Llegado a este punto, iniciamos la primera fase del Modelo Integrado (ver Capítulo 7), partiendo de la identificación y descripción de los conceptos explícitos e implícitos que apa- recen en la figura una vez dibujadas algunas líneas y establecidas nuevas medidas.
De esta manera, transformamos la figura inicial en nuevas figuras que nos sugieren nuevos conceptos, datos y relaciones entre ellos (Figura 3).
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6 cm. 6 cm.figura 3. Nueva representación del cuadrado original con líneas.
Ante esta situación pedimos a los estudiantes que encuentren figuras, indiquen sus carac- terísticas, datos que conocemos o podemos conocer en cada una de ellas, determinar rela- ciones entre las figuras, etc. Y se pone de manifiesto la importancia de la notación en matemáticas para facilitar la comunicación (Figura 4).
O A
D
B
C
figura 4. Nueva representación del cuadrado original con las anotaciones.
Obviamente, la primera figura que señala es el ‘cuadrado ABCD’, que nos lleva a recordar la definición de cuadrado. Llegado este punto, la pregunta es inmediata: ¿qué fórmulas pode- mos utilizar para calcular el área y perímetro de la figura ABCD? En diferentes ocasiones, como consecuencias de actividades anteriores en el aula, algunos estudiantes señalan que también es un rombo ya que tiene los cuatro lados iguales. Lo que nos lleva a plantear la definición de rombo y establecer la relación entre cuadrado y rombo y señalar que el ‘cua- drado es un caso particular del rombo’.
A pesar de esta observación, la primera intención de los estudiantes para calcular el área del cuadrado es utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo BCD y así conocer cuánto mide el lado del cuadrado. Es evidente que estos estudiantes están pensando en la expresión:
Área de la figura ABCD = l2.
En muy pocas ocasiones algunos estudiantes plantean que dado que la figura es también un rombo podríamos utilizar la expresión: Área de la figura ABCD = (dxd)/2. La posibilidad de usar la expresión de cálculo de área de un rombo de manera general para los cuadrados es un descubrimiento para un número importante de estudiantes.
Debido a las dudas de los estudiantes acerca de esta relación, en numerosas ocasiones aprovechamos esta situación para plantear las dificultades estudiadas con los conceptos geométricos (Blanco, 2001).
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Retomamos la búsqueda de polígonos a partir de la Figura 4. Y los estudiantes comienzan a señalar diversos triángulos: ABC; ACD; BCD y ABD.
La posición de estos triángulos hace que los estudiantes los reconozcan, fácilmente, como triángulos rectángulos, pero no así como triángulos isósceles. Indican que de estos triángulos conocemos la hipotenusa y a partir de ahí podríamos conocer la medida del cateto (lado del cuadrado) utilizando el teorema de Pitágoras.
Planteamos en este momento un nuevo subproblema: “¿Podríamos conocer la superficie de estos triángulos?”
La observación del triángulo ABD mostraría, con alguna dificultad para ellos, que la base mide 6 m y la altura 3 m., por lo que podremos aplicar la expresión del área de un triángulo. La relación entre el triángulo ABD y el cuadrado ABCD, es inmediata, por lo que se sugiere una nueva estrategia de solución del problema. Algunos espontáneamente lo indican sin ser una pregunta del profesor.
Otros estudiantes reconocen los triángulos: AOB; BOC; COD y AOD. Dada la tarea inmediata anterior reconocen que estos triángulos son rectángulos e isósceles. E indican que son una cuarta parte del cuadrado pedido, pensando así en una nueva estrategia de solución del problema original.
Surge la cuestión de analizar cómo calcular la superficie y las dudas sobre su base y su altura dada la posición que tienen. La respuesta de los estudiantes resulta interesante: ‘Si giramos el triángulo (Figura 5), podemos ver que la base mide tres metros y la altura también tres metros’.
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figura 5. Giramos el triángulo para visualizar la base y la altura
Es este otro momento que merece una reflexión interesante ya que la posición de trián- gulo rectángulo apoyado sobre uno de sus catetos, propuesta por los estudiantes, nos permite generalizar su aportación a todos los triángulos rectángulos. Lo que nos lleva a enunciar un ‘nuevo teorema’: Para calcular el área de los triángulos rectángulos multiplicamos los catetos entre sí y dividimos por dos el resultado.
Llegado este momento, observamos a los estudiantes investigando nuevas figuras y tra- tando de encontrar sus relaciones con el cuadrado. Y, siguiendo con la dinámica seguida empiezan a enumerar triángulos más pequeños, también rectángulos e isósceles: AHO; BOF,... que consideran son un octavo del cuadrado original (Figura 6).
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A E G D B C O H Ffigura 6. Nuevas líneas y nuevos triángulos.
Para determinar las dimensiones de estos triángulos se refieren, usualmente, al teorema de Pitágoras ya que conocen el valor de la hipotenusa pueden calcular el valor de los catetos. Pero en algunas ocasiones, algunos estudiantes han mostrado una solución más sencilla al comparar los triángulos ABD y BEO, y observar que la base del primero (ABD) que es BD y vale 6 cm, es el doble de la base del triángulo BEO, que valdrá 3 cm. De igual manera, si la altura del primero (OA) mide 3 cm, la altura del segundo medirá 1,5 m (Figura 6). Ello nos permitirá calcular el área del triángulo BEO y, por comparación, la del cuadrado ABCD.
Los estudiantes han ideado y, en algunos casos, expresado diferentes formas de calcular el área del cuadrado pedido. Podríamos insistir en esta fase y profundizar en el análisis de la figura para encontrar nuevas relaciones que sugirieran nuevos procedimientos o variaciones de alguno de los que se hayan podido pensar.
Para finalizar esta primera fase del modelo retomamos la actividad desarrollada en dos aspectos:
Recordamos y repasamos los conceptos aparecidos hasta el momento: cuadrado; radio de un cuadrado; rombo; rectángulo; cuadrilátero; polígono; polígono regular; lado de un cua- drado; diagonal de un cuadrado; triángulo; triángulo isósceles; triángulo rectángulo; cateto de un triángulo rectángulo; hipotenusa de un triángulo rectángulo; altura de un triángulo; base de un triángulo; área de un cuadrado; área de un rombo, área de un triángulo, área de un triángulo rectángulo.
Revisamos la actividad realizada para fijar los conceptos y datos, explícitos o implícitos, que tenemos en relación a lo que nos pide el problema. Es usual que en este momento, los estudiantes recuerden que intentamos calcular el área del cuadrado y se olviden del cálculo del perímetro.