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proporción como un hito a estudiar

De manera sintética podemos señalar que hasta este punto hemos presentado nuestra preocupación por develar el papel que la HM puede llegar a cumplir en el conocimiento del profesor de Matemáticas y la hemos ubicado en el campo de investigación de la EPM y específicamente en la línea/plano de investigación que se ocupa del estudio del conocimiento del profesor de Matemáticas. Adicionalmente, hemos reconocido que en algunas posturas, hoy en día clásicas, la HM se ubica como parte del componente denominado conocimiento disciplinar; en tanto que en el campo de la EPM la integración de la HM no ha tenido un profuso tratamiento, aunque algunos autores le asignan un lugar destacado en sus planteamientos sobre los componentes del conocimiento del profesor de Matemáticas.

El trabajo hasta acá presentado permite reconocer también un carencia de investigaciones, realizadas en el campo de la EPM, que centradas en la historia de objetos matemáticos (v.g., conceptos, procesos, formas de pensamiento matemático, actividades

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matemáticas) constituyan casos desde los cuales construir posturas que ofrezcan una base experimental para validar o ilustrar los planteamientos hipotéticos expresados por quienes han abordado la cuestión que nos ocupa. Este hecho nos genera la convicción de que es preciso realizar investigaciones sobre objetos específicos de las Matemáticas y que ello es pertinente y viable en el marco de una tesis doctoral como la presente. Así, para avanzar un poco más en la concreción del problema de investigación de la presente tesis, y bajo la convicción anterior, hemos considerado necesario abandonar la generalidad del discurso sobre la HM y, en consecuencia, seleccionar un tema de las Matemáticas y un momento de su historia.

1.4.1

La elección de la temática matemática

La elección del tema ha sido una consecuencia natural de la trayectoria académica personal. En efecto, atendiendo a que desde hace algunos años la proporcionalidad ha sido objeto de estudio de nuestro interés (Guacaneme, 2000, 2001, 2002; Guacaneme, Andrade, Perry, & Fernández, 2003; Perry, Guacaneme, Andrade, & Fernández, 2003; Aura Lucia Quintero, Molavoque, & Guacaneme, 2011), parece ser adecuado que constituya el objeto matemático sobre el cual centrar el interés investigativo.

En el apartado 2.3.2 de la tesis de Maestría (Guacaneme, 2001, pp. 37-42) argumentamos que la potencialidad de la proporcionalidad como objeto de estudio desde la Didáctica de las Matemáticas depende, entre otras razones, de: su situación en el interior de las Matemáticas —especialmente de las matemáticas escolares—, su vínculo como conocimiento instrumental auxiliar de otras ciencias y de la técnica, su utilización como elemento de juicio (evaluador) del desarrollo psicológico del individuo, su cualidad de obstáculo o dinamizador epistemológico, su ambigüedad lingüística y su permanente aparición temprana en contextos cotidianos no escolares; adicionalmente, y como resultado de un trabajo posterior en torno al pensamiento variacional (Guacaneme, 2003) y otro en torno a la proporcionalidad (Perry, et al., 2003), se advierte que las funciones de proporcionalidad son un ámbito potente para el estudio de la covariación, los patrones y regularidades numéricas, y la linealidad, y constituyen el punto de partida básico para la caracterización de las funciones polinómicas y el punto cúspide en la caracterización de las funciones exponenciales.

No obstante la elección de la proporcionalidad como objeto de estudio, advertimos que al elegirla, más que un tema matemático, hemos elegido un conjunto de temas matemáticos, entre los que se encuentran: las razones entre números o cantidades de magnitud —sean estas geométricas o en general cantidades adjetivadas (Schwartz,

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1988)—; las proporciones entre tales razones; las covariaciones directa o inversamente proporcionales; las funciones de proporcionalidad directa, inversa y compuesta; la linealidad; etc. Bajo esta concepción de proporcionalidad, vemos la necesidad de enfocarnos en un tema, dentro de la gama de posibilidades expuesta para este conjunto. De esta manera, y apoyados en el tratamiento y análisis que hicimos en su momento en la tesis de Maestría sobre los conceptos de razón y proporción (Guacaneme, 2001, pp. 194- 210) y en la certeza que allí logramos acerca de la necesidad de estudiar “… aquellas otras piezas que deseábamos y creíamos ser capaces de construir en el marco de la tesis y que tuvimos conscientemente que relegar (v.g., la historia de las razones, las proporciones …; los conocimientos de los profesores acerca de estos temas) y otras …” (Guacaneme, 2001, p. 248), decidimos concentrarnos en la historia de las razones y las proporciones.

