THE CALCULATION OF MULTICOMPONENT ROD SYSTEMS BY DECOMPOSITION METHOD

УДК 624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

РАСЧЕТ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

МЕТОДОМ ДЕКОМПОЗИЦИИ

Для декомпозиції дво- та тримірних стержневих систем розроблено ефективний алгоритм розділення

системинаблокитавідповідна методикакодуваннястанів кожноїзпідсистем. Показано, щоструктурний склад багатомірних моделей можна задавати за допомогою просторових матриць на основі дослідження

топологічнихвластивостейграфасистеми.

Длядекомпозициидвух- итрехмерныхстержневыхсистемразработанэффективныйалгоритм разделе

-ниясистемынаблокиисоответствующаяметодикакодированиясостоянийкаждойизподсистем. Показано,

что структурный состав многомерных моделей можно задавать спомощью пространственных матриц на основеисследованиятопологическихсвойствграфасистемы.

For decomposition of two- and three-dimensional rod systems the effective algorithm of dividing a system into blocks and the appropriate technique of coding for states of each from subsystems are developed. It is shown that the structure of multi-dimensional models can be set by means of space matrices based on the research of topological properties of the system graph.

Для решения задачи кодирования сложной стержневой системынеобходимо выполнить ее декомпозицию на более простые конструктив

-ныечасти. Каждаяконструктивнаячастьможет быть разделена на еще более мелкие подсисте

-мы, размеры которыхопределяются возможно

-стями кодирования или наличием уже готовых для них решений. В результате получаем не

-сколько уровней q -мерных подсистем, обра

-зующих q-мерные цепи [1], длядекомпозиции

и кодирования состояний которых удобно ис

-пользоватькаскадныеалгоритмы [2].

Как правило, каркас сложной системы фор

-мируется из набора одно-, двух- и трехмерных элементов. Конструктивныеособенностисамой системы также могут определять размеры со

-ставляющих ее подсистем и структуру их рас

-положения внутри большой системы. В любом случаедля уменьшения работы, затрачиваемой на кодирование, число подсистем выбирается минимальным. Если для выделенных подсис

-тем уже определеныих характеристики, то ка

-ждуюизнихможнопредставитьввиде «черно

-го ящика» с известными кодами внешних вхо

-довипроизвольнойвнутреннейструктурой.

Например, разделяя трехмерную стержне

-вую систему [5] плоскими сечениями, парал

-лельными плоскости xy, получим p подсис

-тем. Совокупностьсеченийвдольплоскости xz

выделяет еще mp подсистем. Последующие

плоские сечения, ортогональные двум первым,

приводят к nmp более мелким подсистемам.

Такимобразом приходим к разделению задачи

кодирования заданной системы на несколько задач кодирования составляющих ее подсис

-тем, спомощьюкоторыхреализуетсясистемав целом. Следуя каскадному алгоритму, проце

-дурыкодирования k-йподсистемыстроятсяпо

принципу поэтапного использования входных последовательностей, передаваемых от сопря

-гаемых подсистем, принадлежащих различным уровням. При этом символами кода последую

-щего уровня (ступени) являются символыкода предыдущейступени. Очевидно, дляподсистем одного уровнявозможно использование парал

-лельных процедур кодирования. В результате,

переходя от совокупности подсистем первого каскадак последнему, получим наборпоследо

-вательных кодов, характеризующих состояния всей системы. Применение такого алгоритма позволяет такжеиспользоватьдля трехмерного моделирования существующие двух- и одно

-мерные модели. Соединение кодированных подсистем и получение топологического урав

-нениясистемыпроизводимвобратномпорядке наосновепринципаортогональности.

Предположим, что имеется p−1 система

пересекающихся ортогональных балок, соеди

-ненных между собой через узловые сечения

(n−1)(m−1) упругими стержнями (стойками),

параллельными между собой и оси z . В ре

-зультате декомпозиции такой метасистемы [1]

взаимно ортогональнымиплоскимисечениями,

проходящими черезцентры внутренних проле

Рассмотрим возможные состояния типовой

k -й (k=1, 2, …, p−1) подсистемы (рис. 1)

при последовательном изменении кодов НП,

КПстержней 31, 32.

