Bab 5 Root Locus

(1)

Bab

Bab 5: 5: Root Root Locus Locus EL303: Sistem EL303: Sistem KendaliKendali

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

Teknik

Teknik Elektro Elektro ITB ITB [EYS-1998] [EYS-1998] hal hal 5-5-11

ROOT LOCUS

Ì

Pendahuluan

Ì

Dasar Root Locus

Ì

Plot Root Locus

Ì

Aturan-Aturan Penggambaran Root Locus

Ì

Root Locus

Root

Locus Melalui

Melalui MATLAB

MATLAB

Ì

Kasus Khusus

Ì

Analisis Sistem Kendali Melalui Root Locus

Ì

Root

Locus

untuk

Sistem

dengan

Transport Lag

(2)

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

Cancel Anytime.

(3)

Cancel Anytime.

Bab

Ì

PENDAHULUAN

n

Karakteristik tanggapan transient sistem loop

tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop

tertutupnya).

n

Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga

berubah.

n

Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole

dalam bidang s.

n

Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih

K sehingga pole-pole terletak ditempat yang

diinginkan.

n

Desain

sistem

kendali

melalui

kompensasi:

memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui

pole-zero cancellation.

n

Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk

orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel.

(Alternatif: gunakan MATLAB ?!)

n

W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari

akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root

Locus.

n

Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan

karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga.

(4)

Cancel Anytime.

(5)

Cancel Anytime.

Bab

Ì

DASAR ROOT LOCUS

Persamaan Karakteristik: s

22

+ 2s + K =0

Akar-akar Persamaan Karakteristik :

ss== −− ±22± 44−−44K K = −= − ±± −− K K 2 2 11 11

K

ss

11

ss

22

0

0 -2

-2

1

1 -1

-1

2

2 -1+j1

-1+j1

10

10 -1+j3

-1+j3

(6)

Cancel Anytime.

(7)

Cancel Anytime.

Bab

n

Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbu

nyata.

n

Root Locus bermula dari pole-pole G(s)H(s) (untuk

K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk

K

→∞

) termasuk zero-zero pada titik takhingga.

n

Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem

kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan

pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang

harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem

dapat dipenuhi.

n

Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok

diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat.

n

Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1

parameter untuk diatur masih dapat menggunakan

pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1

parameter pada satu saat.

n

Root Locus sangat memudahkan pengamatan

pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak

pole-pole.

n

Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan

untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh

idea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapat

melakukannya secara cepat dan akurat.

n

Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat

ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root

(8)

Cancel Anytime.

(9)

Cancel Anytime.

Bab

Ì

PLOT ROOT

PLOT

ROOT LOCUS

LOCUS

Persamaan Karakteristik:

Persamaan Karakteristik: 1

1 +

+ G(s)H(s

G(s)H(s)

) =

= 0

0 Atau:

Atau:

G(s)H(s) = -1,

Sehingga:

⊃

G(s)H(s) =

!!

180

00

(2k+1);

(2k+1); (syarat

(syarat sudut)

sudut)

k = 0, 1, 2, ….

(10)

Cancel Anytime.

(11)

Cancel Anytime.

Bab

Ì

PROSEDUR PENGGAMBARAN

ROOT LOCUS

1. 1. Letakkan pole-

Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada

pole dan zero-zero loop terbuka pada

bidang s.

2. 2. Tentukan Root Locus pada sumbu

Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.

nyata.

••

Syarat Sudut:

⊃

G(s)H(s) =

!!

180

00

(2k+1); k

(2k+1);

k =

= 0,

0, 1,

1, 2,

2, ….

….

••

Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero

dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root

Locus.

3. Tentukan asimtot Root Locus:

••

Banyaknya asimtot = n – m

n =

n = banyaknya

banyaknya pole loop

pole loop terbuka

terbuka

m= banyaknya zero loop terbuka

••

Sudut-sudut asimtot =

m

n

1)

(2k

180

00

−

+

±

k=0, 1, 2, …

••

Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:

(

letak

pole

berhingga

)

−

(

letak

zero

berhingga

))

=

∑

a a σ σ

(12)

Cancel Anytime.

(13)

Cancel Anytime.

Bab

4. 4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-

Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in:

titik break-in:

Untuk Persamaan Karakteristik:

B(s) + KA(s) = 0,

Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan

memenuhi persamaan:

0

0 ))

((

))

((

))

((

))

((

))

((

2 2 '' ''

=

−

=

ss

A

ss

A

ss

B

ss

A

ss

B

ds

dK

5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat

untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan.

••

Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 180

Sudut datang

(dari suatu pole kompleks) = 180

00

–

(jumlah sudut vektor-vektor dari pole-pole lain ke pole

kompleks tsb) +

kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor

( jumlah sudut vektor-vektor da

-vektor dari zero-

ri

zero-zero ke pole kompleks tsb).

zero ke pole kompleks tsb).

