ABSORBING DEVICE WITH VARIABLE MASS OF THE WORKING FLUID

УДК 629.4.028.86

Л.А. МАНАШКИН, Dr., Prof., Mechanical Engineering Department, Njit, США С.В. МЯМЛИН, д-ртехн., наук, доцент (ДИИТ)

ПОГЛОЩАЮЩИЙ

АППАРАТ

С

ПЕРЕМЕННОЙ

МАССОЙ

РАБОЧЕГО

ТЕЛА

Пропонуєтьсяматематичнамодельпоглинаючогоапаратадлярейковихекіпажів. Основноюособ -ливістюматематичноїмоделієурахуваннятемпературнихтаіншихфізичнихявищ, яківідбува -ютьсявгідрогазовихпоглинаючихапаратах.

Предлагаетсяматематическаямодельпоглощающегоаппаратадлярельсовыхэкипажей. Основной особенностьюматематическоймоделиявляетсяучеттемпературныхидругихфизическихявле -ний, которыепроисходятвгидрогазовыхпоглощающихаппаратах.

A mathematical model of a draft gear for rail vehicles is suggested in the paper. Taking into consideration the temperature and other physical phenomena, which take place in the hydro-gaseous draft gears, is a basic peculiarity of the mathematical model.

Приизучениидинамическойнагруженности отдельных рельсовых экипажей, сцепа не -скольких экипажейилипоездавцелом, особое место занимает моделирование межэкипажных связей, к которым относятся ударно-тяговые приборыи, вчастности, поглощающиеаппара -тыразличныхконструкций. Особуюсложность представляет математическое моделирование гидрогазовыхпоглощающихаппаратов.

Известные [1, 2] гидрогазовыe поглощаю -щиеаппараты являются, строгоговоря, устрой -ствами с переменной массой рабочего тела. В них основное рабочее тело – столб жидкости

между плунжером и плавающим поршнем.

Масса жидкости в предплунжерной камере из -меняется впроцессе сжатияпоглощающегоап -парата. Но это изменение массы жидкости свя -занотолько сизменениемдлины пространства, занятогожидкостью, и влияет на коэффициент жёсткостистолбажидкости, которыйдостаточ -но велик и не является определяющим при формировании силовой характеристики погло -щающего аппарата. Эта жёсткость совместнос другими конструктивными деформируемыми элементами лишь ограничивает крутизну на -растания силы при ударном сжатии погло -щающего аппарата [2, 3]. В изобретении [4] описана конструкция гидрогазового погло -щающего аппарата с переменным количеством газаврабочейкамере.

Особенностьюгазовыхамортизаторовудара илигазовых элементов с большим ходомявля -етсято, чтопри большомколичествегазавка -мере возрастает величина силы начальной за -тяжки, амортизатор хорошо работает при мед

-ленных, квази-изотермическихпроцессах, ноне реализует свойходприударных нагрузках, так как во время адиабатических процессов при больших ходах аппарата его жёсткость превы -шает жёсткость амортизируемой конструкции. Приуменьшении жеколичества газаврабочей камере поглощающий аппарат с большим хо -домхорошофункционирует приударах, нопри медленных квазистатических нагрузках исчер -пывает свой ход при сравнительно малых си -лах. Эти противоречия преодолены в погло -щающем аппарате с переменным количеством газаврабочейкамере.

азотом через зарядный клапан 15. Камера 14 высокого давления может быть расположена либо за промежуточным днищем 9 в том же стакане, где и рабочая камера 13 низкого дав -ления, либо внестакана. Гидравлическая каме -ра 16 заполняется жидкостью (например, мас -лом амг-10) через отверстие 7. Для предотвра -щения вытекания жидкости или газа плаваю -щий поршень, наружная поверхность стакана, профилированный стержень и клапаны снаб -женыуплотнениями.