Вотличиеот плоскогослучая, изгибныеко

-лебанияпродольныхипоперечныхбалокбудут связаны с крутильными или продольными ко

-лебаниямиортогональныхдлянихбалок.

Рис. 1. k-яподсистематрехмернойстержневойконструкции

Как обычно, выделим из k-й системы

(рис. 1) j_k-ю подсистему, аналогичную [5], и

представим ее графом GR_yj, цепочки связан

-ных подграфов GR_y1, GR_y2, …, GR_yn−1, разде

-ляемых на компоненты 1G_y1, 2G_y1, 3G_ϕ1, …, 1

1 yn

G ₋ , 2G_yn−1, 3G_{ϕ −n 1} (рис. 2).

Тогда, длялюбого изпромежуточных бло-

ков II, III, …, n−2 можно составить таблицу

переходов ART₁ [4], характеризующих состоя

-ниястержней 11, 12; 21, 22 и 31, 32 присовме

-стных изгибно-крутильных колебаниях. Воз

-можные состояния подграфов приведены на рис. 9 [5], а соответствующая двумерная мат

-рица Ω_ϕyz при фиксированных граничных ус

-ловиях стержней 21, 22 и 31, 32 представлена выражениями [4].

Рис. 2. Графсистемы GR_yj

Как уже отмечалось [4], элементы матрицы

yz ϕ

Ω всоответствиис кодами таблицыперехо

-дов соответствуют элементам матрицы Ω_y для изгибныхколебанийпересекающихсястержней

11, 12 и 21, 22 вплоскости xy споследователь

-ным их умножением на матрицы w₃₁, w₃₂ и

31

w′ , w₃₂′ , характеризующие крутильные коле

-баниястержней 31, 32. Поэтому алгоритмыпо

-строения пространственных матриц

1 2 3 yz i i i ϕ

Ω и

1 2 3 4 yz i i i i ϕ

Ω приварьировании кодовНП стержня 21

и КП стержня 22 будет точно таким же, как и для пространственных матриц

1 2 3 y i i i

Ω ,

1 2 3 4 y i i i i

Ω с

учетом дополнительных множителей w₃₁, w₃₂

и w₃₁′ , w₃₂′ в выражениях для двумерных мат

-риц, образованных соответствующими сече

-ниямиориентации.

Рассмотрим возможные состояния системы

[4] при последовательномизменениикодовКП

(k l_{2 2}) стержня 32 – 01 и 10. Вэтомслучаесис

-тему, представленнуюавтоматом ART₂, можно

описатьпятимернойматрицей [3]

1 2 5 1 2...5 ... ,

yz

i i i i i i a ϕ

Ω = (i₁,...,i₄=1, 2, ..., 6; i₅=1, 2).(1)

фиксированных значениях индексов i i i_{1 2 5}

можнозаписать, например, - при i i i_{1 2 5} =1

3 4 11 12 11 12

11 1 yz

y y y y i i M M M M

ϕ _{′ ′}

Ω = ×

01 1100 0011 31 32 21 22 01 1100 0011 31 32 21 22 0 0 w w V V w w V V × ′ ′

′ ′ ; (2)

- при i₁=2,i₂=1,i₅=2

3 4 11 12 11 12

21 2 yz

y y y y i i M M M M

ϕ _{′ ′}

Ω = ×

10 1010 0011 31 32 21 22 10 1010 0011 31 32 21 22 0 0 w w V V w w V V × ′ ′

′ ′ ; (3)

иливсокращеннойформе

1 2...5 1 2 3 yz

i i i v v w ϕ

Ω = . (4)

В выражениях (2), (3) матрицы w₃₂, w₃₂′ в

соответствиискодамитабл. 2 [4] имеютвид

3 01 32 3 3 3 cos 1 sin w ϕ ϕ ϕ λ = λ β λ

; 10₃₂ 3 3 3

3

sin cos

w ϕ ϕ

ϕ

−β λ λ = λ ; 3 01 32 3 3 sin w ϕ ϕ λ ′ =

β λ ;

10

32 cos 3

w′ = λ_ϕ (5)

Можно заметить, что матрицы v₁ , v₂ (4)

полностью совпадают с двумерными матрица

-ми, образованными из пространственной мат

-рицы

1 2 3 4 y i i i i

Ω сечением ориентации (i i_{1 2} ). По

-этому, с учетом (5) несложно также получить остальные выражения для двумерных матриц при различных сочетаниях i i i_{1 2 5}

(i₁, i₂ =1, 2, ..., 6; i₅=1, 2).

