Beta elements and alpha function

A continuación incorporamos los principales resultados obtenidos a través del análisis de los diversos instrumentos y técnicas de recogida de la información.

Un alto porcentaje de los estudiantes cree que los problemas de matemáticas se resuelven en poco tiempo, cuando se conocen los procedimientos explicados por el profesor o los que aparecen en el libro de texto, y que sabiendo resolver los problemas explicados por el profesor es posible resolver otros similares, si sólo se le cambian los datos a los problemas hechos en clase. Esto es coincidente con lo que han detectado varios autores en relación con las creencias sobre resolución de problemas, entre ellos Schoenfeld (1985, 1992). Es probable que la mayoría de estas creencias se hayan ido formando en la educación escolar y en el contexto social que rodea a los estudiantes, en este sentido Schoenfeld (1998), citado por Felbrich, Kaiser y Schmotz (2012), plantea que las creencias tienen un carácter experiencial y ligado al contexto, las creencias pueden considerarse construcciones mentales que se adquieren social y culturalmente en los centros educativos.

En el cuadro 4 presentamos, un mapa de la estructura de las creencias sobre problemas de matemáticas, que manifestaron los estudiantes participantes en este estudio. Los cuadros en gris corresponden a las ideas más recurrentes expresadas por los estudiantes en relación con sus creencias de lo que es un problema de matemáticas, y las flechas indican las relaciones unívocas o las relaciones cruzadas entre las ideas de los estudiantes con respecto a este tema. Cada una de las celdas tiene un código que indica la columna con una letra mayúscula y el número de fila.

Cuadro 4. Mapa de la estructura de las creencias sobre problemas de matemáticas.

Problema como una situación que se resuelve a través de cálculos numéricos

Problema como ejercicio numérico que posee incógnitas, que se resuelve aplicando fórmulas matemáticas

Como situación que debe expresarse en símbolos matemáticos y resolverla

Un planteamiento estructurado donde las personas no tienen la capacidad de resolver o contestar de inmediato

La persona no está preparada para enfrentar el problema

Es algo que hace pensar mucho

Enunciado que tiene datos, implícitos y/o explícitos, que sirven para encontrar la solución o responder a la pregunta

La materia vista en ejercicios, los cuales se resuelven a través de lo aprendido

Una manera didáctica y ejemplificadora para dar a entender el variado uso de las técnicas de las matemáticas

Es algo que causa dificultad, y más aún si es de matemáticas

Un problema de matemáticas es aquello que tengo que solucionar o intentar resolver

Problema como una situación matemática asociada a la vida cotidiana Aplicación de los contenidos enseñados a la vida real Planteamiento de un ejercicio como un proceso algebraico que incluye análisis más profundo

Se resuelven de una o distintas formas para obtener resultados exactos y concretos

Problema como una situación que hace pensar y conlleva una dificultad

A1 A2 A3 A4 A5 A6 B2 B3 B4 B5 B6 C1 C2 C3 C4 C5

Las relaciones las hemos construido de acuerdo al grado de afinidad que tienen las creencias que manifestaron los estudiantes acerca del concepto de problema, algunas descripciones de los estudiantes son más inclusivas que otras y algunas son casi equivalentes; por ejemplo hay cuatro de ellas que se relacionan

considerando la mayor complejidad que tienen los problemas y que los resolutores no tienen un procedimiento inmediato para resolver (A4, A5, A6 y B5), mientras que los enunciados de las celdas A1, A2 y B2, se relacionan en cuanto a que el concepto de problema se caracteriza por tener datos e incógnitas y que se resuelve a través de cálculos o aplicando fórmulas matemáticas. Por otro lado las celdas B3 y C3, son equivalentes en el sentido que ambas describen un problema de matemáticas apelando a la idea de que son ejercicios.

Las principales ideas contenidas en el cuadro se refieren a las creencias que un problema es algo así como un ejercicio, pero un poco más complicado, que todos los problemas tienen datos e incógnitas, que habría que manipular los datos para obtener una respuesta o solución al problema y que para ello es necesario aplicar fórmulas y algoritmos conocidos que han sido enseñados por el profesor. También aparecen ideas acerca del grado de complejidad de la situación y que para resolverla no se tiene la capacidad o la persona no está preparada para encontrar de inmediato una solución.

Como se puede observar, estos estudiantes tienen una concepción muy tradicional acerca de lo que son los problemas. Por otra parte, los ejemplos de problemas que ellos dieron no van más allá de los típicos ejercicios de carácter algorítmico y los problemas con texto “word problema” que se resuelven traduciendo el texto al lenguaje matemático, lo que lleva, generalmente, a la aplicación de fórmulas o procedimientos rutinarios (Borasi, 1986; Charles y Lester, 1982; Blanco, 1993). Clasificando los ejemplos encontramos que una pequeña parte eran ejercicios de reconocimiento y del tipo algorítmico (10%), y que la mayoría eran problemas de traducción simple o compleja (90%), según las categorías de Blanco (1993). Esto está en concordancia con lo que Blanco, Caballero y Guerrero (2013), han encontrado en sus estudios con estudiantes para maestros de primaria.

