tianos y hemi-hermítianos que actúan en espacios de dimensión finita
Los dos teoremas 5.2 y 5.3 se fundamentan en la hipótesis de que T tiene un autovalor. Como sabemos, los autovalores no existen necesariamente. No obs- tante si T actúa en un espacio complejo de dimensión finita, entonces existen siempre los autovalores puesto que son las raíces del polinomio característico. Si T es hermitiano, todos los autovalores son reales. Si T es hemi-hermitiano, todos los autovalores son imaginarios puros.
También sabemos que dos autovalores distintos pertenecen a autovectores ortogonales, si T es hermitiano o hemi-hermitiano. Usando esta propiedad se puede probar que T tiene un conjunto ortonormal de autovectores que engendran todo el espacio. (Recordemos que un conjunto ortogonal se llama ortonormal si cada uno de sus elementos tiene norma 1.) .
TEOREMA 5.4. Supongamos que dim V =n y sea T: V ~ V hermitiano o
hemi-hermitiano. Existen entonces n autovectores U1, ••• ,Un de T que forman
una base ortonormal para V. Por tanto, la matriz de T relativa a esta base es la
matriz diagonalA =diag(.\1' ... , ,\,.),en donde .\k es el autovalor perteneciente
a Uk •
Demostración. Utilicemos el método de inducción respecto a la dimensión
n. Si n = 1, entonces T tiene exactamente un autovalor. Cualquier autovector
U1 de norma 1 es una base ortonormal para V .
Supongamos ahora el teorema cierto para todo espacio euclídeo de dimen- sión n-l. Para demostrar que es cierto para Velijamos un autovalor ~ para
Representación matricial para operadores 149
T Y un autovector correspondiente Ul de norma 1. Entonces T(ul) = A1Ul y
Jlulll
=1 . Sea S el subespacio engendrado por Ul • Aplicaremos la hipótesis deinducción al subespacio S1. que consta de todos los elementos de V que son orto- gonales a U1 ,
S1-
=
{xI
x E V, (x, ul)=
O}.Para ello necesitamos saber que dimS1. =n-1 y que Taplica S1. en sí mismo. Según el teorema 1.7 a) sabemos que u, es parte de una base para V, sea ésta la base (ul ,V2 , ••• ,vn). Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que
ésa es una base ortonormaI. (Si no 10 fuera, aplicaríamos el método de Gram- Schmidt para convertirla en tal, manteniendo U1 como primer elemento de la
bas- ) Tomemos seguidamente un x cualquiera en S1. y escribamos
Entonces Xl
=
(x, ul)=
O ya que la base es ortonormal, así que x pertenece alespacio engendrado por V2,"" Vn• Luego dimS1. = n-l.
Demostremos a continuación que T aplica SJ...en sí mismo. Supongamos que
T es hermitiana. Si x E S1. tenemos
(T(x), ul) =(x, T(ul)) =(x, Alul) =Al(X,ul) =O,
por 10que T(x) E s1.. Puesto que T es hermitiana en S1.podemos aplicar la hi- pótesis de inducción encontrando que T tiene n - 1 aujovectores U2 , ••• .u; que
constituyen una base ortonormal para S1.. Por lo tanto, el conjunto ortogonal
Ul , ••• ,Un es una base ortonormal para V. Esto demuestra el teorema si T es
hermitiana. Argumento similar aplicaremos si T es hemi-hermitiana.
5.7 Representación matricial para operadores hermitianos y hemi-hermitianos Suponemos en esta sección que V es un espacio euclídeo de dimensión fini- tao Una transformación hermitiana o hemi-hermitiana puede caracterizarse por su acción sobre los elementos de una base cualquiera.
TEOREMA 5.5. Sean (el' ... , en) una base para V y T: V ~ V una trans- formación lineal. Tenemos entonces:
a) T es hermitiana si y sólo si (T(ej), e¡)
=
(ej, T(e¡» para todo par i,j.b) Tes hemi-hermitiana siy sólo si(T(ej),e¡)= - (ej, T(e¡»para todo par i, j.
semos cada uno en función de los elementos de la base, sean x =
!
x.e, ey =
!
y¡e¡. Tenemos entoncesDel mismo modo encontramos
n n
(x, T(y» =
! !
xiYi(ei, T(ei)).i=1i=l
Las proposiciones a) y b) se deducen al momento a partir de esas ecuaciones. Vamos a expresar estos conceptos por medio de la representación matricial de T.
TEOREMA 5.6. Sea (el' ... ,en) una base ortonormal para V, y sea A =(ai) la representación matricial de una transformación lineal T: V ~ V respecto de esa base. Tenemos entonces:
a) T es hermitiana si y sólo si a.,
=
aii para todo par i,i.b) T es hemi-hermitiana si y sólo si ai;
=
-a;; para todo par i,i.
Demostración. Puesto que A es la matriz de T tenemos T(ej) =!~=1 akiek.
