KONSTRUKSI MODEL PERAMALAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE STATE SPACE : STUDI KASUS PADA EKSPOR ENERGI
INDONESIA (Skripsi)
Oleh
RAMADHANI SAPUTRA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
CONSTRUCTION OF FORECASTING MODEL USING STATESPACE’S METHOD CASE STUDY : EXPORT OF INDONESIA’S ENERGY
By
Ramadhani Saputra
Coals are energy source for power plants and main ingredient for steel and cement production. Data of energy export are time series that can be predicted. State space is one of the time series analysis procedure that can be use for forecasting. State space generates best parameter model using past data. The only asumption to fill is data should be stationary. The purpose of this research are to find the best model for parameter estimation that use to forecast coal and oil export. From analysis found that the export data is not stationary. In order to stationary data, data differenced with lag =1 (d =1). The model that found from statespace modeling are result of iteration estimation that generated from canonic corelation analysis on VAR (vector autoregressive) model. Application in this model to forecast coal and oil export for the next 12 month are well enough with mean absolute percentage error for coal and for oil.
ABSTRAK
KONSTRUKSI MODEL PERAMALAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE STATESPACE STUDI KASUS PADA EKSPOR ENERGI
INDONESIA
Oleh
Ramadhani Saputra
Batubara adalah sumber energi untuk pembangkitan listrik dan berfungsi sebagai bahan bakar pokok untuk produksi baja dan semen. Data ekspor energi merupakan data deret waktu yang dapat diprediksi. State space merupakan prosedur deret waktu yang digunakan untuk meramalkan data deret waktu. Keunggulan state space dapat memilih model parameter terbaik dengan menggunakan data sebelumnya. Satu-satunya asumsi yang harus dipenuhi yaitu data yang digunakan harus stasioner. Tujuan penelitan ini adalah untuk menemukan model terbaik pada pendugaan parameter yang digunakan untuk meramalkan data ekspor batubara dan minyak bumi. Dari analisis ditemukan bahwa data ekspor batubara dan minyak bumi tidak stasioner. Untuk menstasionerkan data, dilakukan differencing dengan menggunakan lag ( ) agar data stasioner. Model yang didapatkan dari pemodelan statespace adalah hasil iterasi dari dugaan yang dihasilkan analisis korelasi kanonik terhadap model VAR (vector autoregressive). Aplikasi model ini pada peramalan ekspor batubara dan minyak bumi untuk 12 bulan kedepan cukup baik dengan mean absolute percentage error untuk batubara dan untuk Minyak Bumi.
KONSTRUKSI MODEL PERAMALAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE STATE SPACE : STUDI KASUS PADA EKSPOR ENERGI
INDONESIA
Oleh
Ramadhani Saputra
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
Judul Skripsi : KONSTRUKSI MODEL PERAMALAN
DENGAN MENGGUNAKAN METODE STATE SPACE : STUDI KASUS PADA EKSPOR
ENERGI INDONESIA Nama Mahasiswa : Ramadhani Saputra Nomor Pokok Mahasiswa : 1417031097
Program Studi : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI 1. Komisi Pembimbing
Prof. Drs. Mustofa Usman, M. A., Ph.D. NIP. 19570101 198403 1 020
Dr. La Zakaria, S.Si., M.Sc. NIP. 19690213 1994021 001
2. Ketua Jurusan Matematika
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Prof. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D. ...
Sekretaris : Dr. La Zakaria, S.Si., M.Sc. ...
Penguji
Bukan Pembimbing : Widiarti, S.Si., M.Si. ...
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. NIP. 19710212 199512 1 001
PERNYATAAN SKRIPSI MAHASISWA
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Ramadhani Saputra
Nomor Pokok Mahasiswa : 1417031097
Jurusan : Matematika
Judul : Konstruksi Model Peramalan dengan
Menggunakan Metode Statespace Studi Kasus Pada Ekspor Energi Indonesia
Dengan ini menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri dan semua tulisan yang tertuang dalam skripsi ini telah mengikuti kaidah karya penulisan ilmiah Universitas Lampung.
Bandar Lampung, 2 Oktober 2018 Yang Menyatakan,
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Metro pada tanggal 17 Januari 1997. Penulis merupakan anak ketiga dari pasangan Almarhum Bapak Imam Sujono dan Ibu Susmiatun. Adik dari Chandra Susanto, dan Andy Siswanto.
