El modelo CAPM, establece el rendimiento esperado de equilibrio de los activos individuales, debido que el rendimiento de cualquier activo no depende específicamente de su riesgo o desviación estándar. En el modelo CAPM, la razón por la cual todo activo individual es demandado obedece a que todos los inversionistas buscan formar el portafolio de mercado. Por este motivo, no están interesados en el riesgo individual del activo sino en su poder de diversificación al combinarlo con el portafolio de mercado. Así, si el activo tiene una covarianza baja con el portafolio de mercado, su capacidad para reducir el riesgo de este portafolio es alta. Entonces, el rendimiento de equilibrio del activo individual depende de la covarianza de éste con el portafolio de mercado, en vez de su desviación estándar.
La desviación estándar del portafolio de mercado puede expresarse alternativamente como se indica en la ecuación 2.17.
(2.17)
La expresión 2.17, establece que el riesgo del portafolio de mercado (desviación estándar), es el promedio ponderado de las covarianzas de cada activo del portafolio de inversión. Cuando un activo con baja covarianza en el portafolio se reducirá el riesgo. Por el contrario, los
48
activos con alta covarianza en el portafolio, tienden a incrementar el riesgo como se muestra en la figura 2.4.
Figura 2.4 Línea de mercado de activos individuales
.
Fuente: elaboración propia
La figura 2.4, ilustra como todos los inversionistas están interesados en conformar el portafolio de inversión en el mercado, por lo tanto, los activos con alta covarianza serán poco demandados, por tanto, su precio bajará para equilibrar la oferta con la demanda, incrementando así el rendimiento de equilibrio de activo del portafolio. Por el contrario, los activos con baja covarianza estarán excesivamente demandados, por lo que su precio subirá hasta equilibrar la oferta y la demanda, reduciendo el rendimiento de equilibrio del activo. Esto quiere decir, que las fuerzas del mercado hacen que los activos con una baja covarianza tengan menores rendimientos esperados en el mercado que aquellos activos con altas covarianzas . La línea recta relaciona con el rendimiento de equilibrio de todo activo individual con su covarianza con el portafolio de inversión en el mercado. Esta recta es conocida como la línea de mercado de activos individuales o valores.
M
49
La relación lineal, que construye el portafolio con un activo individual i el cual es ineficiente con el portafolio de inversión eficiente que está sobre la línea de mercado de capitales, en proporciones w y (1 – w), respectivamente. La desviación estándar del portafolio de inversión con dos activos se expresa en la ecuación 2.18.
(2.18)
Derivando la ecuación 2.18, con respecto a w que se obtiene la ecuación 2.19.
(2.19)
La derivada de la expresión 2.19, evaluada para w = 0, se tiene:
(2.20)
Cuando el portafolio de inversión es w = 0, entonces se tiene:
(2.21)
Por otra parte, el rendimiento medio del portafolio es:
(2.22)
Derivando con respecto a w la ecuación 2.22 se obtiene la ecuación 2.23.
50
Entonces la derivada evaluada en w=0, se obtiene mediante la regla de la cadena:
-
(2.24)
Como el portafolio de inversión que está sobre la línea de mercado de activos, y cuando w = 0 el portafolio de inversión p es el portafolio de mercado, la derivada de la ecuación 2.24, es la pendiente de la línea de mercado de capitales. De la ecuación 2.16 se conoce la pendiente de la línea de mercado de capitales es expresada en la ecuación 2.25.
, entonces se tiene
(2.25)
A partir de la ecuación 2.25, se obtiene la relación lineal del mercado de activos individuales que se expresa a continuación:
(2.26)
La ecuación 2.26, la línea de mercado de activo, indica que a mayor covarianza con el portafolio de inversión de mercado mayor es el riesgo sistemático, es decir, el riesgo no diversificable. De este modo, la expresión de la línea de mercado de activos individuales establece que el rendimiento esperado de equilibrio de cualquier activo individual es directamente proporcional con el riesgo sistemático, medido con su covarianza con el portafolio de mercado .
A diferencia de la línea del mercado de capitales, la línea de mercado de valores incluye una relación de equilibrio para activos y portafolios ineficientes. Todo portafolio, ya sea eficiente o no, estará representado por algún punto en la línea del mercado de capitales. La importancia de establecer la relación de equilibrio para portafolios ineficientes, obedece a que éstos pueden resultar ser indispensables si al ser incluidos en el
51
portafolio de mercado logran reducir el riesgo del mismo, es decir, si su riesgo sistemático es bajo.
La expresión 2.26, establece que el rendimiento de equilibrio de cualquier activo debe ser mayor al rendimiento esperado r si su covarianza con el mercado es positiva. A medida que incrementa su riesgo sistemático, los inversionistas exigirán mayores rendimientos. Por el contrario, cuando el activo posee covarianza negativa con el portafolio de mercado, el rendimiento de equilibrio del activo es menor al rendimiento esperado puesto que los inversionistas aceptan menores rendimientos porque este activo logra reducir el riesgo del portafolio de mercado. Finalmente, cuando el activo no tiene relación alguna con el mercado, su rendimiento de equilibrio es equivalente al rendimiento esperado.
