5.2 Theoretical framework
5.2.4 Alternative hypotheses
Weierstrass (BW).
El concepto siguiente, en espacios m´etricos, (pero no en espacios topol´ogicos), es equivalente al concepto de conjuntos secuencialmente compactos.
Definici´on 6.2. Sean (X, dx) un espacio m´etrico y Y ⊂ X. Decimos que Y tiene la
propiedad de Bolzano-Weierstrass, si todo subconjunto infinito A de Y tiene un punto de acumulaci´on en Y .
6.3. CONJUNTOS COMPACTOS. 101 (a) X tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass (BW).
(b) X es secuencialmente compacto (SC). Demostraci´on:
⇒] Sea {xn} una sucesi´on en X y sea A el rango de la sucesi´on {xn}, es decir,
A ={xn
n ∈ N}.
Caso 1. A es un conjunto finito. Luego, existe una subsucesi´on{xnk} de {xn} constante.
y por lo tanto convergente.
Caso 2. A es un conjunto infinito. Por la hip´otesis, existe x∈ X tal que x es punto de acumulaci´on de A, luego, de igual forma como se construy´o en el teorema 3.7, se construye una subsucesi´on de{xn} que converge a x.
Por lo tanto, hemos demostrado que X es secuencialmente compacto.
⇐] Sea A ⊂ X un conjunto infinito. Existe una sucesi´on {xn} de elementos de A tal
que,
xn 6= xm, si n6= m.
Como X es secuencialmente compacto, entonces existe una subsucesi´on {xnk} y
x∈ X, tal que la subsucesi´on {xnk} converge a x. Como los elementos de la sucesi´on son
distintos, x es un punto de acumulaci´on de A.
▲ Con esta equivalencia de conceptos, podemos decir, que los resultados vistos en la sec- ci´on anterior, son v´alidos para conjuntos que tengan la propiedad de Bolzano-Weierstrass.
6.3.
Conjuntos Compactos.
El concepto de conjunto compacto, es equivalente, en espacios m´etricos, al concepto de conjunto secuencialmente compacto. Aunque menos intuitivo, su formulaci´on, resulta ´
util en la demostraci´on de algunos resultados. Cabe mencionar, adem´as, que en espa- cios topol´ogicos, este concepto es m´as d´ebil que el de secuencialmente compacto y la Propiedad de Bolzano-Weierstrass. El concepto de compacidad nos facilita el poder tra- bajar con otras nociones de compacidad.
Antes de definir el concepto de conjunto compacto, introduciremos algunos conceptos que nos facilitar´an la definici´on de Compacidad.
Definici´on 6.3. Sea A ⊂ X. Si A ⊂ Sα∈IUα, con Uα conjunto abierto en X; a la
familia {Uα}α∈I se le llama cubierta abierta de A. Si I′ ⊂ I es tal que A ⊂ Sα∈I′Uα,
entonces decimos que la subfamilia {Uα}α∈I′ es una subcubierta de A. Si, adem´as I′ es
un conjunto finito, diremos que la subfamilia es una subcubierta finita de A.
Definici´on 6.4. sea (X, dX) un espacio m´etrico X. Decimos que A⊂ X es compacto,
si toda cubierta abierta de A, tiene una subcubierta finita. Observaciones.
Sea Y ⊂ X. A diferencia del caracter de abierto y cerrado de un conjunto, el cual es una propiedad relativa, es decir, un conjunto K puede ser abierto en Y , pero no serlo en X o viceversa, el caracter de compacidad es absoluto, esto es, si K es compacto en Y , entonces es compacto en X.
Diremos que un conjunto A no es compacto, si existe una cubierta abierta de A de la cual no podemos extraer una subcubierta finita.
Ejemplos. Conjuntos compactos y conjuntos no compactos.
1. Es claro que un subconjunto finito de un espacio m´etrico, es un conjunto compacto. 2. Un conjunto infinito con la m´etrica discreta, no es compacto.Considere la cubierta abierta{{x} x ∈ X}. En realidad, A ⊂ X es compacto, si y s´olo si, es un conjunto finito.
3. Un intervalo abierto (a, b) en R, con la m´etrica usual, no es compacto. Considere la cubierta {(a + 1/n, b − 1/n)}. R con la m´etrica usual, tampoco es compacto. Considere la cubierta abierta {(−n, n)} con n ∈ N.
