A N D D R I F T F O R C E S O N F L O A T I N G S T R U C T U R E S
b y
J. M. M. K n o o p
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A B S T R A C T
T h i s t h e s i s a i m s to e s t a b l i s h t h e f e a s i b i l i t y of u s i n g o n - b o a r d m e a s u r e m e n t s to d e t e r m i n e t h e n a t u r e o f t h e i n c i d e n t w a v e a n d t h e s l o w l y v a r y i n g d r i f t f o r c e s w h i l s t t h e y o c c u r in d i r e c t i o n a l or s h o r t c r e s t e d sea s . T h i s c a p a b i l i t y c o u l d h a v e w i d e s p r e a d a p p l i c a t i o n s in o f f s h o r e e n g i n e e r i n g , s u c h as e n v i r o n m e n t a l d a t a g a t h e r i n g , a c t i v e m o o r i n g s y s t e m s a n d d y n a m i c p o s i t i o n k e e p i n g .
If m e a s u r e m e n t s of s u r r o u n d i n g w a v e p r o p e r t i e s w e r e to b e u s e d to d e t e r m i n e t h e i n c i d e n t w a v e , t h e y w o u l d be d i s t o r t e d r e l a t i v e to t h e u n d i s t u r b e d w a v e p r o p e r t i e s b y s c a t t e r e d a n d r a d i a t e d w a v e s g e n e r a t e d b y t h e p r e s e n c e of t h e b o d y . A l t e r n a t i v e l y , if the m o t i o n s o f t h e b o d y i t s e l f w e r e to be u s e d to i n f e r t h e u n d i s t u r b e d w a v e , t h e i n f o r m a t i o n w o u l d b e f i l t e r e d a n d e v e n lost at s o m e f r e q u e n c i e s . I n e i t h e r c a s e t he p r o b l e m is e s s e n t i a l l y o n e of l i n e a r i n v e r s e f i l t e r i n g or d e c o n v o l u t i o n , g i v e n t h a t it is p o s s i b l e to d e t e r m i n e t h e l i n e a r t r a n s f e r f u n c t i o n s r e l a t i n g t he u n d i s t u r b e d w a v e h e i g h t to a n y f i r s t o r d e r b o d y m o t i o n o r w a v e p r o p e r t y , b y m e a n s o f m o d e r n n u m e r i c a l d i f f r a c t i o n a n a l y s i s .
T h i s w o r k d e m o n s t r a t e s h o w i n f o r m a t i o n a b o u t t h e u n d i s t u r b e d w a v e at a l l f r e q u e n c i e s of i n t e r e s t c a n b e r e t r i e v e d b y c o n s t r a i n e d d e c o n v o l u t i o n of t h e o u t p u t s of a n u m b e r of s e n s o r s w i t h d i f f e r e n t r e s p o n s e c h a r a c t e r i s t i c s , p l a c e d on o r a r o u n d t he v e s s e l .
It is s h o w n h o w this a p p r o a c h is r e a d i l y e x t e n d e d so t h a t t h e a r r a y of s e n s o r s c a n b e m a d e to a ct as e i t h e r a c o n v e n t i o n a l o r a n a d a p t i v e b e a m f o r m e r w h i c h f i l t e r s o u t n o i s e or w a v e s f r o m d i f f e r e n t d i r e c t i o n s , a n d t h e m e a n s of e v a l u a t i n g the p e r f o r m a n c e o f a g i v e n s y s t e m is d e s c r i b e d . T h e p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h i m p l e m e n t i n g t h e i n v e r s e f i l t e r a n d the b e a m f o r m e r in r e a l t i m e a r e a d d r e s s e d a n d r e s u l t s a r e p r e s e n t e d f or r e a l t i m e w a v e e s t i m a t i o n f r o m s i m u l a t e d , e x p e r i m e n t a l a n d fu l l s c a l e data.
t r a n s f e r f u n c t i o n f o r a g i v e n d e g r e e of f r e e d o m d e s c r i b e s h o w t h e d i f f e r e n t f r e q u e n c i e s in t h e i n c i d e n t w a v e i n t e r a c t to p r o d u c e a l o w f r e q u e n c y f o r c e c o m p o n e n t a n d it is s h o w n h e r e how, w i t h c e r t a i n l i m i t a t i o n s , t h e d r i f t f o r c e c a l c u l a t i o n c a n b e i m p l e m e n t e d in r e a l t i m e . T h i s w o u l d p r o v i d e a t i m e h i s t o r y w h i c h c o u l d b e u s e d as f e e d f o r w a r d i n f o r m a t i o n b y t h e c o n t r o l l e r of a d y n a m i c p o s i t i o n i n g s y s t e m , to i m p r o v e p e r f o r m a n c e a n d e f f i c i e n c y .
L i s t of C o n t e n t s
P a g e
A B S T R A C T 3
L I S T O F C O N T E N T S 5
G L O S S A R Y O F N O T A T I O N 21
P A R T I
-1. I N T R O D U C T I O N 29
1.1 T h e d y n a m i c p o s i t i o n i n g c o n t r o l p r o b l e m 29 1.2 C a l c u l a t i o n of s e c o n d o r d e r d r i f t f o r c e s 33
1 . 3 M e a s u r e m e n t of d i r e c t i o n a l s e a s 35
1 . 4 O u t l i n e of a p p r o a c h 40
2. I N V E R S E F I L T E R I N G O F L I N E A R R E S P O N S E S I N R E A L T I M E 43
2.1 I n t r o d u c t i o n 43
2 . 2 D i g i t a l f i l t e r i n g 47
2 . 2 . 1 T h e d i s c r e t e c o n v o l u t i o n t h e o r e m 47 2 . 2 . 2 C h a r a c t e r i s t i c s of t he i m p u l s e r e s p o n s e 50
f u n c t i o n
2 . 2 . 3 C i r c u l a r c o n v o l u t i o n 52
2 . 3 I n v e r s e f i l t e r i n g 57
2 . 3 . 1 C o n s t r a i n e d d e c o n v o l u t i o n 57
2 . 3 . 2 L i n e a r c o m b i n a t i o n of c o n s t r a i n e d e s t i m a t e s 58
2 . 4 R e a l t i m e i m p l e m e n t a t i o n 62
3. O C E A N W A V E B E A M F O R M I N G 65
3.1 I n t r o d u c t i o n 65
3 . 2 C o n v e n t i o n a l beatnfortning 67
3 . 2 . 1 T h e d e l a y a n d s u m b e a m f o r m e r 67
3 . 2 . 2 F r e q u e n c y d o m a i n r e p r e s e n t a t i o n 69 3 . 2 . 3 S o m e d i r e c t i o n a l t r a n s f e r f u n c t i o n s 71 3 . 2 . 4 B e a m w i d t h a n d l e a k a g e f o r a r b i t r a r y a r r a y s 74 3 . 2 . 5 T h e s p a t i a l F o u r i e r t r a n s f o r m 78
3 . 3 A d a p t i v e b e a m f o r m i n g t e c h n i q u e s 81
3 . 3 . 1 C o m p l e x w e i g h t i n g of s e n s o r o u t p u t s 81 3 . 3 . 2 D e r i v a t i o n of t he M a x i m u m L i k e l i h o o d F i l t e r 84
3 . 3 . 3 F i l t e r g a i n a n d r e s o l u t i o n 8 8
3 . 4 D i r e c t i o n a l p o w e r s p e c t r u m e s t i m a t i o n 91 3 . 4 . 1 L i n e a r m e t h o d s f o r e s t i m a t i n g d i r e c t i o n a l s p e c t r a 91 3 . 4 . 2 T h e M a x i m u m L i k e l i h o o d M e t h o d f o r d i r e c t i o n a l 96