Penulis menempuh Pendidikan awal di TK Pertiwi pada tahun 2002. Pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 2 Tulusrejo pada tahun 2008. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 3 Metro pada tahun 2011. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 1 Metro pada tahun 2014. Pada tahun 2014 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SBMPTN. Pada periode 2014/2015 penulis terdaftar sebagai anggota bidang Eksternal HIMATIKA dan anggota bidang Eksternal HIMATIKA pada periode 2015/2016.
KATA INSPIRASI
If you want to make the world a better place, take a look at yourself
and make a chage
(Michael Jackson – Man in the Mirror)
Sometimes you have to take a leap of faith first, the trust part comes
later
(Superman)
It’s easy to know motivation quotes, but what is hard to apply them
to your life
(Gymaholic)
Maka nikmat Tuhan kamu yang manakah yang kamu dustakan?
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap puji dan syukur kehadirat Allah
Subhanahuwata’ala kupersembahkan karya kecil dan sederhana ini
untuk:
Ibu tercinta yang selalu mendoakan, memberi semangat, dan telah
menjadi motivasi terbesar selama ini.
Kakak-kakakku tersayang, Mas Chandra dan Mas Andy yang selalu
berbagi canda, tawa serta menjadi penyemangat penulis.
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dan selalu
memberikan motivasi kepada penulis.
Sahabat-sahabat tersayang. Terimakasih atas kebersamaan, keceriaan,
canda tawa, serta doa dan semangat yang diberikan.
SANWACANA
Puji syukur penulis haturkan kepada Allah Subhanahuwata’ala yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Konstruksi Model Peramalan Dengan Menggunakan Metode Statespace Studi Kasus Pada Ekspor Energi Indonesia”.
Dalam proses penyusunan skripsi ini, banyak pihak yang telah membantu memberikan bimbingan, dukungan, motivasi, serta saran sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Prof. Mustofa Usman, M.A., Ph.D, selaku dosen pembimbing utama sekaligus pembimbing akademik. Terima kasih telah membimbing penulis, menyumbangkan ilmu, memberikan motivasi dan pengarahan, serta kesedian waktu yang diberikan.
2. Bapak Dr. La Zakaria, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing kedua. Terima kasih telah membimbing penulis, menyumbangkan ilmu, memberikan motivasi dan pengarahan, serta kesedian waktu yang diberikan.
3. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku penguji. Terima kasih atas kesediaan waktu serta kritik dan saran yang membangun dalam proses penyusunan skripsi ini. 4. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
6. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Ibuku tercinta dan kakak-kakakku tersayang, Mas Chandra dan Mas Andy yang selalu memberikan doa dan dukungan kepada penulis.
8. Sahabat-sahabat penulis, Arif, Redi, Nurul, Hilda, Nada, Sitikom, Arum, Fika, Lala, Dea, Linda, Rara, Raka, Maget, Yola, Dracjat dan Dellania yang selalu memberikan doa dan semangat bagi penulis.
9. Sahabat-sahabat Konco, Bima, Budi, Ami, Ari, Al, Om Arya, Yusuf dan Eris yang sama-sama bercita-cita menjadi trader handal.
10. Teman-teman jurusan matematika angkatan 2014 serta seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas peran dan dukungannya dalam menyusun skripsi ini.
Bandar Lampung, 2 Oktober 2018 Penulis,
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ... 1
1.2 Tujuan Penelitian ... 3
1.3 Manfaat Penelitian ... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Peramalan ... 4
2.2 Analisis Deret Waktu ... 4
2.3 Analisis Peubah Banyak ... 5
2.4 Stasioneritas ... 6
2.5 Differencing ... 7
2.5.1 Differencing Biasa ... 8
2.6 Transformasi Box-Cox ... 8
2.7 Fungsi Autokorelasi dan Autokorelasi Parsial ... 9
2.7.1 Fungsi Autokorelasi ... 9
2.7.2 Fungsi Autokorelasi Parsial ... 10
2.8 Proses White Noise ... 11
2.9 Model Autoregressive ... 13
2.10 Model Moving Average, MA(q) ... 14
2.11 Model State Space ... 15
2.12 Kriteria Informasi ... 17
2.13 Analisis Korelasi Kanonik ... 18
2.14 Pemilihan Komponen State Vector ... 19
2.16 Pendugaan Parameter ... 21
2.17 Kalman Filter ... 21
2.18 Ketepatan Model Peramalan ... 23
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 24
3.2 Data Penelitian ... 24
3.3 Metode Penelitian ... 24
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Uji Stasioneritas dan Pembedaan ... 27
4.2 Statistik Deskriptif dan Premilinary Autoregressive ... 33
4.3 Pemilihan Model State Space dan Pendugaan Awal ... 35
4.4 Pendugaan Model State Space ... 37
4.5 Peramalan Data Set ... 41
4.6 Uji Korelasi Data Ekspor dengan Inflasi ... 44 V. KESIMPULAN
DAFTAR TABEL
Tabel Hal.