11

7 1

2 4 3

6 16

5

10 13

14

8 12 9

15

Рис.1. Схемапоглощающегоаппаратаспеременным количествомгазаврабочейкамере

Аппарат работает следующим образом. В исходномсостояниидавлениеврабочейкамере 13 низкого давления равно номинальному – зарядному, адавлениевкамере 14 (ресивере) – в несколько раза выше. При квазистатическом сжатиина прямомходе стакан 5 перемещается внутрькорпуса 1, ижидкостьиз камеры 16 вы -тесняетсячерезотверстие 7 взапоршневую об -ласть. Плавающий поршень перемещается и сжимает газ в камере низкого давления. Как толькодавлениеврабочейкамере 13 превыша -ет величину давления, установленную клапа -ном максимального давления, которое должно быть выше, чем давление в камере 14, клапан 11 открывается ичастьгазаиз камеры 13 пере -ходит в камеру 14. При этом ограничивается максимальное усилие при сжатии газа и обес -печиваетсярассеиваниеэнергиигазазасчетего расширенияприпереходеиз камеры 13 вкаме -ру 14. Таким образом, количество газа в рабо -чей камере 13 меняется в процессе работыпо -глощающего аппарата. На обратном ходе кла -пан максимального давления закрывается. Сжатыйвкамере 13 газвозвращаетплавающий поршень в исходное состояние, вытесняя при этомжидкостьиззапоршневойобластивкаме -ру 16. При падениивкамере 13 давленияниже номинального открывается клапан минималь -ногодавленияигазиз камеры 14 возвращается

в камеру 13, поддерживая в ней номинальный уровень давления. Это обеспечивает постоян -ныйуровеньсилы, выталкивающейжидкостьи возвращающей аппарат в исходное состояние. При динамическом нагружении к силе сопро -тивлениягазавкамере 13 добавляетсясиласо -противленияжидкости, возникающаяприпере -текании ее через проходное отверстие. Если сила, сжимающая аппарат, превышает допус -тимый уровень, открывается предохранитель -ный клапан 4, который понижает гидросопро -тивление аппарата и поддерживает усилие на постоянномуровне. Этотуровень регулируется взависимостиотпотребностейклапаном 4.

На графиках, приведенных на рис. 2, пока -заныкачественно ожидаемые силовыехаракте -ристики аппарата при статическом (изотерми -ческом) нагружении (линия 1), при динамиче -скомнагружении (линия 2) изависимостьсилы сопротивления газа сжатию при динамическом (адиабатическом) нагружении от величины хо -да аппарата (линия 3). Здесь S_H – величина силы начальной затяжки, соответствующая но -минальному давлению вкамере 13, S_Ã – огра -ничение по силе сопротивления газа, соответ -ствующее давлению срабатывания регулируе -мого клапана максимального давления газа, q

– перемещение силового поршня 6 аппарата с ходом δ, S_g – уровень силы, при котором от -кроется регулируемыйклапан, если давлениев камере 16 превышаетзаданныйуровень.

Рис.2. Силовыехарактеристикипоглощающегоап

-паратаспеременнымколичествомгазаврабочей камере

Из приведенного рисунка видно, что сило -ваяхарактеристикатолькогазовойчаститакого аппарата может быть достаточно энергоёмкой со значительным коэффициентом рассеивания энергии.

Так как рассматриваемый аппарат является гидрогазовым, то вцеломмы можем использо -вать математическую модель, описанную в [2, 3], с помощью дифференциального уравнения вида

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎬ ⎫

∆ κ

∆

κ + > =

κ ∆

κ β

0 = q

( S ) -(1 < S ) = q (

S S

q

S |> S -S | < q < 0

), q q +

(1 S = S

), S -S ( | S -S | = q

B 0

B

B B

B

B B

1

-∩ ∩

∩ ∩

∪

∪ ∩

иначе еcли

, ) ) 0 ( ) 1 ( )

0 (

sign sign

0

где β – коэффициент гидравлического сопро -тивленияпоглощающего аппарата его сжатию, κ – коэффициент силы сухого трения манжет плунжераокорпусаппарата.

Особенность математической модели, рас -сматриваемой в этой работе, заключается в способе вычисления восстанавливающей силы

B

S при сжатии переменных количеств газа. Математическая модель строится примени -тельно кпошаговым алгоритмам [2, 5] числен -ного дифференцирования дифференциальных уравнений систем с устройствами, использую -щими переменное количество газа в рабочей камере.

Приведенная к площади поршня сила S_B определитсяизвыражения

1 0p

F

S_B = , (1)

где F₀ – площадь силового поршня 6; p₁ – давление газа в рабочей камере 13, приведен -ноекдавлениюгазавкамере 16.