s p e c t r a
3 . 4 . 3 T e c h n i q u e s for e n h a n c e d r e s o l u t i o n 99 3 . 4 . 4 P a r a m e t e r s for d i r e c t i o n a l s p r e a d i n g f u n c t i o n s 101
3 . 5 C l o s i n g r e m a r k s 1 0 4
4. N O N - L I N E A R F O R C I N G IN W A V E S 107
4 . 1 I n t r o d u c t i o n 107
4 . 2 T h e o r e t i c a l m o d e l f or d r i f t f o r c e c a l c u l a t i o n 111 4 . 2 . 1 T h e s e c o n d o r d e r V o l t e r r a s e r i e s 111 4 . 2 . 2 D i s c r e t e t i m e r e p r e s e n t a t i o n in 113
t w o d i m e n s i o n s
4 . 3 T h e q u a d r a t i c i m p u l s e r e s p o n s e 1 1 8 4 . 3 . 1 L i n e a r two d i m e n s i o n a l f i l t e r i n g of a 1 18
q u a d r a t i c i n p u t
4 . 3 . 2 B o u n d a r i e s b e t w e e n p a s t a n d f u t u r e 118 4 . 3 . 3 E x t e n t of t he i m p u l s e r e s p o n s e 121
4 . 4 R e a l t i m e i m p l e m e n t a t i o n 123
4 . 4 . 1 T h e two d i m e n s i o n a l f i n i t e d i s c r e t e 123 F o u r i e r t r a n s f o r m
4 . 4 . 2 C i r c u l a r c o n v o l u t i o n in t w o d i m e n s i o n s 1 24 4 . 4 . 3 R e d u c t i o n to a s i n g l e t r a n s f o r m in 126
s u m f r e q u e n c y
4 . 4 . 4 N o t e s on p r a c t i c a l i m p l e m e n t a t i o n 127 4 . 4 . 5 D i s c u s s i o n of e n d e f f e c t s a n d n o n - c a u s a l i t y 1 28
4 . 5 L i n e a r p r e d i c t i o n of n o n - l i n e a r f o r c e s 130
4 . 6 C l o s i n g r e m a r k s 134
P A R T II
-5. I M P L E M E N T A T I O N O F A W A V E F E E D F O R W A R D S Y S T E M 137
5.1 I n t r o d u c t i o n 137
5 .2 U n i - d i r e c t i o n a l w a v e a n d d r i f t f o r c e c a l c u l a t i o n 140 5 .3 I m p l e m e n t a t i o n of t he r e a l t i m e b e a m f o r m e r 146 5 . 4 R e q u i r e m e n t s f or a f u l l y i n t e g r a t e d s y s t e m 148
6. A P P L I C A T I O N O F B E A M F O R M I N G T O D I R E C T I O N A L S E A S 153
6.1 O v e r v i e w 153
6 . 3 A p p l i c a t i o n to e x p e r i m e n t a l w a v e d a t a 1 6 3 6 . 3 . 1 B i d i r e c t i o n a l w a v e e x p e r i m e n t 163
6 . 3 . 2 B e a m f o r m i n g r e s u l t s 164
6 . 4 A p p l i c a t i o n to f u l l s c a l e w a v e d a t a 1 6 8
6 . 4 . 1 F u l l s c a l e d a t a c o l l e c t i o n 1 6 8
6 . 4 . 2 C o m p a r i s o n of r e s u l t s f o r d i f f e r e n t 170 a r r a y c o n f i g u r a t i o n s
6 . 4 . 3 B e a m f o r m i n g of full s c a l e d a t a 1 73
6 . 5 D i s c u s s i o n 175
7. A P P L I C A T I O N T O W A V E A N D D R I F T F O R C E E S T I M A T I O N 177
7.1 O v e r v i e w 177
7.2 W a v e e s t i m a t i o n f r o m a t a n k e r m o d e l 1 80
7 . 2 . 1 T a n k e r m o d e l a r r a n g e m e n t 1 80
7 . 2 . 2 T h e i n v e r s e f i l t e r f o r a 181
b o w m o u n t e d w a v e p r o b e
7 . 2 . 3 R e a l t i m e w a v e e s t i m a t i o n 183
7.3 E s t i m a t i o n o f d r i f t f o r c e s o n a t a n k e r m o d e l 185
7 . 3 . 1 A m e a s u r e of e r r o r 185
7 . 3 . 2 E f f e c t of r e a l t i m e e s t i m a t i o n o n 186 s i m u l a t e d f o r c e s
7 . 3 . 3 T h e e x p e r i m e n t a l q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n 1 8 8 7 . 3 . 4 C o m p a r i s o n of e s t i m a t e d a n d m e a s u r e d 191
d r i f t f o r c e s
7 . 4 P r e d i c t i o n of l o w f r e q u e n c y d r i f t f o r c e s 193
7.5 D i s c u s s i o n 196
A C K N O W L E D G E M E N T S 2 0 9
R E F E R E N C E S
211
A P P E N D I X A D e r i v a t i o n of the M a x i m u m L i k e l i h o o d f i l t e r a n d s p e c t r a l e s t i m a t e
217
A P P E N D I X B F i t t i n g of l i n e a r p r e d i c t i o n c o e f f i c i e n t s 2 23
B . l T h e a u t o - r e g r e s s i v e m o d e l 2 23
B . 2 T h e Z t r a n s f o r m a n d p o w e r s p e c t r u m e s t i m a t i o n 2 2 3 B . 3 A u t o - c o r r e l a t i o n m a t c h i n g f o r f i l t e r w e i g h t s 225
L i s t of F i g u r e s
1. I N T R O D U C T I O N
F i g u r e 1.1 W a v e f e e d f o r w a r d s c h e m a t i c
2. I N V E R S E F I L T E R I N G O F L I N E A R R E S P O N S E S I N R E A L T I M E
F i g u r e 2.1 F i n i t e c o n v o l u t i o n a n d the e x t e n t of t he i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n
F i g u r e 2 . 2 M e a s u r e m e n t o f t h e e x t e n t of a n i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n
F i g u r e 2 . 3 R e c o n s t r u c t i o n of a u n i d i r e c t i o n a l w a v e f r o m two r e s p o n s e m e a s u r e m e n t s in t h e f r e q u e n c y d o m a i n
F i g u r e 2 . 4 R e c o n s t r u c t i o n of a u n i d i r e c t i o n a l w a v e f r o m two r e s p o n s e m e a s u r e m e n t s in t h e t i m e d o m a i n
F i g u r e 2 . 5 C i r c u l a r c o n v o l u t i o n in r e a l t i m e
3. O C E A N W A V E B E A M F O R M I N G
F i g u r e 3.1 D e l a y a n d s u m b e a m f o r m e r
F i g u r e 3 . 2 A x e s f o r d i r e c t i o n a l t r a n s f e r f u n c t i o n s
F i g u r e 3 . 3 S o m e d i r e c t i o n a l t r a n s f e r f u n c t i o n s
F i g u r e 3 . 4 a) P o w e r l e a k a g e p l o t f o r a 4 s e n s o r l i n e a r r a y ( S p a c i n g = 50m, l o o k d i r e c t i o n 90°) - I s o m e t r i c
F i g u r e 3.5 P o w e r l e a k a g e p l o t f o r a 2 s e n s o r l i n e a r r a y ( S p a c i n g = 50m, l o o k d i r e c t i o n 90 ° )
F i g u r e 3.6 P o w e r l e a k a g e p l o t f o r a n 8 S e n s o r L i n e a r r a y ( S p a c i n g = 50m, l o o k d i r e c t i o n 90 ° )
F i g u r e 3 .7 a) P o w e r l e a k a g e p l o t f o r a p i t c h r o l l h e a v e b u o y ( l o o k d i r e c t i o n 1 5 0 ° )
F i g u r e 3.7 b) P o w e r l e a k a g e p l o t f o r a p i t c h r o l l h e a v e b o u y ( l o o k d i r e c t i o n 180°)