4.1.1 Print Out SAS untuk uji Augmented Dickey Fuller Batubara ... 28
4.1.2 Print Out SAS untuk uji Augmented Dickey Fuller Minyak Bumi ... 30
4.1.3 Print Out SAS uji Augmented Dickey Fuller Batubara (setelah differencing) ... 31
4.1.4 Print Out SAS uji Augmented Dickey Fuller Minyak Bumi(setelah differencing) ... 32
4.2.1 Print Out SAS untuk Statistik Deskriptif dan AIC model VAR ... 33
4.2.2 Print Out SAS untuk penduga Yule Walker AIC Minimum ... 34
4.3.1 Print Out SAS Analisis Korelasi Kanonik ... 35
4.3.2 Print Out SAS untuk model Statespace dan Pendugaan Awal ... 36
4.4.1 Print Out SAS untuk model Statespace yang fitted ... 37
4.4.2 Print Out SAS untuk pendugaan Parameter dan Uji Model State Space ... 39
4.5.1 Hasil Peramalan Model State Space ... 41
DAFTAR GAMBAR
Tabel Hal.
4.1.1 Print Out SAS untuk analisis Tren dan Korelasi Batubara ... 29 4.1.2 Print Out SAS untuk analisis Tren dan Korelasi untuk Minyak
Bumi ... 30 4.1.3 Print Out SAS analisis Tren dan Korelasi untuk Batubara (setelah
differencing) ... 31
4.1.4 Print Out SAS analisis Tren dan Korelasi untuk Minyak Bumi (setelah differencing) ... 32
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Batubara adalah sumber energi penting untuk pembangkitan listrik dan berfungsi sebagai bahan bakar pokok untuk produksi baja dan semen. Namun demikian, batubara juga memiliki karakter negatif yaitu sebagai sumber energi yang paling banyak menimbulkan polusi akibat tingginya kandungan karbon. Sumber energi penting lain seperti gas alam memiliki tingkat polusi yang lebih sedikit namun rentan terhadap fluktuasi harga di pasar dunia. Dengan demikian, banyak industri di dunia yang mulai mengalihkan fokus energi mereka ke batubara.
Untuk dapat mengetahui perkembangan ekspor batubara pada masa yang akan datang, telah dilakukan pengamatan terhadap ekspor batubara Indonesia
menggunakan data dari tahun 2002 hingga 2017. Selain batubara, ekspor minyak bumi sebagai salah satu sumber energi di Indonesia juga akan dianalisis. Salah satu metode statistika yang dapat digunakan adalah analisis deret waktu atau time series.
2
untuk menemukan model dalam mengekspresikan hubungan waktu yang
terstruktur antar peubah yang kemudian dapat dievaluasi hubungannya atau dapat dilakukan peramalan dari satu atau lebih peubah.
State space merupakan salah satu prosedur dalam deret waktu yang dapat
digunakan untuk meramalkan data deret waktu. Keunggulan state space sendiri, state space dapat memilih model parameter terbaik tanpa asumsi khusus untuk
meramalkan data di masa yang akan datang. Meskipun ada asumsi yang harus dipenuhi yaitu data yang digunakan harus stasioner.
Pada penelitian ini dilakukan peramalan terhadap jumlah ekspor energi di Indonesia (dalam juta dollar) yaitu batubara dan minyak bumi untuk mengetahui perkembangan ekspor energi di Indonesia untuk masa mendatang menggunakan metode state space dan mencari hubungannya terhadap inflasi.
1.2 Tujuan Penelitian
3
1.3 Manfaat Penelitian
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Peramalan (Forecasting)
Peramalan adalah prediksi dari kejadian-kejadian yang akan datang. Seperti yang dikatakan oleh Niels Bohr, membuat prediksi yang akurat tidak selalu mudah. Peramalan adalah solusi dalam permasalahan penting yang mencakup banyak ruang termasuk bisnis dan industri, pemerintahan, ekonomi, ilmu lingkungan, medis, ilmu sosial, politik, dan keuangan. Peramalan dapat dikelompokkan sebagai jangka pendek, menengah, dan jangka panjang.
