On the Affine Transformations of HFE-Cryptosystems and Systems with Branches

"!$#&%

(')*+',- .0/ 12'*345 7689: ;<0=>?

@BADCFEHGJILK$MNPOJKQN

∗

RTSVUXWY N[Z\N[AQE\I^]$_`EHacbd

Y b]EfegThGji(NPE\ZkGjCmlnoa3I^]&bp

qTesrcr&tDucvwnoa3IL]&bp

xy{z|:}&~Q€m4‚ƒ{‚(„3|†…‡|:ˆ‰…3Š>}ˆ‰‹4Œ~D‡&…(,€mŽ‚

‘(’9“m”H•–k“

—*˜™›šœfžŸšœmž$ ¡œ£¢¡˜9¤9œf¥F˜s¢? ›š˜§¦¨§©˜«ªP¦H¢› ¡™?œH¬4 ›š˜™¡˜9¤s¢¡˜s ®­F˜s¯°¬jœ\¢B¦¤9˜s¢› ±¦H²³©`¤s´µ¦\™¡™

œH¬3¶¸·†¹†º¼»¢›¯^ª ¡œk™›¯½™› ¡˜s¾§™m¿4·À¢› ›š˜s¢Áž˜Bž²³´³´c™›šœfžÂ ›šP¦H Á¦H©L¯+™›¯^™¡ ¡˜s¾Ãž²³ ›šÄ¢±¦H©¤±š˜9™

¤m¦H©+ĉ˜¸Å˜9¤9œ\¾ª‰œk™¡˜9Å£²³©£²³ ¡™™›²³©Æk´Ç˜ÁÄ¢±¦H©¤¡š˜9™>²³©ª‰œ\´³¯^©œ\¾²µ¦H´D ›²³¾§˜Áœ\©°¦m¥F˜s¢±¦HÆF˜k¿È4š˜

É ¢¡™› ªP¦H¢› ÆF˜s©˜s¢±¦H´³²³Êm˜9™‘ ›š˜£¢¡˜9™›À´³ «¬Ë¢¡œ\¾Ì³ÍVΠ¡œ*¦2IJ³ÆkÆF˜s¢§¤s´µ¦\™¡™‘œH¬Á™›¯½™› ¡˜s¾§™§¦H©Å0²Ç™

¦\¤¡š²Ç˜s¥F˜9ÅÄL¯o¦?Ž²ÐÏD˜s¢¡˜s©Ñ ¦Hªª¢¡œF¦\¤¡šQ¿ÒÁ˜9™¡ª²³ ¡˜: ›š˜>¬j¦\¤s  ›šP¦H ™›¯½™› ¡˜s¾§™ž²³ ›šoÄ¢±¦H©¤±š˜9™

¦H¢¡˜2©œ\ £À™¡˜9ÅÓ¦H©Ñ¯^¾§œ\¢¡˜ÕÔ֙¡˜9˜Ì³ÍkÍÑ×ØÎËÙV×Áœ\À¢+™¡˜9¤9œ\©ÅÚ¢¡˜9™›À´³ £²Ç™£¦™› ›²³´³´®œH¬B²³©L ¡˜s¢¡˜9™› m×

¦\™²³ ™¡šœmž:™ ›šP¦H £Ä¢±¦H©¤¡š˜9™£Ä‰˜s´Çœ\©Æ ¡œ ›š˜2´³²Ç™› oœH¬-¦H´³ÆF˜sÄ¢±¦H²Ç¤2ª¢¡œ\ª‰˜s¢› ›²Ç˜9™m×:žš²Ç¤±š

¤m¦H©©œ\ ®Ä‰˜Bš²ÇÅŘs©XÄѯ2¤9œ\¾ªÛœk™¡²³ ›²Çœ\©2ž²³ ›šX ›š˜«™¡˜9¤s¢¡˜s ?¦¨§©˜- ›¢±¦H©™Ü¬jœ\¢›¾‘¦H ›²Çœ\©™m¿®—*˜

Řs¢›²³¥F˜9ÅTÄۜ\ ›šT¦H´³ÆFœ\¢›²³ ›š¾§™ÁÄL¯°¤9œ\©™›²ÇŘs¢›²³©Æ‘ ›š˜5¤s¢›¯Lª ¡œk™›¯½™› ¡˜s¾Ý¦\™>œ\Ľޛ˜9¤s ¡™:¬Ö¢¡œ\¾Ã ›š˜

 ›š˜9œ\¢›¯TœH¬©œ\©P¦\™¡™¡œ^¤s²µ¦H ›²³¥F˜«¦H´³ÆF˜sÄ¢±¦\™?¦H©ÅX¦Hªª´³¯^²³©Æ£¤s´µ¦\™±™›²Ç¤m¦H´† ¡˜9¤¡š©²ÇßLÀ˜9™Á¬Ë¢¡œ\¾à ›š²Ç™

 ›š˜9œ\¢›¯F¿,È4š²Ç™«ÆF˜s©˜s¢±¦H´¬Ë¢±¦H¾§˜sžœ\¢›­`¾²³ÆkšL ÄۘoÀ™¡˜V¬ÖÀ´¬jœ\¢B¬ÖÀ ›À¢¡˜²³©Ñ¥F˜9™› ›²³ÆѦH ›²Çœ\©™‘œH¬

¶Á·(¹&º¼»¢›¯Lª ¡œk™›¯½™› ¡˜s¾§™¸œ\¢ ¡œÆF˜s©˜s¢±¦H´³²³Êm˜Bœ\ ›š˜s¢¸¦H › ±¦\¤±­^™:­L©œfž©T™¡œ-¬á¦H¢m¿

â ã{ä+å&æçè*é*ê¸å3ëçoä

ìîí5ï:ðÛñVòPóHñõôPöÛíH÷ùø^øú›ûTü^ý†üLþ‰ÿüLíõð‰ûTòLísò Áö‰ñõò½ö{òÿ ü+ö‰ñõò½ûTýVýþ£óHñ±ôPöÛísò±ôõíû

ó\üÿ

C

∗

üHÿÚò½þÚû£ðísýLü^ñVýËüLíoöcòµôPþ‰ò½ûýÖü ! õö"óHýËüµô ð$#áð%#áò½ñ&VûTü^ñõíVó\ü^ñõÿ ')(ò

Vö* ÿ+ð‰ö£óHò^ûTö‰ð[í9üLíVýËò½þü^þ‰ÿoíVò+Hþ,Dü^þ‰ó-.óHð‰ñõýí›ô Lí,fôýþíVñVòPÿ‰ð‰ó-Hÿí,Áý ÿ\üBò#

ñsüLþ‰ó/, -'

C

∗

0 ü

ñVò1HþÕýËþ‰ÿHö*Hþ‰ÿþíô

ô25ò

HñõíVýËþ0ýþ ÷4356 ðÛþ‰ö‰ð

ý,Hÿ7 "-8:9 <;=>5ü^þÛÿ

ô

?

üLísü^ñVý þXýËþ ÷3@;AB-CDD$E'F(ò+ñHöDüLýËñ¸í, GõôõíHûHI2-ò

Hñ±ísýþAõísðÛÿ‰ýÿ

ýKJóísý«ö{ò

0

ñ

#áð‰þ‰ófísýËò^þ®ò#L,‰ý,Hñîÿ ½ñ

0

,Hñ\ü ? üÑí9ü^ñõýËþ,ýËþíVñVòPÿ‰ð‰ó ÿ,í,&MON4ïQPSRÁñõôPöÛíVòõô±íHû ü^þ‰ÿ

üõòA^üLñVýÖüLþíò#¸ýí

0

ýí,

ñsü^þÛó/, T UDD FDVW XDY5E'Z([,ÿ‰ýVü^ÿLü^þí9ü+ò#Áí,CÖüLíõíHñ

õôõíHûH5ý ‰ý#ü^þ`üLíVísü^ó/1ñBý?ü

-ísòCöDü^ñVüLíí,

ñsü^þ‰ó/, \,§üVò

Hþ$]‰í[#áñõò½û7í,

Vö* ÿ ð‰ö7

HóHü^ð^,§óHü^þ üÑíVí9üLó/12í,&õýËþ

ñVü^þ‰ó/,-OHöDü^ñVüLí-ô'

∗

_7`a[b<c$dfe&ghaikjSdklmagnl4onpk`=liFqrEqaSd%`=r-iXmaaSoCiksqqc$dkpkagtlouq=rEdkp%mYv&pk`=a[w\sdfc$qarEoHx"c-yzy.l{ikiklc$o

pf`dkc-s|$`Opk`=a%}~h_U\dkc-|$d€rEy.y.as=o=ghaSdXx"c$o pkd€r$j‚p7}~_<ƒ„$…$…-„/ƒ†$… ‡Eˆ$‰-„w<x<ŠW‹Q*_XŒ_7`=aFl4ohŽc-dky[rEpklc$ol4opk`=li

ghchjSsy.aSo p!dkaS=aj‚pfi7c$o=‘4v.pf`a%rEshpf`c$d’i*“YlaSb”i•hli7qdfc/“Ylgag–r-i<li!r$o=g–o=c—|-s=rEd€rEo pkaaLc-d<b7rEdfd€rEo pBv.li<|$l“$ao

pf`=r/p7pk`=aQlohŽc-dky[r/pfl4c-o–l{i<˜p7Žc$d!rEoYv[q=r$dpfljSs‘{rEd<qsdfqc ia-Œ_7`=aQsiad"pf`aSdfaSc$s=ikai"pk`=aQlohŽc-dky[r/pfl4c-oOrEp<l4pfi