F i g u r e 3 . 8 T h e s p a t i a l F o u r i e r t r a n s f o r m
F i g u r e 3 . 9 R e s p o n s e of a t u n e d a r r a y w i t h t w o w a v e h e i g h t s e n s o r s f o r a f i x e d l o o k d i r e c t i o n a n d d i f f e r e n t r e j e c t i o n d i r e c t i o n s
2s
F i g u r e 3 . 1 0 S p r e a d i n g p a r a m e t e r s f or a cos ( 0 / 2 ) m o d e l (1 < s < 10, i n t e g e r v a l u e s )
2s
F i g u r e 3.11 S p r e a d i n g p a r a m e t e r s f o r a cos (0) m o d e l (1 < s < 10, i n t e g e r v a l u e s )
2
F i g u r e 3 . 1 2 S p r e a d i n g p a r a m e t e r s for a s e c h /30 m o d e l ( 0 . 6 < 13 < 1.95, s t e p s of 0 . 1 5 )
4. N O N L I N E A R F O R C I N G I N W A V E S
F i g u r e 4 .1 B l o c k C o n v o l u t i o n in T w o D i m e n s i o n s
F i g u r e 4 . 2 A x e s f or the E x t e n t of t he Q u a d r a t i c I m p u l s e R e s p o n s e
F i g u r e 4 . 3 C i r c u l a r C o n v o l u t i o n in T w o D i m e n s i o n s
5. I M P L E M E N T A T I O N O F A W A V E F E E D F O R W A R D S Y S T E M
F i g u r e 5.1 (a) F l o w c h a r t f o r the program. W A V O R
F i g u r e 5.1 (b) F l o w c h a r t f o r the p r o g r a m W A V O R ( c o n t )
F i g u r e 5 . 2 (a) F l o w c h a r t f o r the p r o g r a m W A F I L
F i g u r e 5 . 2 (b) F l o w c h a r t f o r the p r o g r a m W A F I L ( c o n t )
F i g u r e 5 . 2 (c) F l o w c h a r t f o r the p r o g r a m W A F I L ( c o n t )
F i g u r e 5 . 3 O v e r a l l S y s t e m A r r a n g e m e n t f o r W a v e F e e d F o r w a r d
6. A P P L I C A T I O N O F B E A M F O R M I N G T O D I R E C T I O N A L S E A S
F i g u r e 6 .1 (a) F l o w c h a r t f o r the p r o g r a m W A V E C E N
F i g u r e 6 . 1 (b) F l o w c h a r t f o r the p r o g r a m W A V E C E N ( c o n t )
F i g u r e 6 .1 (c) F l o w c h a r t f o r the p r o g r a m W A V E C E N ( c o n t )
F i g u r e 6 . 2 S e n s o r l a y o u t a n d w a v e d i r e c t i o n s f o r S i m u l a t i o n I
F i g u r e 6 . 3 S i m u l a t i o n I - P o w e r l e a k a g e p l o t f o r c o n v e n t i o n a l b e a m f o r m e r at 180°
F i g u r e 6 . 4 S i m u l a t i o n I “ T i m e s e r i e s of c o m p o n e n t w a v e d i r e c t i o n s a n d p o i n t w a v e t i m e h i s t o r y
F i g u r e 6 . 5 a) S i m u l a t i o n I “ W a v e s p e c t r u m of d i r e c t i o n 1 ( 9 0 ° )
F i g u r e 6 . 5 c) S i m u l a t i o n I - W a v e s p e c t r u m m e a s u r e d b y s e n s o r 1
F i g u r e 6 . 6 S i m u l a t i o n I - R e a l t i m e e s t i m a t i o n o f d i r e c t i o n 3 w i t h a d a p t i v e b e a m f o r m e r ( t i m e now: p o i n t 7 8 1 4 )
F i g u r e 6 . 7 S i m u l a t i o n I - R e a l t i m e e s t i m a t i o n o f d i r e c t i o n 1 w i t h a d a p t i v e b e a m f o r m e r ( t i m e no w : p o i n t 7 8 2 0 )
F i g u r e 6 . 8 S i m u l a t i o n I - R e a l t i m e e s t i m a t i o n of d i r e c t i o n 2 w i t h a d a p t i v e b e a m f o r m e r ( t i m e n o w : p o i n t 7 8 2 6 )
F i g u r e 6 . 9 S i m u l a t i o n I - R e a l t i m e e s t i m a t i o n of d i r e c t i o n 1 w i t h c o n v e n t i o n a l b e a m f o r m e r ( t i m e n o w : p o i n t 7 8 2 0 )
F i g u r e 6 . 1 0 a) S i m u l a t i o n I - M a x i m u m L i k e l i h o o d M e t h o d s p r e a d i n g f u n c t i o n i s o m e t r i c p l o t
F i g u r e 6 . 1 0 b) S i m u l a t i o n I - M a x i m u m L i k e l i h o o d M e t h o d s p r e a d i n g f u n c t i o n s e c t i o n at 0 . 0 8 2 H z
F i g u r e 6 . 1 0 c) S i m u l a t i o n I - M a x i m u m L i k e l i h o o d M e t h o d s p r e a d i n g f u n c t i o n s e c t i o n at 0 . 1 5 2 H z
F i g u r e 6 . 1 1 S i m u l a t i o n II - s e n s o r l a y o u t a n d w a v e d i r e c t i o n s
F i g u r e 6 . 1 2 a) S i m u l a t i o n II - P o w e r l e a k a g e i s o m e t r i c p l o t f o r c o n v e n t i o n a l b e a m f o r m e r ( l o o k d i r e c t i o n 1 8 0 ° )
F i g u r e 6 . 1 2 b) S i m u l a t i o n II - P o w e r l e a k a g e c o n t o u r p l o t f o r c o n v e n t i o n a l b e a m f o r m e r ( l o o k d i r e c t i o n 1 8 0 ° )
F i g u r e 6 . 1 3 a) S i m u l a t i o n II - P o w e r l e a k a g e i s o m e t r i c p l o t f o r c o n v e n t i o n a l b e a m f o r m e r ( l o o k d i r e c t i o n 1 2 Q o )
F i g u r e 6 , 1 4 S i m u l a t i o n II - T i m e h i s t o r i e s of c o m p o n e n t w a v e d i r e c t i o n s
F i g u r e 6 . 1 5 S i m u l a t i o n II - T i m e h i s t o r i e s of s e n s o r o u t p u t s
F i g u r e 6 . 1 6 S i m u l a t i o n II - S p e c t r u m of t o t a l p o i n t w a v e t i m e h i s t o r y at s e n s o r 1
F i g u r e 6 . 1 7 S i m u l a t i o n II - R e a l t i m e e s t i m a t i o n w i t h a d a p t i v e b e a m f o r m e r ( t i m e no w : p o i n t 7728)
F i g u r e 6 . 1 8 S i m u l a t i o n II - P o w e r l e a k a g e i s o m e t r i c p l o t f or a d a p t i v e b e a m f o r m e r (1 8 0 ° )
F i g u r e 6 . 1 9 S i m u l a t i o n II - P o w e r l e a k a g e c o n t o u r p l o t f o r a d a p t i v e b e a m f o r m e r (1 8 0 ° )
F i g u r e 6 . 2 0 S i m u l a t i o n II - P o w e r l e a k a g e c o n t o u r p l o t f o r a d a p t i v e b e a m f o r m e r (15 0 ° )
F i g u r e 6 . 2 1 S i m u l a t i o n II - P o w e r l e a k a g e c o n t o u r p l o t f o r a d a p t i v e b e a m f o r m e r (1 2 0 ° )
F i g u r e 6 . 2 2 S i m u l a t i o n II - P o w e r l e a k a g e c o n t o u r p l o t f o r a d a p t i v e b e a m f o r m e r (1 3 5 ° )
F i g u r e 6 . 2 3 S i m u l a t i o n II - R e a l t i m e b e a m f o r m i n g at 1 3 5 ° , 18 0 ° a n d 2 2 5 ° - T i m e no w : p o i n t 4 0 9 7 .
( a c t u a l c o m p o n e n t in u p p e r p l o t at 1 5 0°)
F i g u r e 6 . 2 4 S i m u l a t i o n II - R e a l t i m e b e a m f o r m i n g at 1 3 5 ° , 1 8 0 ° a n d 2 2 5 ° - T i m e no w : p o i n t 4 0 9 8 .