Далеебудемрассматриватьрабочуюкамеру 13 на рис. 1 как камеру с индексом 1. Состоя -ниегазавэтойкамеревкаждыймоментвреме -ни t определяется его количеством, выражен -ным числом молей ν₁, а также температурой

1

T , объёмом камеры V₁ и давлением p₁. Ана -логично, нос индексом 2 обозначеныпарамет -ры, характеризующие состояние газа в камере 14 – ресивере. Дляопределениядавлениягазав камерах используется уравнение состояния ре -альногогаза

, ) ,

( _{i i i i} i

i

iV z p T RT

p = ν i = 1, 2, (2) где z_i(p_i,T_i) – коэффициент сжимаемости ре -ального газа, определённый экспериментально ипредставляемыйлибоввиде таблиц [5], либо графически [6, 7].

Сначала определимтемпературугаза вслед -ствие изменения объёмарабочейкамеры, пере -текания газа из камеры в камеру, теплообмена и теплоотдачи. Для упрощения пренебрегаем деформациейоболочкикамеры. Объёмрабочей камеры влюбоймомент времени t припереме -щении q силовогопоршнясоставит

) ( )

( _{10 0}

1 t V Fq t

V = − ,V₂ =V₂₀=Const, (3) где V₁₀ – начальный объём рабочей камеры,

20

V – постоянныйобъёмресивера 14. Скорость измененияобъёмасоставит

.

0

1 F q

V =− (4)

Значения q и q определяются в процессе интегрирования дифференциальных уравнений движениясистемы с рассматриваемымаморти -затором, то есть известны для любогомомента времени t.

Энтальпия (теплосодержание) W газаопре -деляетсявыражением [5, 6, 9]

pV E

W = + , (5)

где E – внутренняя энергиягаза. Принимаяво внимание, что W =νC_PT и E=νC_VT, а C_P и

V

C – теплоёмкости одного моля газа при по -стоянных давлении и объёме, запишем выра -жение для энтальпии газа в обоих камерах в виде

. 2 , 1 , = +

ν =

ν_iC_PT_{i i}C_VT_i p_iV_i i (6) С достаточной степенью точности можно считать, что C_P −C_V =R, где R – универсаль -наягазоваяпостоянная.

Производныеповременисоставят:

1 1 1 1 1 1 1

1RT =−νRT + pV + pV

ν , (7)

2 2 2 2 2

2RT =−ν RT + p V

ν . (8)

Производные по времени давления найдём, пользуясь интерполяционными уравнениями состояния реального газа [8], взятыми в виде уравнения Ван-дер-Ваальса или второго урав -ненияДитеричи, представленнымиввиде

(

−ν

)

=ν , =1,2.

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ν

+ V b RT i

V a

p _{i i di i i}

d

i i di i

i

, (9)

-ные температуры газа (в градусах Кельвина);

r=8,31 Дж (мольּК)-1 _[7…10];

i

d – индексы и показатели степени для уравнений состояния газа в каждой из камер, которые при d_i =2 представляют уравнение состояние реального газа (9) как уравнение Ван-дер-Ваальса, а при

3 / 5

=

i

d – каквтороеуравнениеДитеричи. По -стоянные a_di и b_di соответственноравны [9]:

2

à

a_d = =1,35·105_МПа·см6_·моль-2_,

2

b

b_d = =38,6 см3_{· моль}-1 _,

3 / 5

a

a_d = =2,1·104_МПа·см5_·моль-5/3_,

3 / 5

b

b_d = =20,6 см3_·моль-1_.

При выборе интерполяционного уравнения состояния газа в данный момент времени для каждой из камер исходим из следующих сооб -ражений (допуская приблизительно 10 % по -грешность):

– значения постоянных, соответствующих интерполяционному уравнению Ван-дер -Ваальса, принимаются до тех пор, пока значе -ние объёма камеры хотя бы в 3 раза больше собственного объёма молекул газа Ван-дер -Ваальса, равного b_2iν_i;

– если не соблюдается последнее условие, то используются значения постоянных, соот -ветствующихвторомууравнениюДитеричи (до техпор, покаобъёмкамерысгазомхотябыв 3 раза превышал собственный объём молекул газаДитеричи, равный b _iν_i

3 5 ).

Обозначимбуквой G расход газавколиче -ствахмолей заодну секунду при его перетека -нии из камеры 1 в камеру 2 и обратно. При этом, исходяизусловийнеразрывностипотока, запишем

2 1=ν ν − =

G , (10)

то есть расход газа положительный, когда газ перетекает из рабочей камеры в ресивер, и от -рицательный, когда возвращается обратно на обратномходепоглощающегоаппарата.