El portafolio de mercado se encuentra localizado en las coordenadas del plano cartesiano donde el eje de las abscisas representa el riesgo y el eje de las ordenada el rendimiento, como se ilustra en la figura 2.4. Los activos del portafolio que se encuentren a la derecha del portafolio de mercado, poseen mayor riesgo que el del mercado y por tanto, mayor rendimiento al del mercado. Por este motivo, estos activos se catalogan como agresivos o emprendedores. Por el contrario, los activos localizados a la izquierda del portafolio de mercado tendrán un riesgo inferior al riesgo de mercado y por ende, rendimiento inferior, por lo que se catalogan como activos defensivos o conservadores.
52
Por otra parte, el coeficiente de beta de la línea del mercado de valores, se expresa en la ecuación 2.27.
(2.27)
Si beta del activo es mayor al riesgo sistemático del activo es mayor al riesgo de mercado, cuando es menor a la unidad, el riesgo sistemático es menor y cuando iguala la unidad, el riesgo sistemático es igual al riesgo de mercado. Entonces, la beta del activo indica la cantidad de riesgo sistemático de un activo en comparación con el riesgo de mercado. La línea del mercado de activos individuales expresando el coeficiente de beta de la ecuación 2.27, sustituyéndose en la ecuación 2.26, se obtiene:
(2.28)
La línea de mercado de activos, establece que el rendimiento esperado de equilibrio de cualquier activo individual, es igual al precio del dinero en el tiempo más el premio por unidad de riesgo ( - ) en proporción a
la cantidad de riesgo sistemático del activo, medido ahora por beta. En efecto, la beta de un activo individual mide su cantidad de riesgo sistemático o no diversificable en el portafolio de mercado M.
En la figura 2.6, ilustra las nuevas líneas del mercado de valores, cuando beta de un activo individual es cero indica que el riesgo sistemático del activo es cero, por tanto, su rendimiento de equilibrio es equivalente al rendimiento Los activos con Beta negativa disminuyen el riesgo del portafolio de mercado, por lo que en equilibrio, los inversionistas están dispuestos a aceptar un rendimiento inferior al rendimiento del mercado Los activos con betas positivas indican que poseen mayor riesgo, y por tanto, el rendimiento de equilibrio será superior al rendimiento esperado. El portafolio de mercado tiene una beta igual a
53
uno, pues la covarianza con él mismo es igual a su varianza, de tal forma que la expresión 2.27 resulta ser 1, como se expresa en la figura 2.5.
Figura 2.5 Línea del mercado de valores
Fuente: Elaboración propia
La figura 2.5, ilustra la línea de mercado de valores, de los activos localizados a la derecha del portafolio de mercado M se consideran activos agresivos. Estos activos se caracterizan por tener una beta mayor que la unidad, de igual modo los activos con beta inferior a uno, localizados a la izquierda de M, se catalogan como defensivos. Esta interpretación del parámetro beta ilustra la línea del mercado, la cual se relaciona con el rendimiento esperado de un activo i con el rendimiento del portafolio de mercado.
Por otra parte, la figura 2.6, muestra las diferentes combinaciones de riesgo y rendimiento del portafolio las líneas para dos activos: i, j. indicando la pendiente de la línea de mercado de valores de un activo que es igual a su beta. Así, la línea característica del portafolio de mercado tiene pendiente uno. El activo i posee una beta mayor a uno, por tanto, su línea característica tiene pendiente mayor a uno. El activo j por el
Línea de mercado de valores βi β=1 M rM ri
54
contrario es un activo defensivo porque la pendiente de su línea característica es menor a la del mercado.
Figura 2.6 Línea de mercado de valores y el coeficiente beta
Fuente: Elaboración propia
El coeficiente Beta de la línea del mercado de valores es conocido como el modelo de betas.
Por tanto, beta se encuentra expresada en términos de la varianza del portafolio de inversión y de la covarianza entre el activo individual i con el portafolio de inversión M: iM. Sin embargo utilizar beta en lugar de la
covarianza con el mercado, significa que beta puede ser estimada con el modelo diagonal de Sharpe o modelo del índice, asumiendo que el portafolio de mercado es estimado con un índice bursátil.
Por consiguiente, el modelo diagonal, expresado por el rendimiento de un activo individual i se encuentra linealmente relacionado con un índice de mercado. (2.29) βj < 1 βM = 1 βi > 1 0
55
La ecuación 2.29, es entonces la línea característica del activo i, asumiendo que el índice de mercado es estimador del portafolio de inversión en el mercado, la cual puede ser calculada mediante el método de regresión de mínimos cuadrados. De este modo, el modelo del índice es empleado para estimar las betas de los activos individuales del modelo CAPM. En efecto, estima las media, varianzas y covarianzas de los rendimientos esperados de los activos, y además, también estima las betas del CAPM, siempre que se asuma que el índice se aproxima al portafolio de inversión en el mercado. Retomando la covarianza de un activo i con un activo j, expresada en la ecuación 2.7, entonces la covarianza de cualquier activo i, con el índice de mercado (estimador del portafolio de mercado), se expresa como:
(2.30)
La beta del portafolio de inversión estimado por el índice de mercado es igual a uno, al despejar beta del activo i ( ) resulta, , expresado en la ecuación 2.27. Así mismo, beta del modelo del índice es el estimador del beta de CAPM, expresado en la ecuación 2.27. En síntesis, el modelo de valuación de activos de capital establece que el rendimiento esperando de equilibrio de cualquier activo es proporcional a su beta, es decir, a la cantidad de riesgo sistemático o de mercado que contenga dicho activo. Así, beta es la medida de riesgo en el CAPM.
56