( a c t u a l a n d e s t i m a t e d c o m p o n e n t s in u p p e r p l o t at 1 8 0 ° )
F i g u r e 6 . 2 6 a) S i m u l a t i o n II - M a x i m u m L i k e l i h o o d M e t h o d s p r e a d i n g f u n c t i o n s e c t i o n at 0 . 0 7 8 H z
F i g u r e 6 . 2 6 b) S i m u l a t i o n II - M a x i m u m L i k e l i h o o d M e t h o d s p r e a d i n g f u n c t i o n s e c t i o n at 0 . 1 0 2 H z
F i g u r e 6 . 2 7 a) S i m u l a t i o n II - S p r e a d i n g f u n c t i o n p a r a m e t e r s ( p e a k d i r e c t i o n s i n d i c a t e d b y 0 )
F i g u r e 6 . 2 7 b) S i m u l a t i o n II - S p r e a d i n g f u n c t i o n p a r a m e t e r s ( S k e w n e s s a n d k u r t o s i s )
F i g u r e 6 . 2 8 S e n s o r l a y o u t a n d w a v e d i r e c t i o n s f o r b i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t
F i g u r e 6 . 2 9 a) P o i n t p o w e r s p e c t r u m f o r b i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t
F i g u r e 6 . 2 9 b) B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t - M a x i m u m L i k e l i h o o d M e t h o d s p r e a d i n g f u n c t i o n c o n t o u r p l o t
F i g u r e 6 . 2 9 c) B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t s p r e a d i n g f u n c t i o n s e c t i o n at 0 . 1 0 0 Hz
F i g u r e 6 . 2 9 d) B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t s p r e a d i n g f u n c t i o n s e c t i o n at 0 . 1 3 0 Hz
F i g u r e 6 . 3 0 a) B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t s p r e a d i n g f u n c t i o n p a r a m e t e r s ( p e a k d i r e c t i o n s i n d i c a t e d b y 0)
F i g u r e 6 . 3 0 b) B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t s p r e a d i n g f u n c t i o n p a r a m e t e r s ( s k e w n e s s a n d k u r t o s i s )
F i g u r e 6. 3 1 a) B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t p o w e r l e a k a g e c o n t o u r p l o t f o r l o o k d i r e c t i o n of 165°
F i g u r e 6 . 3 2 a) B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t p o w e r l e a k a g e c o n t o u r p l o t f o r l o o k d i r e c t i o n of 160°
F i g u r e 6 . 3 2 b) B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t p o w e r l e a k a g e c o n t o u r p l o t f o r l o o k d i r e c t i o n of 20 0 °
F i g u r e 6 . 3 3 B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t - R e a l t i m e b e a m f o r m i n g at 1 6 5 ° a n d 1 9 5 ° ( t i m e now: p o i n t 7936)
F i g u r e 6 . 3 4 B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t - R e a l t i m e b e a m f o r m i n g at 1 6 0 ° a n d 2 0 0 ° ( t i m e now: p o i n t 7936)
F i g u r e 6 . 3 5 B i d i r e c t i o n a l e x p e r i m e n t - R e a l t i m e b e a m f o r m i n g at 1 3 5 ° a n d 2 2 5 ° ( t i m e now: p o i n t 7 9 36)
F i g u r e 6 . 3 6 M P N D a t a c o l l e c t i o n T o w e r
F i g u r e 6 . 3 7 M P N 2 6 0 2 P o w e r s p e c t r a f o r S W w a v e g a u g e a n d v e r t i c a l w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y
F i g u r e 6 . 3 8 M P N 2 6 0 2 T r a n s f e r f u n c t i o n of v e r t i c a l w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y r e l a t i v e to S W w a v e g a u g e
F i g u r e 6 . 3 9 a) M P N 2 6 0 2 P o w e r l e a k a g e i s o m e t r i c p l o t f o r
c o n v e n t i o n a l b e a m f o r m e r w i t h t h r e e w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s ( L o o k d i r e c t i o n 0°)
F i g u r e 6 . 3 9 b) M P N 2 6 0 2 P o w e r l e a k a g e i s o m e t r i c p l o t f o r c o n v e n t i o n a l b e a m f o r m e r w i t h t h r e e w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s ( L o o k d i r e c t i o n 0°)
F i g u r e 6 . 3 9 c) M P N 2 6 0 2 P o w e r l e a k a g e i s o m e t r i c p l o t f o r c o n v e n t i o n a l b e a m f o r m e r w i t h c o m b i n e d w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y a n d w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s m e a s u r e m e n t s ( L o o k d i r e c t i o n 0°)
F i g u r e 6 . 4 1 a) M P N 2 6 0 2 I s o m e t r i c p l o t of d i r e c t i o n a l
s p r e a d i n g f u n c t i o n f r o m a d a p t i v e b e a m f o r m e r w i t h t h r e e w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s .
F i g u r e 6 . 4 1 b) M P N 2 6 0 2 C o n t o u r p l o t of d i r e c t i o n a l
s p r e a d i n g f u n c t i o n f r o m a d a p t i v e b e a m f o r m e r w i t h t h r e e w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 6 . 4 2 a) M P N 2 6 0 2 I s o m e t r i c p l o t of d i r e c t i o n a l
s p r e a d i n g f u n c t i o n f r o m a d a p t i v e b e a m f o r m e r w i t h t h r e e w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 6 . 4 2 b) M P N 2 6 0 2 C o n t o u r p l o t of d i r e c t i o n a l
s p r e a d i n g f u n c t i o n f r o m a d a p t i v e b e a m f o r m e r w i t h t h r e e w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 6 . 4 3 a) M P N 2 6 0 2 P o w e r l e a k a g e p l o t f o r a d a p t i v e b e a m f o r m e r w i t h t h r e e w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s f o r a l o o k d i r e c t i o n of “ 90°
F i g u r e 6 . 4 3 b) M P N 2 6 0 2 P o w e r l e a k a g e p l o t f o r a d a p t i v e b e a m f o r m e r w i t h t h r e e w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s f o r a l o o k d i r e c t i o n of “ 20°
F i g u r e 6 . 4 4 a) M P N 2 6 0 2 I s o m e t r i c p l o t of d i r e c t i o n a l s p r e a d i n g f u n c t i o n f r o m a d a p t i v e b e a m f o r m e r w i t h c o m b i n e d w a v e h e i g h t a n d w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 6 . 4 4 b) M P N 2 6 0 2 C o n t o u r p l o t of d i r e c t i o n a l s p r e a d i n g f u n c t i o n f r o m a d a p t i v e b e a m f o r m e r w i t h c o m b i n e d w a v e h e i g h t a n d w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 6 . 4 6 M P N 2 6 0 2 D i r e c t i o n a l s p r e a d i n g p a r a m e t e r s vs f r e q u e n c y f o r t h r e e w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 6 . 4 7 a) M P N 2 6 0 2 D i r e c t i o n a l s p r e a d i n g p a r a m e t e r s vs f r e q u e n c y f r o m t h r e e w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s ( U n - n o r m a l i s e d C P S D )
F i g u r e 6 . 4 7 b) M P N 2 6 0 2 D i r e c t i o n a l s p r e a d i n g p a r a m e t e r s vs f r e q u e n c y f r o m t h r e e w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s ( N o r m a l i s e d C P S D )
F i g u r e 6 . 4 8 M P N 2 6 0 2 D i r e c t i o n a l s p r e a d i n g p a r a m e t e r s vs f r e q u e n c y f r o m c o m b i n e d w a v e h e i g h t a n d w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 6 . 4 9 M P N 2 6 0 2 C o m p a r i s o n of d i r e c t i o n a l s p r e a d i n g p a r a m e t e r s f o r d i f f e r e n t a r r a y c o n f i g u r a t i o n s
F i g u r e 6 . 5 0 M P N 2 6 0 2 H i g h e r r e s o l u t i o n s p e c t r u m for S W w a v e g a u g e
F i g u r e 6 . 5 1 a) M P N 2 6 0 2 I s o m e t r i c p l o t of h i g h e r r e s o l u t i o n d i r e c t i o n a l s p r e a d i n g f u n c t i o n f r o m a d a p t i v e b e a m f o r m e r w i t h t h r e e w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 6 . 5 1 b) M P N 2 6 0 2 C o n t o u r p l o t of h i g h e r r e s o l u t i o n d i r e c t i o n a l s p r e a d i n g f u n c t i o n f r o m a d a p t i v e b e a m f o r m e r w i t h t h r e e w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 6 . 5 2 M P N 2 6 0 2 D i r e c t i o n a l s p r e a d i n g p a r a m e t e r s vs f r e q u e n c y f r o m t h r e e w a v e h e i g h t m e a s u r e m e n t s ( h i g h e r r e s o l u t i o n a n a l y s i s )
