El método de solución para cada uno de estos casos es muy semejante, en cada problema se presenta una condición y con base en ello, se escribe la ecuación de la familia de rectas que cumplan con dicha condición; la ecuación resultante contiene un parámetro que se calcula por medio de la condición de tangencia.
Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la recta tangente trazada del punto A (11, 4) a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y = 0 (doble solución).
Al aplicar la ecuación punto y pendiente de la recta, se tiene que la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto dado A (11, 4), es:
y – y1 = m (x – x1) y – 4 = m (x – 11)
En la ecuación, m representa la pendiente de la recta tangente por determinar; al despejar con respecto a y, tenemos:
y – 4 = m (x – 11) y – 4 = m x – 11m
y = mx – 11m + 4
Al sustituir esta igualdad en la ecuación de la circunferencia, resulta:
x2 + y2 – 8x – 6y = 0 x2 + (mx – 11m + 4)2 – 8x – 6 (mx – 11m + 4) = 0
x2 + m2x2 + 121m2 + 16 – 22m2x + 8mx – 88m – 8x –6mx +66 m – 24 = 0
83 (1 + m2) x2 – (22m2 – 2m + 8) x + (121m2 – 22m – 8) = 0 Esta última ecuación está escrita en la forma ax2 + bx + c = 0; si se aplica la condición de tangencia, debemos comprobar que b2 – 4ac = 0, es decir:
- (22m2 – 2m + 8)2 – 4 (1 + m2 ) (121m2 – 22m – 8) = 0 484m4 + 4m2 + 64 – 88m3 + 352m2 – 32m – 484m2 + 88m + 32 – 484m4 + 88m3 + 32m2 = 0 -96m2 + 56m + 96 = 0 Al simplificar tenemos: -12m2 + 7m + 12 = 0 Al multiplicar por (-1), tenemos:
12m2 – 7m – 12 = 0 Al factorizar: (4m + 3) (3m – 4) = 0 4m + 3 = 0 3m – 4 = 0 m1 = - 3 m2 = 4 4 3
Las ecuaciones de las tangentes son: Para m1 = - 3 4 y – 4 = m1 (x – 11) y – 4 = - 3 (x – 11) 4 3x + 4y – 49 = 0 Para m2 = 4 3 y – 4 = m2 (x – 11) y – 4 = 4 (x – 11) 3 4x – 3y – 32 = 0
Las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto A(11, 4) a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 6y = 0, son: 3x + 4y – 49 = 0 y 4x – 3y – 32 = 0.
84 Determinar las ecuaciones de la tangente a la circunferencia x2 + y2 – 14x – 10y + 49 = 0 en el punto A (4, 1).
Al aplicar la ecuación punto y pendiente de la recta, se tiene que la ecuación de la familia de rectas que pasan por el punto dado A (4, 1), es:
y – y1 = m (x – x1 ) y – 1 = m (x – 4)
Si se despeja para y, tenemos:
y = mx – 4m + 1
Al sustituir esta igualdad en la ecuación de la circunferencia, resulta:
x2 + y2 – 14x – 10y + 49 = 0 x2 + (mx –4m + 1)2 – 14x – 10 (mx – 4m + 1) + 49 = 0
x2 + m2x2 + 16m2 + 1 - 8m2x + 2mx – 8m – 14x - 10 mx + 40m – 10 + 49 = 0 x2 + m2x2 – 8m2x - 8mx – 14x +16m2 + 32m + 40 = 0 (1 + m2) x2 – (8m2 + 8m + 14) x + (16m2 + 32m + 40) = 0 Esta última ecuación está escrita en la forma ax2 + bx + c = 0; al aplicar la condición de tangencia, debemos comprobar que b2 – 4ac = 0, es decir:
- (8m2 – 8m + 14)2 – 4 (1 + m2 ) (16m2 + 32m + 40) = 0 4m4 + 64m2 + 196 + 128m3 + 224m2 + 224m – 64m2 - 128m - 160 - 64m4 - 128m3 – 160 m2 = 0 64m2 + 96m + 36 = 0 Al simplificar: 16m2 + 24m + 9 = 0 Al factorizar: (4m + 3) (4m + 3) = 0 4m + 3 = 0 4m + 3 = 0 m1 = - 3 m2 = - 3 4 4
La ecuación de la tangente es:
y – 1 = m (x – 4) y – 1 = - 3 ( x – 4) 4
4y – 4 = -3x + 12 3x +4y – 16 = 0
85 1.3.3 Ecuación de la circunferencia a partir de tres condiciones.
Analizando las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia, notarán que hay tres valores independientes: “h”, “k” y “r” en la primera y D, E, F en la segunda. Significa que, como toda circunferencia, puede plantearse analíticamente con cualquiera de las formas mencionadas, sólo se requiere encontrar el valor de tres constantes. Esto se logra con tres ecuaciones que pueden obtenerse a partir de tres condiciones independientes.
Geométricamente, el trazo de la circunferencia requiere también de tres condiciones independientes para quedar perfectamente determinada. Estas pueden ser tres puntos, dos puntos y una recta que contenga al centro, tres rectas que formen un triángulo inscrito o circunscrito a una circunferencia, etc.
El objetivo será plantear adecuadamente las condiciones dadas en sistemas de ecuaciones.
Ejemplo 1:
Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, - 3), B(4, - 1) y C(2, 1).
Solución: como la circunferencia pasa por estos puntos, cada uno de ellos debe satisfacer a la fórmula general, por lo cual se sustituyen “x” y “y” en la ecuación por los valores de las coordenadas de los puntos.
