln o m a p o d o b en iz ra z za ko m ­ p lek sn o h itro s t V,, k i n a s ta n e v to č k i z z a ra d i v r tin c a ja k o sti T v to č k i z , če nadom estim o' Q z i l 1, sm em o za re z u ltira jo č o kom pleksno' h itro s t V), k i n a s ta n e v to čk i z z a ra d i v re lc a jak o sti Q in v r tin c a ja k o sti r v to čk i z', p isa ti enačbo

— eiX c o tg h

2 1

jie '* ( z — z')

t

k je r p om eni G = Q +i-T »kom pleksno-jakost v relca« . D a dobim o s skngulariitetno- metodo- g ib a n je o k ro g p o lju b n ih p ro filo v v k ask ad i, m o ram o —- ka­ k o r že o m enjeno —• v z e ti zvezno p o ra z d e lite v v r e l­ cev vzdolž določene č rte . N a n je j u vedem o1 k o m ­ p lek sn o gostoto v re lc a

(10) _{— 7 = g (z) = q (z) + i-V (z)}

d s

in dobim o p o tem iz p re jš n je -enačbe in d u c ira n o k o m p lek sn o h itro s t z in te g ra c ijo vzdolž č rte , po k a te r i so p o ra z d e lje n i v re lc i in v rtin c i

d an o p o ra z d e lite v s in g u la rite t in iščem o enačbo o b risa p ro fila , te d a j je en ačb a (12) skupaj'«z (11) dokaj z a m o ta n a in te g ra ln a in d ife re n c ia ln a enačba, ki p a se d a p rib liž n o re šiti posebno! z a m a io u k riv ­ lje n e p rofile. T a tzv. p rv i p ro b le m sdngulariltetne te o rije k a sk a d p rid e seveda v p o š te v sam o ta k ra t, k a d a r pozn am o p o ra z d e lite v s in g u la r ite t za- n ek i določeni p rim e r (če sm o jo n. p r. d o b ili p r i štu d iju g ib a n ja te k o č in e o k ro g o sa m ljen eg a p ro fila), in si želim o o g le d a ti sp rem em b e n a p ro filu in v g ib a n ju tek o čin e, če sp re m e n im o en eg a ali v e č p a ra m e tro v (n. p r. g o sto to k ask a d e , k a sk a d n i k o t in pod.). P ri d ru g e m p ro b le m u sin g u la rite tn e te o r ije im am o p re d p isa n o b ris profila- in m o ram o d o lo čiti n a jp re j p o ra z d e lite v s in g u la rite t in n a to še p o ra z d e lite v h i­ tro sti. T a n a lo g a p rid e v poštev, k a d a r želimo- n. pr. u p o ra b iti za tv o rb o k a sk a d -profile, k i so s e izk azali p ri po-skusih z o sam ljen im i k rili. T r e tja v r s ta nalog je pa, k je r p re d p iše m o n a p o v ršin i p ro fila p o te k h itro s ti in je tr e b a določiti -obliko pro fila- T a n a lo g a je za p ra k so v a ž n a p re d v se m zato, k e r je znano, d a je o d p o r k riln ih p ro filo v z a ra d i n o tra n je g a tr e n ja posebno m a jh e n , če h itro s t n a č-ilmvečj-em odseku- od s p re d n je g a ro b a p ro fila n azaj n a ra šč a . M ejn a p la s t o stan e n a m re č v ta k ih -odsekih s k o ra j vedno- lam-i- n a rn a in o d p o r z a ra d i tre n j,a je z a to zelo m ajh en .

Izm ed zgoraj n a v e d e n ih p ro b le m o v so p rv e g a in d ru g e g a že ponovno o b ra v n a v a li (gl. n. p r. član k e N. Scholza in H. S chlichtinga) in d o b ili z za n e m a r­ ja n je m določenih v p liv o v m eto d e z a njihovo- r e ­ ševanje, ki nis-o p re v e č zam udne. K o lik o r vem , tr e tji p ro b le m doslej še n i b il o b d e la n p o d robno.

— e1 J- i , , n e1 * (z — z ) , (11) V; (z) = — f g (z ) c o tg h --- ds

2 tJ t

= U i----I Vf .