После дифференцирования уравнения со -стояния, подстановки значений p₁ и p₂ в вы -ражения (7) и (8) ипроведениярядапреобразо -ваний, получим канонические дифференциаль -ные уравнения для определения первого при -ближения температур T_a1 и T_a2 газав камерах при его адиабатическом сжатии или расшире -нии в процессе работыпоглощающего аппара

-та: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ν ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ν ν − − − ⎢ ⎣ ⎡ − ν − − + ⎥ ⎦ ⎤ ν ν − − − ν − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎢ ⎣ ⎡ − ν ν − ⋅ − = T b RT b V p d b V b V b d V b RT b V p d b V V b b V d G T d d d d d d d d d d a , (11)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 1 1 1 1 V b T RT v V p v d v v d G T d d d d d d a = β ν β × ⎥ ⎦ ⎤ β − + ⎢ ⎣ ⎡ + β − β − − − = (12)

Количество газа в обеих камерах определя -ется путём интегрирования уравнений (13) и (14):

µ − =

ν₁ G , (13)

µ =

ν₂ G (14)

при известных начальных условиях; µ – масса одного моля газа. Уравнения для определения G массовогорасходагаза приегоперетекании изкамерывкамерурассмотримпозже.

Выше отмечалось, что получаемые на каж -домшагеинтегрированияуравнений (11) и (12) значения T_a1 и T_a2 являются лишь первым приближением. При составлении этих уравне -ний не принималось во внимание тепло, пере -носимое самимгазом, теряемоепри теплоотда -че, получаемое вследствие трения манжет о корпусаппарата. Поэтомудалеебудемсчитать, чтополученныеприинтегрированииуравнений (11) и (12) температурыявляютсялишьпервым приближением и подлежатуточнению, опреде -ляемомурядомфизическихпроцессов.

Количество тепла ∆Q12, переносимое газом,

перетекающимизкамеры 1 вкамеру 2, опреде -лится разностьютемпературиколичеством пе -ретекающегогазазавремя∆t, соответствующее шагуинтегрирования, тоесть

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ∆ − = ∆ . 0 , 0 , 0 , )

( _{1 2}

12 G G t T T GC

Q p a a

если

Количествотепла ∆Q₂₁, переносимоегазом, перетекающимизкамеры 2 вкамеру 1, опреде -литсяразностью температуриколичествомпе -ретекающего газа за время ∆t, соответствую -щеешагуинтегрирования, тоесть

⎩ ⎨ ⎧

≥ < ∆

− =

∆

. 0 ,

0

, 0 ,

)

( _{2 1}

21 GC T T t _GG

Q p a a

если

если (16)

Количествотепла, передаваемоегазомизодной камеры газу в другую за счёт теплообмена че -резстенки иперегородкиаппарата, можетбыть найденоспомощьювыражения

t T T Q

Q_ОБМ =−∆ _ОБМ =−α_ОБМ − ∆

∆ _{1 2} ( _{1 2}) ,(17)

где αОБМ – экспериментально определяемый

коэффициенттеплообменадляконкретнойкон -струкциипоглощающегоаппарата.

Далее предполагается, что наружная темпе -ратураравна T_í , а коэффициенты теплоотдачи газаравны a_g1 и a_g2 иопределяются экспери -ментально для конкретных условий эксплуата -ции амортизатора (материалкорпуса амортиза -тора, особенности креплений амортизатора к амортизируемой конструкции, особенности эксплуатации этой конструкции и охлаждения корпусаи т.п.). Это значит, чтозавремя ∆tгаз каждойизкамерпотеряетчастьтепла:

[

T t t T t T

]

t Q_B =−α_{g a} +∆ + − _í ∆ ∆ _{1 1}0,5 ₁( ) 0,5₁() , (18)

[

T t t T t T

]

t QB =−αg a +∆ + − í ∆ ∆ 2 20,5 2( ) 0,5 2() .(19) Одновременновтечениеэтогожеинтервала времени газ получит некоторое количество те -пла от внешних источников. Этимиисточника -ми является тепло, возникающее при трении манжетовплунжера или поршня о стенки кор -пусакамеры, а также тепло, передаваемое газу при нагревании жидкости в гидравлических гасителях при её дросселировании через мест -ныесопротивления.

