Hemos visto cómo las matrices se presentan espontáneamente como represen- taciones de las transformaciones lineales. También se pueden considerar las ma- trices como elementos existentes con independencia de las transformaciones linea- les. Como tales elementos, forman otra clase de objetos matemáticos que pueden definirse por medio de las operaciones algebraicas que pueden realizarse con ellos. La relación con las transformaciones lineales da origen a esas definiciones, pero tal relación será por el momento ignorada.
Sean m y n dos enteros positivos y sea 1m•n el conjunto de todos los pares de
enteros (i,;) tales que 1::;; i ::;;m, 1 ::;; ; ::;;n. Cualquier función A cuyo dominio sea L; .••se denomina matriz m X n. El valor de la función A(i,;) se llama elemen-
to
i;
de la matriz y se designará también por aij. Ordinariamente se disponen todos los valores de la función en un rectángulo que consta de m filas y n co- lumnas, del modo siguienteaIl a12 a¡n
Los elementos a¡¡pueden ser objetos arbitrarios de naturaleza cualquiera. Normal- mente serán números reales o complejos, pero a veces conviene considerar matrices cuyos elementos son otros objetos, por ejemplo, funciones. También designaremos las matrices mediante la notación abreviada
o A =(a;;) .
Si m =n, la matriz se llama cuadrada. Una matriz 1 X n se llama matriz fila;
una matriz m X 1 es una matriz columna.
Dos funciones son iguales si y sólo si tienen el mismo dominio y toman los mismos valores en cada elemento del dominio. Puesto que las matrices son fun- ciones, dos matrices A =(a¡¡)yB = (b;¡)son iguales si y sólo si tienen el mismo número de filas, el mismo número de columnas, e iguales elementos
a.,
=b., para cada par (i, j).Supongamos ahora que los elementos son números (reales o complejos) y definamos la adición de matrices y la multiplicación por escalares siguiendo el mismo método que para funciones reales o complejas cualesquiera.
DEFINICIÓN. Si A
=
(a;¡)y B=
(b;;) son dos matrices m X n y si e es unescalar cualquiera, definimos las matrices A
+
B y cA del modo siguienteLa suma sólo se define cuando A y B tienen el mismo tamaño m X n.
EJEMPLO. Si A = [
1 2 -3]
-1 O 4 y tenemos entonces [6 2 A+B= O -2[ 2 4 -6]
2A = -2 O 8' [-5 O (-l)B = -1 2-1] .
-3Definimos la matriz O como la matriz m X n cuyos elementos son todos O. Con esas definiciones, es inmediato el ejercicio de comprobar que el conjunto de todas las matrices m X n es un espacio lineal. Lo designamos con Mm,n. Si los ele- mentos son números reales, el espacio Mm,n es un espacio lineal real. Si son nú- meros complejos, Mm n es un espacio lineal complejo. Es también fácil demostrar
Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices 65
que este espacio es de dimensión m X n. En efecto, una base para Mm,n consta de mn matrices que tienen un elemento igual a 1 y todos los demás iguales a O. Por ejemplo, las seis matrices
[1
°
0],
° ° °
[O 1 0],
° ° °
[O
°
1], [0
°
0],
° ° °
1° °
[O
°
0],
010[O
°
0],
001forman una base para el conjunto de todas las matrices 2 X 3.
2.14 Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices
Volvamos ahora a la relación entre matrices y transformaciones lineales. Sean V y W dos espacios lineales de dimensión finita con dimV=n y dimW=m.
Elijamos una base (el, ... , en) para V y otra (wi • ... ,Wm) para W. En esta discusión esas bases se mantienen fijas. Designemoscon JttV, W) el espacio lineal 'de todas las transformaciones lineales de V en W. Si TEi2'(V, W), sea m(T) la
matriz de T relativa a las bases dadas. Recordemos que m(T) se define como sigue. La imagen de cada elemento base ek se expresa como una combinación lineal de los elementos base de W:
(2.19) T(e m
k)
=I
tikWi para k=
1,2, . , . ,n .l=l
Los multiplicadores escalares tn son los elementos ik de meT)oAsí pues, tenemos (2.20)
La ecuación (2.20) define una nueva función m cuyo dominio es 2'(V, W) y cuyos valores son matrices de Mm,n. Puesto que toda matriz m X n es la matriz
m(T) para una cierta T de 2'(V, W), el recorrido de m es Mm.n• El teorema si- guiente prueba que la transformación m: 2'(V, W) --+Mm,n es lineal y uno a uno
en 2'(V, W).
TEOREMA 2.15. TEOREMA DE ISOMORFISMO. Para cualesquiera S y T de
2'( V,W) y todos los escalares e, tenemos
mi S
+
T) =meS)+
m(T) y m(cT)=
cm(T) .Además,
meS)
=
m(T) implica S=
T,Demostración. La matriz m(T) está formada con los factores tu. de (2.19). Del mismo modo, la matriz m(S) está constituida con los factores Sik de las ecua- ciones
(2.21)
m
S(ek)
= ~
SikWi para k=
1,2, ... ,n .i=l
Puesto que tenemos
m
(S
+
T)(ek)=
L
(Sik+
tik)Wii=l
y
m
(cT)(ek)
=
L
(ctik)Wi ,i=l
obtenemos m(S
+
T) =(Sik+
tik) =m(S)+
m(T) y m(cT) = (ct¡Ü = cm(T).Esto demuestra que m es lineal.