0

Hñoò½þµô81PþÛò

0

þU#áò½ñ[Hñ±ô õö"óHýËü”õôõíHûHËý1

C

∗

' üÑíHñBûò½ñ&þHñVü3ö‰ñVò

ü

ýý±ísýËó

üLíõí9ü^ó/1

0

ýµí,[ö{ò½þHþíVýÖü3ñVðÛþ‰þ‰ýËþíVýËûHH[ö{ò½þþíVýÖü3ýþ`í,^õý-oò#í,

ñVü^þ‰ó/,- <

7DD$

0

Hñoÿ‰ýVóòHñHÿ7'>ì?ü+óHò^þ PðHþ‰ó-ò½þµôT±ôõíû

0

ýµí,

ñsüLþ‰ó/, Bò#ûò[ÿñsüLí

Vý +óò½ðËÿ

°óHò½þõýËÿñÿ HóHðÛñ'C([,ðí,Hõö"-Hÿ ð‰ö ò#>óHò½ûö‰ðÛísüLísýò½þ

0

ü‘þÛòò½þñ

½ýHþ ü^þ‰ÿ Vð‰ó/, õôõíHûH

0

HñTþ‰òLíoðHÿ ü^þô[ûò½ñ'쏑ò½þ ôVûTü

ñsü^þÛó/, oóHò½ð ÿ

ñóHòhñÿ ýËþ Hþñsük {ýµí

0

ü–#áñVò½û ü°í,ò½ñfísýó\ü&ö{ò½ýËþí5ò#QPý

0

õíVý&ü^þ0ò½ö*Hþð ±ísýËò^þ7

ý#

ñsü^þÛó/, îóHü^þ

,‰ýÿ‰ÿHþ

ôí,+MNïXPÜö‰ñVýþ‰óHýö ýf':'

ôTóHò½ûöcòVýíVýËò½þ

0

ýµí,2í,HóHñí

üþ‘ísñsüLþ#áò½ñõû2üÑísýËò^þ '¸ú›þWHófísýò½þ 9

0

oóHò½þõýËÿñBí,‰ýð ±ísýò½þ #áñVò^û í,oö"ñõö"óísý

ò#:þ‰ò^þDüõò[óýÖüLíVý£ü

ñVü '–([,‰ý

0

ý3ôPý Ëÿ`ísò,üLþ ü^ò½ñVýµí,‰û íVòXñóHòhñ«í,

ñsü^þÛó/,

#áò½ñoü^þÓü^ñ

ýíVñsü^ñ±ô6õô±íHû ýËþ öcòµôPþ‰ò½ûýÖüíVýËûH°ò½þÓüYñsüXü^þ‰ÿ í,ð£ö‰ñõòPýþí,DüLíí,

ü^þ

0

ñ5ý®þ‰ò'

WHófísýò½þ65Tò#í,‰ý5öDüLö"ñ-ýBóHò^þ‰ó ñVþÿ

0

ýí,í,^Hóñfí§üþoíVñsü^þ#áò½ñõû2üLíVýËò½þBðHÿ

ísò`óHò^þõíVñVð‰ófíí,íVñsü^ö{ÿ‰òPò½ñ 'TúÜíýoüLþÚò½ö*Hþ ö‰ñVò

Hû 3ý#>í,óHð‰ñõýí›ôÕýoü"HófíHÿ

0

,Hþ

Ëý þ\üLñ5ûTü^ö‰ö‰ýþ5ü^ñó/,‰òþÕýËþ±í\üLÿ ò#>üþ£ûTü^ö‰ö‰ýþ-'-ìîí+]Dñõí

0

ñõý Ûô ÿ-VóñVý

0

,DüLí

0

ð‰þ‰ÿñ±í9ü^þ‰ÿ

ô ýËûýËþDüÑísýËþ0í,üþ ö‰ü^ñõí ' ([,Hþ

ô ü^ö‰öµôPýËþ ó ËüõýËó\ü

íó/,‰þ‰ýPð z#áñõò½ûÝí,?í,Hò½ñ±ôTò#†þ‰ò½þ‰üõò[óýÖüLíVý5ü

ñVü

0

O,‰ò

0

Pí,DüLí>í,-üþ5öDü^ñ±í

ó\üLþ

H ýËûýËþDüÑíHÿ6#áò½ñ§ó-Hñõísü^ýËþ ó Ëüoò#IMNïXP€õôõíHûH 4ýþ‰ó ð‰ÿ‰ýþ8õôõíHûHuËý1Qü,7'

([,‰ý–Hþñsüý -îí,§ñ Vð í?ýËþ ŽD k

ðÛí

0

oûTü1§ð§ò#4ü+ÿ‰ý<ñþí5ü^öÛö‰ñVòüLó/,7'

æfë ëä§æë !

" üVð‰ûH,í,DüÑíí,`ñ\üLÿHñýu# ü^ûýýÖü^ñ

0

ýí,Âí,*í,ò½ñõôwò#–]Dþ‰ýµíA] -ËÿTü^þ‰ÿÂû£ðµísýP

Lü^ñVýËüLí`ö{òôPþ‰ò½ûýÖü+üTýíTó\ü^þ

#áò½ð‰þ‰ÿ ýþ ŽD$#–#áò½ñHÛü^ûö'ú›þ í,U#áòËò

0

ýþ

0

ñõý Ûô6Vð‰û8ð‰ö õò½ûHu#ü^óíoü

ò½ð[ítMN4ïQPSRÁñ±ôPöÛísò±ôõíûoü^þ‰ÿ ñö‰ñ-þísüLísýò½þ‘ò#¸û2ü^öP

ö‰ýþòhHñ^]‰þ‰ýí] -Ëÿ-' ì ÿí9üLýÿ ÿ VóñVýöÛísýò½þÓü

ò½ðÛí^Hþ‰óñõôPöÛíVýËò½þÓüLþ‰ÿ Vý½þ‰ý þ

0

ýµí,

MNïXP‚RÁñõôPöÛíVòõôõíHûH®ó\ü^þ

–#áò½ð‰þ‰ÿXýþŽDD *Dh5k'%ò^ñ«ÿfí9ü^ý>ü

ò½ðÛíÁñHöÛñ Hþí9üÑísýËò^þîò#

ûTü^ö‰ö‰ýþ®ü^ñ&½ýHþ`ýËþ øü^þ‰ÿ*ýËþ,í,&Píþ‰ÿHÿUHñVýò½þò#í,‰ý®öDüLö"ñ '

"

ýí,

F

q

q

=

p

m

0

£ÿþ‰ò^íoí,^]Dþ‰ýµí&] ÿ ò#4ó/,Dü^ñsüLóíñVýõísýó

p

ü^þ‰ÿ

0

ýí,

F

q

n

í,

PíHþõýËò½þoò#Ûÿ ½ñ

n

' "

0

ý^ò#jíHþ‘óHò½þõýËÿñ

F

q

n

üü^þ

n

P›ÿ‰ýûþVýò½þDü

F

q

P€Hófísò½ñ”Vö‰ü^ó

ü^þ‰ÿ PýÖü`ü,ó/,‰ò½ýËó-Tò#îü

üõý

0

0

ý4ýËÿHþísý#jô ýí

0

ýµí,

í,CóíVò½ñ^õöDü^ó-F

n

q

'2ïFûþí

(

a1, . . . , a

n

)

ò#

F

n

q

0

ý[ò#jíHþ

®ÿHþ‰òLíHÿ

ô

a

'4ì5þô£û2ü^öÛö‰ýËþ-òHñ

F

q

n

ó\üLþ

®ð‰þ‰ýð µô

ñö‰ñ-þíHÿ

ô*ü°ö{òôPþ‰ò½ûýÖü

P

(

X

) =

q

n

−

1

X

i

=0

a

i

X

i

,

ü^þ‰ÿ+ò#cóò½ð‰ñ[-Hñ±ôZVð‰ó/,°ö{òôPþ‰ò^ûTýËü

P

(

X

)

ýþ‰ÿ‰ð‰ó- :ü«ûTü^ö‰ö‰ýþ

ô

a

7→

P

(

a

)

, a

∈

_F

q

n

.

ì-þô§ûTü^ö‰ö‰ýþ[#áñVò½û

F

n

q

ýþísò

F

n

q

ó\ü^þ

:ð‰þ‰ýð µô§ñHöÛñ Hþíÿ

ô‘üIHófísò½ñò#Ûö{òµô[þÛò½ûTýËü

(

p1

(

x1, . . . , x

n

)

, . . . , p

n

(

x1, . . . , x

n

))

,

0

ýí,Ÿí,Õö‰ñõò½ö"ñõí›ô -í,DüÑí*ý#oüÓûTò½þÛò½ûTýËü

βx

l

1

1

· · ·

x

l

n

n

ò[óóHð‰ñ`ýþ

p

k

Bí,þ

l

i

< q

#áò½ñ

i

= 1

, . . . , n

' "

0

ý3óHü!õð‰ó/,ÕüóíVò½ñ-ñHÿ‰ð‰ó-Hÿ7'&%#óHò½ðÛñ †ü-ü

ò "-ñõô Vð‰ó/,Õü

b1, . . . , b

n

F

q

n

F

F

q

n

ü+ð‰þ‰ýPð‘ûTü^ö‰öÛýËþ

f

= (

f1

, . . . , f

n

)

òhñ

F

n

q

0

ýµí,

F

(

a

) =

F

(

n

X

i

=1

α

i

b

i

) =

n

X

i

=1

f

i

(

α

)

b

i

ü^þ‰ÿ8PýËó GHñVü'

([,Hñ

ô,í,§ð‰þ‰ýðöcòôPþ‰ò½ûýÖü

P

(

X

)

ò#ÿ ½ñ

d

≤

q

n

₋

₁

0 ýí,

F

(

a

) =

P

(

a

)

ý ó\üÿ`í,oðÛþ‰ýLü^ñõýÖüLí‘ñHö‰ñ Hþí9üLíVýËò½þò#

F

'.([,oð‰þ‰ýð-ô*ÿfíñVûýËþÿ ñÿ‰ð‰ó-Hÿ HóíVò½ñ

(

p1

(

x

)

, . . . , p

n

(

x

))

0

ýµí,

f

(

a

) = (

p1

(

a

)

, . . . , p

n

(

a

))

ýîó\üÿ2í,-û£ðíVýLü^ñõýÖüLíBñHö‰ñ HþWP

í9üLíVýËò½þ,ò#

F

'

"

ÿ-]Dþ2í,Tÿ ^ñ Tò#?ü8Hófísò½ñò#®ö{òôPþ‰ò½ûýÖüüoû2ü

{

ÿ

(

p

i

)

|

i

= 1

, . . . , n

}

'