F i g u r e 6 . 5 3 M P N 2 6 0 2 R e a l t i m e e s t i m a t i o n of d i r e c t i o n a l c o m p o n e n t at - 8 0 ° ( t i m e n o w is p o i n t 3 4 5 6 )
7. R E A L T I M E E S T I M A T I O N A N D P R E D I C T I O N O F D R I F T F O R C E S
F i g u r e 7.1 T a n k e r m o d e l a n d b o w m o u n t e d w a v e p r o b e
F i g u r e 7.2 B o w p r o b e t r a n s f e r f u n c t i o n ( r a w a n d t r u n c a t e d )
F i g u r e 7.3 I m p u l s e r e s p o n s e of t r u n c a t e d b o w p r o b e t r a n s f e r f u n c t i o n ( 9 0 % e x t e n t f r o m - 1 3 4 to + 1 4 2 )
F i g u r e 7 .4 A m p l i t u d e a n d p h a s e of the c o n s t r a i n e d i n v e r s e f i l t e r f o r b o w p r o b e r e s p o n s e m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 7 .5 I m p u l s e r e s p o n s e of t h e c o n s t r a i n e d i n v e r s e f i l t e r f o r b o w p r o b e R e s p o n s e m e a s u r e m e n t s
( 9 0 % e x t e n t f r o m - 1 5 8 to + 1 6 7 )
F i g u r e 7.6 A m p l i t u d e a n d p h a s e of the c o n s t r a i n e d a n d s m o o t h e d i n v e r s e f i l t e r f or b o w p r o b e r e s p o n s e m e a s u r e m e n t s
F i g u r e 7.7 I m p u l s e r e s p o n s e of t h e c o n s t r a i n e d a n d s m o o t h e d i n v e r s e f i l t e r f or b o w p r o b e r e s p o n s e m e a s u r e m e n t s ( 9 0 % e x t e n t f r o m -81 to 164)
F i g u r e 7.8 R e a l t i m e w a v e e s t i m a t i o n f r o m a b o w m o u n t e d w a v e p r o b e ( t i m e n o w = p o i n t 2 6 6 8 )
F i g u r e 7.9 R e a l t i m e e s t i m a t i o n of s i m u l a t e d d r i f t f o r c e ( t i m e n o w = p o i n t 4 4 8 0 )
F i g u r e 7 . 1 0 R o o t m e a n s q u a r e e r r o r for e s t i m a t i o n of s i m u l a t e d d r i f t f o r c e
F i g u r e 7.11 R a w e x p e r i m e n t a l w a v e h e i g h t to s u r g e f o r c e q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n a m p l i t u d e
F i g u r e 7 . 1 3 I m p u l s e r e s p o n s e of r a w q u a d r a t i c
t r a n s f e r f u n c t i o n ( i s o m e t r i c a n d s e c t i o n s )
F i g u r e 7 . 1 4 I m p u l s e r e s p o n s e of s m o o t h e d q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n ( i s o m e t r i c a n d s e c t i o n s )
F i g u r e 7 . 1 5 E x t e n t of t h e i m p u l s e r e s p o n s e f or r a w a n d s m o o t h e d e x p e r i m e n t a l q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n s
( F i r s t c o n t o u r at 5% of p e a k v a l u e )
F i g u r e 7 . 1 6 R e a l t i m e e s t i m a t i o n of w a v e a n d d r i f t f o r c e f r o m b o w p r o b e r e s p o n s e ( t i m e n o w = p o i n t 3 1 3 6 )
F i g u r e 7 . 1 7 R o o t m e a n s q u a r e e r r o r f or e s t i m a t i o n of w a v e a n d d r i f t f o r c e f r o m b o w p r o b e r e s p o n s e
F i g u r e 7 . 1 8 R e a l t i m e e s t i m a t i o n of e x p e r i m e n t a l d r i f t f o r c e f r o m w a v e t i m e h i s t o r y ( t i m e n o w = p o i n t 3 1 3 6 )
F i g u r e 7 . 1 9 R o o t m e a n S q u a r e e r r o r f o r e s t i m a t i o n of d r i f t f o r c e f r o m w a v e t i m e h i s t o r y
F i g u r e 7 . 2 0 L i n e a r p r e d i c t i o n o f s i m u l a t e d d r i f t f o r c e f r o m p o i n t 4 9 5 8 w i t h a 40 p o l e m o d e l
G L O S S A R Y O F N O T A T I O N
a C o l u m n v e c t o r of t h e i n v e r s e f i l t e r i m p u l s e n
r e s p o n s e at the n t h d i s c r e t e t i m e l a g f o r a n a r r a y of s e n s o r s
A (co) o r { A (co)} C o l u m n v e c t o r of i n v e r s e f i l t e r s o r b e a m f o r m e r f o r a n a r r a y of s e n s o r s
A ^ I n v e r s e f i l t e r v e c t o r at d i s c r e t e f r e q u e n c y
b ( t ) B e a m f o r m e r o u t p u t t i m e h i s t o r y
b ^ ( t ) B e a m f o r m e r o u t p u t d u e to a n o i s e s i g n a l
B(co) C o n s t r a i n t o p e r a t o r
B C o m p l e x w e i g h t i n g f a c t o r
c S p e e d o f w a v e p r o p a g a t i o n
C(co) o r {C(co)} M a t r i x of c r o s s p o w e r s p e c t r a l d e n s i t i e s f o r a n a r r a y of s e n s o r s ( s q u a r e h e r m i t i a n )
dj P r e d i c t o r w e i g h t s
d D e p t h f r o m m e a n w a t e r l i n e
D W a t e r d e p t h
C o m p l e x e x p o n e n t i a l (coscot + i sincot)
P o w e r of w a v e c o m p o n e n t at d i s c r e t e d i r e c t i o n m
f ( t ) F o r c e t i m e h i s t o r y
f ^ D i s c r e t e s a m p l e of l o w f r e q u e n c y d r i f t f o r c e
f ( n ) P e r i o d i c d i s c r e t e d r i f t f o r c e t i m e h i s t o r y
F ( w ^ , ) F o r c e r e s u l t i n g f r o m the i n t e r a c t i o n of i n p u t s at f r e q u e n c i e s a n d CO
F (co) D r i f t f o r c e c o m p o n e n t at s u m f r e q u e n c y co
F (co, 0 ) D i r e c t i o n a l s p r e a d i n g f u n c t i o n
F ^ D r i f t f o r c e c o m p o n e n t at d i s c r e t e s u m f r e q u e n c y co^
g A c c e l e r a t i o n d u e to g r a v i t y
G(co,0) T r a n s f e r f u n c t i o n c o m p o n e n t f o r a d i r e c t i o n a l l y s e n s i t i v e m e a s u r e m e n t
h ( t ) I m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n
D i s c r e t e s a m p l e of h( t )
T r a n s f e r f u n c t i o n at a d i s c r e t e f r e q u e n c y co^
H(co) C o l u m n v e c t o r of t r a n s f e r f u n c t i o n s f o r a n a r r a y of s e n s o r s , s u c h t h a t m t h e l e m e n t H (co) is t h e
m t r a n s f e r f u n c t i o n of t he m t h s e n s o r .
H (c o, 0 ) T r a n s f e r f u n c t i o n w h i c h is s e n s i t i v e to f r e q u e n c y a n d d i r e c t i o n
h g C r ^ , r ^ ) Q u a d r a t i c i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n
h ( m ^ , m ^ ) D i s c r e t e t i m e q u a d r a t i c i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n
co^) Q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n ( w a v e to d r i f t f o r c e ) f o r t w o i n p u t w a v e f r e q u e n c i e s
,0j ,co^) I n t e r a c t i v e q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n f o r a n i n p u t at 0^ a n d co^ a n d a n i n p u t at 9^ a n d co^
h g ( m ^ , m ^ ) I m p u l s e r e s p o n s e of q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n w h i c h is g i v e n in t e r m s of s u m a n d d i f f e r e n c e f r e q u e n c i e s
H ( k ^ , k ^ ) Q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n f or d i s c r e t e i n p u t f r e q u e n c i e s co, a n d co,
ki k^
J J a c o b i a n
k, k^, k ^ D i s c r e t e f r e q u e n c i e s for b i f r e q u e n c y a n a l y s i s
k O n e d i m e n s i o n a l w a v e n u m b e r
k o r {k} V e c t o r w a v e n u m b e r
K R e a l g a i n f a c t o r
1 D i s c r e t e f r e q u e n c y ( = k ^)
L L a g r a n g i a n
m ^ E x p e c t e d v a l u e of x( t )
M N u m b e r of s e n s o r s in a n a r r a y
N N u m b e r of p o i n t s in a F F T b l o c k o r p e r i o d i c s e q u e n c e
p o r {p} U n i t v e c t o r in t h e d i r e c t i o n of m e a s u r e m e n t or p o s i t i o n v e c t o r
Pj C u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n of t h e m o d u l u s of t h e i m p u l s e r e s p o n s e
g ( # ) P o w e r l e a k a g e r a t i o , ie. t h e r a t i o of o u t p u t to i n p u t p o w e r f o r a b e a m f o r m e r w h i c h is t r a v e r s e d b y a s i g n a l at d i r e c t i o n <t>^ w h i l s t s t e e r e d to l o o k in d i r e c t i o n 0.
