Chapter 6 Increasing Network Utilization and Fairness in Wireless Networks
6.3 Addressing Spatial Bias Problem using Back-pressure Framework
En el intento de obtener más resultados comparables, en los valores de un submarino, vamos a comparar los valores de estos coeficientes con los obtenidos para submarinos, a pesar de no disponerse información de estos de una forma fácil y directa, ya que muchos valores de resistencia se obtienen de test de deceleración con frenado de hélice, sin obtener los que se asocian únicamente al casco. Los grados de esbeltez de los submarinos, además, vienen a ser mucho mayores, por lo general, a los de nuestro vehículo y los dirigibles. En el vehículo submarino empleado por Timothy Prestero (6), con grado de esbeltez L/D=6.99 se obtiene un coeficiente de valor
C
D0.003
para lo que es el coeficiente de resistencia que llaman axial. Se observa que este valor es del mismo orden al obtenido por nosotros y los demás autores, a pesar de ser un submarino y no un dirigible, pero con una forma elíptica semejante. Para la obtención de este coeficiente de resistencia axial, se emplea la expresión empírica de Trianatfyllou (7):
d
l
l
d
A
A
C
C
f p ss D1
60
0.0025
3
( 206donde
C
ss es el coeficiente de Schoenherr para fricción de una placa plana,A
pld
=área del vehículo en planta , conl
=longitud total del vehículo,d
=máximo diámetro del casco, yA
f =área frontal del vehículo.Para los otros coeficientes hidrodinámicos, en las notas de Trianatfyllou (7), no hay una equivalencia exacta con los clásicos empleados por nosotros, los típicos coeficientes aerodinámicos, sino que emplean el llamado crossflow drag coefficient
C
dc originado por la corriente que no llega axial al casco y que por tanto, origina fuerzas laterales, entre las que se encontraría la de sustentación, y los momentos consiguientes. No es inmediata la transformación de los efectos de este coeficiente en momentos y fuerzas resultando un listado de valores dimensionales con difícil equivalencia enC
L yC
m.En los trabajos clásicos de Ingeniería Naval, E.V. Lewis (8) no se encuentran valores de resistencia, para cuerpos submarinos aplicables a nuestra tesis.
El empleo de geometrías elípticas acopladas a cónicas seguido por nosotros en el método potencial-viscoso sigue empleándose hoy día como en la tesis del Capitán de Corbeta de la Armada Americana Eric Holmes (9), donde se obtiene una estimación de los coeficientes hidrodinámicos (
Y
v',N
v',Y
r'.N
r') .a partir de diversas geometrías, modificando el programa para predecir las distintas formas.Los coeficientes aquí empleados vienen del desarrollo de las fuerzas y momentos en las distintas variables que intervienen, así por ejemplo, el momento de cabeceo
N
viene en función de:r
N
v
N
N
v
r
'
'
( 207Una vez más es difícil obtener una expresión parecida a la empleada en coeficientes aerodinámicos. El lector verá sin dificultad las simplificaciones que se esconden detrás de esta ecuación en forma de desacoplamientos. En nuestra tesis no hemos introducido ningún tipo de simplificación dinámica asociada a esta expansión de Taylor tan comúnmente empleada en la terminología marina.
En este trabajo se parte de una forma básica y se va modificando. Se calcularon criterios de estabilidad y maniobra general para un movimiento en el plano vertical.
La forma básica empleada por el Capitán de Corbeta Eric P. Holmes en (9) es la siguiente:
Figura 114
A continuación se muestran los distintos cuerpos usados en el estudio del Capitán de Corbeta Eric P. Holmes (9):
Efectivamente, en el método conocido como sistema de identificación de coeficientes hidrodinámicos a partir de pruebas de mar, John Coxon (10), se emplean desarrollos matemáticos de las fuerzas y momentos sobre el submarino, como le mostrado líneas arriba y luego a partir de medidas reales conociendo los valores obtenidos de mediciones de la aceleración, velocidad y giros del vehículo ir identificando cada uno de los coeficientes de la ecuación. Estos desarrollos pueden ser lo exhaustivos que puedan permitir la capacidad de cálculo.
A modo de ejemplo adjuntamos una expansión de Taylor de John Coxon (10) donde se supone un movimiento horizontal del submarino.