Количествотепла, получаемоегазомкамеры 1 от трения манжет поршня за время ∆t, с не -которымзавышениемсоставит

t t q t S

Qòð = κ B ∆

∆ 1 0,24 () ( ) , (20) где κ – коэффициент трения манжет о стенки камеры, )S_B(t – сила сопротивления газа сжа -тию (в кН) вмомент времени t. Коэффициент тренияманжетово стенки камерыобычнопри -нимаетсядлярезиновыхуплотненийприблизи -тельнораным 0,1, адлявторопластовыхуплот -нений – 0,05 именьше.

Количество тепла, получаемое газом от встроенного в рассматриваемый амортизатор гидравлическогогасителяколебаний, составит

t q t

q S

Q_g = _g ∆ = β ∆

∆ 3

1 0,24 0,24 | | , (21)

где S_g1 – силасопротивления при дросселиро -вании жидкостивгидравлическом гасителеко -лебаний, β – коэффициент гидравлического со -противления.

Пользуясьрешениями уравнений (11) и (12) для определения значений T_a1 и T_a2 в момент времени t+∆t ивыражениями (15) – (21), най -дём суммарные количества тепла, полученные газомкамер 1 и 2 завремя ∆t, тоесть

1 1 1

1 21

1

g òð

B

ÎÁÌ

Q Q

Q

Q Q Q

∆ + ∆ + ∆ +

+ ∆

+ ∆ = ∆

, (22)

2 2

12

2 Q QÎÁÌ QB

Q =∆ +∆ +∆

∆ . (23)

При отсутствии какого-либоиз перечислен -ных источников тепла или игнорировании им соответствующее слагаемое приравнивается нулю.

Выражения (22) и (23) позволяютнайти по -правки ∆T₁ и ∆T₂ температургаза вкамерах 1 и 2:

1 1

1 _µν

∆ = ∆

V

C Q

T , (24)

2 2

2 _µν

∆ = ∆

V

C Q

T , (25)

послечегоможноопределитьтемпературугаза в конце шага интегрирования, а именно, в мо -ментвремени t+∆t:

1 1

1(t t) T (t t) T

T +∆ = _a +∆ +∆ , (26)

2 2

2(t t) T (t t) T

T +∆ = _a +∆ +∆ . (27) Найдя температуру газа в момент времени

t

t+∆ , с помощью уравнениясостояния (2) на -ходимдавлениегазавкамерах

[

]

) (

) ( )

( ), (

) (

1 1 1 1

1 1

t t V

t t RT t t T t p z

t t p

∆ +

∆ + ν

∆ + =

= ∆ +

[

]

) ( ) ( ) ( ), ( ) ( 2 2 2 2 2 2 t t V t t RT t t T t p z t t p ∆ + ∆ + ν ∆ + = = ∆ + . (29)

Для осуществления вычислений по приве -денным выше формулам необходимо опреде -литьрасход G(t) реальногогаза при его пере -теканииизкамеры вкамеру. Вработах [11, 12] приведены такие формулы, полученные для случая течения идеальногогаза. Однакодавле -ние и температура газа в камерах при работе поглощающегоаппарата таковы, чтосостояние газасущественноотличаетсяот состояния иде -ального газа. Далее при моделировании тече -ниягазаиз камеры 1 вкамеру 2 иобратнопри -мем приближённую формулу уравнения со -стоянияввиде

, 2 , 1 , )

(V −bν =νRT i=

p_{i i i i i i} (30)

где величина коэффициента b_i определяется в каждыймоментвремениизвыражения

, 2 , 1 , 1 = −

= RT i

p z

b _i

i i

i (31)

вкотором z_i есть известное [7, 8] эксперимен -тально определённое значение коэффициента сжимаемости газа для его состояния, опреде -ляемого температурой T_i в данный момент и средним значением p_i давления в интервале

)] (

[p_i,p_i t , гдездесьидалееi=1, 2 соответствен -нопритеченииизкамеры 1 вкамеру 2 иобрат -ноизкамеры 2 вкамеру 1.