" ýí,°í,‰ýÿ-]DþÛýísýò½þ£í,?ü

òhBóò½ñVñ õöcò½þÛÿHþ‰ó-5ýÿ ^ñ ?ö‰ñ HñPýþ§ýËþ£í,–Hþ í,DüÑí

ý#¸í,ð‰þ‰ý^üLñVýÖüÑí£ñHö‰ñ þí9üLíVýËò½þ ,‰ü§ÿ ½ñ

d

í,Hþ í,û£ðµísýLü^ñõýÖüLíñHö‰ñ þí9üLíVýËò½þ ,DüBÿ ^ñ

q

P

0

Hý,í?ò#4ÿ7' ([,Hñ

ô*í,

q

P

0

Hý,í?ý®í,§þð‰û

HñBò#þ‰ò½þWP ñVòH ûþí

ýËþ í,

q

P¡üLÿ‰ýËó£ñHö‰ñ Hþí9üLíVýËò½þ ò#

d

'+ì þû2üLö‰ö‰ýËþ«ò½þ

F

n

q

0

ý

üðVðDü:ÿþ‰ò^íHÿ

ô

Ax

+

c

0 ,ñ

A

ÿHþÛò^í-°ü^þ

n

×

n

PÜû2üÑísñVý"

x

= (

x1, . . . , x

n

)

üLþ‰ÿ

c

∈

F

n

q

'(ò

1-Hö í,oÿ VóñVýöÛísýò½þýþ,í,‘ñ-õí5ò#í,‰ý?öDüLö"ñ-üIõýËûö§ü?ö{òõý

0

óò½þVýÿHñ®í,

ñ-VðµíÁò#&ü‘ûTüLísñõý P€Hófísò½ñ‚P›û£ðµísýöËýó\üLíVýËò½þoü¸üoñVò

0

Hófísò½ñÁü^þ‰ÿTí,ðîü:í,-û£ðµísý^üLñVýÖüÑí

ñö‰ñ-HþísüLísýò½þò#4ü^þüþ§ûTü^ö‰ö‰ýþ'

ò

0 0

Hñõô

ñVý‰ôÓÿ-VóñVý

`ü

üVýóMN4ïQPSRÁñ±ôPöÛísò±ôõíû

0

ýí,

ñVü^þ‰ó/,- ' ([,

óHñfí1ô*óò½þVýõíBò#

D'

n

=

n1

+

· · ·

+

n

l

Qü+öDüLñõísýµísýò½þXò#

n

' VW'–Ný ËÿPíþVýò½þ

F

q

nk

òhñ?ü^] WHÿ

ü+] ÿ

F

q

#áò½ñ

k

= 1

, . . . , l

'F([,+] Ëÿ

0

ý

£ñö‰ñ-HþíHÿ

ô`í,£ó/,‰ò½ýó £ò#>üLþ ýËñVñHÿ‰ðÛóHý

‘öcòµôPþ‰ò½ûýÖü

F

q

[

X

]

ísòXóò½þ±ísñVðÛóí

F

q

nk

üLþ‰ÿ£ü^þ

F

q

P

üVý

0

,‰ýËó/,oÿíHñõûTýþ &í,¸ýVò½ûò½ñVö,‰ýõû

í

0

Hþ

F

n

k

q

ü^þ‰ÿ

F

q

nk

'

5'I–MN4ïQPÜöcòµôPþ‰ò½ûýÖüò#-ÿ ½ñ

d

k

Áí,DüLíý°ö{òôPþ‰ò^ûTýËüoò#-í,#áò^ñVû

H

k

(

X

) =

Pn

−

1

i,j

=0

β

ij,k

X

q

i

₊

_q

j

+

P

i

α

i,k

X

q

i

0

,ñ

β

ij,k

, α

i,k

∈

F

q

nk

, k

= 1

, . . . , l

'

9'I(

0

òTüþ

ýKJóíVýíVñsü^þS#áò½ñVûTüLíVýËò½þ

S

=

Ax

+

c, T

=

Bx

+

d

ò#

F

n

q

'

([,‰ý5óHò½þõísýµísðÛí ?í,^óHñfí+1ô'–([,oö‰ð

ýËó&1fô ý5ÿñVýHÿ

ô`óò½ûTöÛðÛísýþí,‘û£ðíVýP

Lü^ñVýËüLíñHö‰ñ þí9üLíVýËò½þ8#áò½ñ[\üLó/,ò#í,

H

k

ÿþ‰ò^íHÿ

ô

(

h1

(

x1

, . . . , x

n

1

)

,

. . .

, h

n

1

(

x1, . . . , x

n

1

))

(

h

_n

₁

+1

(

x

n

1

+1, . . . , x

n

1

+

n

2

)

, . . .

'

, h

n

1

+

n

2

(

x

n

1

+1, . . . , x

n

1

+

n

2

))

'

'

(

h

n

−

n

l

+1

(

x

n

−

n

l

+1, . . . , x

n

)

, . . .

, h

n

(

x

n

−

n

l

+1, . . . , x

n

))

SDh

ï:ü^ó/,*ò#&í,-n

i

PÜíVð‰ö-Áóò½þõíVýíVðÛí-?ü

ñsüLþ‰ó/,7'—RÁò½û

ýþ‰ýËþoí,

n

i

P¼ísð‰ö .^ý-®ü^þ

n

P ísð‰ö-ò#&öcòôPþ‰ò½ûýÖü

(

h1

, . . . , h

n

)

ýþ

n

^üLñVýÖü

- 'Q([,«ö‰ð

ýËó–1fô

(

p1, . . . , p

n

)

ý ½ýHþ

ôTí,-óò½ûTö{òõýísýò½þ

T

◦

(

h1, . . . , h

n

)

◦

S

üLþ‰ÿXóHò^þVýõí¸ò#

n

Pð‰ü^ÿ‰ñsüÑísýËóBö{òôPþ‰ò½ûýÖü4ýþ

n

Lü^ñVýËü

- '.([,ÛýBýËûöËý îí,‰üLí5í,

ü&] ÿ

F

q

ýBö‰ð

ýËó'

ò^í Qí,DüLíBí,ö{òôPþ‰ò½ûýÖü

ýËþTÿ‰ý"HñHþí

ñsü^þ‰ó/, .,DüY«ÿ‰ý"HñHþí—íîò#7Lü^ñõýÖü

>ü^þÛÿTí, «ü^ñBûTýWHÿ2ðÛö

ô

0

ÿ$]DþHÿ2ò½þTí,O] -ËÿPíþVýò½þ [ýf':'óHò½ûö‰ðÛíVýËþ

(

p1

(

a

)

, . . . , p

n

(

a

))

ý%ð‰ý^üHþí>ísòü^öWP

öµô[ýþoí,«óò½ûTö{òõýísýò½þò#3í,«ûTü^ö‰öÛýËþ>ýËþTí,«ÿÛýÖü½ñVü^ûÝísò

a

'F([,ÛýÁÿÛý"Hñþí®öcò^ýËþíîò#

Pý

0

ý«ýËûöcò^ñõí9üLþíO#áò½ñ«ò½ðÛñü^þDüµôVý-'^([,Hñ

ô

Ψ

ÿþ‰ò^í í,+óHü^þ‰ò½þÛýËó\üýõò½ûò½ñVö,ÛýVû #áñVò^û

F

n

q

ýËþíVò

F

n

1

q

× · · · ×

F

n

q

l

üLþ‰ÿ

φ

i

í,+óHü^þ‰ò½þÛýËó\ü4ýõò½ûTò^ñVö,‰ýVû #áñVò½û

F

n

i

q

ýþísò

F

q

ni

½ýHþ

ôXí,‘ó/,Ûòþ

üõý-'

F

n

1

q

φ

1

→

F

q

n

₁

→

H

1

F

_q

n

₁

φ

−

1

1

→

F

n

1

q

F

n

q

S

→

F

n

q

Ψ

%

&

'

'

'

'

'

'

Ψ

−

1

&

%

F

n

q

T

→

F

n

q

F

n

l

q

φ

l

→

F

q

nl

→

H

l

F

q

nl

φ

−

1

l

→

F

n

l

q

ò

0

ýµí

Hóò½û-?ü^ö‰öDüLñHþí ‰í,DüLíîý#ü^þ`üLíõí9ü^ó/1Hñ?ý®ü

-íVò+ñóHòhñ?í,

ñVü^þ‰ó/,- \,

ý?ü

«íVòTüÑíVí9üLó/1)-Hñõô

ñVü^þ‰ó/,öDü^ñsüÑí µô'

ì

üVýó MN4ïQPSRÁñ±ôPöÛísò±ôõíû ý`ü ±ôW±íû

0

,Hñ

l

= 1

' ([, þ‰ò

0

ü^ÿDü\ô0ö‰ñõò½öcòHÿ

Vó/,HûH ¸ü^ñ.Lü^ñõýÖü^þíò#Qí,‰ý

üVýó[õôõíHû üX#áò^ñXÛü^ûöQü,Tò½ñ«ðDüLñõí tB-^:5W @V=E'

ú›þõò½ûoÿ õóHñõýËöÛíVýËò½þ?í,£ð‰þ‰ý^üLñVýÖüÑí§öcò ôPþ‰ò½ûýÖü.,DüY£ü2óHò½þõí9üLþí-íHñõûU' [ý þ‰ó

‘í,-ó\üLþ

oó\ü^ö[ísð‰ñHÿ

ô

T

0

u1ýËö‰ö*Hÿ0ýµí-ýþ ò½ðÛñ-ÿ-VóHñõýËöÛíVýËò½þ -+üVòTí,þPíGóíVýËò½þ\E'

ú›þÓí,8ð ®í,,û£ðµísýLü^ñõýÖüLí2üLþ‰ÿwð‰þ‰ýLü^ñõýÖüLíXñö‰ñ-þísüLísýò½þü^ñ,óHò½þõýËÿñÿ