De una manera muy simplificada, se estiman inicialmente los coeficientes de los distintos parámetros que pueden intervenir en el movimiento, y se hace la estimación del proceso de ruido derivado de los valores medidos en pruebas, velocidades, aceleraciones, giros.., empleando algún filtro como por ejemplo el de Kalman, cuando la estimación es estadísticamente significativa, es decir, las entradas son las adecuadas, tiene lugar la simulación matemática del movimiento del vehículo y viendo si se obtienen unos resultados satisfactorios, los suficientemente cercanos a los obtenidos en la realidad, se llega a la identificación de estos coeficientes. En caso contrario se reinicia el proceso a partir de otros valores iniciales hasta que se logra una coincidencia o una aproximación adecuada.
El empleo de ecuaciones conocidas como de las que dispone la USN para modelos de 6 grados de libertad basados en los trabajos de Healey (11) y Fossen (12) ha sido descartado al no tener acceso a los coeficientes experimentales de estos autores ya que la información de esta índole está clasificada.
En el trabajo de Donald P. Brutzman (13) se hace referencia a descripciones desclasificadas de modelos hidrodinámicos de vehículos submarinos a las cuales tampoco se ha podido tener acceso. Es por ello por lo que se ha abordado el problema desde el punto de vista de la Mecánica de Vuelo Clásica con el empleo de ángulos de Euler y no Cuaterniones, también empleados en la aeronáutica pero que en nuestro caso no son necesarios al no tener ningún caso en el que el vehículo tenga un ángulo de asiento de 90 grados. Como se recordará el empleo de cuaterniones soluciona el problema de que el vehículo apunte verticalmente,
, siendo entonces la matriz de rotación de Euler incapaz de resolver el problema.1. H. Julian Allen. "Estimation of the Forces and Moments Acting on Inclined Bodies of Revolution of High Fitness Ratio". Research Memorandum RM A9I26. Aeronautical Laboratory Moffett Field, California. 1949.
2. Edward J. Hopkins. "A Semi-empirical Method for Calculating the Pitching Moment of Bodies of Revolution at Low Mach Numbers". Research Memorandum RM A51C14. Ames Aeronautical Laboratory Moffett Field, California. 1951.
3. F. L. Thompson and H.W. Kirschbaum. "The Drag Characteristics of Several Airships Determined by Deceleration Tests”. Report NACA Nº.397. National Advisory Committee for Aeronautics. 1932.
4. A. F. Zahm, R. H. Smith, and F.A. Louden. "Air Forces, Moments and Damping on Model of Fleet Airship Shenandoah". Report NACA Nº.215. Aerodynamical Laboratory, Bureau of Construction and Repair, U.S. Navy. 1926.
5. Ira H. Abbot. "Airship Model Tests in the Variable Density Wind Tunnel". Report NACA Nº.394. National Advisory Committee for Aeronautics. 1932.
6. Timothy Prestero, "Verification of a Six-Degree of Freedom Simulation Model for the REMUS Autonomous Underwater Vehicle", B.S., Mechanical Engineering. University of California at Davis. Ph.D. Thesis, Department of Ocean Engineering, MIT and Department of Ocean Engineering WHOI, September 2001.
7. Michael S. Triantafyllou. "Maneuvering and Control of Surface and Underwater Vehicles", Lecture Notes for MIT Ocean Engineering Course 13.49, 1966.
8. E.V. Lewis, "Principles of Naval Architecture", Society of Naval Architects and Marine Engineers, New Jersey, second edition, 1988.
9. LCDR Eric P. Holmes, Advisor: Fotis A. Papoulias "Prediction of Hydrodynamic Coefficients Utilizing Geometric Considerations", N.P.S. NAVY Thesis, 2001.
10. Peter John Coxon. "System Identification of Submarine Hydrodynamic Coefficients from Simple Full Scale Trials" Ph.D. Thesis, Department of Ocean Engineering, MIT, June 1989.
11. Healey, Anthony J., "Dynamics of Marine Vehicles", course notes, Naval Postgraduate School, Monterey California, Fall 1992.
12. Fossen, Thor I., "Guidance and Control of Ocean Vehicles, John Wiley & Sons", Chichester England, 1994.
13. Donald P. Brutzman "A Virtual World for an Autonomous Underwater Vehicle" Naval Postgraduate School, Monterrey, California. December 1994.
14. Max M. Munk. "The Aerodynamic Forces on Airship Hulls". Report NACA Nº.184. National Advisory Committee for Aeronautics, 1924.
15. Max M. Munk. "Notes on Aerodynamic Forces". Reports NACA Nº.104, 105 and 106. National Advisory Committee for Aeronautics. July 1922.
16. L.B. Tuckerman. "Notes on Aerodynamic Forces on Airship Hulls". Report NACA Nº.129. Bureau of Standards, 1923.