Аналогично [4] выразим пространственную матрицу

1 2...5 yz i i i ϕ

Ω в виде таблицы, в которой че

-тырехмерные сечения отделяются вертикаль

-нойлинией

(6)

В свою очередь, двумерные сечения про

-странственных матриц

1 2 3 41 i i i i a и

1 2 3 42 i i i i

a при

фиксированных значениях индексов i i_{1 2} пред

-ставляютсявужеизвестнойформе [4].

Варьирование кодов НП (k l_{1 1}) стержня 31

позволяет определить еще одну координату i₆ r -мерного пространства (r=6 ) и составить r-мернуюматрицу

1 2...6 yz i i i ϕ

Ω

1 2 6 1 2...6 ... ,

yz

i i i i i i a ϕ

Ω =

(i₁,...,i₄=1, 2,..., 6; i i_{5 6}, =1, 2). (7)

Для совокупности элементов двумерной матрицы

1 2 3 4 5 6 yz i i i i i i ϕ

Ω , образованной m -кратным

(m=4) сечениемориентации (i i i i_{1 2 5 6}) прифик

-сированных значениях индексов i i_{1 2} и i i_{5 6}

можнозаписать, например, - при i i i i_{1 2 5 6} =1

3 4 11 12 11 12

11 11yzi i My My My My

ϕ _{′ ′}

Ω = ×

10 01 1100 0011 31 32 21 22 10 01 1100 0011 31 32 21 22 0 0 w w V V w w V V × ′ ′

′ ′ ; (8)

- при i i_{1 2} =6,i i_{5 6}=2

3 4 11 12 11 12

66yzi i 22 My My My My

ϕ _{′ ′}

Ω = ×

01 10 0011 1100 31 32 21 22 01 10 0011 1100 31 32 21 22 0 0 w w V V w w V V × ′ ′

′ ′ . (9)

Матрицы w₃₁, w₃₁′ всоответствиискодами

табл. 2 [4] преобразуютсяквиду

w₃₁10= cosλ_ϕ3 −β λ_{3 ϕ3}sinλ_ϕ3 ;

10

31 3 3

3 3

1

sin cos

w _{ϕ ϕ}

ϕ

′ = λ λ

β λ ;

10

31 cos 3

w′ = λ_ϕ ; ₃₁01 ₃

3 3

1 sin

w _ϕ

ϕ

′ = λ

β λ . (10)

Используявыражения (10) сприведенными выше (5), а также матрицами, полученными из

1 2 3 4 y i i i i

Ω с помощью сечений ориентации (i i_{1 2} )

можно составить двумерные матрицы при раз

-личных сочетаниях i i i i_{1 2 5 6} ( i i_{1 2}, =1, 2,..., 6;

5 6, 1, 2 i i = ).

Поаналогии (6), представимчетырехмерные сечения пространственной матрицы

1 2 3 4 5 6 yz i i i i i i ϕ

Ω в

.

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 1 2 3 4

11 12

21 22

i i i i i i i i yz

i i i i i i

i i i i i i i i a a a a ϕ Ω = . (11)

Двумерные сечения пространственных мат

-риц, входящихв выражение (11) при фиксиро

-ванных значениях индексов i i_{1 2} представляют

-сявформе [4].

Пространственные матрицы

1...5 xyz i i

Ω и

1...6 xyz i i

Ω

для изгибно-продольных колебаний системы пересекающихсябалоктакжепредставляютсяв форме (1), (7) с последующим выделением

m-мерныхсечений (6), (11).

Далее, процедура построения ассоцииро

-ванных матриц для k-й подсистемы

(k=1, 2,…, p−1) трехмерной стержневой кон

-струкции будет аналогична процедуре состав

-лениячастотногоуравнения для системы пере

-секающихся балок, расположенных в одной плоскости.

