En esta sección demostramos que dos representaciones matriciales distintas de una transformación lineal tienen el mismo polinomio característico. Para ello estudiamos con mayor cuidado la relación entre las matrices que representan la misma transformación.
Recordemos cómo se definen las representaciones matriciales. Supongamos
que T: V ~ W sea una aplicación de un espacio n-dimensional V en un espacio
m-dimensional W. Sean (el' ... , en) y (W1 , ••• ,wm) bases ordenadas para V y
W respectivamente. La representación matricial de T relativa a las bases elegidas es la matriz mXncuyas columnas constan de los componentes deT(el) , ••• ,T(en)
respecto a la base (w1 , ••• ,wm). Partiendo de bases distintas se obtienen repre-
sentaciones matriciales distintas.
Consideremos ahora el caso en el que V =W, y supongamos que se utiliza la misma base (el' ... , en)para V y para W. Sea A =(aik) la matriz de T relativa a esta base. Esto significa Que
(4.8) T(ek) =
!••
aikei para k:;= 1,2, ... ,n.i=l
Elijamos ahora otra base (u-¡ , .•• , u.,) para V yW y seaB
=
(bkj) la matriz deTrelativa a esta nueva base. Entonces tenemos
(4.9) T(ui)
=!
•• bkiUk para j=
1, 2, ... ,n .Matrices que representan la misma transformación lineal 135
Ya que cada Uj pertenece al espacio engendrado por el , ... ,en podemos es-
cribir
(4.10)
n
uj=!ckjek para j=1,2, ... ,n,
k=l
para un cierto conjunto de escalares Ckj. La matriz nXn C= (ckj) determinada por esos escalares es no singular puesto que representa una transformación lineal que aplica una base de V en otra base de V.Aplicando T a los dos miembros de (4.10) también obtenemos las ecuaciones
(4.11) T(uj) =!ckjT(ek)
••
para j = 1,2, ... ,n. k=lLos sistemas de ecuaciones del (4.8) al (4.11) pueden escribirse con mayor simplicidad en forma matricial introduciendo matrices cuyos elementos sean vec- tores. Sean
y
matrices fila 1 Xn cuyos elementos son los de la base que se considera. Entonces el conjunto de ecuaciones (4.10) puede escribirse mediante una ecuación matricial única,
(4.12) U=EC.
Análogamente, si introducimos
y U' = [T(u1), ••• , T(un)],
Las ecuaciones (4.8), (4.9) Y (4.11) se convierten respectivamente en
(4.13) E'=EA, U'= UB, U'=E'C.
A partir de (4.12) también se obtiene
Para hallar la relación entre A y Bexpresamos U' de dos maneras en función de U.De (4.13) tenemos
U'
=
UBy
U'
=
E'C=
EAC=
UC-IAC.Por lo tanto UB= UC-lAC. Pero cada elemento en esta ecuación matricial es una combinación lineal de los vectores base Ul, ••• ,l4t. Puesto que los u¡ son inde-
pendientes debe ser
B= C-lAC.
Con ello, hemos demostrado el siguiente teorema.
TEOREMA 4.6. Si dos matrices nXn A y B representan la misma transfor-
mación lineal T, existe una matriz no singular C tal que
B= C-IAC.
Además, si A es la matriz de T relativa
a
una base E = [el' ... , en] y B lamatriz de T relativa a la base U = [U¡ , ... ,Un], entonces como Cpodemos tomar
la matriz no singular que relaciona las dos bases a través de la ecuación matricial
U=EC.
También es cierto el recíproco del teorema 4.6.
TEOREMA 4.7. Sean A yB dos matrices nx.n relacionadas por una ecuación
de la forma B = C-l AC, en la que
e
es una matriz nXn no singular. EntoncesA y B representan la misma transformación lineal.
Demostración. Elijamos una base E = [el' ... ,e ••] para un espacio n-di-
mensional V. Sean Ul , ••• ,Un los vectores determinados por las ecuaciones
(4.14)
JI
uS=!ckSek para j=l,2, ...• n,
Tc-l
en donde los escalares Ckj son los elementos de C. Puesto que
e
es no singular re-presenta una transformación lineal invertible, así que U = [ul, ••• ,Un] es tam-
bién una base para V. y tenemos U=EC.
Matrices que representan la misma transformación lineal 137
respecto a la base E, Y sea S la transformación lineal que tiene B como represen- tación matricial relativa a la base U.Tenemos entonces
(4.15) T(e,,) =
I••
a¡"e¡ para k =1,2, ... ,n¡=1
y
(4.16) S(u¡) =Ib"¡u,,
••
para j = 1,2, ... , n.11:-1
Demostraremos que S =T probando que T(uj) =S(Uj) para cada j.
Las ecuaciones (4.15) y (4.16) pueden escribirse en forma matricial como sigue,
[T(e1), ••• ,T(e••)]
=
EA, [S(u1), ••• , S(u••)] = UB.Aplicando T a (4.14) se obtiene también la relación T(u¡)=
I
ckjT(ek), o[T(u1), ••• ,T(u••)] =EAC.