S te m re z u lta to m p rid e m o do osno v n e en-ačbe s in g u la rite tn e meto-de p o zelo p re p ro s ti p o ti. Če v zam em o sed aj n a m re č to čk o z = x + iy n a o b risu profila- in označim o k o m p o n e n ti h itro s ti e n a k o m e r­ n e g a g ib an ja tek o čin e z U0 in V 0, m o ra v e lja ti en ačb a

(12) d y _ V 0 + vi_>

d x U0 + Mi

k je r je o b ris p ro fila d a n n . p r. v o b lik i1 y = y (x). K om p o n en ti mi, v, h itro s ti, ki n a s ta n e z a ra d i sin - gu-lari-tet, dobim o sev ed a z ra z s ta v lja n je m izraza- v en ačb i (11) n a re e ln o in im a g in a rn o k o m p o n en to 1.

E n ačb i (11) in (12) sm o iz v a ja li n e k o lik o o b š ir­ neje, k e r se s sim gulanitetno metodo- u k v a rja jo sp lo šn i u č b e n ik i in ra z p ra v e iz h id ro m e h a n ik e v v elik o m a n jši m eri k a k o r z m etodo k o n fo rm n e g a p re slik a v a n ja . R avno n a z a d n jih en ačb ah p a s e da n a jle p še po k azati, k a k š n e v rs te p ro b le m o v s e m o ­ r e jo v p ra k s i p o ja v lja ti v zvezi s te o re tič n im š tu ­ d ijem g ib an ja te k o č in Skozi kaskade. Če im a m o že

L i t e r a t u r a :

1 . S. F. A b r a m o v i č in M. I. Z u k o v ic k i j: G r a f i - č e - s k i j m e t o d r a s č e t a o b t e k a n i j a r e š e t o - k p r o - f i l e j t u r b o - m a š i n . I n z e n e r n y j S b o r n i k X X , 1 9 5 4 , s t r . 1 3 — 2 0 .

2 . I. E. E tin b erg : P r i m e n e n i e m e t o d a A . F . L e s o h i n a k n a s č e t u l o p a s t e j r a i b o č e g o k o l e s a p o v o r o t n o l o - p a s t n o j g i d r o t u r b i n y s o p r e d e l e n i e m k a v i t a c i o n n o g o k o e f f i c i e n t a . I n ž e n e m y j S b o r n i k X X I , 1 9 5 5 , s t r .

1 6 3 — 1 7 9 .

3 J. E. G arrick: O n t h e p l a n e p o t e n t i a l f l o w p a s t a l a t t i c e o f a r b i t r a r y a i r f o i l s . N . A . C . A . T e c h n i c a l R e p o r t N o . 7 8 8 W a s h i n g t o n 1 9 4 4 .

4 . H. G la u ert: O s n o v i t e o r i j e u z g o n s k i h p o v r š i n a . P r e ­ v e d e l P e t a r N . D j o r đ j e v i ć . B e o g r a d 1 9 5 1 .

5 . R. P isto ie s i: S u l c a l c o l o d i s c h i e r e i n f i n i t e d i a l i s o t t i l i . L ’a e r o t e c n i c a X V I I / 6 , 1 9 3 7 , s t r . 4 8 4 — 5 0 6 .

6 . J. P l e m e l j : T e o r i j a a n a l i t i č n i h f u n k c i j . L j u b l j a n a 1 9 5 3 .

7 . H. S c h lich tin g : B e r e c h n u n g d e r r e i b u n g s l o s e n i n - k o m p r e s s i b l e n S t r ö m m u n g f ü r e i n v o r g e g e b e n e s e b e n e s S c h a u f e l - g i t t e r . V D I — F o r s c h u n g s h e f t 4 4 7 , D ü s s e l d o r f 1 9 5 5 .

8 . N. Scholz: S t r ö m m u n g s u n t e r s u c h u n g e n a n S c h a u f e l ­ g i t t e r n . V D I — F o r s c h u n g s h e f t 4 4 2 . D ü s s e l d o r f 1 9 5 4 .

9 . F . W einig : D i e S t r ö m m u n g u m d i e S c h a u f e l n v o n T u r b o m a s c h i n e n . L e i p z i g 1 9 3 5 .

1 0 . W . T ra u p e l: D i e B e r e c h n u n g d e r P o t e n t i a l s t r ö m - m u n g d u r c h S c h a u f e l g i t t e r . S u l z e r t e c h n i s c h e R u n d ­ s c h a u N o . 1 , 1 9 4 5 .