Para A(2, -3) queda 22 + (-3)2 + 2D - 3E + F = 0 para B(4, -1) queda 42 + (-1)2 + 4D – 1E + F = 0 para C(2, 1) queda 22 + 12 + 2D + 1E + F = 0
Formándose un sistema 3x3 que ya reducido se expresa: 2D – 3E + F = - 13
4D – E + F = - 17 2D + E + F = -5
Al resolver este sistema con uno de los métodos ya estudiados, en cursos anteriores, nos quedan los siguientes resultados.
D = -4 E = 2 F = 1 sustituyendo estos valores en la forma general:
x2 + y2 + Dx + Ey +F = 0
86 •
•
C (2,-1)
r = 2
X2+ y2 –4x + 2y + 1 = 0
que es la ecuación de la circunferencia buscada. Su centro y su radio están dados por:
h = - D k = - E y r = D2 + E2 – 4F 2 2 4
h = - (-4) = 2 k = - 2 = -1 y r = 16 + 4 – 4 = 2 2 2 4
de modo que, la gráfica correspondiente es: (Ver figura ). Y | | 0 x ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1. Encuentra la ecuación de la circunferencia en la forma ordinaria y redúcela a la forma general.
a) Centro en (-6,4), radio 8. b) Centro en (-2, -5), radio 4.
2. Encuentra el centro y el radio de las siguientes circunferencias: a) (x – 6)2 + (y + 4)2 = 25 b) (x + 3)2 + (y – 1)2 = 100 c) x2 + y2 – 20x + 40y + 379 = 0 d) 3x2 + 3y2 + 36x – 12y = 0
•
C (2,-1) r =287 3. Encuentra las ecuaciones de las circunferencias que cumplen las siguientes
condiciones:
a) Tiene su centro en (-4, -2) y pasa por (2, 5). b) Tiene su centro en (-5,6) y es tangente al eje x.
c) Tiene su centro en (3,4) y es tangente a la recta cuya ecuación es 4x – 2y + 10 = 0. 4. Graficar las circunferencias que se dan en los incisos a, b, c del problema 3
5. Describir el lugar geométrico que representa cada una de las siguientes ecuaciones: a) x2 + y2 – 10x + 8y + 5 = 0
b) 4x2 + 4y2 + 28x – 8y + 53 = 0 c) 16x2 + 16y2 – 64x + 8y + 177 = 0
6. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: a) A(0, 0), B(3, 6) y C(7, 0).
7. Encuentra la ecuación de la circunferencia con radio = 5 y tangente a la recta
3x + 4y - 16 = 0 en (4, 1).
8. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por A (3, 2) y B (-1, 6) y su centro está sobre la recta 6x + 15y + 3 = 0.
9. Encuentra la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia al orígen es siempre el triple de su distancia al punto (8,0).
10. Determina la ecuación de la tangente a cada una de las circunferencias dadas en el punto indicado.
1. x2 + y2 – 8x – 2y + 7 = 0 en A (1,2) 2. x2 + y2 – 2x – 6y - 3 = 0 en A (-1,6) 3. x2 + y2 – 100 = 0 en A (6, -8)
88 11. Determina la ecuación de la tangente a cada una de las circunferencias dadas y que tengan la pendiente que se indica (todos los problemas tienen doble solución).
1. x2 + y2 – 4x – 16y + 43 = 0 para m = 3 / 4 2. x2 + y2 + 8x – 12y + 34 = 0 para m = -1
3. x2 + y2 – 10x + 2y + 18 = 0 para m = 1 4. x2 + y2 – 8x – 6y + 20 = 0 para m = - 2 / 3 ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN
I. Encuentra la ecuación de cada una de las siguientes circunferencias.
a) Centro en (0, -5), radio 8.
b) Tiene su centro sobre la recta y = x, es tangente a ambos ejes y radio igual a 4 c) Tiene su centro en el origen y es tangente a la recta x + y = 6
d) Circunscrita al triángulo de vértices: A(6, 2), B(7, 1) y C(8, -2)
II. Encuentra el centro y el radio de la siguiente circunferencia.
9x2 + 9y2 + 72x – 12y – 103 = 0
III. Encuentra el área del círculo y el perímetro de la circunferencia.
7x2 + 7y2 + 4x – 82y + 55 = 0
IV. Demuestra que los puntos (5,0), (5,-8), (4,1) y (5, 2) están sobre una misma circunferencia.
V. Determina la ecuación de la tangente a la siguiente circunferencia en el punto indicado.
89 Sin duda alguna conoces este dibujo:
¿Qué representa? ¿En que se utiliza? ¿Cómo funciona?
¿Quieres aprender más sobre la forma de esta antena?
Analiza los contenidos que a continuación se presentan y descubre nuevos conocimientos sobre la:
1.4 LA PARÁBOLA
La parábola es una trayectoria común en nuestra vida cotidiana. Es el recorrido que sigue cualquier objeto cuando lo lanzamos con cierta velocidad e inclinación respecto a la horizontal. Este movimiento queda dibujado en el recorrido de las partículas de agua que salen de una manguera.
También forman parte de nuestro mundo las antenas parabólicas, en éstas cualquiera de las curvas contenidas, que pasan por el vértice de la antena es una parábola. El propósito de esta disposición es dejar las señales electromagnéticas (de televisión o de radio) de manera que todas ellas se concentren en un solo punto. Un propósito similar cumplen los espejos parabólicos de los grandes telescopios, tales como el que posee México en San Pedro Mártir, o el de Monte Palomar, en Estados Unidos.
90 Como puede apreciarse existe una gran diversidad de aplicaciones que se generan al estudiar las propiedades de una curva, en esta ocasión la trayectoria parabólica, cuya definición es:
PARÁBOLA. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz.
Se compone de los siguientes elementos como se observa en la gráfica: