THEORETICAL BASIS FOR THE DETERMINATION OF RATIONAL PARAMETERS OF COMPLEX MECHANICAL SYSTEMS

УДК

629.4.001

С

.

В

.

МЯМЛИН

(

ДИИТ

),

В

.

И

.

ПРИХОДЬКО

(

ОАО

«

Крюковский

вагоностроительный

завод

»)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

ОСНОВЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

РАЦИОНАЛЬНЫХ

ПАРАМЕТРОВ

СЛОЖНЫХ

МЕХАНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Пропонується математичний опис вибору параметрів механічних систем в загальному вигляді та з ура-хуванням особливостей залізничних екіпажів. Розглянуті приклади рішення задач векторної оптимізації за декількома показниками.

Предлагается математическое описание выбора параметров механических систем в общем виде и с уче-том особенностей железнодорожных экипажей. Рассмотрены примеры решения задач векторной оптимиза-ции по нескольким показателям.

The mathematical description of choosing the parameters of mechanical systems in general form and with eking account of the features of rail vehicles is presented. The examples of solution of vector optimization problems ac-cording to several indices are considered.

При создании новой конструкции, пред

-ставляющей собой сложную механическую систему, например, рельсовый экипаж, суще

-ствует проблема реализации конкретных тех

-нических решений с учетом различных усло

-вий возможных ограничений и требований.

Причем это касается не только стадии проек

-тирования конструкции, но и последующих стадий: производства, изготовления, эксплуа

-тации, ремонта, утилизации. Но, создавая но

-вую конструкцию, не возможно не обойтись без реализации и новых свойств конструкции,

тоестьновыхпараметров. Поэтомупри созда

-нии механической системы или технического объекта, которым необходимо выполнять оп

-ределенные функции в заданных условиях,

возникает необходимость решения задачи по определению рациональных параметров со

-ставляющихее элементов. Так, для рельсовых экипажей и для грузовых и пассажирских ва

-гонов в частности, такими элементами могут бытьнесущие элементыконструкциикузова и тележки, а также системы гашения колебаний иамортизации [1–3].

Как известно, на стадии проектирования технического объекта создается его математи

-ческаямодельимодель условийфункциониро

-вания. Вматематическоймодели имеетсянеко

-торый набор параметров, которые необходимо определить, задавшись понятием их рацио

-нальности. Как правило, понятие рационально

-сти формулируется на языке бинарных отно

-шений [4]. Так, например, длягрузовоговагона вкачестве показателей рациональностиврабо

-те [5] принимаются коэффициенты вертикаль

-нойи горизонтальнойдинамики необрессорен

-ной части вагона и коэффициент запаса устой

-чивостиотвсползанияколесанарельс.

Для пассажирского вагона показатели ра

-циональности могут также включатькроме на

-званных и коэффициенты горизонтальной и вертикальной динамики обрессоренныхчастей,

коэффициентплавностихода, ускорениякузова вагона в вертикальном и вгоризонтальном по

-перечном направлении. Как правило, следует принимать во внимание нормируемые показа

-тели, например, всоответствии с Нормами [6].

Но возможно учитывать и ненормируемые по

-казатели для рельсовых экипажей, такие как показатель износа на поверхности катания и показательизносанагребнеколеса [5].

Чтобы подобным задачампридать единооб

-разную форму будем считать, что располагаем множеством Ω = ω ω

{

₁, ₂,...,ω_n

}

, представляю

-щем собой наборвозможныхэлементов, изко

-торых создается та или иная конструкция тех

-нического объекта, а каждый из элементов ха

-рактеризуется несколькими параметрами. На

-пример, элемент представляет собой пружину,

тогда в качестве параметров могут быть взяты еежесткостьигеометрическиеразмеры.

Так как целью данной работы является раз

-работка теоретических основ определения ра

-циональных параметров сложных механиче

-ских систем, вт.ч. изасчет планированияэкс

-перимента, результаты которого оцениваются по нескольким показателям, например, для рельсового экипажа это динамические показа

-лесана рельс, которыйдолжен быть больше, и если меньше, то со знаком «минус»). Таким образом, в математическом плане приходим к задачевекторнойоптимизации.

Формальная запись, которая представляет собой [7; 8]

1

2 ( ) ( )

min, ...

( ) n F x F x

F x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ _{⎟ →}

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(1)

где x∈ Χ ⊂E_n.

Преждевсего отметим, чтобудем понимать под решением задачи (1). Введем врассмотре

-ниебинарноеотношение Парето [4]. Пусть x и

y двепроизводные точкиизмножества Χ, то

-гдаподотношениемПаретобудемпонимать

(

( ) ( ), 1,

)

,

Py F x F y i m

x ↔ _i ≤ _i = (2)

причемсрединеравенствимеетсяхотя быодно строгое. Подрешением задачи (1) будемпони

-мать такое множество Χ_*⊆Χ, что любые две точки из Χ_* являются неравными по Парето,

последнее означает, что найдутся какие-либо два показателя F_i(x) и Fj(x), так что будет

иметьместо

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

≥ ≤

) ( ) (

) ( ) (

y F x F

y F x F

j j

j i

или _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

≤ ≥

) ( ) (

) ( ) (

y F x F

y F x F

j j

i i

.

Для более конкретного толкования данных понятийрассмотримпример, когда m=4, а n=2.

; )

( ₁2 ₂2

1 x x x

F = +

(

1

)

5

(

2

)

; )

( ₁ 2 ₂ 2

2 x = x − + x −

F

(

3

) (

1

)

; 4

)

( ₁ 2 ₂ 2

3 x = x − + x −

F

(

1,5

) (

1,5

)

. 2

)

( ₁ 2 ₂ 2

4 x = x − + x −

F

Ирассмотримшестьзадач

min, )

( ) (

→ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

x F

x F

j i

(3)

где i=1,3; j=i+1,4.

Вкачестве множества Χ возьмем E₂. Необ

-ходимоеусловие решения задачи (3) представ

-ляетсобой

), ( )

(x F x

Fi =− ∇ j

∇ λ (4)

где λ≥0.

Решая уравнение (4) получим ( )x λ , а пере

-бирая λ от нуля до бесконечности получим множество Χij.

Выполнивобъединениемножеств Χij, имеем

∪

4 , 1 3 , 1

~

+ = =

Χ =

Χ

i j i

ij

Точкимножества Χ~ удовлетворяютнеобхо

-димому условию (4), поэтому решение задачи

(1) Χ_* будетпринадлежатьэтомумножеству.

Взяв i=1; j=2, необходимое условие (4)

принимаетвид

⎩ ⎨ ⎧

= − +

= − +

, 0 ) 20 10 ( 6

; 0 ) 2 2 ( 2

2 1

1 1

x x

x x

λ λ

решениемданнойсистемыбудет

λ λ + =

1

1

x ;

, 5 3

10

2 _λ

λ + = x

амножество Χ₁₂ будетравным:

(

)

∪

0 1 2 1 2

12 _{3 5} .

10 ;

1 : ,

≥ ⎭⎬

⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ = + = =

Χ

λ λ

λ λ

λ x x

x x

Геометрическое представление данного множествапредставленонарис. 1.

Рис. 1. Геометрическое представление множества Χ₁₂

Если подставить полученные значения )

(

1 λ

õ и õ₂(λ) в F₁(x) и F₂(x), то имеем воз

-можность построить зависимость F₂ от F₁, т.

е. отображениемножества Χ₁₂ впространство функционалов

(

F₁,F₂

)

будет таким как пока

Рис. 2. Представление множества Χ12

в пространстве функционалов

Решивостальные задачи, получим множест

-во Õ~ (рис. 3).

Заметим, что узловые точки представляют собой точки, в которых соответствующие функциипринимаютминимальноезначение.