••

Sudut pergi

Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 180

(ke suatu zero kompleks) = 180

00

– (jumlah

sudut vektor-vektor dari zero-zero lain ke zero

kompleks tsb) +

kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-ve

( jumlah sudut vektor-vektor dari

ktor dari pole-

pole-pole ke zero kompleks tsb).

(14)

Cancel Anytime.

(15)

Cancel Anytime.

Bab

6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):

••

Melalui Kriteria Routh Hurwitz.

••

Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = j

7. 7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti

Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah-

pada

daerah-daerah selain sumbu nyata dan asimtot.

daerah selain sumbu nyata dan asimtot.

8. 8. Tentukan letak pole-p

Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang

ole melalui nilai K yang

memenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak

pole-pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang

pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang

memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara

analitis:

Secara grafis:

zero

--zero

zero

ke

ss

titik

dari

garis

--garis

garis

panjang

perkalian

pole

--pole

pole

ke

ss

titik

dari

garis

--garis

garis

panjang

perkalian

K

=

(16)

Cancel Anytime.

(17)

Cancel Anytime.

Bab

CONTOH :

Gambarkan Root Locus sistem balikan satuan dengan Gambarkan Root Locus sistem balikan satuan dengan

)) 2 2 )( )( 1 1 (( )) (( + + + + = = ss ss ss K K ss G G

Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan loop Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan loop tertutup dominannya bernilai 0,5.

tertutup dominannya bernilai 0,5.

Solusi : Solusi :

1.

1. Tentukan Tentukan Root Root Locus Locus pada pada sumbu sumbu nyata.nyata.

Untuk titik uji 1 : Untuk titik uji 1 :

Syarat sudut : Syarat sudut : 00 00 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 )) 2 2 (( )) 1 1 (( ++ −−∠∠ ++ == ++ ++ == ∠ ∠ − − ∠ ∠ −

− ss ss ss (tak terpenuhi).(tak terpenuhi).

Untuk titik uji 2 : Untuk titik uji 2 :

Syarat sudut :

Syarat sudut :−−∠∠ss−−∠∠((ss++11))−−∠∠((ss++22))== −−18018000 −−0000 −−0000 == −−18018000(terpenuhi).(terpenuhi).

2.

2. Penentuan Penentuan asimtot asimtot Root Root LocusLocus

Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 - 0 = 3 Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) – banyaknya zero (m) = 3 - 0 = 3

σ σ j jωω 0 0 --11 -2 -2 •• •• Titik uji 1 Titik uji 1 Titik uji 2 Titik uji 2

(18)

Cancel Anytime.

(19)

Cancel Anytime.

Bab

0 0 1 1 )) 2 2 )( )( 1 1 ((ss++ ss++ ++ == ss K K atau )

atau K K == −−((ss33 ++33ss22 ++22ss), sehingga:, sehingga:

0 0 )) 2 2 6 6 3 3 (( 22 ++ ++ == − − = = ss ss ds ds dK dK Diperoleh

Diperoleh ss₁₁ ==−−00,,42264226 (memenuhi) dan(memenuhi) dan ss₂₂ == −−11,,57745774 (tak memenuhi)(tak memenuhi)

4. Penentuan batas kestabilan sistem menggunakan kriteria Routh Hurwitz. 4. Penentuan batas kestabilan sistem menggunakan kriteria Routh Hurwitz.

K K33 K K 6 6 K K 3 3 2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 − − ss ss ss ss

Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus dengan

dengan sumbu sumbu khayal khayal ini ini terjadi terjadi pada pada : : ss == ±± j j 22..

Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah secara analisis: s = j

Cara lain untuk mengetahui titik potong ini adalah secara analisis: s = jωω(pada(pada sumbu khayal).

sumbu khayal).

5.

5. Tentukan beberapa Tentukan beberapa titik uji dekat titik uji dekat titik pencar yang titik pencar yang memenuhi syarat memenuhi syarat sudut Rootsudut Root Locus agar diperoleh plot Root Locus secara akurat.

(20)

Cancel Anytime.

(21)

Cancel Anytime.

Bab

6.

6. Gambar Gambar Root Root Locus Locus nya:nya:

7.