Kebanyakan permasalahan peramalan melibatkan penggunaan data deret waktu. Data deret waktu adalah orientasi waktu atau barisan kronologi pengamatan pada sebuah peubah (Montgomery, dkk; 2008).
2.2 Analisis Deret Waktu (Time Series Analysis)
Analisis deret waktu merupakan salah satu metode statistika yang sering
5
beberapa peubah atau peristiwa untuk kemudian dapat dievaluasi hubungannya atau dapat dilakukan peramalan dari satu atau lebih peubah (Pankratz, 1991).
Deret waktu merupakan serangkaian observasi terhadap suatu peubah yang diambil secara beruntun berdasarkan interval waktu yang tetap (Wei, 2006). Rangkaian data pengamatan deret waktu dinyatakan dengan peubah dimana t adalah indeks waktu dari urutan pengamatan.
2.3 Analisis Peubah Banyak (Multivariate Analysis)
Analisis peubah banyak merupakan suatu teknik statistika yang digunakan untuk menganalisis data yang terdiri dari dua atau lebih peubah yang dilakukan secara simultan.
Menurut Johnson dan Wichren (2007), terdapat beberapa kegunaan dari analisis peubah banyak dalam penelitian ilmiah, yaitu :
1. Penyederhanaan struktur atau dimensi data. Hal ini dimaksudkan sebagai upaya untuk merepresentasikan fenomena yang sedang dipelajari sesederhana mungkin tanpa harus mengorbankan banyak informasi.
2. Pengelompokan dan pengsortiran. Kelompok-kelompok yang serupa dari obyek-obyek dibuat berdasarkan karakteristik tertentu. Tujuannya agar pengklasifikasian dari obyek-obyek atau peubah-peubah dalam kelompok- kelompok terdefinisi dengan baik.
6
4. Prediksi. Hubungan antarpeubah ditentukan dengan tujuan untuk memprediksi satu atau lebih peubah lainnya
5. Pembentukan dan pengujian hipotesis. Hipotesis diformulasikan dalam konteks parameter-parameter populasi peubah banyak.
Menurut Dillon dan Goldstein (1984), analisis peubah banyak dibedakan kedalam dua bagian, yaitu :
1. Analisis Dependensi
Analisis dependensi berguna untuk menerangkan atau memprediksi peubah tak bebas dengan menggunakan dua atau lebih peubah bebas. Analisis yang termasuk dalam metode ini yaitu analisis regresi berganda, analisis diskriminan, analisis ragam peubah banyak, dan analisis korelasi kanonik.
2. Analisis Interdependensi
Analisis interdependensi berguna untuk menjelaskan seperangkat peubah atau mengelompokkan peubah-peubah tertentu. Analisis yang termasuk dalam analisis interdependensi ini yaitu analisis faktor, analisis gerombol, dan skala multidimensional.
2.4 Stasioneritas
7
Stasioner dibagi menjadi dua yaitu : 1. Stasioner dalam rata-rata
Stasioner dalam rata-rata adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut. Dari bentuk plot data seringkali dapat diketahui bahwa data tersebut stasioner atau tidak stasioner. Apabila dilihat dari plot ACF (Autocorellation Function) , maka nilai-nilai autokorelasi dari data stasioner akan turun menjadi nol sesudah time lag (selisih waktu) kelima atau keenam. 2. Stasioner dalam variansi
Sebuah data deret waktu dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan menggunakan plot deret waktu, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari waktu ke waktu.
2.5 (Differencing) Pembedaan
Differencing (pembedaan) digunakan untuk mengatasi data yang tidak stasioner
8
2.5.1 Differencing Biasa
Menurut Pankratz (1991), ketika data tidak mempunyai rata-rata yang konstan, data baru dapat dibuat memiliki rata-rata konstan dengan cara differencing data, artinya menghitung perubahan pada data secara berturut-turut. differencing pertama atau dirumuskan :
Jika differencing pertama belum membuat deret data memiliki rata-rata yang konstan, maka dilakukan differencing dua atau yang berarti menghitung differencing pertama dari differencing pertama. Definisikan sebagai differencing pertama dari sehingga rumus untuk differencing kedua
sebagai berikut :
( ) ( )
2.6 Transformasi Box-Cox
Menurut Pankratz (1991), untuk menstasionerkan varian dalam suatu data deret waktu digunakan transformasi Box-Cox. Transformasi log dan akar kuadrat merupakan anggota dari keluarga power transformation yang disebut Box-Cox Transformation (Box and Cox, 1964).
9
dimana , . Jika maka disebut transformasi akar kuadrat karena
adalah akar kuadrat dari .
2.7 Fungsi Autokorelasi dan Autokorelasi Parsial
Dalam metode deret waktu, alat utama untuk mengindentifikasi model dari data yang akan diramalkan adalah dengan menggunakan fungsi
autokorelasi/Autocorrelation Function (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial/Partial Autocorrelation Function (PACF).
2.7.1 Fungsi Autokorelasi
Untuk proses stasioner suatu data deret waktu dimiliki ( ) ,
( ) ( ) , konstan dan ( ), yang berfungsi pada perbedaan waktu | ( )|. Hasil tersebut dapat dijadikan sebagai kovariansi antara dan , yaitu :
( ) ( )( )
dan korelasi antara dan yaitu :
( )
√ ( ) ( )
dimana ( ) ( ) . Sebagai fungsi dari k, disebut fungsi
10
waktu, dan menggambarkan kovarian dan korelasi antara dan dari proses yang sama, hanya dipisahkan oleh lag ke-k.
2.7.2 Fungsi Autokorelasi Parsial
Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara dan
, apabila pengaruh time lag dianggap terpisah. Korelasi
bersyaratnya sebagai berikut.
( )
Dianggap sebagai autokorelasi parsial dari analisis deret waktu.
Misalkan adalah stasioner, dan asumsikan ( ) , dependen linier dari
pada . Dan sebagai penduga linier terbaik dari
rata-rata kuadrat yang merupakan fungsi linier dari
Jika ̂ adalah penduga linier terbaik dari maka
̂ (2.1)
dimana ( ) adalah rata-rata kuadrat regresi linier yang didapat dengan menyederhanakan
( ̂ ) ( ) (2.2)
Metode penyederhanaan menggunakan diferensiasi menghasilkan sistem persamaan linier berikut
( ) (2.3)
Dan autokorelasinya dalam bentuk :
11 [ ] [ ] [ ] (2.5) Serupa dengan,
̂ (2.6) dimana ( ) adalah koefisien rata rata kuadrat regresi linier yang diperoleh dengan menyederhanakan
( ̂ ) ( ) . (2.7) Oleh karena itu,
[ ] [ ] [
], (2.8)
yang mana menunjukan bahwa ( )
Dari autokorelasi dalam persamaan (2.5) dan (2.8) menunjukan bahwa
autokorelasi parsial antara dan akan sama dengan autorkorelasi antara
( ̂ ) dan ( ̂ ) (Wei, 2006).
2.8 Proses White Noise
Menurut Wei (2006), suatu proses disebut proses white noise jika deret data terdiri dari peubah acak yang tidak berkorelasi dan berdistribusi normal dengan rata-rata konstan
( ) , diasumsikan sama dengan 0, variansi konstan ( )
12
{
Fungsi autokorelasi
{
Proses white noise dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada analisis error-nya. Uji korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya korelasi residual antar lag. Pengujian korelasi residual diuji menggunakan uji Ljung Box-Pierce dengan hipotesis awal residual tidak terdapat korelasi dan
hipotesis alternatif residual terdapat korelasi, jika dituliskan sebagai berikut :
Menggunakan taraf signifikasi umum yaitu α = 5%
( ) ∑ ̂
dengan
T : banyaknya data
k : banyaknya lag yang diuji
̂ : dugaan autokorelasi residual periode k K : batas uji lag
13
2.9 Model Autoregressive, AR(p)
Model Autoregressive merupakan model yang menggambarkan hubungan antara peubah terikat dengan peubah bebas yang merupakan nilai pada waktu sebelumnya. Dengan kata lain dapat dikatakan ketergantungan nilai pengamatan
terhadap , , .
Bentuk umum orde ke-p model AR dapat diberikan sebagai
(2.9) Dengan:
: nilai pengamatan pada periode waktu ke-t : parameter model AR
: residual pada periode waktu ke-t
AR(p) dari deret waktu pada persamaan (2.9) stasioner jika akar-akarnya berasosiasi dengan polinomial
Atau
| |.