4. Sea A = {0} ∪ {1/n n ∈ N}. A es compacto en R con la m´etrica usual. Dada un cubrimiento abierto {Uα}α∈I, entonces, existe αo ∈ I tal que 0 ∈ Uαo. Como la
sucesi´on {1/n} converge a 0, Uαo es abierto y 0∈ Uαo, existe k∈ N tal que
1
n ∈ Uαo, para cada n≥ k.
Para cada i∈ {1, 2, . . . , k − 1}, sea Uαi tal que 1/i∈ Uαi. Por lo tanto,
A⊂
k−1[ i=0
Uαi.
6.3. CONJUNTOS COMPACTOS. 103 El siguiente ejemplo, es un resultado muy importante en R, en donde consideramos la m´etrica usual, por este hecho, lo enunciaremos como teorema.
Teorema 6.9. Sean a < b elementos de R. Entonces, el intervalo cerrado [a, b] es com- pacto en R con la m´etrica usual.
Demostraci´on: Supongamos que [a, b] no es compacto, entonces existe una cu- bierta abierta de [a, b], {Uα}α∈I, la cual no admite una subcubierta finita del intervalo.
Sea c el punto medio de [a, b], luego por la hip´otesis, al menos uno de los subintervalos [a, c], [c, b] no admite una subcubierta finita, digamos [a, c]. Obs´ervese que la longitud de este intervalo es 1
2(b−a). Sea [a1, b1] = [a, c]. Repitiendo el proceso anterior, contruyamos
una sucesi´on de intervalos encajados {[an, bn]}n∈N tal que cada [an, bn] no admite una
subcubierta finita y que tiene longitud
bn− an=
b− a 2n .
Esta sucesi´on tiende a cero, cuando n tiende a ∞.
Como R es completo, por el teorema 5.1, la intersecci´on de la sucesi´on de intervalos {[an, bn]}n∈N contiene exactamente un punto p. Sea Uβ el abierto de la cubierta que
contiene a p, entonces existe ǫ > 0 tal que (p− ǫ, p + ǫ) ⊂ Uβ, luego para esta ǫ existe
N ∈ N, tal que, para toda n ≥ N b− a
2n < ǫ y [an, bn]⊂ Uβ.
Este ´ultimo resultado, nos dice que a partir de N, dichos subintervalos [an, bn] admiten
una subcubierta finita, lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto, [a, b] es compacto. ▲ Un resultado sobre espacios secuencialmente compactos, que involucra cubiertas abier- tas, el cual utilizaremos m´as adelante, es el siguiente:
Lema 6.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico secuencialmene compacto. Para toda cubierta abierta {Uα}α∈I de X, existe ǫ > 0, tal que para todo x∈ X, se tiene que B(x, r) ⊂ Uα
para alguna α∈ I y para toda r ≤ ǫ.
Demostraci´on: Haremos la demostraci´on por contradicci´on. Supongamos que existe una cubierta abierta de X, tal que, para toda ǫ > 0, existe xǫ ∈ X donde la
bola B(xǫ, ǫ) no est´a contenida en ning´un elemento de la cubierta.
Construyamos una sucesi´on {xn} en X, de la siguiente manera: para cada n ∈ N,
sea ǫ = 1/n, entonces existe xn ∈ X tal que B(xn, 1/n) no est´a contenida en ning´un
una subsucesi´on {xnk} que converge a alg´un x ∈ X. Como la cubierta de X es abierta,
existen Uβ y B(x, r), r > 0 tales que B(x, r) ⊂ Uβ. Para esa r, existe N ∈ N tal que,
1/N < r/2 y para toda nk≥ N, d(xnk, x) < r/2, entonces, si y ∈ B(xnk, 1/nk), se tiene
d(y, x)≤ d(y, xnk) + d(xnk, x) < 1/nk+ r/2≤ r.
Luego, y ∈ B(x, r), de aqu´ı que B(xnk, 1/nk) ⊂ B(x, r) ⊂ Uβ, contrario a nuestra
hip´otesis. Por lo tanto, se cumple el teorema.
▲ Observaci´on. A este n´umero ǫ se le llama el n´umero de Lebesgue de la cubierta abierta del espacio m´etrico X.
Los siguientes teoremas, cuya demostraci´on incluiremos aqu´ı, en realidad son conse- cuencia de un resultado importante que veremos m´as adelante, pero vale la pena hacer las demostraciones, ya que nos familiarizar´an con el concepto de compacidad.
Dados dos elementos distintos x6= y en cualquier espacio m´etrico X, siempre podemos encontrar dos bolas B(x, rx) y B(y, ry), tales que B(x, rx)∩ B(y, ry) =∅. Simplemente,
tomamos r = rx = ry = 12d(x, y). Cuando un espacio cumple con esta propiedad, decimos
que es un espacio de Hausdorff. Esta propiedad de los espacios m´etricos, nos ser´a de utilidad para probar que un conjunto compacto es cerrado.
Teorema 6.10. Sea X un espacio m´etrico. Todo conjunto K ⊂ X compacto es cerrado y acotado.
Demostraci´on: Sea K ⊂ X compacto. Probaremos que KC es abierto. Sea
x ∈ KC. Para cada y ∈ K, existe r
y > 0, tal que B(y, ry)∩ B(x, ry) = ∅. La fami-
lia{B(y, ry)∩ K} contituye una cubierta abierta de K, como K es compacto, existe una
subcubierta finita para K, es decir, K ⊂ n [ i=1 B(yi, ryi) .
Sea r = m´ın{ry1, ry2, . . . , ryn}. Entonces B(x, r) ∩ K = ∅, de aqu´ı que, x es un punto
interior de KC y por lo tanto K es cerrado.
Demostraremos ahora, que K est´a acotado. La familia{B(y, 1) ∩ K y ∈ K} es una cubierta abierta de K, luego, por la compacidad de K, existe una subcubierta finita, es decir, existen y1, y2, . . . , yn elementos de K tales que
K ⊂ n [ i=1 B(yi, 1) .
6.3. CONJUNTOS COMPACTOS. 105 Luego, K es un conjunto acotado.
▲ El rec´ıproco no es necesariamente cierto, por ejemplo, en cualquier espacio X infinito, que tenga la m´etrica discreta, la bola cerrada B[x, 1] = X es un conjunto cerrado y acotado, pero no es compacto.
Sin embargo, si el espacio m´etrico es compacto, s´ı tenemos el siguiente resultado: Teorema 6.11. En un espacio m´etrico compacto X, todo conjunto cerrado es compacto.
Demostraci´on: Sean X compacto y K ⊂ X cerrado. Sea {G′
α}α∈I una cubierta
abierta de K con la m´etrica inducida, es decir, G′
α = Gα∩ K con Gα abierto en X. La
familia {Gα} ∪ (X − K) es una cubierta abierta de X, como X es compacto, existe una
subcubierta finita para X, digamos G1, G2, . . . , Gn, X−K, luego, G′1, G′2, . . . , G′nson una
subcubierta finita para K, es decir, K es compacto.
▲ Observaci´on. S´olo se necesit´o que el conjunto fuese cerrado para asegurar la compaci- dad del mismo.
Cuando las bolas cerradas en un espacio m´etrico son conjuntos compactos, el rec´ıproco del teorema 6.10 es cierto.
Teorema 6.12. En un espacio m´etrico X, donde las bolas cerradas son compactas, todo conjunto cerrado y acotado K es compacto.
Demostraci´on: Sea K un conjunto cerrado y acotado. por ser K acotado, existe una bola cerrada B que contiene a K, como B es compacto y K cerrado, por el teorema 6.11 se concluye que K es compacto.
▲ Demostramos en el teorema 6.9 que un intervalo cerrado y acotado en R, con la m´etrica usual, es compacto. En realidad, un intervalo cerrado y acotado es una bola cerrada; entonces, como consecuencia del teorema 6.12, tenemos el siguiente resultado. Corolario 6.1. EnR, con la m´etrica usual, un subconjunto A ⊂ R es cerrado y acotado, si y s´olo si, es compacto.
EnRntambi´en se cumple este resultado, es decir, un subconjunto deRnes compacto,
si y s´olo si, es cerrado y acotado. Esto no lo demostraremos. Tambi´en recu´erdese que en espacios m´etricos, esta equivalencia no es v´alida en general, sin embargo, tenemos las siguientes equivalencias de compacidad.