Так, первая подсистема при k =1 представ

-ляется одномерной матрицей-строкой

(

1

)

V GRT , которую можно выразить в виде

произведения ассоциированных матриц участ

-ков 1, 2,j= …,m−1. В свою очередь, каждая

подсистема j описывается произведением

ассоциированных матриц участков

1, 2, , 1

i= … n−

(

1

)

1

( )

1 2 1 1

(

1

)

2

m

j m j

V GRT V G V G −

ϕ ϕ ϕ −

=

=

∏

Φ , (12)

где V G₁

( )

_ϕ1 , V G₁

(

_{ϕ −m 1}

)

– двумерные матрицы

для первого ( j=1) и последнего ( j= −m 1)

участков k-й подсистемы (k=1), Φ_1ϕj – куби

-ческая матрица промежуточных участков при

2, 3, , 2

j= … m− :

( )

2 3 5 1 2 3 5 1 3 5

2 1 1 1 1 2 n i n i i i i i i i i i i

i V G

−

ϕ ϕ ϕ −

ϕ

=

= Ω

∏

Ω Ω ; (13)

2 3 4 5 1 5 1 3 4 5 2 1 1 1 ... 2 n i n j i i i i i i i i i i

i −

ϕ ϕ ϕ −

ϕ

=

Φ = Ω

∏

Ω Ω ; (14)

(

)

2 4 5 1 2 4 5 1 4 5

2 1 1 1 1 2 n i n m i i i i i i i i i i

i V G

−

ϕ ϕ ϕ −

ϕ −

=

= Ω

∏

Ω Ω . (15)

Для любой из промежуточных подсистем

(k=2, 3,…, p−2) можносоставитьдвумерную

матрицушестогопорядкавследующемвиде:

( )

2

(

)

1 1

2 m

k k k j k m j

F V G V G −

ϕ ϕ ϕ ϕ −

=

=

∏

Φ , (16)

где V_k

( )

G_ϕ1 , V_k

(

G_{ϕ −m 1}

)

– кубические матрицы

крайних участков ( j=1, 1j= −m ) k-й под

-системы, Φ_{k jϕ} – четырехмерная матрица про

-межуточныхучастков( j=2, 3,…,m−2):

( )

2 3 5 6 1 2 3 5 6 1 3 5 6 2 1 1 1 2 n i n k i i i i i i i i i i i i i

i V G

−

ϕ ϕ ϕ −

ϕ

=

= Ω

∏

Ω Ω ; (17)

2 6 1 6 1 3 6

2 1 1 ... ... ... 2 n i n k j i i i i i i i

i −

ϕ ϕ ϕ −

ϕ

=

Φ = Ω

∏

Ω Ω ; (18)

(

)

2 4 5 6 1 2 4 5 6 1 4 5 6 2 1 1 1 2 n i n k m i i i i i i i i i i i i i

i V G

−

ϕ ϕ ϕ −

ϕ −

=

= Ω

∏

Ω Ω . (19)

Наконец, для p−1 подсистемы одномерная

матрица-столбец может быть представлена в виде

(

p 1

)

V GRT ₋ =

( )

2

(

)

1 1 ( 1) 1 1

2

,

m

p p j p m

j

V G V G

−

− ϕ − ϕ − ϕ −

=

=

∏

Φ (20)

где V_p−1

( )

G_ϕ1 , V_p−1

(

G_{ϕ −m 1}

)

– двумерные мат

-рицы для первого ( j=1 ) и последнего ( j= −m 1 ) участков ( p−1 )-й подсистемы

(k = −p 1), Φ_{(p− ϕ1) j} – кубическая матрица при

значениях 2, 3,j= …,m−2:

( )

2 3 6 1 2 3 6 1 3 6

2 1 1 1 1 2 n i n p i i i i i i i i i i

i V G

−

ϕ ϕ ϕ −

− ϕ

=

= Ω

∏

Ω Ω ; (21)

2 3 4 6 1 2 3 4 6 1 3 4 6 2 1 1 ( 1) 2 n i n p j i i i i i i i i i i i i i

i −

ϕ ϕ ϕ −

− ϕ

=

Φ = Ω

∏

Ω Ω ; (22)

(

)

2 4 6 1 2 4 6 1 4 6

2 1 1 1 1 2 n i n p m i i i i i i i i i i

i V G

−

ϕ ϕ ϕ −

− ϕ −

=

= Ω

∏

Ω Ω . (23)

Анализируя структуру полученных

r-мерных матриц, можно отметить некоторые

закономерности их образования. Так, ввод в систему дополнительной зависимой перемен

-ной или группы зависимых переменных, соот

-ветствующих одному из входов автомата, опи

-сывающего колебания сложной стержневой системы, добавляет еще одно измерение в евк

-лидово пространство и в структуру матри

предложить пирамидальный принцип [1] по

-строения пространственных ассоциированных матриц, которые, в отличие от простых конст

-рукций, относятся не котдельным стержням, а котдельнымблокамилиподблокамсистемы.