P(cû) P o w e r s p e c t r u m in t e r m s of f r e q u e n c y
P ( z ) P o w e r s p e c t r u m in t e r m s of z t r a n s f o r m s
P a s t e x t e n t of i n v e r s e f i l t e r i m p u l s e r e s p o n s e
pj^, P2 P a s t e x t e n t of q u a d r a t i c i m p u l s e r e s p o n s e
q F u t u r e e x t e n t of l i n e a r i m p u l s e r e s p o n s e
q ^ F u t u r e e x t e n t of i n v e r s e f i l t e r i m p u l s e r e s p o n s e
q^^, 4 2 F u t u r e e x t e n t of q u a d r a t i c i m p u l s e r e s p o n s e
Q D i r e c t i o n a l w a v e c o m p o n e n t
Q ( r ) R o o t m e a n s q u a r e e r r o r f u n c t i o n
r S p a c i n g of a two s e n s o r a r r a y
r ^ D i s t a n c e b e t w e e n t h e m t h s e n s o r a n d t h e o r i g i n
r o r {r} P o s i t i o n v e c t o r o r s p a c e v e c t o r lag
s N o n - d i m e n s i o n a l s p a t i a l f r e q u e n c y v a r i a b l e or i n t e g e r v a r i a b l e for c o s i n e p o w e r s p r e a d i n g f u n c t i o n
S(co) P o w e r S p e c t r a l D e n s i t y
S(co,0) E s t i m a t e of p o w e r s p e c t r a l d e n s i t y f o r a g i v e n f r e q u e n c y a n d d i r e c t i o n
S . (co,0) M a x i m u m L i k e l i h o o d M e t h o d e s t i m a t e of s p e c t r a l
m i m ^
d e n s i t y f o r a g i v e n f r e q u e n c y a n d d i r e c t i o n
t T i m e
T (co) C o n s t r a i n t m a t r i x ( s q u a r e h e r m i t i a n )
R e l a t i v e w e i g h t i n g f o r a g i v e n s e n s o r
x ( t ) I n p u t t i m e h i s t o r y
D i s c r e t e s a m p l e of x ( t )
X P e r i o d i c s e q u e n c e f o r m e d f r o m x
n ^ n
X(co) F o u r i e r t r a n s f o r m of x ( t )
F o u r i e r c o e f f i c i e n t of a f i n i t e d i s c r e t e p e r i o d i c s e q u e n c e
X ’(co) C o n s t r a i n e d s i g n a l (set to z e r o o u t s i d e s p e c i f i e d f r e q u e n c y r a n g e )
X(co,0) E s t i m a t e of a s i g n a l at a g i v e n f r e q u e n c y a n d d i r e c t i o n
x ( t , r ) F u n c t i o n of t i m e a n d s p a c e ( a l s o x ( t , p ) )
X(co,k) F o u r i e r c o e f f i c i e n t of a f u n c t i o n of t i m e a n d s p a c e
x ( n ^ , n ^ ) D i s c r e t e i n p u t f u n c t i o n of two t i m e d i m e n s i o n s
X ( w ^ , ) P r o d u c t of two i n p u t f r e q u e n c y c o m p o n e n t s a n d t w o d i m e n s i o n a l F o u r i e r t r a n s f o r m of x ( n ^ , n^)
x ( n ^ , n ^ ) P e r i o d i c f u n c t i o n in two d i m e n s i o n s ( p e r i o d of N s a m p l e s )
X ( k ^ , k ^ ) T w o d i m e n s i o n a l f i n i t e F o u r i e r t r a n s f o r m of p e r i o d i c i n p u t f u n c t i o n at d i s c r e t e f r e q u e n c i e s w
1 a n d CO,
y ( t ) R e s p o n s e t i m e h i s t o r y
y C o l u m n v e c t o r of r e s p o n s e s of a n a r r a y of s e n s o r s at n
Y(co) o r { Y (co)} V e c t o r of t h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s of t h e r e s p o n s e t i m e h i s t o r i e s f o r a n a r r a y of s e n s o r s . E a c h t e r m o f t h e v e c t o r r e p r e s e n t s the r e s p o n s of a d i f f e r e n t s e n s o r , w h i c h is a f u n c t i o n of f r e q u e n c y .
n
Y ( z ) Z t r a n s f o r m of y
z ( t ) N o i s e s i g n a l
z C o m p l e x n u m b e r
Z C o m p l e x w a v e a m p l i t u d e
Z ( w , # ) N o i s e s i g n a l at g i v e n f r e q u e n c y a n d d i r e c t i o n
a T i m e s h i f t
m
j8 N o n - d i m e n s i o n a l w i d t h p a r a m e t e r f o r d i r e c t i o n a l s p r e a d i n g f u n c t i o n
7 S k e w n e s s of d i r e c t i o n a l s p r e a d i n g f u n c t i o n
r N o r m a l i s i n g f a c t o r f o r d i r e c t i o n a l s p r e a d i n g f u n c t i o n
A S a m p l e i n t e r v a l o r s p e c t r a l e s t i m a t o r d i r e c t i o n a l b a n d w i d t h
L 9 A n g u l a r s p a c i n g of s p e c t r a l e s t i m a t e s
C F r e q u e n c y ( = W g)
?7( r , t ) W a v e e l e v a t i o n at a g i v e n t i m e a n d l o c a t i o n
9 W a v e d i r e c t i o n o r l o o k d i r e c t i o n
9 D i s c r e t e w a v e d i r e c t i o n
m
9 M e a n w a v e d i r e c t i o n
\P W a v e d i r e c t i o n
/c K u r t o s i s of d i r e c t i o n a l s p r e a d i n g f u n c t i o n
A W a v e l e n g t h
Aq E i g e n v a l u e
/i L a g r a n g e M u l t i p l i e r
p D e n s i t y of w a t e r
p ( r , r ) S p a t i a l c o v a r i a n c e f u n c t i o n
a R o o t m e a n s q u a r e w a v e e l e v a t i o n o r a n g u l a r d e v i a t i o n
" 2
Oq E s t i m a t e of t he m e a n s q u a r e o f a w a v e at a g i v e n d i r e c t i o n
r T i m e lag
0 W a v e d i r e c t i o n o r r e j e c t i o n d i r e c t i o n
A u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n f o r d i s c r e t e t i m e la g s
$ I n c i d e n t w a v e p o t e n t i a l
w ^
CO F r e q u e n c y ( r a d s / s e c )
co^ N y q u i s t f r e q u e n c y
D i f f e r e n c e f r e q u e n c y
1. I N T R O D U C T I O N
1.1 T h e D y n a m i c P o s i t i o n i n g C o n t r o l P r o b l e m
D y n a m i c p o s i t i o n i n g is u s e d to k e e p s h i p s a n d f l o a t i n g s t r u c t u r e s at a f i x e d l o c a t i o n w i t h o u t t he u s e of m o o r i n g l i n e s . B y m e a n s of t h r u s t e r s , p o s i t i o n s e n s o r s a n d a n a u t o m a u i c c o n t r o l s y s t e m it is p o s s i b l e to k e e p t h e v e s s e l w i t h i n a c e r t a i n d i s t a n c e o f the r e f e r e n c e p o i n t , or to m a k e it t r a c k a l o n g a s p e c i f i c p a t h d e s p i t e t h e d i s t u r b a n c e f r o m w i n d , w a v e s a n d c u r r e n t . T h e a p p l i c a t i o n s a r e w i d e r a n g i n g a n d i n c l u d e the f o l l o w i n g :
- s u p p l y v e s s e l s
- s e m i - s u b m e r s i b l e or s h i p s h a p e d d r i l l i n g v e s s e l s - d i v i n g s u p p o r t v e s s e l s
- s u b s e a w e l l m a i n t e n a n c e v e s s e l s - c r a n e v e s s e l s
- p i p e l a y i n g o p e r a t i o n s - s e i s m i c d a t a g a t h e r i n g .