Рис. 3. Геометрическое представление Õ~

Вобщемслучаемножество Õ~ можетбытьдо

-вольнонепривычноговида. Например, если F₄(x) принятьв виде F₄ =2

(

x−5

) (

2+ y−4

)

2, то множе -ство Õ~ будеттаким, какпоказанонарис. 4.

Рис. 4. Множество Õ~ при измененной F₄

Возьмем в области Õ~ две точки А(4, 2) и

В(2, 1) и вычислим значения всех четырех функций в этих точках. В результате получим следующиезначения:

. 27 ) ( ; 6 ) (

; 4 ) ( ; 5 ) (

; 6 ) ( ; 9 ) (

; 7 ) ( ; 28 ) (

4 4

3 3

2 2

1 1

= =

= =

= =

= =

B F A

F

B F A

F

B F A

F

B F A

F

Изэтихзначенийследует, что

), ( ) (

); ( ) (

4 4

1 1

B F A F

B F A F

< >

т.е. точкиАиточкиВявляютсянесравнимыми поПарето.

Нарис. 3 и 4 пунктирнойлиниейобозначена границаобласти Õ~.

Изложенныйматериалдаетпредставлениео том, когда функции F_i(x) представляют собой

квадратичные формыи в этом случае решение системы (4) можетбытьполучено ваналитиче

-скомвиде.

Если жехотя бы одна из функций F_i(x) не

являетсяквадратичнойформой, тосистема (4) в общемвиденеимеетаналитическогорешения.

Пусть ₁( ) 2 x2 y2

e e x

F = − − − − , чтопредставляет

собойвгеометрическомвидеповерхность, изо

-браженнуюнарис. 5.

Рис. 5. Геометрическое представление поверхности F₁(x)

Задавшись некоторойточкой (x₀,y₀) вокре

-стности ее поверхность F₁(x) приблизим квад -ратичнойформой:

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

2

)

,

2

1 2

0 02 0 0 11 2 0 20

0 01 0 10 00 1

y y a y y x x a x x a

y y a x x a a Y

− + − − +

− +

+ − + − + =

которуюбудемиспользоватьприрешениисис

-темы (2).

Вид квадратичной формы при x₀=0,5; 1

, 0

0=

Рис. 6. Вид Y₁(x,y) в окрестности точки

(x₀=0,5; y₀=0,1)

О характере приближения квадратичной формой можно более подробно уяснить с по

-мощьюсечений, изображенныхнарис. 7 и 8.

Рис. 7. Сечения поверхностей F1(x) и Y1(x)

плоскостью y= y₀. Точки – F₁(x,y₀);

сплошная линия – Y1(x,y0)

Рис. 8. Сечение поверхностей F1(x) и Y1(x)

плоскостью x=x₀. Точки – F₁(x₀,y);

сплошная линия – Y₁(x₀,y)

Рассмотримзадачу min, ) , ( ) , ( 4 1 _→ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ y x F y x F

длякоторойсистема (4) принимаетвид

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − − = − − = − − − − ). 5 , 1 ( 2 2 ); 5 , 1 ( 4 2 2 2 2 2 y ye x xe y x y x λ

λ ₍₅₎

Если вместо F₁(x,y) взять приближенное

значение Y₁(x,y), то аналогом системы (5) бу

-детследующая:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎩ ⎨ ⎧ − − = − + − + − − = − + − + . 5 , 1 2 ; 5 , 1 4 0 11 0 02 01 0 11 0 20 10 ó õ õ à ó ó à à õ ó ó à õ õ à à λ λ (6)

В общем виде решение системы (6) пред

-ставляетсобой:

(

)

(

2

)

20 02 20 02 2 11 10 0 20 0 20 02 10 02 0 11 02 11 0 2 11 2 01 11 8 2 4 / 2 2 2 6 3 12 λ λ λ λ λ λ λ λ λ + + + + − + − − + − − + + − − − = a a a a a a x a x a a a a y a a a x a a a x

(

)

(

2

)

20 02 20 02 2 11 11 0 2 11 11 10 2 0 11 01 20 01 20 02 0 20 02 0 8 2 4 / 6 12 4 4 3 4 λ λ λ λ λ λ λ λ λ + + + + − − − + + + − + − + = a a a a a a y a a a x a a a a a a y a a y y

Задавшись интервалом изменения λ, по

-строимрешениесистемы (4) (рис. 9).