Para demostrar que m es uno a uno, supongamos que m(S) =m(T), siendo S =(Sik) y T =(tik). Las ecuaciones (2.19) y (2.21) demuestran que S(ek) =
= T(ek) para cada elemento base es,así que S(x) =T(x) para todo x de V, y por tanto S = T.
Observación: La función m es un isomorfismo. Elegidas unas bases, m establece una correspondencia uno a uno entre el conjunto de las transformaciones.:t' (V, W) y
el conjunto M •••.•de las matrices m X n. Las operaciones de adición y multiplicación por escalares se conservan a través de esa correspondencia. Los espacios lineales.:t' (V, W) y M«; se dice que son isomorfos Incidentalmente, el teorema 2.11 demuestra que el dominio de una transformación lineal uno a uno tiene la dimensión igual a su recorrido. Por consiguiente, dim.:t'(V. W)
=
dimM •••.•=
mn.Si V =W y elegimos la misma base para ambos, la matriz m(l) correspon- diente a la transformación idéntica 1: V ~ V es una matriz diagonal con los ele- mentos de la diagonal iguales a 1 y todos los demás iguales a O. Esta se llama
identidad o matriz unidad y se designa con 1 o con In.
2.15 Multiplicación de matrices
Algunas transformaciones lineales pueden multiplicarse por medio de la com- posición. Definiremos ahora la multiplicación de matrices de manera que el pro- ducto de dos matrices corresponda a la composición de las transformaciones linea- les que ellos representan.
Recordemos que si T:U ~ V YS:V ~ W son transformaciones lineales, su composición ST: U ~ W es una transformación lineal dada por
ST(x) =S[T(x)] para todo x de U.
Supongamos que U, V, YW son de dimensión finita, por ejemplo
Multiplicación de matrices 67
Elijamos bases para U, V, YW. Con relación a esas bases m(S) es una matriz
m X p, T es una matriz p X n, y ST es una matriz m X n . La si-
guiente definición de multiplicación de matrices nos permite deducir la relación
m(ST) = m(S)m(T). Esto extiende a los productos la propiedad de isomorfismo.
DEFINICIÓN. Sean A una matriz m X p cualquiera, y B una matriz p X n cualquiera, tales como
y
El producto AB se define como la matriz m X n, C=(Ci¡), cuyo elemento ij viene dado por
(2.22)
1>
C¡i = ~a¡kbki •
k~l
Observación: El producto AH sólo está definido si el número de columnas de A l':~igual al de filas de R
Si escribirnos A¡ para expresar la fila i de A y B' para la columna
j de B, y las imaginamos corno vectores de dimensión p, la suma (2.22) es sim- plemente el producto escalar A¡' B'. Es decir, el elemento ij de AB es el producto escalar de la fila i deA por la columna j de B:
AB - (A . Bi)m,n - i i,i=l'
Así pues, la multiplicación de matrices puede considerarse corno una generaliza- ción del producto escalar.
'J.MPu> I Sean A
=[_~ ;
~J
y B= [~
-:J
Puesto que A es 2 X 3 YB es 3 X 2, el producto AB es la matriz 2 X 2Los elementos de AB se calculan así
Al .Bl
=
3 . 4+
1 . 5+
2· O=
17, Al' B2=3· 6+
1 . (-1)+
2·2=
21 ,EJEMPLO 2. Sea
y
Aquí A es 2 X 3 YB es 3 X 1, con lo que AB es la matriz 2 X 1 dada por
A B
=[A
1 •Bl]
= [-9] ,
A2• Bl 8
Puesto que Al' Bl = 2 . (-2)
+
1 . 1+
(-3) ·2= -9 Y A2' Bl = 1 .(-2)+
+
2· 1+
4 . 2=
8.EJEMPLO 3. SiA YB son dos matrices cuadradas del mismo tamaño, enton- ces AB y BA están definidas. Por ejemplo, si
y
encontramos que
[13 8]
AB= ,
2 -2 BA
=
[-1 l0]
3 12.
Este ejemplo prueba que en general AB =1=BA. SiAB =BA, decimos que A y B
son permutables o que conmutan.
EJEMPLO 4. SiIp es la matriz identidad p X p,entonces IpA =A para toda
matriz A, p X n, y Bl¿ =B para toda matriz B, m X p. Por ejemplo:
Demostramos seguidamente que la matriz de una composición ST es el pro- ducto de las matrices meS) y m(T).
Multiplicación de matrices 69
TEOREMA 2.16. Sean T: V -+ V y S:V -+ W dos transformaciones lineales, donde V, V, W son espacios lineales de dimensión finita. Entonces, elegidas unas
bases fijas, las matrices de S, T YST están relacionadas por la ecuación
m(ST) =m(S)m(T) .
Demostración. Supongamos que dim V
=
n, dimV=
p, dimW=
m. Sean(u1 , ••• , Un) una base para V, (Vl , ••• , vp) una base para V,y(w1 , ••• , wm) una
base para W. Con relación a esas bases tenemos
m
meS)
=
(Sij);:j~1 , donde S(vk)=
I
SikWi para k=
1,2, ... ,p, i=1y
"
m(T)
=
(tij):'j:¡, donde T(uj)=
2,tkjVk para j=
1,2, ... ,n.k=1
Por consiguiente, tenemos
con ello encontramos que
Ya hemos observado que la multiplicación de matrices no siempre satisface la ley conmutativa. El teorema siguiente prueba que satisface las leyes asociativa
y distributiva.
TEOREMA 2.17. LEYES ASOCIATIVA Y DISTRIBUTIVA PARA LA MULTIPLICA-