Quizá ingenuamente se puede llegar a pensar que este nivel de concreción es suficiente; sin embargo, advertimos que la aproximación a la historia de las razones y proporciones nos obliga a un nuevo nivel de especificidad.

1.4.2

La elección del momento de la historia de las razones y

proporciones

La identificación y consulta preliminar de fuentes documentales que abordan el tratamiento de aspectos relacionados con la historia de las razones y proporciones, prevista desde el anteproyecto de esta tesis (Guacaneme, 2006), constituye una manera natural de explorarla. Esta estrategia, llevada a cabo desde nuestra condición de aprendices de la historia —y no de historiadores—, nos ha conducido a identificar cerca de un centenar de escritos de historiadores y filósofos, que versan sobre aspectos específicos de tal historia; esta especificidad contrasta con la ilusión —ingenua y hasta romántica— que teníamos al iniciar la búsqueda bibliográfica de encontrar una historia26 de los conceptos de razón y proporción. A través del estudio de algunos de los documentos identificados, hemos podido perfilar varios hitos que, de manera cronológicamente secuencial, describen varias épocas de la historia de los conceptos de razón y proporción27, a saber:

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Lo más cercano a una historia de las razones y las proporciones puede ser lo expuesto en el documento de Piedad Yuste (2004), identificado por nosotros hace poco tiempo.

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Una versión un tanto diferente de estos hitos fue incluida en un artículo recientemente publicado (Guacaneme, 2012d, p. 114)

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(i) La época de la escuela pitagórica, en la cual existía una teoría de las proporciones que, según la tradición hegemónica28, entra en crisis por el “descubrimiento” de la inconmensurabilidad. Algunos documentos sobre esta época, tratan el procedimiento conocido como antanairesis o antifairesis para encontrar sucesiones de parejas de números que se aproximan a la razón entre magnitudes inconmensurables, y cómo este es asociado a la idea de razón y la igualdad de dos de tales procedimientos a la idea de proporción.

(ii) La época dorada de los griegos (fundamentalmente de Eudoxo, Euclides y Apolonio) en la que se “crea” una teoría de las proporciones, se adapta a la versión hipotético-deductiva y se usa en la descripción de las cónicas. Varios documentos se centran en el tratamiento que hace Euclides en sus dos teorías de la razón y la proporción (una para magnitudes geométricas y otra para números) que se asocian a los Libros V y VI y Libro VII, de Elementos, respectivamente.

(iii) La época de la Baja Edad Media en la que la clásica teoría de proporciones griega se transforma y reformula para ampliar su ámbito de aplicación a magnitudes no geométricas y su empleo en las ciencias naturales y médicas. Sobresalen los documentos que reportan los intentos por generar teorías que abren el camino para la aritmetización de las razones entre magnitudes homogéneas y heterogéneas.

(iv) La época del inicio de la Edad Moderna, en donde se hace uso de las razones y las proporciones como lenguaje de la ciencia, y la época del surgimiento de lo que hoy se llama Álgebra —y particularmente de la Geometría Analítica— en la que se hace uso de la teoría de las proporciones en la solución de problemas geométricos, a través de procedimientos analíticos.

(v) La época de creación del Cálculo y del Análisis, en la que el lenguaje de las funciones sustituye el clásico lenguaje de las proporciones empleado por varios siglos, cayendo este último en un estado de aletargamiento.

(vi) La época de desarrollo de los trabajos del matemático alemán Julius W.R. Dedekind y del matemático y filósofo alemán Gottlob Frege, relativos a la construcción del conjunto de los números reales, en la que de manera un poco intempestiva, la teoría euclidiana parece renacer en cuanto a su protagonismo, como acicate en dichas construcciones.