Дляопределениярасходагазачерезканалы, соединяющиекамеры 1 и 2 другсдругом, вос -пользуемся уравнением Бернулли для случая постоянныхобъёмныхпотенциальныхсил [11]

Const ))

(

( =

+P p_i t 2

v2

i _{. (32)}

В этом уравнении Бернулли P(p_i) – функ -циядавления (движениебаротропно) и

∫

_ρ = ) ( ) ( ) ( t p p i i i i p dp p

P , (33)

где ρ_i(p) – зависимостьплотностигазаотдав -ления. Эта зависимость определяется рассмат -риваемым процессом. Далее, как и в работах [11, 12] будем считать, что кратковременный процесс перетекания газа из камеры в камеру

происходит адиабатически. Можно показать [10], что при адиабатичском процессе будет справедливоследующееравенство

k i i i k i i

i t _t b p b

p _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ρ µ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ρ µ ) ( )

( , (34)

вкоторомk=1.4; p_i и ρ_i – фиксированныедля некоторого начального момента времени зна -чения давления и плотности газа в соответст -вующей номеру индекса камере. Отсюдаполу -чим ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ρ − µ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ µρ = ρ k i i i i k i i i i p t p b p t p t ₁ 1 ) ( 1 ) ( )

( , (35)

где µ – массаодногомолягаза.

Подставив последнее выражение в (33), а затемпослеинтегрирования – в (32), послеряда пребразованийполучим ( ) 2 v 2 v 2 i 2 j = = σ − µ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ µ ρ − ρ − − − Const 1 1 1 1 1 i i i k k i i i i p b b p k k

i , (36)

гдеj=1, 2; j≠i; v_j – скоростьвтекания газав камеру с номером j, а σ_i составляет

2 1 2 1 2 1 , p p p p _{σ =} =

σ . Начальнуюскоростьгазавкаме

-ре, изкоторойонвытекает, можносчитатьрав -нойнулю, тоестьvi =0.Такимобразом

( ) 2

1 1 1 1 1 1 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ σ − µ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ − × × ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ µ ρ − ρ − = − i i i k k i i i i i j p b b p k k v

. (37)

В случае идеального газа, когда b_i =0, вы -ражение (37) сводится к известному равенству СенВенанаиВантцеля [11, 12].

Определив скорость перетекания газа, вы -числимрасходg(t) поформуле

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ρ ξ < ρ ξ = − − , , , , ) ( 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 p p f p p f t G если если v v (38)

-налаперетеканиюгаза, определяемый экспери -ментальнои зависящий от формыканала и со -противления движению газа по каналу (уско -ряющиеканалытипасопеллаваля [11] здесьне рассматриваются); f_i – площадь сечения кана -ла, покоторомуперетекаетгазизоднойкамеры в другую. Плотности газа в камерах определя -ются в процессе интегрирования дифференци -альныхуравненийспомощьювыражения

2 , 1 , = µν =

ρ i

V_i

i

i . (39)

Анализизменения расхода g в зависимости от уменьшения величины σ_i, проведенный в работах [11, 12] для случая идеального газа, показывает, что при некотором критическом значении _{σкр =0,528} имеет место максимум величины g. Физически это объясняется тем, чтопритакомзначениисоотношенийдавлений газана входеивыходе потокаустанавливается скорость потока, равная скорости звука. При такой скорости все уменьшения давления при

i

σ < σкр = 0,528 не смогут распространяться противпотока, абудутсноситьсявсторонупо -тока, не меняя его скорости. То есть при

i

σ < σкр = 0,528 расход газа будетсохраняться постоянным, равным максимальному значе -нию. Аналогичные явления будут иметь место и в рассматриваемом нами случае течения ре -ального газа. При этом следует иметь в виду, что скорость звука существенно зависит от давления итемпературыгаза. Поэтомуприпо -строении модели с использованием приведен -ныхвышеформулалгоритмвычислениярасхо -дадолжен содержать в себе численный анализ значенийрасхода g на максимум приусловиях вмомент времени. Нарис. 3 изображёнкачест -венно график зависимости G(σ). Пунктирная часть кривой, соответствующая значениям g при σ_i<σкр, при расчётах заменяется горизон -тальнымотрезком G=G_max.

Рис.3. ЗависимостьG(σ)

Рассмотрим алгоритм вычисления функции )

(t

G . Предполагается, чтодляданногомомента известны все величины, входящие в формулы (37)-(39), тоестьизвестныдляданногомомента значения давлений p_iи p=0,5(p₁+p₂), соот -ветствующее значение

z

, величина σ и соот -ветствующее ему значение g, вычисленное с помощью выражений (37)-(39). Это значение обозначим, как G₀. Затем увеличимзначениеσ на малую величину ∆σ, то есть вычислим но -вое значение σ+∆σ и соответствующее ему значение g с помощью выражений (37)-(39), которомуприсвоим символ∆σ. Если окажется, что σ+∆σ, то считаем, что G(t)=G0. Если же

окажется, что G1=G0, то снова увеличиваем

предыдущее значение σ на величину ∆σ, вы -числяем g с помощью выражений (37)-(39) и приравниваем его G1. Далее производим срав

-нение, как в выполняется в каждый момент времени, пока не будет вычислено соответст -вующее сплошным линиям на рис. 3 значение

∆σ. Нарис. 4 приведенаблок-схемапрограммы для вычисления с использованием описанного алгоритмазначенияG(t)=G(σ(t)).