A l t h o u g h t h e u s e of c o n v e n t i o n a l c a t e n a r y m o o r i n g s y s t e m s is p o s s i b l e in m o s t c a s e s , it c a n be m o r e e f f i c i e n t to u s e d y n a m i c p o s i t i o n i n g b e c a u s e o f t i m e s a v e d d u r i n g v e s s e l m o b i l i s a t i o n . T h e s i t u a t i o n c a n a l s o a r i s e w h e r e t h e r e is i n s u f f i c i e n t s p a c e in a c r o w d e d w o r k a r e a f o r l o n g m o o r i n g lin e s .
T h e m e a n s of m e a s u r i n g t h e d i s p l a c e m e n t of the v e s s e l r e l a t i v e to t h e f i x e d l o c a t i o n o r p a t h w h i c h the v e s s e l is t r y i n g to m a i n t a i n c a n t a k e t h e f o r m of a t a u t - w i r e s y s t e m , a c o u s t i c t r a n s p o n d e r s l o c a t e d o n t h e s e a - b e d , o r a s o p h i s t i c a t e d r a d i o or s a t e l l i t e n a v i g a t i o n s y s t e m . T h e m e a s u r e d p o s i t i o n is fed b a c k to t h e c o n t r o l s y s t e m so t h a t c o r r e c t i v e a c t i o n c a n be t a k e n if t he v e s s e l m o v e s o f f s t a t i o n . B e c a u s e t h e s y s t e m c a n n o t o v e r c o m e the f i r s t o r d e r w a v e f o r c e s , a l l m o t i o n s ( o r t h r u s t e r d e m a n d s ) at w a v e f r e q u e n c i e s h a v e to b e f i l t e r e d o u t to p r e v e n t n e e d l e s s s u r g i n g a n d w e a r o n t h e t h r u s t e r s . T h i s f i l t e r i n g p r o c e s s i n t r o d u c e s a lag in t he c o n t r o l s y s t e m , w h i c h t o g e t h e r w i t h t h e r e s p o n s e t i m e s of t he t h r u s t e r s a n d t h e i n e r t i a of t h e v e s s e l i t s e l f , d e g r a d e t h e s y s t e m p e r f o r m a n c e b o t h in t e r m s of s t a t i o n k e e p i n g a b i l i t y a n d e f f i c i e n c y .
I n o r d e r to o v e r c o m e t h i s p r o b l e m , B a l c h e n , J e n s e n a n d S a e l i d [ 1 9 7 6 ] , p r o p o s e d u s e o f K a l m a n f i l t e r i n g a n d o p t i m a l c o n t r o l t h e o r y . T h e m e t h o d r e l i e s o n h i g h f r e q u e n c y a n d l o w f r e q u e n c y m o d e l s of t h e v e s s e l d y n a m i c s to e s t i m a t e the s t a t e s ( p o s i t i o n a n d v e l o c i t y ) in r e s p o n s e to e n v i r o n m e n t a l f o r c e s , a n d t h e s e a r e u s e d in t h e f e e d b a c k l o o p of t h e c o n t r o l l e r . T h e d y n a m i c p o s i t i o n i n g s y s t e m w a s d e v e l o p e d f u r t h e r b y J e n s e n , S a e l i d a n d M a t h i s e n [1980] to u s e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e e n v i r o n m e n t . T h e y i n c l u d e d a w i n d m o d e l a n d d i r e c t m e a s u r e m e n t s of w i n d s p e e d a n d d i r e c t i o n . T h e m e a n d r i f t w a s t r e a t e d
as a n e q u i v a l e n t c u r r e n t , b u t t h e y c o u l d o n l y t r e a t t h e s l o w l y v a r y i n g c o m p o n e n t of t he w a v e d r i f t f o r c e s as a n u n k n o w n r a n d o m d i s t u r b a n c e . T h e t o t a l e q u i v a l e n t c u r r e n t w a s d e d u c e d f r o m the d i s c r e p a n c y b e t w e e n t h e o b s e r v e d m o t i o n s a n d t h e b e h a v i o u r of the l i n e a r m o d e l . T h e o v e r a l l s u c c e s s of this s t a t e e s t i m a t i o n t e c h n i q u e h a s b e e n j u d g e d o n t h e r e l a t i v e l y l a r g e n u m b e r of s y s t e m s w h i c h h a v e b e e n i n s t a l l e d o n o p e r a t i n g v e s s e l s . K a l m a n f i l t e r i n g t e c h n i q u e s h a v e a l s o b e e n a p p l i e d b y J e n s e n [1986] in the m o n i t o r i n g a n d c o n t r o l of t h r u s t e r a s s i s t e d m o o r i n g s y s t e m s .
e s t i m a t e s of the v e s s e l m o t i o n s a n d e f f e c t i v e l y s e p a r a t e o u t t h e w a v e f r e q u e n c y a n d l o w f r e q u e n c y r e s p o n s e s , t h e y p r o v i d e n o m e c h a n i s m f o r m o d e l l i n g t he w a v e s or d e t e r m i n i n g the f o r c e s t h a t p r o d u c e t h e s e s e c o n d o r d e r r e s p o n s e s .
W h e r e a s t h e K a l m a n f i l t e r r e l i e s o n a p r e - d e t e r m i n e d m a t h e m a t i c a l m o d e l of t h e v e s s e l , t h e r e a r e a n u m b e r of o t h e r p r o p o s e d s e l f t u n i n g o r a d a p t i v e s y s t e m s b a s e d o n o p t i m a l c o n t r o l t h e o r y . T h e s e h a v e b e e n d i s c u s s e d w i t h r e s p e c t to d y n a m i c p o s i t i o n i n g b y B r o o m e a n d P i t t a r a s
[ 1 9 8 7 ) . U s i n g a s t a t e s p a c e f o r m u l a t i o n , t h e s e m e t h o d s i d e n t i f y a b e s t fit m o d e l o r r e l a t i o n s h i p , b e t w e e n a w i d e r a n g e o f i n p u t s a n d o u t p u t s o f a s y s t e m a n d b y this m e a n s p r o v i d e o p t i m a l c o n t r o l . T h e a d v a n t a g e w i t h s e l f t u n i n g or a d a p t i v e c o n t r o l l e r s is t h a t t h e y a d j u s t t h e m s e l v e s to the c h a n g i n g e n v i r o n m e n t a l c o n d i t i o n s a n d do n o t d e p e n d o n c a l c u l a t e d v a l u e s of t he v e s s e l p a r a m e t e r s w h i c h m i g h t v a r y c o n s i d e r a b l y w i t h t h e l o a d i n g c o n d i t i o n s o f t h e v e s s e l . H o w e v e r d u e to t h e n o n - l i n e a r r e l a t i o n s h i p b e t w e e n the w a v e a n d t h e r e s u l t i n g d r i f t f o r c e s , the t a s k of s y s t e m i d e n t i f i c a t i o n f o r t h e s e c o m p o n e n t s w o u l d b e v e r y d e m a n d i n g .
M e a s u r e m e n t s of the w i n d spe e d , t o g e t h e r w i t h a m a t h e m a t i c a l m o d e l f o r t h e e f f e c t of w i n d o n t h e v e s s e l , g i v e a n a p p r o x i m a t i o n of t h e i n s t a n t a n e o u s w i n d f o r c e o n the v e s s e l w h i c h is u s e d as " f e e d f o r w a r d " i n f o r m a t i o n b y m a n y c o n t r o l s y s t e m s . I n s t e a d of w a i t i n g f o r t h e v e s s e l to m o v e o f f s t a t i o n , the t h r u s t e r s s t a r t a d j u s t i n g to c o u n t e r a c t t he d i s t u r b a n c e as s o o n as it o c c u r s . In t h e s a m e w a y it is a l s o p o s s i b l e to m e a s u r e the a v e r a g e w a t e r p a r t i c l e v e l o c i t y b e l o w t h e v e s s e l to g i v e c u r r e n t f e e d f o r w a r d .