0

ýµí,

ñ-Vö*Hófí¸íVò‘í,

ü-¸ó/,Ûòþ

ô+í,?ÿ-Vý½þHñ-'FNDò½ñò½ð‰ñ>üLíõí9ü^ó/1

0

?ÿ‰ò‘þ‰ò^í>þ-Hÿísò&1þ‰ò

0

í,

ü Výþ‰ó

0

0

ýW,‰ò

0

í,DüLí¸üÛþó -süLñõôýËþ#áò^ñVûTüLísýò½þóHü^þ

?óHò½ûö‰ðÛíHÿC#áñVò½û

í,‘öÛð

ËýóG1fô'

ò

0 0

*ü^ñ)½ò½ýþ íVò,‰ò

0

,‰ò

0

íVò óHò½þõísñõð‰óíü0þÛò½þDüVòPóHýÖüÑísý

F

q

Pݟ

ñVüU#áñVò½û

ü^þ MON4ïQPSRÁñõôPöÛíVòõô±íHû' ([,‰ý

0

ý

Xí,)#áò^ð‰þ‰ÿDüLíVýËò½þ #áò½ñí,*ü½ò^ñVýí,‰ûHoö‰ñ Hþíÿ

ÖüÑíHñ-'¸ôÓüþ‰ò½þDüVòPóHýËüLísý

F

q

Pݟ

ñVü

U

0

,ð‰þ‰ÿñ±í9ü^þ‰ÿÂü^þ

F

q

P€óíVò½ñõöDü^ó

0

ýµí,wü

û£ðµísýöËýó\üLíVýËò½þ7

0

,ÛýËó/,`ý[Vò°í,‰üLí

λ

(

xy

) = (

λx

)

y

=

x

(

λy

)

#áò½ñ?ü

λ

∈

_F

q

, x, y

∈ U

,

ü^þ‰ÿ

0

,‰ýËó/,2ý¸üõò

ýËýþ\ü^ñ–áýf':'

(

x

+

y

)

z

=

xz

+

yz, z

(

x

+

y

) =

zx

+

zy

)

'F([,«üVòPóHýÖüP ísý+Ëü

0

ýÁþÛò^í

Hýþ+üVð‰ûHHÿ7'ì5þ,ýËþísñõò[ÿÛð‰óíVýËò½þísòí,‰ý—Vð

Jóí?óHü^þ

–#áò½ð‰þ‰ÿ,ýþ6ŽDY9k'

ýþXü^þMNïXP ? òµôPþ‰ò½ûýÖü

H

(

X

) =

Pn

_i,j

−

=0

1

β

ij

X

q

i

₊

_q

j

+

Pn

_i

=0

−

1

α

i

X

q

i

0

Bÿ$]Dþ«ü‘û£ðŽP

ísýöËýó\üLíVýËò½þTò½þ

F

p

n

ü[#áòò

0

M

(

a, b

) :=

H

(

a

+

b

)

−

H

(

a

)

−

H

(

b

)

.

[ýþ‰ó

M

ýt^ýþ

ô í,õð‰û

Pn

−

1

i,j

=0

β

ij

(

a

q

i

b

q

j

+

b

q

i

a

q

j

)

í,‰ý§û£ð íVýËöýËóHüLísýò½þ ýþ‰ÿ‰ð‰ó- ýËþÛÿ ÿ ü^þ*þ‰ò^þDüõò[óýÖüLíVý§ü^þ‰ÿ`óHò½ûû£ðÛísüLísý§ü

ñVü'4ìOü^ýËþ

0

‘ó\ü^þ`ÿHñõý

n

ö{òôPþ‰ò=P ûýÖü

m

i

ýËþ

x1, . . . , x

n

ü^þ‰ÿ

y1, . . . , y

n

0

,‰ýó/,½ý§í,oû£ðíVýLü^ñõýÖüLí«ñö‰ñ-HþísüLísýò½þ0ò#

í,+û2ü^öÛö‰ýËþ

M

'n([,Ûý«ýü^ó/,‰ý-ÿ õýËûýËü^ñ®ísòXí,£ð‰þ‰ý^üLñVýÖüÑíóHü

ðÛí&,ñ

0

Z,DüY

í,‘ÿ-]Dþ‰ý þ°ñ-ÖüLíVýËò½þ

M

(

n

X

i

=1

α

i

b

i

,

n

X

i

=1

β

i

b

i

) =

n

X

i

=1

0

b1, . . . , b

n

F

q

n

L1, L2

F

_q

n

M

0

(

a, b

) :=

L2

(

M

(

L1

(

a

)

, L1

(

b

))

ýþ‰ÿ‰ð‰ó- 5üZHóò½þ‰ÿ ü

ñsüW'

"

0

ý! (í,DüÑí-í,£û£ðµísýLü^ñõýÖüLí«ñö‰ñ-þísüLísýò½þ ò#

M

0

ó\ü^þ

óHüËóðÖüÑíHÿ#áñVò½û í,

ö‰ð

ýËó–1fô

ôóHò½ûö‰ðÛíVýËþ

p

i

(

x

+

y

)

−

p

i

(

x

)

−

p

i

(

y

)

-Hþ

0

,HþXí,HóñíÁísñsüLþ#áò½ñõû2üP

ísýò½þ

S, T

ü^ñ‘üþ WHófísýò½þ89 $'

fë ëä§å3ëä å ä æå 7ç

ó\ü«í,DüÑí üwö{òôPþ‰ò½ûýÖü

q

(

x1

, . . . , x

n

)

ý*ó\üÿ ,Ûò½ûTòHþò½ð*ò#ÿ ½ñ

d

«ý#£ü ûTò^þ‰ò½ûýÖüBí,DüLí§òPóHóHðÛñt,‰üh°ÿ ½ñ

d

' " H±í9ü^ñ±í

0

ýí, üAHûû2ü

0

,‰ýËó/, ýóñVð‰óýÖü#áò½ñ

ò½ð‰ñ-ü½ò^ñVýí,‰û'ÁúÜí+,‰ò

0

-í,‰üLí5í,£ü TþöDü^ñ±í5ò#

S, T

ü^ñoþ‰òLí«ûýWHÿð‰ö ö‰ñõò½ö*Hñµô

ô

í,5ü^ö‰öËýËóHüLísýò½þ£ò#

S, T

0

,Hþí,?ö{òôPþ‰ò^ûTýËü

H

(

X

)

ý>üõòt,Ûò½ûTòHþ‰ò^ðýËþ+í,OHþ í,DüÑí-ü(ûò½þ‰ò^ûTýËü ,DüY§í,G#áò½ñõû

β

ij

X

q

i

₊

_q

j

'

"!$#

F

q

6

=

F

2

%'&)(* #,+-!

*/. !$#

S

(

x

) =

Ax

+

c, T

(

x

) =

Bx

+

d

0

!

0213 !54$#

1,6

!

78:9 !<;

7$=>=

1

9?A@CB

6

!

*

F

q

n

D 1 #,+

(

9

1,6

7

*

1

7

#E!

*

!

=

*

!

@

!

9

#

7

#

1

BA9

L1

+

c, L2

+

d

7F9HG

H

(

X

) =

Pn

−

1

i,j

=0

β

ij

X

q

i

₊

_q

j

%

IKJ

p1, . . . , p

n

G

!

9)B #L!

@

#,+-!

=

(

0

.

1

4NM>!$O

B

JP#K+-!

*

!

@

(.

#

1

9?

4

*

O

=

#

BQ@

O

@

#L!$;SRT#,+-!

9

p

i

(

x

) =

q

i

(

x

)+

l

i

(

x

) +

a

i

R

D

+-!

*

!

a

i

1 @U7

4

BA9V@

#

7F9 #,R

l

i

1

@

.

1

9

!

7

*

7F9HG

q

i

1

@

+

B

;

BW?

!

9

!

B

(

@UB

J

G

!

?

*

!5!

2

%

&X(* #K+-!

*

;

B

*

!

(

q1

, . . . , q

n

)

1

@

#K+-!;

(.

#

1,6

7

*

1

7

#L!

*

!

=

*

!

@

!

9

#

7

#

1

BA9B

J

L2

◦

H

◦

L1

% YZ[]\_^a`X ([,,ñ õíVñVýóísýò½þ #áò½ñn] Ëÿ

0

ýí,

q

= 2

m

ý£þó sü^ñ±ô Áü+ò^í,Hñ

0

ýXí,

ðDüýí›ô

x

2

=

x

0

ò^ðËÿ ÿ õíVñVòkô í,)½ñVü^ÿ‰ðDüLíHÿ ±ísñVðÛóísðÛñ*ü^þ‰ÿ í,XñHö‰ñ þí9üLíVýËò½þwò#

L2

◦

H

◦

L1

óHò½ðÿ*þ‰ò^í

ñHóòHñHÿ7'

b

*

BQB

J

%

([,§ö‰ñVòPò#ý[½ýHþ*ýþ*í,G#áð"HñVýò½þò#í,‰ý®öDüLö"ñ '

ú›þoí,‰ý [íHþ‰ÿHÿ°ü

±ísñVü^óí

0

îñ ±ísñVýóíísòü–VýûTö:ó\ü

0

ýí,ò½þ

ñsüLþ‰ó/,7 ½ýk'4'ü

üVýó

MN4ïQP‚RÁñõôPöÛísòõôõíHû

0

ýµí,Úü VýûTöC,‰ýËÿ‰ÿHþÚö{òµô[þÛò½ûTýËüf'([,Xÿfí9ü^ýG#áò½ñ§í,HþHñsü

ó\ü

0

ý

t½ýHþ ýËþí,^#áð7ñõýËò½þ0ò#4í,‰ý5ö‰ü^ö"ñ ' "

0

ý!õí9üÑíoí,nHþñsüñ-Vðµí

ò#í,G#áð<ñVýò½þüLí®í,&þ‰ÿò#í,‰ýIóíVýËò½þ7'

"

0

ý,Ûò

0

,‰ò

0

ísòt ýËûýËþDüLíÁí,5ü Tþ5öDüLñõí>ò#

S, T

ý#(í,

ü–] -Ëÿý

F

2

m

0 ,ñ

m >

2

ü^þ‰ÿ

H

(

X

) =

βX

q

i

₊

_q

j

, i

6

=

j

' >ô ýËûýËþDüÑísýËþ

0

,ð‰þ‰ÿHñ±í9ü^þÛÿÂí,DüLí

0

0

ý

óHò½ûö‰ðÛí

d

üLþ‰ÿ

A

−

1

(

c

)