Рис.4. Блоксхемапрограммыдлявычислениярас

-ходаG(t)

(31), используемых для определения расхода газаG(t). В работах [7, 8] приведеныобобщён -ные кривые зависимости коэффициента сжи -маемости газов от величин давления при раз -ных температурах. С помощью этих кривых для ряда значений приведенного давления

c r _p

p

p = иприведенной температуры

c r _T

T

T = по

-лучены ипоказаны в таблице численные вели -чины экспериментально определённого коэф -фициентасжимаемостигазаz(pr, Tr). Приведен -ныедавлениеитемператураравныотношениям величиндавленияитемпературы ких критиче -скимзначения Tcи pc, Tc – критическая темпе -ратура, выше которой никаким давлением газ не может быть превращён в жидкость, а pc – критическое давление. Для азота Tc=126K,

pc =3,39 МПа [7-9]. В скобках приведены для азота значения давления и температуры, соот -ветствующие выбранным обобщённым пара -метрам.

Экспериментальныеграфикидляпрактики техническихрасчётовпневмо-амортизаторов удаётсядостаточноточноаппроксимировать выражением

) 0 , 5 ( ]

) 4 ( 057 , 0 27 , 0 [

) 16 , 0 012 , 0 (

16 , 1 1 ) , (

0 7 , 0 2 7 , 0

7 , 0

r T

r r T

T r

r

p e

p p e

e T

p z

r r

r

− σ −

+ +

+ +

+

+ −

=

− −

−

, (40)

вкоторомσ0(5,0-pr) – операторХевисайда, рав -ныйединицеприpr≤5,0 инулюприpr>5,0.

В таблице приведены значения z_appr(p_r,T_r) и погрешности определения с помощью ап -проксимирующей формулы (40) коэффициента сжимаемости газов, показывающие, что в пре -делах 400≤p_r ≤ и 1,8≤T_r ≤6,0 (для азота от -50°С до +483°С) точность расчёта коэффици -ента сжимаемости газа с помощью аппрокси -мирующего выражения (40) достаточна при выполнении технических расчётов. При этом следуетиметьввиду, чтопогрешностьопреде -лениякоэффициента сжимаемости газа по экс -периментально полученным графикам соизме -римаспогрешностьюаппроксимации.

Следует отметить, что аппроксимирующее выражение (40) построено формально матема -тически и не опирается на какие-либо физиче -скиепредпосылки.

Таким образом, выше предложена матема -тическаямодель газового поглощающегоаппа -рата, нагруженнойпневмоопоры, амортизатора с переменным количеством газа в рабочей ка -мере.

Таблица

Коэффициентысжимаемостигазов [7,8]

T, t°C pr, (p,

МПа)

z, (pr, Tr)

zappr

(pr, Tr) δ%

2 (6,78) 0,94 0,93 -1,1

4 (13,56) 0,92 0,98 +6,5

6 (20,34) 0,96 1,02 +6,3

8 (27,12) 1,06 1,13 +6,6

10 (33,9) 1,17 1,24 +6,0

20 (67,8) 1,73 1,82 +5,2

30 (101,7) 2,28 2,39 +4,8

1,8 (-50)

40 (145,6) 2,81 2,96 +5,3

0 (0) 1,00 1,01 +1,0

1 (3,39) 0,98 0,96 -2,0

2 (6,78) 0,97 0,94 -3,1

4 (13,56) 0,96 0,99 +3,1

6 (20,34) 1,01 1,02 +1,0

8 (27,12) 1,08 1,13 +4,6

10 (33,9) 1,17 1,23 +5,1

20 (67,8) 1,67 1,74 +4,2

30 (101,7) 2,16 2,26 +4,6

2,0 (-21)

