Para los propósitos de nuestra investigación, consideramos la propuesta teórica de creación de problemas de Malaspina (2013a, 2011b, 2015) acerca de lo que se entiende sobre creación de problemas y sus aspectos asociados. Este planteamiento ayudará a categorizar los problemas creados por los docentes en servicio tomando en consideración dos formas de crearlos: por elaboración de problema y por variación de un problema dado. Del mismo modo, nos servirá para hacer más específica la configuración de objetos propuesta por el EOS, en particular el objeto matemático denominado situación-problema. Por otra parte, esta estrategia de creación de problemas servirá de apoyo para proponer nuestra estrategia ERPP, enfatizando en los problemas creados por variación.
A continuación mostramos estas definiciones y las ejemplificamos para mostrar los constructos teóricos que usaremos en nuestro análisis de problemas creados.
En el Capítulo 1, mostramos -según la propuesta de Malaspina (2013a)- que la creación de un problema matemático se puede originar por variación de un problema dado o por elaboración de un problema, ya sea ante una situación concreta o por un pedido específico; este último, de carácter matemático o didáctico. Esta concepción de creación de un problema va de la mano con los cuatro elementos fundamentales que caracterizan a un problema matemático, como propone Malaspina (2014c, 2014a): información, requerimiento, contexto y entorno matemático y cuyas definiciones se resumen a continuación:
98 Figura 21. Actividad presentada en el taller de creación de problemas
1. Información: está constituida por los datos cuantitativos o relaciones que se dan en el
problema.
2. Requerimiento: es lo que se pide que se encuentre, examine o concluya, que puede ser
cuantitativo o cualitativo, incluyendo gráficos y demostraciones.
3. Contexto: se refiere a la situación que involucra el problema. De esa manera se tienen
los problemas relacionados con la vida cotidiana. El contexto también puede ser estrictamente matemático. De lo anterior se define que el problema puede ser de contexto intramatemático o extramatemático. En el primer caso, se refiere al entorno netamente matemático del problema (por ejemplo, graficar la función lineal, resolver una ecuación). En el segundo caso, el problema está más vinculado a una situación real.
4. Entorno matemático: se refiere a los conceptos matemáticos que intervienen o pueden
intervenir para resolver el problema. Se sabe que un problema puede resolverse de distintas formas y con diversos objetos matemáticos, de ahí que el entorno no es
específico para un problema. Es decir, “[...] no habiendo una única manera de resolver
un problema, el entorno matemático no tiene que ser único y la misma información, requerimiento y contexto pueden llevar a problemas diferentes, al precisar el entorno
matemático que se debe usar para resolverlo.” (Malaspina y Vallejo, 2014, p. 13).
Para evidenciar el uso de este tipo de descriptores de un problema matemático, mostramos en la Figura 21 un problema que fue propuesto por Malaspina (2014c) a 22 profesores de inicial y primaria en formación cuyo contenido englobó la papiroflexia y la geometría elemental.
99 Figura 22. Problema creado sobre porcentajes
Las indicaciones para esta actividad fueron las siguientes: a) Resolver el problema.
b) Identificar en el problema: información, requerimiento, contexto y entorno matemático. c) Crear un nuevo problema modificando uno o más de los elementos del problema dado
identificados en (b).
d) Resolver el problema creado.
En el artículo de Malaspina (2014c) se muestran diversos problemas creados como consecuencia de la actividad mostrada en la Figura 21.
Para nuestro interés, presentamos uno de los problemas creados y que, desde nuestro punto de vista, describe el enfoque propuesto (ver Figura 22).
Fuente: Malaspina (2014c, p. 2)
A continuación, se realiza la descripción considerando los elementos del problema creado: Como es evidente, en este problema no solo hay modificaciones cualitativas en la información, pues los objetos geométricos son círculos, sino que, manteniendo el carácter extramatemático del contexto del problema, también hay modificación de la situación en tal contexto, pues ya no se trata de dobleces en una hoja de papel, sino de la cantidad de ingredientes que se use en la preparación de una pizza, según el tamaño de esta. [...] Se destaca el uso de 1/4 sin usar una aproximación decimal y el uso de un planteamiento algebraico para encontrar el porcentaje buscado. (Malaspina, 2014c, p. 139)
En la misma línea, en Malaspina (2013a) encontramos tres problemas creados considerando la creación de problemas por elaboración y por variación de un problema dado (Malaspina & Vallejo, 2014). Por razones prácticas, presentamos dos de los problemas creados y sus respectivos elementos:
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1. Por elaboración de un problema
Situación
Se tiene un alambre flexible de 20 cm de longitud. Primer problema creado
Determinar el mayor número entero de cuadrados, con lados de longitud entera, que se puede formar con un alambre de 20 cm de longitud.
Información: longitud del alambre.
Requerimiento: el mayor número de cuadrados con los lados de longitud entera que se pueden formar.
Contexto: extramatemático.
Entorno matemático: geometría, cuadrados, perímetro, división entera.
2. Por variación de un problema
Problema
Determine el mayor número de cuadrados con lados de longitud entera que se puede formar con un alambre de 20 cm de longitud.
Problema creado
Determine el mayor número de triángulos no equiláteros con lados de longitud entera que se puede formar con un alambre de 20 cm de longitud.
Información: longitud del alambre. (No modificada)
Requerimiento: el mayor número de triángulos no equiláteros, con lados de longitud entera, que se puede formar con un alambre de 20 cm de longitud. (Modificado)
Contexto: extramatemático. (No modificado)
Entorno matemático: geometría, triángulos, perímetro, relaciones entre longitudes de los lados de un triángulo, división entera. (Modificado)
Ahora bien, considerando los aspectos teóricos sobre la creación de problemas bajo la propuesta de Malaspina (2014c, 2014a), planteamos para una mejor integración de las herramientas del EOS con la creación de problemas hacer explícito que al crear un problema
101 por variación pueden modificarse uno o más de sus cuatro elementos básicos: información, requerimiento, contexto (intramatemático o extramatemático) (Malaspina, 2015a). Esta propuesta se hace efectiva adaptando una estrategia de desarrollo de talleres de creación de problemas, tomada de Malaspina et al. (2015), para la creación de problemas por variación y que considera un episodio en clase que se explica en detalle en el Capítulo 4.