Pero tenemos
UB
=
ECB=
EC(C-1AC) =EAC,que demuestra que T(u¡) = S(Uj)para cada j. Por consiguiente,T(x) = S(x) para cada x de V, con lo que T =S. Dicho de otro modo, las matrices A y B repre- sentan la misma transformación lineal.
DEFINICIÓN. Dos matrices nXn A y B se llaman semejantes si existe una
matriz no singular
e
tal que B =e-lAe.
Los teoremas 4.6 y 4.7 pueden combinarse dándonos el siguiente
TEOREMA 4.8. Dos matrices nXn son semejantes siy sólo si representan la misma transformación lineal
Las matrices semejantes tienen muchas propiedades. Por ejemplo, tienen el mismo determinante puesto que
det (C-lAC) =det (C-l)(det A)(det C) =det A.
Esta propiedad nos da el teorema siguiente.
TEOREMA 4.9. Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio caracte-
Demostración. Si A YB son semejantes existe una matriz no singular
e
tal que B =e-1Ae.
Por consiguiente, tenemosAl - B
=
Al - e-1Ae=
).C-I/C - C-IAC=
C-I(Al - A)C.Esto prueba que Al-B YAl-A son semejantes, así que det(Al-B) =det (Al-A).
Los teoremas 4.8 y 4.9 prueban que todas las representaciones matriciales de una transformación lineal dada T tienen el mismo polinomio característico. Este polinomio también se llama el polinomio característico de T.
El teorema que sigue es una combinación de los teoremas 4.5, 4.2 Y 4.6. En el teorema 4.10, F representa bien el cuerpo real R o el cuerpo complejo C.
TEOREMA 4.10. Si T: V ~ V es una transformación lineal, siendo F el
cuerpo de escalares de V y dimV=ny suponemos que el polinomio característico
de T tiene n raíces distinta Al , .. _. , An en F, entonces:
a) Los auto vectores correspondientes Ul , ••• ,Un forman una base para V.
b) La matriz de T relativa a la base U =[ul, ••• ,Un] es la matriz diago-
nal A que tiene los autovalores como elementos diagonales:
e) Si A es la matriz de T relativa a otra base E = [el' ... , en], entonces
A
=
C-IAC,donde
e
es la matriz no singular que relaciona las dos bases mediantela ecuación
U=EC.
Demostración. Según el teorema 4.5 cada raíz A¡ es un autovalor. Puesto
que existen n raíces distintas, el teorema 4.2 nos dice que los autovectores corres- pondientes u, , ... .u; son independientes. Luego forman una base para V. Esto demuestra a). Como T(u¡) =A¡Ui, la matriz de T relativa a U es la matriz diagonal A, lo que demuestra b). Para demostrar e) utilizamos el teorema 4.6.
Observación: La matriz no singular C del teorema 4.10 se llama matriz diagonali- zante. Si (el"", e.) es la base de los vectores coordenados unitarios (JI, ... ,l.), en- tonces la ecuación U=EC del teorema 4.10 demuestra que la columna k de C consta de los componentes de los autovectores Uk relativos a (J., ... , l.).
Si los autovalores de A son distintos, entonces A es semejante a una matriz diagonal. Si los autovalores no son distintos, A podría hacerse semejante a una
Ejercicios 139
matriz diagonal. Esto sucederá si y sólo si existen k autovectores independientes correspondientes a cada autovalor de multiplicidad k. Vamos a ver ejemplos en los ejercicios que siguen.
4.10 Ejercicios
1. Demostrar que las matrices [~ :] y [~ ~] tienen los mismos autovalores pero no
son semejantes.
2. Hallar en cada caso una matriz no singular C tal que C-IAC es una matriz diagonal o justificar por qué tal matriz C no existe
(b) A =
G~l
(d)A = [ 2 1].-1 O
3. Se dan en el plano tres bases. Con respecto a esas bases un punto tiene como compo- nentes (x" x,), (y" y,), y (z, z,) respectivamente. Supongamos que [y" y,] = [XI,x,]A,
[z"z,] = [x"x,]B, y [z"z,] =[y"y,]C siendo A, R, C matrices 2X2. Expresar C en función de A y B.
4. En cada caso, demostrar que los autovalores de A no son distintos pero que A tiene tres autovectores independientes. Hallar una matriz no singular C tal que C-'AC sea una matriz diagonal.
a) A = [: ~ ~], b) A = [ 1 -:
-:1.
1 O O -1 -1
d
5. Demostrar que ninguna de las matrices siguientes es semejante a una matriz diagonal, pero que cada una es semejante a una matriz triangular de la forma [Al ~] en la que A
es un autovalor. /1,
[2 -1]
a) ,
O 2
6. Determinar los autovalores y los autovectores de la matriz [ : demostrar que no es semejante a una matriz diagonal.
-1 -1
O
-3
O:]
y con ello7. a) Demostrar que una matriz cuadrada A es no singular si y s610 si O no es autova- lor de A.
b) SiA es no singular, demostrar que los autovalores de A-1 son los recíprocos de los
autovalores de A.
8. Dada una matriz A n xn eon elementos reales tal que A'
=
-l. Demostrar las propo- siciones siguientes referentes a A.a) A es no singular. b) n es par.
e) A no tiene autovalores reales. d) detA