'NDñVò½û$í,Ûý&ýí†ý!\üõô«íVò?íVñsü^þ#áò½ñõûí, ±ôõíû

T

◦

(

h1

, . . . , h

_n

)

◦

S

ýËþísò

B

◦

(

h1, . . . , h

n

)

◦

A

' òLí í,DüÑíoý#

(

y, x

)

ý‘üöËü^ýËþí PídcLóýËö,ñõíPíö‰ü^ýËñ§ò#¸í, ]Dñ±íz±ôõíûU í,Hþ

(

y

−

d, x

+

A

−

1

(

c

))

ý4í,5óò½ñVñ Vö{ò½þ‰ÿÛýËþ‘öDü^ýñò#cí,–Hóò½þ‰ÿTò½þBü^þ‰ÿ PýËó uHñsü'Z([,‰ýýËûöËý - {í,DüLí§öËü^ýËþí PídcLóýËö,ñõíPíP›üLíVísü^ó/1 «ó\ü^þ

+ó\ü^ñõñVýÿ ò½ðÛíòhHñ

í,&HóHò^þ‰ÿ ±ôW±íûU'

" ýí,‰ò½ðÛíFòò#*Hþñsüýí›ô

0

?üVðÛûîí,DüLí

H

(

X

) =

X

q

i

₊₁

, i

6

= 0

' %-í,ñ

0

ý®óHò½þVýËÿHñ

((

L2

+

d

)

◦

(

βX

q

j

))

◦

(

X

q

n

−

j

◦

(

X

q

i

₊

_q

j

))

◦

(

L1

+

c

)

0

,‰ýËó/,Z½ý-ü^þu PðÛýLüþíQ±ôW±íûU ýk'4'

üõô±íHû

0

ýí,ÿ‰ý<ñþí " :(

ðÛíX ‰üLóíµô§í,—sü^ûH¸öÛð

Ëý ó—1ôü^þ‰ÿ+ü–,‰ýËÿÛÿHþ£ö{òµô[þÛò½ûTýËü

ò#(í,Bÿ õýËñÿ#áò½ñõûU'NDñVò½û í,–ÖüLíõíñóHò½ûöcòVýíVýËò½þ+ýµí:ý%\üõô+ísòt-

0

,ô

0

BóHò½ðÿ1ýËö

í,§óò½þõísü^þí-ýþXí,&þHñVü&ÿ-VóHñõýËöÛíVýËò½þ*ò#QMNïXP€õôõíHûH '

"

.,DüY

M

(

a, b

) =

a

q

i

b

+

b

q

i

a

'4ì þDüLíVð‰ñsü ð ±ísýËò^þ+ýËþí,Áí,Hò½ñ±ôò#QþÛò½þDüVòPóHýÖüÑísý ü

ñVü°ý+ísò ËòPò1 #áò½ñü®ü^þ‰þÛý,‰ýÖüLíVýËþ-ûþí îýk'4' #áò½ñü®û2üLö‰ö‰ýËþ

M

(

a,

·

)

ò½ñ

M

(

·

, a

)

jí,tVò2ó\üHÿ8-#jí5ò½ñ5ñõý,íBû£ðµísýöËýó\üLíVýËò½þ$

0

,‰ýËó/,U^üLþ‰ý, ò½þ

F

q

n

' "

½ýþ

0

ýí,*üCõýËûöOûTûTü'ìO

M

üLþ‰ÿ

M

0

ü^ñóò½ûû£ðÛí9üÑísý

0

§ò½þô,DüYíVò+óHò½þõýËÿñ[$#jí

N [[ "!$#

i

6∈ {

0

, n

}

%

%

I,J

M

(

a, b

) =

a

q

i

b

+

b

q

i

a

= 0

J

B

*

7

.,.

b

∈

F

q

n

R#,+-!

9

a

= 0

%

%

I,JU#,+-![45+

7

*

7

4$#L!

*

1

@

#

1

4

B

J

F

q

n

1

@

2

R/#,+-!

9

#,+-!UM>!

*

9

!

.

B

J #K+-! ;

7$=>=

1

9?

M

(

a,

·

)

1

@

a

_F

_q

(

i,n

)

J

B

*

a

6

= 0

%

%

I,J

M

0

(

a, b

) = 0

J

B

*

7

.,.

b

∈

F

q

n

R #K+-!

9

a

= 0

J

B

*

7

.,. 0213

!54$#

1,6

!

.

1

9

!

7

*

;

7$=>=

1

9?A@

L1, L2

B

6

!

*

F

q

n

%

%

I,J #K+-!45+

7

*

7

4$#L!

*

1

@

#

1

4

B

J

F

q

n

1

@

2

R #,+-!

9

#K+-!M>!

*

9

!

.

B

J #,+-! ;

7$=>=

1

9?

M

0

(

a,

·

)

1

@

L

−

1

1

(

L1

(

a

)

F

q

(

i,n

)

)

J

B

*

a

6

= 0

%

b

*

BQB

J

%

([,‘ö‰ñVòPò#

0

ý

G½ýHþ`ýËþ,í,G#áð<ñõýËò½þ`ò#í,‰ý®öDü^ö*Hñ '

ò

0 0

0

ýL,‰ò

0

#áò½ñ5ò^ð‰ñOõö"óHýËüóHün,‰ò

0

ísòXñ ÖüÑí§í,oö‰ñVò

Hû ò#% ËýûTýþDüLíVýËþ

í,§íVñsü^þÖüÑísýËò^þÁísò+í,§ö‰ñVò

Hû7ò#Q]‰þ‰ÿ‰ýËþTüLþ‰þ‰ý,ÛýÖüÑísýËþ^-HûHHþí '

([,,ö‰ð

ËýËóö{òôPþ‰ò½ûýÖü§ü^ñ2í,Tû£ðµísýLü^ñõýÖüLí+ñö‰ñ-HþísüLísý ò½þÓò#

P

(

X

) := (

L2

+

d

)

◦

X

q

i

X

◦

(

L1

+

c

)

'%MOHþÛó

0

§ó\üLþóò½ûTöÛðÛíí,‘ûðíVýLü^ñVýËüLíBñö‰ñ-þísüLísýò½þ`ò#

P

(

X

+

Y

)+

P

(

X

) =

L2

(

L1

(

X

)

q

i

L1

(

Y

)+

L1

(

Y

)

q

i

L1

(

X

)+

L1

(

c

)

q

i

L1

(

Y

)+

L1

(

Y

)

q

i

L1

(

c

))

+

L2

(

L1

(

Y

)

q

i

_L1

₍

_Y

₎₎

_.

õýËþ ûTûTü+DF½ý †í,û£ðµísýLü^ñõýÖüLíñHö‰ñ Hþí9üLíVýËò½þ§ò#í,FÖü±í†íñVû

L2

(

L1

(

Y

)

q

i

_L1

₍

_Y

₎₎

#áñVò^û í,‘ö‰ð

ýËó&1fô' [ò

0

oó\ü^þ ËýûTýþDüLí5í,Ûý?íHñõû

ôUõð

íVñsü^ófísýËþ2ýí 'z([,‰ý

0

ü\ô

0

fíBí,§û£ðµísýLü^ñõýÖüLí5ñHö‰ñ Hþí9üLíVýËò½þ`ò#

L2

(

L1

(

Y

)

q

i

(

L1

(

X

) +

c

) +

L1

(

X

+

c

)

q

i

L1

(

Y

)) =

M

0

(

X

+

L

−

1

1

(

c

)

, Y

)

.

NDñVò½û

Hûû2üu5

0

&,DüYí,DüÑí

M

0

(

a

+

L

−

1

1

(

c

)

, Y

)

ýîí, HñõòTûTü^ö‰öÛýËþ£ý

a

=

L

−

1

1

(

c

)

'

([,‰ýÁôPý ÿz±ísñVü^ý,í#áò½ñ

0

ü^ñVÿTísòí,#áòËò

0

ýËþoü½ò½ñVýµí,‰ûÝíVòu ýËûýËþDüÑí®í,5ísñsüLþËüLísýò½þ

D'ORÁò½ûö‰ðÛíoí,û£ðísýLü^ñVýËüLíñHö‰ñ þí9üLíVýËò½þ0ò#

M

0

₍

_a

₊

_L

−

1

1

(

c

)

, Y

)

ô óò½ûö‰ðÛísýþ

p

i

(

x1

+

y1, . . . , x

n

+

y

n

) +

p

i

(

x1, . . . , x

n

)

ü^þ‰ÿ í,Hþ -ËýûTýþDüLí£í,Xû£ð ísýLü^ñVýËüLí

öDüLñõí?ÿ-VóHñõý

ýþ

L2

(

L1

(

Y

)

q

i

L1

(

Y

))

'%([,‰ý[½ý-n

ö{òôPþ‰ò^ûTýËü

q

i

(

x1

, . . . , x

n

, y1, . . . , y

n

)

.