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En la Tabla 3 hemos incluido algunas de las referencias identificadas para cada uno de los hitos reseñados antes.

Hito/Época Referencias bibliográficas

La escuela pitagórica (Cajori, 1928; Campos, 1994b; Filep, 1999, 2004; Gardies, 1988; González Urbaneja, 2008; Jiménez, 2006; Thorup, 1992)

La Grecia clásica (Acerbi, 2003a; Aujac, 1986; Berghout, 1974, 1975; Bongiovanni, 2005; Campos, 1994a; de la Torre, 1997; Evans, 1927; Filep, 2003; Fine, 1917; Fowler, 1979, 1980, 1981, 1982a; Gardies, 1991, 1997, 2004; Grattan-Guinness, 1996; Heath, 1908; M. J. M. Hill, 1900, 1912b, 1923, 1928; Levi, 2003; McDowell & Sokolik, 1993; Mendell, 2007; Puertas, 1991, 1994, 1996; Rusnock & Thagard, 1995; Saïto, 1994a; Zubieta, 1991)

La Baja Edad Media (Bradwardine & Crosby, 1955; Bradwardine, Rommevaux, & Oresme, 2009; de Parme, 2005; De Young, 1984, 1992, 1995, 2005; Drake, 1973; Glenie, 1777; Grant, 1960, 1972, 1975; Massa Esteve, 1997; Oresme & Grant, 1966; Rommevaux, 2013; Saïto, 1994b; Simonson, 2000b, 2000c; Vitrac, 2002)

El inicio de la Edad Moderna y del surgimiento del Álgebra

(Álvarez Jiménez, s.f; De Groot, 2000; Fernández González & Rondero Guerrero, 2004; Klein, 1968; Palmieri, 2001, 2003)

La creación del Cálculo (Craik, 2009; Goldstein, 2000; Grosholz, 1987) La construcción del conjunto

de los números reales

(Corry, 1994; Cousquer, 1994; Dummett, 1991; Griesel, 2007; Knorr, 1992; Stein, 1990; Sutherland, 2006)

Tabla 3 Algunas referencias bibliográficas identificadas para los hitos históricos

Como se puede observar, hay una buena cantidad de documentos que versan sobre la historia de las razones y las proporciones en la época dorada de Grecia; al explorar estos documentos se advierte que la teoría de las razones y proporciones expuesta por Euclides en Elementos ocupa un lugar central, ello sin dejar de considerar que esta recapitula y organiza el trabajo atribuido a Eudoxo y que en Los Data (McDowell & Sokolik, 1993) también hay un tratamiento euclidiano para estos conceptos. Este hecho nos lleva a seleccionar esta teoría como momento de la historia a estudiar. Sin embargo, aún precisamos más el objeto de estudio, bajo los siguientes argumentos:

Si bien los Libros V, VI, VII y X, de esta obra contienen información relativa a las proporciones, desde nuestra perspectiva ha merecido especial atención el Libro V, puesto que: (i) en este Euclides hace un tratamiento de la teoría de la proporción para las magnitudes geométricas; (ii) esta teoría contiene la definición de proporción, por demás ampliamente estudiada por los

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historiadores, la cual constituye la innovación central frente a la teoría de la proporción pitagórica; (iii) el Libro V maneja un nivel de generalidad sui generis en Elementos; (iv) la “proporcionalidad geométrica” no ha sido tan comentada y estudiada en la investigación didáctica (o al menos no tanto como la “proporcionalidad aritmética”) y por tanto, presenta un “sabor” especial a la reflexión; y (v) abordar el estudio de todos los libros mencionados desborda nuestras posibilidades de tiempo y espacio actuales. (Guacaneme, 2012c, p. 100)

De esta manera establecemos que la historia relativa a la teoría euclidiana de la razón y proporción del Libro V de Elementos de Euclides, reportada a través de los documentos identificados, constituye el objeto de estudio y referencia para la tesis.