7. Penentuan letak Penentuan letak pole-pole pole-pole kompleks kompleks sekawan sekawan dominan dominan yang yang memiliki memiliki koefisienkoefisien

redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan

redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan ss== −−ζωζω_n_n ±± j jωω_n_n 11−−ζζ22 . Dengan. Dengan memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa

memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa ζζ ==ccooss . ββ. UUnnttuuk k

,, 5 5 ,, 0 0 = =

ζζ makamaka ββ== 606000. Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh pole-. Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh pole-pole dominan tersebut adalah :

pole dominan tersebut adalah : s s = -0,3337 + = -0,3337 + j0,5780, dengan nilai K adalah:j0,5780, dengan nilai K adalah:

0383 0383 ,, 1 1 )) 2 2 )( )( (( ++ ++ ₀₀_,,₃₃₃₇₃₃₃₇ ₀₀_,,₅₇₈₀₅₇₈₀ == = = ss ss ss _ss₌₌₋₋ ₊₊_jj K K

(22)

Cancel Anytime.

(23)

Cancel Anytime.

Bab

Ì

BEBERAPA CATATAN

••

Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat

mengubah total bentuk Root Locus.

(24)

Cancel Anytime.

(25)

Cancel Anytime.

Bab

(26)

Cancel Anytime.

(27)

Cancel Anytime.

Bab

(28)

Cancel Anytime.

(29)

Cancel Anytime.

Bab

Ì

ROOT LOCUS MELALUI MATLAB

Root Locus

Root Locus = persamaan

= persamaan karakteristiknya,

karakteristiknya, dalam

dalam MATLAB:

MATLAB:

0

0 den

den

num

K

1

1 +

+

=

n n 2 2 1 1 1 1 n n n n 2 2 1 1 n n n n 2 2 1 1 m m 2 2 1 1 1 1 m m m m 2 2 1 1 m m m m 2 2 1 1

p

ss

))

p

((

ss

))

p

ss

((

))

p

ss

)(

p

ss

((

den

zz

ss

))

zz

((

ss

))

zz

ss

((

))

zz

ss

)(

zz

ss

((

num

L

+

=

+

=

+

=

+

=

− − − −

Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep

Fungsi Alih):

(30)

Cancel Anytime.

(31)

Cancel Anytime.

Bab

Cara lain penggambaran Root Locus adalah dengan

menggunakan arguman berikut ini :

[r,K] =

[r,K] = rlocus(num,de

rlocus(num,den)

n)

[r,K] =

[r,K] = rlocus(num,de

rlocus(num,den,K)

n,K)

[r,K] =

[r,K] = rlocus(A,B,C,D

rlocus(A,B,C,D))

[r,K] =

[r,K] = rlocus(A,B,C

rlocus(A,B,C,D,K)

,D,K)

Pada layar akan tampil matriks r dan vektor penguatan K.

Perintah :

r=rlocus(num,den)

plot(r,'o')

(32)

Cancel Anytime.

(33)

Cancel Anytime.

Bab

Contoh :

Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali

balikan satuan:

)) 1 1 ss 4 4 ,, 1 1 ss )( )( 6 6 ss )( )( 4 4 ss (( ss )) 4 4 ss 2 2 ss (( K K )) ss (( G G ₂₂ 2 2 + + + + + + + + + + + + = =

(34)

Cancel Anytime.

(35)

Cancel Anytime.

Bab

Program MATLAB nya:

%---Root-Lo

%---Root-Locus --

cus ---

---num

num =

= [0

[0 0

0 0

0 1

1 2

2 4];

4];

den

den =

= [1

[1 11.4

11.4 39

39 43.6

43.6 24

24 0];

0];

rlocus(num,den)

Warning:Divide by zero

(36)

Cancel Anytime.

(37)

Cancel Anytime.

Bab

Ì

KASUS KHUSUS

]

Parameter K bukan penguatan loop terbuka.

]

Umpanbalik positif.

]

(38)

Cancel Anytime.

(39)

Cancel Anytime.

Bab

(40)

Cancel Anytime.

(41)

Cancel Anytime.

Bab

]

(42)

Cancel Anytime.

(43)

Cancel Anytime.

Bab

Contoh:

(44)

Cancel Anytime.

(45)

Cancel Anytime.

Bab

Sistem tidak stabil untuk K > 3 (Gunakan metoda Root Hurwitz untuk Sistem tidak stabil untuk K > 3 (Gunakan metoda Root Hurwitz untuk menghitungnya!). Sistem harus distabilkan dengan umpanbalik negatif diluarnya. menghitungnya!). Sistem harus distabilkan dengan umpanbalik negatif diluarnya.

(46)

Cancel Anytime.

(47)

Cancel Anytime.

Bab

(48)

Cancel Anytime.

(49)

Cancel Anytime.

Bab

Ì

ANALISIS SISTEM KENDALI

(50)

Cancel Anytime.

(51)

Cancel Anytime.

Bab

(52)

Cancel Anytime.

(53)

Cancel Anytime.

(54)

(55)

Cancel Anytime.

(56)

(57)

Cancel Anytime.

(58)

(59)

Cancel Anytime.

(60)

(61)

Cancel Anytime.

(62)

(63)

Cancel Anytime.

(64)