T h e p o s s i b i l i t y of e x t e n d i n g the c o n t r o l s y s t e m to i n c l u d e w a v e f e e d f o r w a r d w a s f i r s t c o n s i d e r e d b y P i n k s t e r [197 8 ] . H e i d e n t i f i e d t h r e e c o m p o n e n t s w h i c h c o n t r i b u t e to the s e c o n d o r d e r f o r c e on a v e s s e l , a n d c o n c l u d e d that the l a r g e s t of t h e s e is d u e to t h e v a r i a t i o n in p r e s s u r e a r o u n d t h e m e a n w a t e r l i n e . T h i s p r e s s u r e a n d t h e a r e a o n w h i c h it a c t s a r e b o t h p r o p o r t i o n a l to the r e l a t i v e w a v e h e i g h t
f o r c e c o n t a i n s b o t h h i g h a n d l o w f r e q u e n c y c o m p o n e n t s d u e to s u m a n d d i f f e r e n c e f r e q u e n c i e s in i r r e g u l a r w a v e s . O n t he b a s i s of e x p e r i m e n t s u s i n g e i g h t w a v e p r o b e s m o u n t e d a r o u n d t h e v e s s e l , a c o n s i d e r a b l e i m p r o v e m e n t in the p e r f o r m a n c e of t h e d y n a m i c p o s i t i o n i n g s y s t e m w a s o b t a i n e d .
1.2 C a l c u l a t i o n of Second Ord e r Drift Forces
G i v e n a t i m e h i s t o r y of the i n c i d e n t w a v e , M a r t h i n s e n [1 9 8 3 ] p r o p o s e d a s i m p l e m e t h o d of c a l c u l a t i n g the s l o w l y v a r y i n g d r i f t f o r c e w i t h o u t t h e n e e d to c a l c u l a t e t he w a v e s p e c t r u m . T h e m e t h o d u s e d t h e H i l b e r t t r a n s f o r m ( B i t n e r - G r e g o r s e n a n d G r a n [ 1 9 8 3 ] ) to c a l c u l a t e an i n s t a n t a n e o u s w a v e e n v e l o p e a m p l i t u d e a n d l o c a l f r e q u e n c y , a n d t h e n a p p l i e d t h e m e a n d r i f t o p e r a t o r to g i v e t h e i n s t a n t a n e o u s d r i f t f o r c e . B y t h e s a m e t o k e n it h as b e e n p r o p o s e d t h a t it m i g h t b e p o s s i b l e to d e r i v e the i n s t a n a n e o u s w a v e n u m b e r v e c t o r in a d i r e c t i o n a l sea, a n d t h e n u s e a m e a n d r i f t o p e r a t o r w h i c h is a f u n c t i o n o f d i r e c t i o n a n d f r e q u e n c y . H o w e v e r t h i s a p p r o x i m a t i o n w o u l d n o t b e a b l e to t a k e a c c o u n t of a n y n o n - l i n e a r i n t e r a c t i o n b e t w e e n d i f f e r e n t d i r e c t i o n a l c o m p o n e n t s .
T h e m o s t c o m p l e t e m o d e l to d a t e f o r t he c h a r a c t e r i z a t i o n of the p r o c e s s e s w h i c h g e n e r a t e l o w f r e q u e n c y d r i f t f o r c e s is t h e s e c o n d o r d e r V o l t e r r a s e r i e s . T h i s w a s f i r s t u s e d in o c e a n e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s b y D a l z e l l [1976], in o r d e r to a r r i v e a t a m e t h o d f o r c a l c u l a t i n g t h e a d d e d r e s i s t a n c e of a s h i p in i r r e g u l a r s e a s . T h e m e t h o d u s e d c r o s s b i s p e c t r a l a n a l y s i s to e s t i m a t e a q u a d r a t i c
t r a n s f e r f u n c t i o n . T h i s d e f i n e s the r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t w o i n p u t w a v e f r e q u e n c y c o m p o n e n t s a n d t he r e s u l t i n g o u t p u t a t t h e s u m of t he t w o f r e q u e n c i e s . (T h e s u m of p o s i t i v e a n d n e g a t i v e f r e q u e n c i e s g i v e s r i s e to the l o w f r e q u e n c y c o m p o n e n t s w h i c h a r e a l s o c a l l e d d i f f e r e n c e f r e q u e n c i e s in t h e l i t e r a t u r e . ) D a l z e l l t h e n t r a n s f o r m e d the q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n i n t o a q u a d r a t i c i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n w h i c h w a s a f u n c t i o n of two t i m e lags. T h e t o t a l o u t p u t w a s o b t a i n e d f r o m t he w e i g h t e d s u m of t he p r o d u c t s of t h e i n p u t at e a c h p a i r of t i m e lags. It w a s t h e r e f o r e p o s s i b l e to c a l c u l a t e t h e a d d e d r e s i s t a n c e t i m e h i s t o r y b y d o u b l e c o n v o l u t i o n o f t h e q u a d r a t i c i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n w i t h the i n c i d e n t w a v e t i m e h i s t o r y .
p r e d i c t t h e s e c o n d o r d e r r e s p o n s e of the s t r u c t u r e a n d to u s e th i s i n f o r m a t i o n to h e l p c o m p e n s a t e f or t he m o t i o n s in a c o n t r o l a l g o r i t h m . H o w e v e r , r a t h e r t h a n e s t i m a t i n g t h e s e c o n d o r d e r r e s p o n s e w h i c h m a y b e a f f e c t e d b y a n u m b e r of f a c t o r s , n o t l e a s t t h e p e r f o r m a n c e o f t h e d y n a m i c p o s i t i o n i n g s y s t e m , t h i s t h e s i s c o n c e n t r a t e s o n c a l c u l a t i n g the fo r c e . If t h e i n s t a n t a n e o u s d i s t u r b i n g f o r c e is k n o w n , it is m o r e s t r a i g h t f o r w a r d f o r a c o n t r o l l e r to m a k e t h e a p p r o p r i a t e c o m p e n s a t i o n .
A f u l l r e v i e w of t h e u s e of t he s e c o n d o r d e r V o l t e r r a m o d e l f o r c o m p l i a n t o f f s h o r e s t r u c t u r e s is g i v e n b y S i n c o c k [ 1 9 8 9 ) . H e h a s a d d r e s s e d t h e p r o b l e m s r e l a t i n g to t he e s t i m a t i o n of t h e q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n a n d d e s c r i b e s h o w e a c h s u m f r e q u e n c y c o m p o n e n t of t h e d r i f t f o r c e c a n b e c a l c u l a t e d in t he f r e q u e n c y d o m a i n u s i n g t h e q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n a n d F o u r i e r c o e f f i c i e n t s of t h e i n c i d e n t w a v e . T h e d r i f t f o r c e t i m e h i s t o r y c a n t h e n be o b t a i n e d b y i n v e r s e F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n of t h e s e s u m f r e q u e n c y c o m p o n e n t s w i t h o u t h a v i n g to g e n e r a t e t h e q u a d r a t i c i m p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n .
D a l z e l l [ 1 986] p r o p o s e d a n e x t e n s i o n of h is o r i g i n a l m e t h o d in o r d e r to c a l c u l a t e l o w f r e q u e n c y f o r c e s in m u l t i - d i r e c t i o n a l s e a s . T h i s c o n s i s t e d of d e r i v i n g a q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n f o r e a c h p a i r of d i s c r e t e w a v e d i r e c t i o n s . T h e t o t a l f o r c e c o u l d b e e x p r e s s e d as a s u m of t h e c o n t r i b u t i o n s w h i c h a r e o b t a i n e d f r o m t he i n t e r a c t i o n b e t w e e n e a c h p a i r of d i r e c t i o n s . T h i s a p p r o a c h h a s a l s o b e e n t a k e n b y E a t o c k T a y l o r et al. [1988] a n d M i t c h e l l [1989] w h o h a v e p r e s e n t e d t h e o r e t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d e x a m p l e s of i n t e r a c t i v e q u a d r a t i c t r a n s f e r f u n c t i o n s .