Nilai ekspektasi untuk AR (p) yang stasioner,
( )
Dengan
14
( ) ( )
( )
∑ ( ) ( ) (2.10)
∑ ( ) {
Kemudian diperoleh
( ) ∑ ( )
( )[ ∑ ]
2.10 Model Moving Average, MA(q)
Model Moving Average (MA) merupakan model yang menggambarkan
ketergantungan peubah terkait terhadap nilai-nilai galat pada waktu sebelumnya yang berurutan. Dengan kata laian, proses MA menyatakan ketergantungan nilai
terhadap , , , . Proses MA dengan order q dengan notasi MA(q) didefinisikan sebagai :
( )
dengan :
: nilai peubah pada waktu ke-t : nilai-nilai error pada waktu t : koefisien regresi,
q : order MA
15
( ) ( )
dan variannya
( ) ( ) ( ) ( )
Dengan cara yang sama diperoleh nilai autokovarian pada lag k
( ) ( )
( )( )
{ ( )
Diperoleh fungsi autokovarian dari proses MA(q) pada lag k yaitu
( ) ( ) ( ) {
( )
(Wei, 2006).
2.11 Model State Space
Model state space pertama kali diperkenalkan oleh Kalman (1960) serta Kalman dan Bucy (1961), adalah pendekatan untuk memodelkan dan memprediksi secara bersama beberapa data deret waktu yang saling berhubungan, serta peubah-peubah tersebut memiliki interaksi yang dinamis (Wei, 2006).
16
nilai sebelumnya dan nilai sekarang dari suatu deret waktu yang relevan untuk memprediksi nilai yang akan datang (SAS Institute Inc. 2003).
Menurut Wei (1989) dan Akaike (1976) diacu dalam SAS Institute Inc. (2003), model state space merepresentasikan suatu proses stokastik dari yang stasioner. Model ini didefinisikan sebagai state transition equation:
(2.11)
Dengan :
: state vector dengan dimensi dimana elemen pertama adalah vektor observasi dan elemen terakhir syarat untuk peramalan kedepan
: matriks koefisien berukuran yang disebut matriks transisi, yang menentukan sifat dinamis dari model
: matriks koefisien berukuran yang disebut matriks input, yang menentukan struktur ragam dari persamaan transisi. Untuk
identifikasi model, baris dan kolom pertama dari disusun menjadi matriks identitas
( ) berukuran .
ei : vektor sisaan bersifat acak yang menyebar normal berdimensi dengan nilai tengah 0 dan matriks kovarian .
17
Ide utama dalam pemodelan state space adalah untuk menemukan state vector. State vector mengandung nilai saat ini dari semua deret yang digunakan dalam
proses ditambah peramalan yang cukup untuk masa depan sehingga untuk semua peramalan, adalah kombinasi linear (Brocklebank dan Dickey, 2003).
2.12 Kriteria Informasi
Kriteria informasi digunakan sebagai acuan dalam pemilihan model terbaik. Dalam model state space kriteria pemilihan model terbaik yang digunakan adalah Akaike’s Information Criterion (AIC). Prosedur AIC digunakan untuk
mengevaluasi seberapa baik model sementara dibandingkan dengan model sebenarnya dengan melihat perbedaan anatara nilai ekspetasi dari vektor y dari model sebenarnya dengan model sementara.
| ̂ |
dimana :
= banyaknya observasi = dimensi dari vektor proses = lag yang digunakan
| ̂ | = determinan dari matriks kovarian contoh yang bersifat white noise pada pemodelan AR(p)
18
2.13 Analisis Korelasi Kanonik
Dalam kasus peubah banyak, analisis korelasi lebih dikenal dengan istilah analisis korelasi kanonik. Analisis korelasi kanonik merupakan suatu analisis yang
digunakan untuk mengidentifikasi dan mengkuantifikasi hubungan antara dua gugus peubah secara simultan. Analisis korelasi kanonik berbeda dengan korelasi sederhana, parsial atau berganda. Dalam analisis korelasi kanonik selain dianalisis korelasi antar peubah independen dan peubah dependen, juga korelasi antar gugus peubah independen dan gugus peubah dependen (Akaike, 1976).
Penentuan unsur dari state vector melalui serangkaian analisis korelasi kanonik dari matriks autokovarian contoh. Dalam model state space peubah dengan korelasi yang nyata dimasukkan ke dalam state vector. Sedangkan, peubah yang tidak nyata dikeluarkan dari state vector (SAS institute Inc. 2003).