40 (145,6) 2,63 2,77 +5,3

1 (3,39) 1,00 0,97 -3,0

2 (6,78) 1,01 0,97 -4,0

4 (13,56) 1,03 0,96 -6,8

6 (20,34) 1,07 1,04 -2,8

8 (27,12) 1,13 1,12 -0,9

10 (33,9) 1,17 1,20 +2,6

20 (67,8) 1,57 1,59 +1,2

30 (101,7) 1,96 1,99 +1,5

2,5 (+42)

40 (145,6) 2,32 2,23 -3,9

0 (0) 1,00 1,00 0,0

1 (3,39) 1,03 0,99 -3,9

2 (6,78) 1,03 0,99 -4,0

4 (13,56) 1,06 1,03 -3,0

6 (20,34) 1,11 1,08 -2,7

3,5 (+168)

8 (27,12) 1,15 1,13 -1,7

10 (33,9) 1,19 1,15 -3,4

20 (67,8) 1,41 1,36 -3,5

30 (101,7) 1,64 1,58 -3,7

4,0 (+231)

40 (145,6) 1,87 1,80 -3,7

10 (33,9) 1,18 1,13 -4,2

20 (67,8) 1,32 1,27 -3,8

30 (101,7) 1,48 1,41 -4,7

6,0 (+483)

40 (145,6) 1,5 1,64 +9,3

правые части дифференциальных уравнений, реализуется выбранный метод численного ин -тегрирования, с шагом ∆treg, кратным шагу ин -тегрирования ∆t, запоминаются, печатаются, демонстрируются на экране монитора резуль -татырешениязадачианалогичноописанномув работе [13].

Рис.5. Блок-схемапрограммы, включающейвсебя программнуюреализациюматематическоймодели элементаспеременнымколичествомгазаврабочей

камере

Выделеннаяпунктиром частьреализует вы -числениявсоответствиис описаннойвышема -тематической моделью. Внутри этой части в каждомблоке указываются вычисляемыепара -метры, а вскобкахприводятся номера формул, используемых для вычисления указанных па -раметров.

Предложеннаяматематическая модельгазо -вого поглощающего аппарата и алгоритм про -граммной реализации этой модели могут быть использованы как при моделировании про -странственных колебаний рельсовых экипажей всоставепоезда [14], такисамостоятельно для изучения работы соответствующих конструк -цийпоглощающихаппаратов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. Гидрогазовый аппарат автосцепки повы -шеннойэнергоемкости / З.О. Каракашьян, М.М. Болотин, В.Я. Першин и др. / Тр. МИИТ. – Вып. 451. – М.: МИИТ. – 1975. – С. 161-164.

2. Блохин Е.П., Манашкин Л.А. Динамика поезда (Нестационарные продольные колеба -ния). – М.: Транспорт, 1982. – 222 с.

3. Манашкин Л.А. Некоторые вопросы ма -тематического моделирования гидравлических и гидрогазовых амортизаторовудара / Днепро -петр.ин-т инж. железнодорожного тр-та. – Днепропетровск, 1977. – 36 с. – Рус. – Деп. в ЦНИИТЭИМПС, 1977, № 568 – Ук. ВИНИТИ, депонир. рукописи, № 11, 1977. – С. 233.

4. Гидрогазовый поглощающий аппарат: А. С. 734044 ссср, мки2 _{в 61 g 9/08 / В.А.Лазарян,}

Л.А. Манашкин, А.В. Юрченко и др. (ссср). – Опубл. 15.05.1980, бюл. № 18.

5. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Чис -ленные процессы решения дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1969. – 275 с.

6. Варгафтик Н.Б. Справочник по теплофи -зическим свойствам газов и жидкостей. – М.: Гос. изд-во физико-математической литерату -ры, 1963. – 708 с.

7. Obert E.F., Concepts of thermodynamics, new york, mcgraw-hill book company, 1960. – 528 p.

8. Moran M.J., Shapiro H.N. Fundamentals of engineering thermodynamics, 2000, New York, John Wiley & Sons. – 918 p.

9. ВукаловичМ.П., НовиковИ.И. Уравнение состояния реальных газов. – М.: ГЭИ, 1948. – 340 с.

10. Ландау Л., Лифшиц Е. Статистическая физика. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. – 479 с.

11. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1987. – 840 с.

12. Герц Е.В. Динамика пневматических систем машин. – М.: Машиностроение, 1985. – 256 с.

13. Расчёты и испытания тяжеловесных по -ездов / БлохинЕ.П., МанашкинЛ.А., Стамблер Е.Л. идр. – М.: Транспорт, 1986. – 268 с.