Chapter 6 Increasing Network Utilization and Fairness in Wireless Networks
6.2 The Back-pressure Framework
6.2.1 Back-pressure Framework and CSMA/CA MAC
En el caso tridimensional, la situación se complica y no es tan sencilla la configuración de circulaciones.
Figura 63
La sustentación total es la suma de la sustentación de cada uno de los pequeños perfiles que forman el cuerpo, en la figura anterior un ala. Sin embargo a la salida de este ala se forma una superficie de vorticidad originada por las distintas direcciones de velocidad en las líneas de corriente incidentes en las dos corrientes, la que pasa por el extradós y el intradós. Esta superficie de vorticidad forma la estela.
Figura 64
Suponiendo un ala plana compuesta por tres perfiles, en la generación de la vorticidad que se va al
surge la circulación
sobre los perfiles y un transporte de circulación por los lados del ala hasta el
de modo que la circulación total es nula, así se garantiza la irrotacionalidad del fluido. En la anterior figura se describe la situación en la que se llega a un vector circulación de valor
.Las líneas de vorticidad no pueden terminar en el fluido, la superficie de vorticidad termina en la línea de vorticidad que se va al
.Figura 65
Es fácil ver que la condición de Kutta-Joukowsky de flujo hacia el exterior es equivalente al requerimiento de que las líneas de vorticidad giren suavemente en la dirección de la corriente mientras pasan a lo largo del borde de la estela.
Figura 66
En los puntos lejanos de la corriente aguas abajo, el movimiento producido por los vórtices llega a convertirse en bidimensional, en los planos y,z siendo independiente de x, en un plano llamado de Trefftz.
Aunque la estela se supone permanece plana, de acuerdo con las hipótesis de pequeñas perturbaciones de tercer orden, hay un enrollamiento y un desplazamiento hacia abajo, Spreiter y Sacks (8).
Figura 67
Veamos el efecto que llega a la estela, es un problema en el que el efecto dominante es el antisimétrico, sólo llegan los torbellinos. En bidimensional no había efectos de velocidad inducida sobre el perfil pues el torbellino se ha alejado aguas abajo y el ala se supone infinita. En el caso tridimensional no es así, la estela arrastrada con vorticidades es entonces inestable y no puede durar mucho recorrido, tiende a enrollarse como una hoja de papel y los filamentos de vorticidad giran alrededor de ellos mismos como los hilos de un cabo. De este modo, a una distancia suficiente del ala, una sección de la estela por un plano perpendicular al eje x mostrará dos vórtices cilíndricos cuya separación es menor que la envergadura del ala. Estos vórtices que se ven en los extremos de las alas de los aviones son la causa de la resistencia
inducida también conocidos como vórtices de punta de ala. Las líneas de vorticidad se acaban juntando en dos líneas de estela y a ambos lados del cuerpo, en nuestro caso el ala.
La aparición de estos torbellinos en la estela y a ambos lados del ala tiene su interpretación física, si no hubiera esa perturbación en el espacio por la continuidad del fluido, las diferencias de presión entre intradós y extradós harían saltar el fluido de un lado a otro desapareciendo esa diferencia de presiones y, por tanto, la sustentación.
El alargamiento de la estela debe aumentar la energía de la misma, así esta energía debe aplicarse al sistema. Es necesaria entonces una fuerza de tracción para mantener el movimiento. La resistencia que estamos venciendo es la resistencia inducida.
Los cálculos de sustentación y resistencia se complican.
2 2 2 2 b b b bl
y
dy
U
y
dy
L
( 169Expresión obtenida de la integración a lo largo del ala de cada uno de los perfiles, con b la envergadura del ala.
2 2 1 2 2 1 1)
ln
.
/
(
/
4
b b b b id
y
dy
d
y
dy
y
y
dy
dy
D
( 170Expresión obtenida de igualar el trabajo con la energía cinética, esta última a partir del potencial de velocidades. Es fácil ver lo complicado que puede ser el uso de estas ecuaciones para nuestro vehículo.
La ecuación anterior de resistencia es la inducida, la formada por el efecto de los torbellinos en los lados y estela del cuerpo. Faltaría contabilizar la resistencia de forma, que se consideraría originada por el desprendimiento de la capa límite en algunas partes del cuerpo y que por tanto origina desigualdad de presiones en a parte de proa y popa así como la resistencia de fricción, por los efectos viscosos, proporcional a la velocidad y a la superficie en contacto con el fluido. Estas dos últimas resistencias no las consideramos aquí, ya que estamos en el caso de teoría potencial y fluido irrotacional. Se supone que no hay desprendimiento de capa límite ni fuerzas viscosas en el cómputo de las fuerzas, lo que sí que se consideran son los efectos de la viscosidad en la aparición de circulación y torbellinos o vórtices en la estela y a ambos lados del cuerpo, una vez que se considera la aparición de dicha circulación no se contabiliza la viscosidad en ninguna otra parte.
En definitiva no se considera la viscosidad en el cómputo de fuerzas, pero sí sus efectos sobre el comportamiento del fluido. En las alas largas casi toda la resistencia es inducida, algo similar ocurre con los cuerpos elípticos de gran esbeltez en los que la resistencia de presiones o de forma es muy pequeña al no haber apenas desprendimiento de capa límite y la viscosa no demasiado elevada. Según algunos estudios el coeficiente de esbeltez ideal es 5 donde la resistencia de fricción aún no ha aumentado mucho, conforme el coeficiente de esbeltez es mayor, mayor es la fricción, como es natural, y la de presiones es relativamente baja. Conforme el coeficiente de esbeltez disminuye la resistencia de fricción aumenta, el cuerpo es más chato y se producen mayores desprendimientos de capa límite cerca de la estela lo que origina la diferencia de presiones.
Catamarán.
Para el caso de nuestro vehículo, un cuerpo con cierta esbeltez y tridimensional, la solución potencial tampoco es creíble. En el caso real tiene lugar un desprendimiento análogo al de las alas y por tanto la consiguiente generación de torbellinos en la estela, los bordes del cuerpo en forma de ramas inducidas contrarrotatorias y circulación en el cuerpo.
Figura 68
Debido a los efectos viscosos, en el transitorio, se produce desprendimiento de la capa límite cerca del borde de salida del cuerpo y en definitiva se genera vorticidad en el fluido y una circulación en el vehículo que se va al infinito. Además, aparecen torbellinos a ambos lados del cuerpo, en el fluido cercano. En el estado estacionario, la vorticidad del desprendimiento de la capa límite se va al infinito y queda la circulación en el perfil. Todo esto sería como en los perfiles bidimensionales pero además por los efectos tridimensionales que hemos comentado antes se forman las ramas inducidas que no desaparecen.
Figura 69
Como hay circulación se generan los torbellinos a los dos lados del cuerpo, contrarrotatorios y aparece la resistencia inducida.
Se producen las líneas de vorticidad como en las alas finitas así como el arrollamiento de la estela en dos cuerpos. La forma de la estela será similar a la de las alas finitas. Las líneas inducidas se juntan en dos, una a cada lado y transportan los vectores vorticidad hasta el infinito.
Figura 70