19 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]
Pemilihan nilai p mengacu pada model VAR dengan nilai AIC terkecil. Analisis korelasi kanonik mengacu pada Block Hankel dari matriks kovarian contoh, yaitu
̂ [
̂( ) ̂( ) ̂( ) ̂( ) ̂( ) ̂( ) ̂( ) ̂( ) ̂( ) ̂( ) ̂( ) ̂( )]
Dimana ̂( ) , 2p merupakan matriks kovarian contoh .
Komponen dari sebuah vektor prediksi | memungkinkan hubungan linear yang tidak saling bebas. Sehingga, analisis korelasi kanonik dibentuk melalui semua komponen dari data space.
[
]
Dan komponen dari predictor space
[ | | | |
| | ]
Korelasi kanonik terkecil akan digunakan pada pemilihan komponen state vector (SAS Institute Inc. 2003).
2.14 Pemilihan Komponen State Vector
20
korelasi kanonik, kesignifikanan dari korelasi kanonik dilambangkan dengan
̂ , yang didasarkan kriteria informasi Akaike (1976):
Jika > 0, | maka ditambahkan ke dalam state vector.
Untuk pengujian kesignifikanan korelasi kanonik salah satu pendekatan yang dapat digunakan adalah uji Chi-Square ( ) dengan hipotesis :
:
:
Statistik uji :
( ( ( ) )) ( )
dengan derajat bebas
( )
Jika ( )maka ditolak, artinya korelasi kanonik signifikan.
2.15 Maximum Likelihood Estimation
Prinsip dari maximum likelihood estimation (MLE) dikembangkan oleh R.A. Fisher pada 1920an, menyatakan bahwa distribusi peluang yang dinginkan adalah yang membuat data pengamatan sangat mirip dengan data populasi, yang mana distribusi harus mencari nilai vektor parameter yang memaksimalkan fungsi likelihood ( | ) Hasil dari vektor parameter, dengan mencari parameter multidimensional space, disebut penduga MLE, dan dilambangkan dengan
21
Untuk mengilustrasikan prosedur MLE, gunakan parameter binomial. Tidak mungkin memperoleh bentuk solusi analitik dari penduga MLE, terutama ketika model melibatkan banyak parameter dan PDF nya sangat tidak linear. Pada situasi seperti itu, penduga MLE harus dicari secara numerik menggunakan algoritma fungsi optimasi (Myung, 2003).
2.16 Pendugaan Parameter
Menurut Wei (2006), setelah model state space diidentifikasikan, proses
pendugaan parameter model state space diduga menggunakan pendekatan MLE. Proses ini dilakukan secara iteratif, pendugaan model state space diperoleh dari analisis kanonik, sedemikian sehingga diperoleh penduga yang efisien bagi
dan ∑.
2.17 Kalman Filter
22
Menurut Wei (1989), Kalman filter merupakan prosedur rekursif yang digunakan untuk melakukan pemilihan state vector. Kalman filter merupakan prosedur pembaharuan secara rekursif yang terdiri dari pembentukan dugaan awal dari state kemudian merevisi dugaan dengan menambahkan koreksi pada dugaan awal. Besarnya koreksi ditentukan oleh seberapa baik dugaan awal memprediksi observasi baru.
Keakuratan peramalan ̂ ( ) bergantung pada kualitas pendugaan ̂ dari state vector .. Ketika sebuah informasi yang baru tersedia, harus dilakukan
pembaharuan state vector, begitu pula dengan peramalannya.
Setelah dilakukan pembaharuan state vector, hasil pembaharuan nantinya yang digunakan untuk memperbarui rataan dan matriks kovarian serta sebaran dari state vector setelah observasi baru, yaitu tersedia. Dugaan dari state yang telah diperbaharui yaitu ̂ adalah penjumlahan dari ̂ , yaitu dugaan dari observasi sampai waktu t, dengan peramalan erorr 1 langkah ke depan yaitu
̂ ( ). Matriks disebut Kalman gain, yang menentukan
23
2.18 Ketepatan Model Peramalan
Ketepatan peramalan dihitung dengan menggunaan rataan presentase kesalahan absolut (Mean Absolute percentage Error, MAPE). Secara matematis MAPE dapat dituliskan sebagai berikut :
∑ | ̂
|
% (2.15)
Dimana :
: nilai aktual
̂ : nilai hasil peramalan
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2017/2018, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari lama website Badan Pusat Statistika yang diolah dari dokumen kepabeanan Ditjen Bea dan Cukai dan dikutip dari Publikasi Statistik Indonesia tentang Ekspor Indonesia.
3.3 Metode Penelitian
25
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Menguji kestasioneran data dengan plot data (time series plot) dan plot ACF. Jika menggunakan plot masih terdapat keraguan dalam pengambilan
keputusan, agar lebih meyakinkan dapat menggunakan uji Augmented Dickey Fuller.
2. Menggunakan transformasi data dengan metode Box-Cox apabila data tidak stasioner terhadap varian.
3. Melakukan pembedaan (differencing) pada data apabila data tidak stasioner dalam rata-rata.
4. Melakukan pemodelan VAR jika sudah diperoleh data yang stasioner, dan menghitung nilai AIC untuk setiap model VAR.
5. Melakukan pemodelan state space.
a. Setelah pemodelan VAR diperoleh, model yang memiliki nilai AIC terkecil digunakan dalam analisis korelasi kanonik.
b. Unsur pada state vector disusun dari peubah korelasi kanonik yang nyata. c. Ketika state space telah ditentukan, maka model state space dapat
diterapkan pada data tersebut. Parameter-parameter dalam state space ( ) diduga dengan pendekatan maximum likelihood.
6. Peramalan beberapa periode kedepan dilakukan setelah parameter-parameter diduga. Peramalan berdasarkan model state space dilakukan dengan teknik Kalman filter.
26
V. KESIMPULAN
Pada penelitan ini, data ekspor batubara dan minyak bumi yang didapatkan dari laman website Badan Pusat Statistika diteliti menggunakan analisis time series pemodelan state space. Dari analisis ditemukan bahwa data ekspor batubara dan minyak bumi tidak stasioner. Untuk menstasionerkan data, dilakukan differencing dengan menggunakan lag agar data stasioner. Pemodelan
DAFTAR PUSTAKA
Akaike H. 1976. Canonical Correlations Analysis of Time Series and the Use of an Information Criterion of Advances and Case Studies in System
Identification. New York: Academic Press.
Box, G. E. P. dan Cox, D. R. 1964. “An Analysis of Trasnformations” dalam Journal of The Royal Statistical Society, Series B (Methodological) Vol 26, No 2. (hlm 211-252). New York: John Wiley & Sons, Inc.
Brocklebank, John C. dan Dickey, David A. 2003. SAS for Forecasting Time Series. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Brockwell, Peter J. dan Davis, Richard D.. 2002. Introduction to Time Series and Forecasting. 2nd edition. New York: Springer-Verlag.
BPS, Ekspor Batubara, https://docs.google.com/spreadsheets/d/1PigYljIuxw6_ HfgVOEMx_uRknJWHCFdtHai4cycb4SE/edit?usp=sharing . diakses tanggal 10 Januari 2018.
BPS, Minyak Bumi, https://docs.google.com/spreadsheets/d/19MtwHuccACoAV 1w7d6RfBTt_IXQCXtBEdhy7T7R4Vcg/edit?usp=sharing , diakses tanggal 10 Januari 2018.
Dillon, W. R. dan Goldstein, M.. 1984. Multivariate Analysis Methods and Applications. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Harrison, P. J. dan Stevens, C. F. 1976. “Bayesian Forecasting”, Journal of The Royal Statistical Society, Series B (Methodological) Vol 38, No 3. (hlm 205-247). New York: John Wiley & Sons, Inc.
Johnson, Richard A. dan Wichren, Dean W. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis. 6th edition. New Jersey: Pearson Education, Inc. Kalman, R. E. 1960. “A New Approach to Linear Filtering and Prediction
Kalman, R. E. dan Bucy, R. S. 1961. “New Results in Linear Filtering and Prediction Theory”, Journal of Basic Engineering Vol 83, No 1. (hlm 95-108). New York: The American Society of Mechanical Engineers Makridakis, S., Whelwright, S. C., dan McGee, V. E. 1983. Forecasting :
Methods and Applications. 2nd edition. New York: John Wiley and Sons, Inc.
Montgomery, Douglas C., Jennings, Cheryl L., dan Kulahci, Murat. 2008. Introduction Time Series Analysis and Forecasting. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.
Myung, In Jae. 2003. “Turorial on Maximum Likelihood Estimation”, Journal of Mathematical Psychology Vol 47 (hlm. 90-100). Ohio: Department of Psychology, Ohio State University.
Pankratz, Alan. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models. Indiana: John Wiley & Sons, Inc.
SAS Institute Inc. 2003. SAS/ETS User’s Guide, Version 9.4. New York: SAS Institute Inc.
Wei, William W. S. 1989. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. New York: Addison-Wesley.