VW'ORÁò½ûö‰ðÛí

q

i

(

x, e1

)

#áò½ñ

i

= 1

, . . . , n

0 ,ñ

e1

ÿþ‰ò^í í,Z]Dñõí§óHü^þ‰ò½þ‰ýó\ü

üõý

HóíVò½ñ

e1

= (1

,

0

, . . . ,

0)

' ([,‰ýT½ý *ü^þŸýþ,‰ò½ûòþHò½ðTõô±íHû ò#

n

ËýËþ\ü^ñ

Pð‰üLísý ò½þ '®ú€#ýí–,Dü5ñsü^þ1

n

Dí,oð‰þ‰ýPð^õòËðÛíVýËò½þ*ý

A

−

1

(

c

)

'Áú€#4í,oñsü^þ1,ý

< n

ü^ÿÛÿwí,*þPí

n

ðDüÑísýËò^þ

q

i

(

x, e2

)

ü^þÛÿ õòÕò½þ7 >ð‰þísýÁñsü^þ1

n

ý+ñ\ü^ó/,ÿ7' ([, ð‰þÛýð&VòðÛísýò½þ,ýîí,Góísò^ñ

A

−

1

(

c

)

' 5'

%«þ‰ó-c

0

:=

A

−

1

(

c

)

ý:óHò½ûö‰ðÛíHÿ7 PóHò^ûTö‰ð[í

p

0

_i

(

x

) =

p

i

(

x

+

c

0

)

#áò½ñÁü

i

'F([,Ûý ½ý í,§û£ð íVýLü^ñõýÖüLí5ñHö‰ñ þí9üLíVýËò½þ`ò#

(

L2

+

d

)

◦

X

q

i

X

◦

L1

' 9'ORÁò½ûö‰ðÛí

p

0

_i

(0)

#áò½ñü

i

'Q([,ÛýL½ý í,—Hófísò½ñ

d

ü^þ‰ÿ

d

óHü^þ+ü

0

ýËûýËþDüLíVýËò½þ<' " ,DüY íVò õòÚü õôõíHû

0

ýí,"üÑíûò±í

n

2

ýËþHü^ñAðDüÑísýËò^þ*ýËþ

n

Lü^ñVýËü

- 'FM–Hþ‰ó-‘í,§ñVð‰þÛþ‰ýËþ+íVýËûH«ý

O

(

n

4

)

' ([,Ûý&ýËÿ\ü.þHñVüËý císòBü^þ‘üLíVísü^ó/1O#áò^ñ

ü%] Ëÿ&ò#[ü^ñ

ýµísñVü^ñõô5ó/,Dü^ñVü^óíHñVýõíVýËó–ÿí9üLý

ü^ñ&½ýþ`ýþ,í,G#áð<ñVýò½þ\®ü^þ‰ÿ,ôPý-Ëÿ®íVò°í,G#áòò

0

ýËþ£ñ õðí '

H\_

1,6

!

9 7F9 7

*

021

#

*

7

*

O

& *

O

=

#

BQ@

O

@

#E!$;SR

B

*

7

00

−

00

@

O

@

#L!$;

.

1

M>!

7A@ +>R

B

6

!

*

7

!

.

G

F

q

6

=

F

2

D

1

#K+

@

!54

*

!$#

78:9 ! #

*

7F9V@

J

B

*

;

7

#

1

BA9V@

S

=

Ax

+

c

7F9HG

T

=

Bx

+

d

R #K+-!

9

c, d

4 7F9

0

! !

.

1

;

1

9H7 #E!

G

D

1

#,+

O

(

n

4

)

!

.

G B5=

!

*

7

#

1

BA9V@SBA9'7

6

!

*

7Q?

!

%

†å $‘ç‘æëfå Ñç§æ æ å3ëä å àæ ‘ä*ê !

ú›þ ŽDD-ü^þÛÿ ŽDV=ü°ö‰ñVò

ü

ýËý±ísýó«öcòôPþ‰ò½ûýÖüQísýû§ü½ò½ñõýí,‰ûíVòHöDüLñsüLí‘í,

ñsü^þ‰ó/,

ý¸ÿ õóHñVý

ÿ*üõð‰ûýËþ‘í,5ð‰þ‰ÿñ ôPýþZMNïXPÜöcòôPþ‰ò½ûýÖüü^ÿ‰ûý í—Vö*HóýÖü*õôfôW^ý -'%([,

ü^ò½ñVýµí,‰ûý

üHÿ£ò½þ‘í,zRÁò½ö‰ö*HñVûýí,WP ? üLí9ü^ñõýËþ‘üLíõí9ü^ó/1ò½þn2-ñsü½ò½þWP [ó/,HûH . +ŽDVhE'

ú€#&ü½ü^ýËþ

S

(

x

) =

Ax

+

c, T

(

x

) =

Bx

+

d

ÿþ‰ò^íBí,BüþBíVñsü^þ#áò½ñõû2üLíVýËò½þ ^í,5óñVð‰óýÖü õíHö ò#¸í,üLíõí9ü^ó/1 ýí,óHò½ûö‰ðÛísüLísý ò½þÕò#îûTüLíVñVýËó-

C

=

A

Λ

A

−

1

ü^þ‰ÿ

C

0

=

B

−

1

Λ

B

0

,Hñ

Λ =















Λ

1

0

0

· · ·

0

0

'

Λ

2

0

· · ·

0

'

'

0

Λ

3

· · ·

0

'

'

'

'

'

'

0

'

'

'

0

0

0

· · ·

0

Λ

l















.

([,Hñ

ô

l

ÿHþ‰ò^í í,®þPðÛû

ñò#

ñsüLþ‰ó/, >ü^þÛÿ

Λ

k

ÿþ‰ò^í-í,®ñHö‰ñ þí9üLíVýËò½þ°ûTüLísñõý

ò#BüUýËþHü^ñ‘û2ü^öÛö‰ýËþ

x

7→

λ

k

x, λ

k

∈

F

q

nk

0 ,ñ

F

q

nk

ý‘í,T] -Ëÿ

ò½þ½ýþ*ísò í,

k

P¼í,

ñsüLþ‰ó/,0ü^þÛÿ

k

∈ {

1

, . . . , l

}

' ([,Hþ#áñVò½û

C

ü+û2üLíVñVý

G

ý®ÿñVýHÿ7 \õð‰ó/,í,DüLí

AG

=















W1

0

0

· · ·

0

0

'

W2

0

· · ·

0

'

'

0

W3

· · ·

0

'

'

'

'

'

'

0

'

'

'

0

0

0

· · ·

0

W

l















0

,Hñ

W

i

ý?ü

ËòPó/1XûTüLísñõý"'

NDñVò½û í,‰ýí,IHöDü^ñVüLísýò½þ+ýñVüLí,HñFõíVñsü^ý,í#áò½ñ

0

üLñVÿ7' " ®ö‰ñ Hþíz,HñBü+Lü^ñVýËü^þíY

0

,ÛýËó/,

û2ü1 Bþ‰òð§ò#

C

0

' ([,‘ñ\üVò½þ8#áò½ñ®í,‰ý®ýI½ýHþ`ýËþ

HûTü^ñ1 TüLþ‰ÿ øW'>ìO5ûHHþíVýËò½þÿ

ýËþWóísýò½þUVW #áò½ñ?ü

l

ñsü^þ‰ó/, ?í,ñ&[ý±í5ü+ð‰þ‰ýð&íBò#L^üLñVýÖü

-V

k

=

{

x

P

k

−

1

j

=1

n

j

+1

, . . . , x

P

k

j

=1

n

j

}

, k

= 1

, . . . , l.

ìîí]‰ñõíóò½ûTöÛðÛí

p

0

i

(

x

) :=

p

i

(

Gx

)

#áò½ñ

i

= 1

, . . . , n

' ([,ö{òµô[þÛò½ûTýËü

p

0

i

,DüY`í,

ö‰ñVò^ö"ñõí›ô îí,DüLíý#

x

s

x

t

ýTü ûò½þ‰ò½ûýÖüÁòPóHóHðÛñVýËþÚýËþ

p

0

_i

í,þ

x

s

, x

t

ü^ñU-ûþíTò#§ü

fí

V

k

'C([,ð§í,°ûò½þ‰ò½ûýÖüBýËþ

p

0

_i

ñ$Hüí,°ÿ‰ý<ñHþítfí§ò#—^üLñVýÖü

-ü^þ‰ÿÕó\üLþ

½ñVò^ð‰ö"ÿ

ô*ðõýËþTüöÛñVò½ö*HñBûTò^þ‰ò½ûýÖü{ò½ñVÿHñ '¸ìO#jíHñ?í,DüLí5ü^öÛöô ü^ðVýËü^þU-Ëý ûTýþDüLísýò½þ

ísò

p

0

1

, . . . , p

0

n

ísòÿñVýí,ÿ-VýñHÿ`ö{ò ôPþ‰ò½ûýÖü

0

,ñí,G]Dñõí

V1

n2

V2

Vòò½þ7'F([,Ûý?óHò½ûöí-îí,&HöDü^ñVüLísýò½þ7'

úÜí:ûý,íF,DüLö‰ö"þí,DüLíí,®óHò½ûö{òVýµísýËò^þ

0

ýí,

G

ÿ‰ò :þ‰ò^í:ñ-HüQü

ñVü^þ‰ó/,-

ðÛí:ûTò^ñ

ó ðõíHñ4ò#

ñVü^þ‰ó/,- 'ú›þí,‰ýó\üÁí,Áó ðõíHñü^ñÁüLíVísü^ó/1ÿZöDü^ñsüÑí µô£ü=#jíHñ

0

üLñVÿ- ü^þ‰ÿ

í,+öDü^ñsüÑísýËò^þ2ý¸ñ$]DþHÿA±íö

ôõíHö7'%(ò£óHò^ûTö‰ð[í

G

ó ËüõýËóHü\ËýËþ\ü^ñ¸ü

ñVüoñ-ÖüLíHÿ

ísò‘í,Bí,ò½ñû ò#LRîü\ôô@P M-ü^ûýµísò½þ°ý>þ-Hÿÿ7':ú›þ2í,‰ý— PíHþÛÿHÿ`ü

±ísñVü^óí

0

O1ýËö2í,

ÿfí9ü^ý

ð[íîñ$#BHñ:í,5ñHü^ÿHñ>ísò W,Dü^ûýËñ÷4>üLíõí9ü^ó/1°ò½þ2í, %ý«ý þ ½ü^ñSP [ó/,HûH –:3cü^þ‰ÿ

ísòŽDD 7DhV=!#áò½ñ?ü+þ‰ýËó-ýËþísñõò[ÿÛð‰óíVýËò½þXíVòí,ísòPòîþ HÿHÿíVò°òHñõóHò½ûHí,‰ý?ísü1\'

(ò&þHñVüËý >í,‰ýüLíVísü^ó/1\

0

®óò½þõýËÿñ4í,.1ô+ýÿ\ü#áñõò½ûÃí,îö*HñVö*Hófísý?ò#Qþ‰ò½þDüSP

VòPóHýËüLísý§ü

ñsü-'%NQñõò½û í,‰ý®ö{ò½ýËþí?ò#LPý

0

í,oóñVð‰óýÖü7±íö ýîíVò°ÿíHñVûýËþoü ;

1

!