В общем случае, подавтомат A, характери

-зующий состояния промежуточной (внутрен

-ней) подсистемы, имеющей r входов, описы

-вается r -мерной пространственной матрицей,

порядок которой зависит от числа возможных перестановоккодов соответствующих входных переменных. Уменьшение числа «входов», на

-пример для крайних (граничных) подсистем,

уменьшает соответственно количество коорди

-нат r-мерного пространства. При этом

r-мернаяматрица для всей системы получает

-ся в результате последовательного произведе

-ния (r+1)- и (r+2)-мерных матриц для обра

-зующих ее подсистем. В итоге, на верхнем уровне «пирамиды» стоит скалярная величина,

соответствующаянекоторой точкеевклидового пространства, определяемая произведением векторов, описывающих состояние обособлен

-нойзамкнутойподсистемы.

В окончательной форме уравнение частот дляизгибно-крутильныхколебанийтрехмерной стержневойсистемы [5] приводитсяквиду

(

1

)

2

(

1

)

2

0

p

k p

k

V GRT F V GRT −

ϕ −

=

=

∏

. (24)

Соответственно представляется частотное уравнение для изгибно-продольных колебаний пространственнойстержневойсистемы

(

1

)

2

(

1

)

2

0

p

xk p k

V GRL F V GRL −

− =

=

∏

. (25)

Таким образом частотное (топологическое)

уравнение пространственной стержневой кон

-струкцииможно рассматривать как последова

-тельность одно-, двух-, трех- и т. д. r-мерных

матриц, соединенных в одну систему. Следуя отмеченным выше аналогиям, можно отметить пирамидальный принцип построения таких уравнений. На самом верхнем уровне, резуль

-тирующее уравнение состоит из произведения одно- идвумерныхматрицсистемы.

В качестве примера на рис. 3 приведен гра

-фик-номограмма изменения частотного пара

-метра λ_z1 для изгибных колебаний шарнирно

-опертых балок, лежащих в плоскости xy, и

продольных колебаний ортогональных им ба

-лок с заделанными концами, расположенных

вдоль оси z. При прочих равных геометриче

-ских, инерционных и жесткостных характери

-стиках системы, различной принималась лишь относительная жесткость c′ на растяжение

-сжатиебалок, параллельныхоси z.

Рис. 3. Значения λ_z1 длярегулярнойсистемы

пересекающихсябалок

Как видим, частотные поверхности для трехмерныхсистем вомногоманалогичныгра

-фикам, полученным для плоских систем пере

-секающихся балок. Однако количество воз

-можных сочетаний параметров для балок каж

-дого из направлений будет существенно бóль

-шим.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. Крон, Г. Исследованиесложныхсистемпочас

-тям (диакоптика) [Текст] / Г. Крон. – М.: Наука,

1972. – 544 с.

2. Кунцманн, Й. Булеваалгебра иконечные авто

-маты [Текст] / Й. Кунцманн, П. Наслин. – М.:

Мир, 1969. – 294 с.

3. Соколов, Н. П. Пространственныематрицыиих приложения [Текст] / Н. П. Соколов. – М.: Физ

-матгиз, 1960. – 300 с.

4. Распопов, А. С. Структура пространственных матриц для комбинированных колебаний

многомерных стержневых систем [Текст] /

А. С. Распопов // Вiсн. Днiпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. – 2008. –

Вип. 24. – Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2008. –

С. 139-145.

5. Распопов, А. С. Применение топологических методовкрасчетупространственныхколебаний двух- итрехмерныхстержневыхсистем [Текст] / А. С. Распопов // Вiсн. Днiпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. – 2008. –

Вип. 22. – Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2008. –

С. 117-124.