Как следует из данного рисунка с увеличе

-нием λприближенное значение отклоняетсяот точного.

При λ=0,1 приближенные значения x

( )

λ и

( )

λ

y равны ; 25 , 0 =

x y=0,136,

аточныезначения x и y следующие

; 265 , 0

=

x y=0,139.

Взяв в качестве x₀=0,25; y₀ =0,136 и вы

-полнивквадратичнуюаппроксимациюфункции )

, (

1 x y

F в окрестности данной точки, решаем

систему (4) при 0,1≤λ≤0,35. Этим решением продолжаем решениепредставленноенарис. 9.

Результатданногопродолжениянарис. 10.

-ленным шагом по λ получить достаточно при

-емлемое по точности решение задачи вектор

-нойоптимизации.

Рис. 9. Решение системы (4). Сплошная линия – точное решение, точки – решение для квадратичной

аппроксимации F₁(x,y), при 0≤λ≤0,1

Рис. 10. Решение системы (4). Сплошная линия – точное решение при

35 , 0

0≤λ≤ , точки – приближенное решение

Учитывая, что данный метод будетисполь

-зоваться в ситуации, когда с помощью экспе

-риментамогут бытьполученытолько значения функций (показателей) взадаче (1) [8], необхо

-димо разработать также метод для выбора то

-чек, вкоторых будет проводитьсяэксперимент и процедуру построения множества Парето по экспериментальнымданным.

Такимобразом, предложеноматематическое описание выбора рациональных параметров сложных механических систем как в общем виде, так и с учетом особенностей рельсовых экипажей. Этоматематическоеописаниеможет служить теоретической основой для после

-дующего выбора конкретных параметров кон

-струкцииисистемгашенияколебанийприпро

-ектировании новых конструкций рельсовых экипажей, а также для прогнозирования экспе

-риментапоопределениюразличныххарактери

-стикрельсовыхэкипажей.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. Камаев В. А. Оптимизация параметров ходовых частей железнодорожного подвижного состава. – М.: Машиностроение, 1980. – 215 с.

2. Мямлин С. В. Оптимизация параметров рессор-ного подвешивания рельсовых экипажей / С. В. Мямлин, А. Н. Пшинько // Вісник Східноукра-їнського національного університету ім. В. Да-ля. – Луганськ, 2003. – № 9 (67). –С.79–85. 3. Мямлин С. В. Оптимизация параметров

рессор-ных комплектов тележек пассажирского вагона / С. В. Мямлин, А. Н. Пшинько // Вісник Дніп-ропетровського нац. ун-ту залізнич. тр-ту ім. акад. Лазаряна. – Д.: Вид-во Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна. – 2005. – № 7. – С.47–51.

4. Ногин В .Д. Принятие решений в многокрите-риальной среде: количественный подход. – М.: Физматлит, 2002. – 144 с.

5. Мямлин С. В. Моделирование динамики рель-совых экипажей. – Д.: Новая идеология, 2002. – 240 с.

6. Нормы для расчета и проектирования новых и модернизируемых вагонов железных дорог МПС колеи 1520 мм (несамоходных). – М.: МПС РФ, 1996.

7. Босов А. А. Производные функции множества // Залізнич. транспорт України. – 2004. – № 4. – С. 16–18.

8. Босов А. А. Функции множества и их примене-ние: Монография. – Днепродзердинск: Изд.дом «Андрей», 2007. – 182 с.