Tomando el producto interior de T(ej) por e¡y teniendo en cuenta la linealidad del producto interior obtenemos
Pero (ek, e¡) = O salvo si k = i, así que la última suma se reduce a
aij(e¡,e¡)
=
au 'ya que (e¿ei)=
1 . Luego resultaai;=(T(ei), ei) para todo par i, j.
Intercambiando i Yj, tomando los conjugados, y teniendo en cuenta la simetría hermitiana del producto interior, encontramos
a;i
==
(e;, T(ei» para todo par i,i.Para completar. la demostración basta aplicar ahora el teorema 5.5. 5.8 Matrices hermitianas y hemi-hermitianas, Matriz adjunta de una matriz
Diagonalizaci6n de una matriz hermitiana o hemi-hermitiana 151
DEFINICIÓN. Una matriz cuadrada A
=
(a¡/) se denomina hermittana . siaii=aupara todo par i, j. Se dice que A es hemi-hermitiana si a;i=-a¡i para
todo par i,j.
El teorema 5.6 establece que una transformaci6n T en un espacio V de di- mensión finita es hermitianao hemi-hermitiana según que su matriz relativa a una base ortonormal sea hermitiana o hemi-hermitiana.
Esas matrices pueden introducirse de otra manera. Llamemos
A
la matriz obtenida reemplazando cada elemento de A por su complejo conjugado. La ma- triz A se llama la conjugada de A. La matriz A es hermitiana si y sólo si es igual a la transpuesta de su conjugada A=
At. Es hemi-hermitiana si A= -
At .La transpuesta de la conjugada recibe un nombre especial.
DEFINICIÓN DE MATRIZ ADJUNTA DE UNA MATRIZ DADA. Dada una matriz
cualquiera A, la transpuesta de la conjugada, At, se llama también adjunta de A
y se representa por A
* .
Así pues, una matriz cuadrada A es hermitiana si A =A*, y hemi-hermi- tiana si A = - A ". Una matriz hermitiana se llama también auto-adjunta.
Observación: Gran parte de la antigua literatura relativa a matrices utiliza la denomi- nación deadjunta para la transpuesta de la matriz cofactor, que es un ente completa, mente distinto. La definición dada aquí está de acuerdo con la nomenclatura actual de la teoría de operadores lineales.
5.9 Díagonalízacíén de una matriz hermitiana o hemi-hermitíana
TEOREMA 5.7. Toda matriz A, nXn, hermitiana o hemi-hermitiana es se-
mejante a la matriz diagonal A= diag P'l , ... ,.\",) de sus autovalores. Además,
tenemos
A =e-IAC,
en donde
e
es una matriz no singular cuya inversa es su adjunta, C-l = C*.Demostración. Sea V el espacio de las n-plas de números complejos, y
sea (el"'" e,,) la base ortonormal de vectores coordenados unitarios. Si
x
=!
xie¡ e y= !
v,e; consideremos el producto interior dado por (x, y)=
=
!
x;y;. Para la matriz dada A, sea T la transformación representada por Arelativa a la base elegida. Entonces el teorema 5.4 nos dice que V tiene una base ortonormal de autovectores (ul, ••• ,u,,), respecto a la cual T tiene una repre-
teneciente a ui . Puesto que tanto A como A representan T,serán semejantes, así que tenemos A
=
C-1AC, donde C=
(Ci¡) es la matriz no singular que relacionalas dos bases:
Esta 'ecuación muestra que la columna j de C consta de los componentes de
U¡ respecto a (el' ... ,en)' Por consiguiente, Ci¡ es el componente i-ésimo de U¡.
El producto interior de U¡ y u, viene dado por n
(uj, ui)
=
LCkiéki•k=l
Puesto que {ul , ••• ,Un} es un conjunto ortonormal, eso demuestra que CC* =1,
con 10 que C-l =C* .
Observación: La demostración del teorema 5.7 nos dice también la manera de deter- minar la matriz diagonalizante C. Encontramos un conjunto ortonormal de autovectores u, , ... ,Un y luego utilizamos los componentes de U¡ (relativos a la base de vectores
coordenados unitarios) como elementos de la columna i de C.
EJEMPLO 1. La matriz real hermitiana A =
G :]
tiene los autovaloresAl = 1 YA2 =6. Los autovectores pertenecientes a 1 son t(2, -1), t =1=O. Los
pertenecientes a 6 son t(l,2), t =1=O. Los dos autovectores u«= t(2, -1) Y
u =t(l, 2) con t =
1/..15
constituyen un conjunto ortonormal. Por consiguiente, la matrizC - _1 [ 2 21]
- J5
-1es un~ matriz diagonalizante para A. En este caso C*~ C' puesto que C es real.
Fácilmente se comprueba que CtAC = [: ~].
EJEMPLO 2. SiA es ya una matriz diagonal, la matriz diagonalizante C del
teorema 5.7 o bien deja invariable A o tan sólo reordena los elementos diagonales.