G

;

(.

#

1

=

.

1

4

7

#

1

BA9 45!

9

#

*

7

.

1

!

*

ò#îüö‰ñõò½ö"ñû£ðísýöËýó\üLíVýËò½þ< (ýf':'Xí,ûTýÿÚó-HþísñVüËý Hñ‘ò#

í,Ûýû£ðµísý öËýó\üLíVýËò½þt,Düísò§óò½þí9ü^ýþûTü^þô£ö‰ü^ýËñò#(ûTüLíVñVýËó-

(

C

0

_{, C}

₎

0 ,ñ

C

,Dü:ö‰ñõò½öWP Hñ±ísý «üü

ò'5ú›þ0í,t#áòò

0

ýþ

0

u,‰ò

0

,‰ò

0

í,ûðíVýËöýËó\üÑísýËò^þ

M

ü^þ‰ÿ

M

0

#áñVò½û Wóísýò½þ8V&Píþ‰ÿ,ísòn±ôõíû

0

ýµí,

ñsü^þÛó/, -' ([,Hþ

0

«ýËþísñõò[ÿÛð‰ó Bí,«þÛò^ísýò½þTò# ;

1

!

G

45!

9

#

*

7

.

1

!

*

ü^þ‰ÿ8,Ûò

0

Dí,DüLí®í,‘ûðíVýËöýËó\üÑísýËò^þTý®ö‰ñVò½ö*Hñ-'

NDò½ñH-ñõô ] ÿ

F

q

nk

0

,DüY0ü û£ðµísýöËýó\üLíVýËò½þ

M

k

(

a, b

)

, k

= 1

, . . . , l

' " fí2í,

ÿ-VýËñHÿ`û£ðµísýËöËýËóHüLísýò½þ

M

(

a, b

)

ò½þ

F

q

n

üI#áòËò

0

-' " ‘óHò½þVýËÿHñ®í,§û£ðísýöËýó\üLíVýËò½þò½þ

Ql

k

=1

F

q

nk

ÿ-]‰þHÿ

ô

((

a1, . . . , a

_l

)

,

(

b1, . . . , b

_l

))

7→

(

M1

(

a1

, b1

)

, . . . , M

_b

(

a

_l

, b

_l

))

.

([, û£ðísýöËýó\üLíVýËò½þ

M

ò^þ

F

q

n

ý)½ýHþ

ô

Ψ

−

1

◦

M1

× · · · ×

M

l

◦

Ψ

0

,ñ

Ψ

ý

í, û

Hÿ‰ÿ‰ýþÓò#

F

q

n

ýËþíVò í,Õö‰ñõò[ÿ‰ðÛóí*ò#t] ÿ '

"

ýµí,

(

m1, . . . , m

n

)

0

ÿHþ‰òLí

í,û£ð ísýLü^ñVýËüLíTñHöÛñ Hþí9üÑísýËò^þ ò#

M

' ([,`û£ðµísýËöËýËóHüLísýò½þ

M

0

ò½þ

F

q

n

ýC½ýHþ

ô

M

0

(

a, b

) :=

L2

(

M

(

L1

(

a

)

, L2

(

b

)))

.

([,‘ö{òôPþ‰ò½ûýÖü

m

0

_i

(

x, y

) :=

p

i

(

x

+

y

)

−

p

i

(

x

)

−

p

i

(

y

)

ü^ñ°í,û£ðíVýLü^ñõýÖüLíñö‰ñ-þísüLísýò½þÚò#

M

0

'ú€#

S, T

ü^ñTüþ°ýí‘ýG\ü±ô íVòU í,‰üLí

0

Híí,+ñHöÛñ Hþí9üÑísýËò^þ

ô1ýËö‰ö‰ýþ,í,+óò½þ±í9ü^þí‘öDü^ñ±í§ü#jíHñ-í,°óHò½ûö‰ðÛísüLísýò½þ0ò#

p

_i

(

x

+

y

)

−

p

_i

(

x

)

−

p

_i

(

y

)

' ([,‰ý

óHò½ûH ü^öÛöDü^ñþíY >ý#Bò½þ*óHò^ûTö‰ð[í

P

(

X

+

Y

)

−

P

(

X

)

−

P

(

Y

)

ü?ý þAHófísýò½þ 5W'

ì

0

-%1þ‰ò

0

þÚò

JHóíoýËþ í,í,Hò^ñõôÕò#Áþ‰ò½þDüVòPóHýËüLísý°ü

ñVü§ýí, ;

(.

#

1

=

.

1

4

7

#

1

BA9

45!

9

#

*

7

.

1

!

*

'ú›þ£ò½ð‰ñLVýµísðDüÑísýËò^þ

0

.,DüY¸ísòOHþHñsüËý->í,‰ýþ‰ò^íVýËò½þ<'

"

Áóò½þõýËÿñí,

;

1

!

G

;

(.

#

1

=

.

1

4

7

#

1

BA9 45!

9

#

*

7

.

1

!

*

0

,ÛýËó/,`ý[½ýHþ

ô*ü7Ëýþ\ü^ñ¸û2üLö‰ö‰ýËþ

C, C

0

#áð] ýËþ

C

0

(

m

0

1

(

x, y

)

, . . . , m

0

n

(

x, y

)) = (

m

0

1

(

x, Cy

)

, . . . , m

0

n

(

x, Cy

))

.

([,‰ýBóHü^þ`üõò

0

ñVýµíVíHþ`ü

C

0

B

(

m1

(

Ax, Ay

)

, . . . , m

n

(

Ax, Ay

)) =

B

(

m1

(

Ax, ACy

)

, . . . , m

n

(

Ax, ACy

))

.

fV

NDñVò½ûÃí,Ûý4ýµí4ýQ\ü±ôísòG í,DüLíý#

C, C

0

õòÁí,[ðDüLíVýËò½þkV$ ^í,Hþ

ACA

−

1

, B

−

1

C

0

B

Vò

Z

0

((

m1, . . . , m

n

)) = (

m1

(

x, Zy

)

, . . . , m

n

(

x, Zy

))

,

k5@

ü^þ‰ÿ2ý#

Z, Z

0

õòCk5$ í,þ

A

−

1

ZA, BZ

0

_B

−

1

õò+ðDüLíVýËò½þfVE'%MOþ‰ó -í,õòËð[ísýËò^þ ü^ñ¸óò½þ=JõðüÑíHÿoísò–\ü^ó/,£òLí,ñ 'Q([,Áó þísñsüËý-Hñò#

M

0

ó\ü^þ

>óHò^ûTö‰ð[íHÿ^#áñVò½û í,¸öÛð

1fô

0

ýí, üLðõýÖü^þ-ËýûTýþDüLísý ò½þ7

0

,þ0í,Z-ûþí

c

ij

, c

0

ij

ü^ñufí‘ü-ðÛþ1þ‰ò

0

þ‘ü^þ‰ÿ

öÖüLýËþí [í5cLóHýö,ñõí Pí¸ö‰ü^ýËñ:ü^ñ?öðÿýþ+ísòtí ðDüÑísýËò^þ:ýËþ+í,?ð‰þ1PþÛò

0

þ ' ò

0 0

ü^þDüµô í,+ûTýWHÿ0ó-HþísñVüËý Hñ-ü^þ‰ÿ ,Ûò

0 í,‰üLí«ýµí+,Dü«í,£ÿ-VýñHÿÕö‰ñõò½ö*Hñõí›ô' " Z±í9ü^ñ±í 0 ýí,üCVö*HóýÖü(ó\ü' H\_ X 1,6 ! 9 #,+-! 0 7A@ ! ! . G

F

2

m

% "!$#

M

0 ! #,+-! ; ( . # 1 = . 1 4 7 # 1 BA9U7A@ 7 0 B 6 ! G ! * 1,6 ! G J * B ; ( 9 1,6 7 * 1 7 #L! =-B . O 9)B ; 1 7 . @

H

k

=

X

2mik+1

,

D

+-!

*

!

i

k

6∈ {

0

, n

k}

7F9HG

gcd

(2

mi

k

+1

_,

2

n

k

−

1) = 1

J

B

*

k

= 1

, . . . , l

% +-! 9 #,+-! 45! 9 # * 7 . 1 ! * 4 BA9V@ 1 @ # @SB J 7 .,. =V7 1 * @

(

A

−

1

_{ZA, BZB}

−

1

)

R D +-! * !

Z

1 @ #,+-! * ! = * ! @ ! 9 # 7 # 1 BA9 ; 7 # * 1 B JC#,+-!C; 7$=>= 1 9?

a

7→

Ψ

−

1

((

λ1

·

Ψ(

a

)

1

, . . . , λ

l

·

Ψ(

a

)

l

))

,

a

∈

F

q

n

7F9HG

λ

k

∈

F2

m

(

ik,nk

)

J

B

*

k

= 1

, . . . , l.

b * BQB J % ([,§ö‰ñVòPò#ý[VýûTö

ð[í5ñVüLí,Hñîíó/,‰þ‰ýó\ük Vò

0

t1ýö*í,§ÿísü^ý[,Hñ'

þ‰ÿñõísü^þ‰ÿ‰ýþí,«ó þísñsüËý-Hñ>ò#ü^þ,üLñ

ýµísñsüLñõôMN4ïQP‚RÁñõôPöÛísòõôõíHû 0 ýµí, ñsü^þ‰ó/, ý:üG,Dü^ñõÿTöÛñVò

Hû' ¸ðÛí>ýíýF\ü±ô+ísò&- í,DüLí>ü

ËòPó/1£û2üÑísñVýó

-Z

0 ,HñI-ñõô ò[ó/1

Λ

k

ñö‰ñ-þíXüÕû£ðµísýËöËýËóHüLísýò½þ 0

ýµí, ü^þ ûþíH#áñõò½û í,

ü8] -Ëÿ

F

q

z ý,ýËþÓí,

ó þíVñsüý-Hñ®ò#

M

':úÜí?ý.Hñõô8ý1 ô2ü^þ‰ÿ*óò½þ]Dñõûÿ

ô,ò½ðÛñ[[ö"ñVýûþí ‰í,DüLí®í, ‘ü^ñ

í,?ò½þôu-ûþí

0

,Hþ

H

(

X

)

ýþ‰ò^í¸ü%õýËûö®ü¸ü

òh'X([,ð 0 –,DüY?í,[#áòËò 0 ýËþ ñHüVò½þ‰ü §óò½þ=JHófísð‰ñ'

2 "\_ - ([,) HûHHþí

C

ò#®í,Xó þíVñsüý-Hñ^#áò^ñ£ü^þwü^ñ

ýíVñsü^ñ±ô õôõíHû

0

ýµí,

l

ñsüLþ‰ó/, 5ü^ñ§í,§û2üÑísñVýó

-A

−

1

ZA

0 ýµí,

Z

=















Λ

1

0

0

· · ·

0

0

Λ

2

0

· · ·

0

'

'

'

0

Λ

3

· · ·

0

' ' ' ' ' '

0

' ' '

0

0

0

· · ·

0

Λ

l















.

([,Hñ ô

Λ

k

ÿþ‰ò^í ?í,ñHö‰ñ þí9üLíVýËò½þû2üLíVñVýXò#ü+û£ðµísýËöËýËóHüLísýò½þ

0

ýí,

λ

k

∈

F

q

.

YZ[]\_^X ([,5óò½þ=JóísðÛñBÿ‰òW-¸þÛò^í õí9üÑí5ü^þôPí,‰ýËþü ò½ðÛí

C

0

'ì

C

0

ý:ò½þ ô£þ ÿHÿ

ísò5óHò½ûö‰ðÛí

C

ðÛíþ‰ò^íísò-óò½ûöfíí,Áü^óíVðDü öDü^ñVüLísýò½þ7 ^þÛòO#áð‰ñ±í,ñQ1þ‰ò

0

ÿîü

ò½ð[í

í,&±ísñVðÛóísðÛñ‘ý®þó sü^ñ±ô'

([,uöDü^ñsüÑísýËò^þ ñ ð‰ýËñ -í,n# ü^ófísò½ñõý\üÑísýËò^þò#í,ó/,‰ü^ñsü^ófíñVý±ísýóö{òôPþ‰ò½ûýÖü&ò#

C

' ìVð‰ûýËþuRÁò½þ=JóísðÛñnD?í,ûTüLísñõýËó

-C

óHü^þ

Bÿ‰ýÖü^ò½þDüý ÿ

0 ýí,2ò½þµô°üt#B 0 ö{òõý

ïýþ Lüð -'—RÁò½þ ðHþíµô,í,G#ü^ófísò½ñõýHüLísý ò½þXý.#BHüVý

' ([,§þð‰û Hñ®ò#ñóHòhñÿ ñVü^þ‰ó/,-?ÿHö*Hþ‰ÿ5ò½þXí,þð‰û

Hñ®ò#ÿ‰ý<ñþíBïýHþ@LüËð '

ú€#Áò^þô`ó ðõíHñò#

ñsü^þÛó/, ‘ü^ñ+ñHóòhHñHÿ7 &í,°ü^ò½ñVýµí,‰û óHü^þ

+üLö‰öËýHÿHöDüLñsüLí ô

ísò+í,‘ÿÛý"Hñþí5ó-Ëð±íñ ' " &,DüY§í,G#áòËò 0 ýËþñ õð í ' H\_ +-! 0 * 7F9 45+-! @ J B * 7F9 7 * 021 # * 7 * O @ O @ #E!$; 4 7F9 0 ! * !54 B 6 ! * ! G D 1 #,+

O

(

n

6

)

! . G B5= ! * 7 # 1

BA9V@ BA9 7

6 ! * 7Q? ! % YZ[]\_^X NDò½ñ ü[] ÿ

F

2

m

ü+# ü±íHñFLü^ñõýÖü^þí:ò#{í,Bü½ò½ñõýí,Ûû ýöcòVý

ó\ü^ð ýËþ2í,‰ý¸ó\üýí¸ýîö{òVý ?ísò+óHò^ûTö‰ð[í

C

0 ýí,‰ò½ðÛí

C

0

'F([,«ÿfí9ü^ýÁóHü^þ

#áò½ð‰þ‰ÿ2ýËþ2í,

ŽD &(G' zí,7 " ' Hý-ËûTü^þ‰þ7 ' PíýËþ

0

üLþ‰ÿÛí -HüËýþI99DGô Áýµí3ò# N ì MIVW

-õý

"

ò½ñ1 ,‰ò½ö ð‰þÛýËó/,7

òHû

HñV # #V

4V= ýóHòËüRÁò½ð‰ñõíVò½ý- ò½ðÛý ò½ð

ýËþ7 ½ü^ó ð ? üLí9üLñVýËþ «ðDü^ñõí LDV^ø=P

ýí–ò½þÿ‰ý½ýµí9ü

Vý½þDüLíVð‰ñ- QRÁñõôPöÛíVò½ñsüLö,HñH÷L(ñVü^ó/1 süURÁò½þ#BHñHþ‰ó-AV # #D R V #@V # 3ö‰ö<'{V^øVP

V3@ [ö‰ñõýËþñSP %HñËü

:5 '<RÁò½ð‰ñ±ísò½ý ' ò½ð

ýËþü^þ‰ÿ' ? üÑí9ü^ñõýËþ7' N ì&M

v

3

üC# üõíOõôPûûfísñVýó^õý½þ‰üLísð‰ñ Vó/,HûH'"RÁñõôPöÛíVòËòLôA

?

ñVýþí?ì-ñVó/,Ûý

Hö{ò½ñ±íOV # #5>cVWDD V # #5

K9tM^'\25ò

HñõíVýËþ ýþíHñõþDü&ñHö{ò½ñõí–35 c39 ñVûTü^þ*ú›þ#áò½ñVûTüLíVýËò½þHóHðÛñVýí›ô*ìOHþÛóô

4;=tM^'X2-ò

Hñ±ísýËþ 2ì-þ‰üôVý£ò#OMNï [ó/,û- îüÿwò½þ ? ò

0

HñHNDð‰þ‰óíVýËò½þ :ýËþ@PýíHÿ

í9ü1XüÑí>ì–R[R ÷#VW #5=P #@^ð‰þ *V # #@V

ò½ð‰ý ò½ð

ýþ7 '

?

üÑí9ü^ñõýËþ 4ú›ûö‰ñõòHÿ*ü½ò½ñõýí,ÛûX#áò½ñ¸ú Vò½ûò½ñõö,‰ýõû>ò#

?

òôPþ‰ò½ûýP

ü Dïð‰ñõò[óñõôPöÛío÷3½øW [ö‰ñõýËþñSP %HñËü

4=tM^'+ú›ûTü^ýk A(G'H üLíõð‰ûò^ísò

?

ð

ËýËó ð‰ü^ÿ‰ñsüÑísýËó

?

òôPþ‰ò^ûTýËüP¼ísð‰ö #áò½ñ óHýHþí

Vý½þDüLíVð‰ñEP€HñVý]Dó\üÑísýËò^þüLþ‰ÿ*û-sü$P€Hþ‰óñõôPöÛísý ò½þ7 Qïð‰ñõò[óñõôPöÛí‘÷ùø^ø [ö‰ñõýËþñSP %HñËü

ø§ìn'§ýö‰þ‰ý †ì^' W,Dü^ûýËñ {RÁñ±ôPöÛí9ü^þ‰üôVý-ò#:í,CMN4ï ? ð

ËýóGô6RÁñõôPöÛísòõôõíHû

ô

Ëýþ\üLñVýVüLísýò½þ7 RÁñõôPöÛíVò÷433 Pö‰ñVýþHñ‚P %ñÖü

:3§ìn'ý ö‰þ‰ý- 5ì^'W,Dü^ûýËñ RÁñ±ô[ö‰ü^þDüµôWõý*ò#‘í, %«ý

&

«ý þ üLñ [ý½þDüLíVð‰ñ Pó/,HûH RÁñõôPöÛíVò ÷43½ø

ŽD$#

'

ýËÿk QMt'

ýHÿHñVñHýµíHñ CNýËþÛýíNý Ëÿ 4ïþ‰ófôPó Ëò^ö"ÿ‰ýÖü ò#O üLí,HûTüLísýó oü^þ‰ÿÓý í

ì-öÛöËýó\üLíVýËò½þ- :òf'FV # —VLþ‰ÿÂïÿ‰ýíVýËò½þ< Rîü^û

ñõýËÿ þ‰ýHñVýí›ô ? ñ [RîüLû

ñVýÿ

Dh33

ŽDD '

?

üLísü^ñVýþ uRÁñ±ôPöÛí9ü^þ‰üôVýò#¸í,) üLíVð‰ûò^ísòü^þ‰ÿ ú›û2üLý

?

ð

ËýËóGô [ó/,HûH2ò#

ïð‰ñVòPóHñ±ôPöÛí÷ø½ø RÁñõôPöÛísò`÷43@;W [öÛñVýËþHñ‚P %HñÖü

ŽDV='

?

üLísü^ñVýþ §ì±ô[ûûHísñõýËóRÁñõôPöÛíVò½ñVü^ö,ô

0

ýí,ÚüM5ýÿ‰ÿHþ ò½þ‰ò^ûTýËüf ”RÁñ±ôPöÛísò ÷3 W

[ö‰ñõýËþHñ %HñÖü

ŽDh5' ? üLísü^ñVýþ zMBýËÿ‰ÿHþNý ÿBï Pð‰üLísýò½þnkMNï—?ü^þ‰ÿú Vò½ûò½ñõö,‰ýõû?ò# ? òµô[þÛò½ûTýËü

ú

?

E Qï:ðÛñVòPóHñõôPöÛío÷43 [öÛñVýËþHñ %ñÖü

ŽDY9 ' [ó/,Dü#Bñ :ú›þísñVòPÿ‰ð‰ófísýò½þ,ísò ò½þ‰üõò[óýÖüLíVý§ìO