Con respecto a las creencias que tienen de sí mismos los estudiantes como resolutores de problemas, mayoritariamente, creen que si dedican más tiempo para estudiar matemáticas obtendrán mejores resultados en la resolución de problemas y que el esfuerzo que se haga es muy importante para lograr el éxito. En relación con sus estados de ánimo cuando se enfrentan a la resolución de problemas matemáticos, manifiestan sentirse calmados y tranquilos y, que tienen confianza en sus capacidades. Sin embargo, 3 de cada 5 estudiantes dicen que suelen dudar si la solución encontrada es la correcta. Por otra parte, expresan que ante los problemas complicados no se dan por vencidos fácilmente y sienten mucha curiosidad por conocer la solución; es significativo que la mitad de los estudiantes digan que se angustian y sienten temor cuando en forma imprevista el profesor les propone resolver problemas, del mismo modo que se sienten inseguros, nerviosos o desesperados cuando se bloquean o atascan frente a un problema determinado.

Declaran, también, que les provoca mucha satisfacción cuando logran resolver el problema con éxito y que cuando fracasan lo intentan de nuevo.

De acuerdo a los resultados del post-test, que consistió en la aplicación del cuestionario “Creencias de los estudiantes sobre resolución de problemas”, la mayoría de las creencias del grupo de estudiantes se mantienen desde el inicio del curso-taller (pre-test) y el término del mismo curso (post-test). En el estudio de correlación de cada ítem, hubo 13 de 21 ítems con una correlación superior a 0.9 y 2 ítem que tuvieron una correlación superior al 0.83, la mayoría de las creencias iniciales persisten. Esto es coherente con lo que manifiestan algunos autores como McLeod (1989), Flores (1998) y Vila y Callejo (2004), en el sentido que las creencias y actitudes son relativamente estables en el tiempo.

Es probable que las pocas diferencias detectadas entre pre y pos-test se deban a la influencia del curso-taller. Por ejemplo, en el ítem que dice: “al intentar resolver

un problema es más importante el resultado que el proceso seguido”, la diferencia se

puede explicar porque durante el curso-taller se puso mucho énfasis en la importancia que tienen los procesos realizados para la resolución de problemas. Luego, después de realizado el curso, ningún estudiante está de acuerdo de que sea más importante el resultado que el proceso en la resolución de problemas matemáticos. En lo que respecta al ítem: “si no encuentro la solución de un problema

tengo la sensación de haber fracasado y de haber perdido el tiempo”, la correlación es casi

nula (0.06), en el pre-test la mayoría se demostró en desacuerdo con este ítem. Aquí observamos un cambio notable entre los grados de desacuerdo y los de acuerdo, este cambio en los sentimientos de los estudiantes respecto a la sensación de fracaso, es posible que se deba a que antes de contestar el pre-test no habían tenido experiencias de enfrentar la resolución de problemas no rutinarios y la mayoría de sus experiencias previas consistían en resolver problemas utilizando procedimientos algorítmicos. Mientras que al responder el post-test ya habían tenido que enfrentar problemas de otro tipo que les exigieron emplear otras capacidades y para lo cual no estaban preparados. En sus reflexiones del portafolio encontramos, varias situaciones en que los estudiantes experimentaron sentimientos de fracaso o frustración cuando intentaban resolver algún problema determinado. Callejo (1994) señala que los estudiantes para responder a un problema de matemáticas buscan una estrategia de resolución e insisten en ella, si no se tiene éxito se abandona el trabajo, si no se encuentra la solución se ha fracasado, dándole más importancia al resultado que al proceso.

En sus respuestas al cuestionario “Autoevaluación: como me siento al resolver problemas”, los estudiantes, en su mayoría, declaran que no se sienten alterados, angustiados, oprimidos o sobreexcitados cuando están resolviendo problemas de matemáticas. Por otra parte, en otras respuestas, declaran sentirse algo seguros,

tensos, contrariados, nerviosos, desasosegados o preocupados, cuando se enfrentan a la tarea de resolver problemas de matemáticas. En los ítems relacionados con la confianza, satisfacción, comodidad, calma, confortabilidad, la mayoría de los estudiantes expresan que se sienten bastante calmados, cómodos, confortables, bien, confiados y satisfechos, cuando se enfrentan a problemas de matemáticas. Algunas de estas respuestas son contradictorias con lo observado durante las sesiones del curso-taller, la explicación es que muchas veces los cuestionarios se responden desde el “deber ser” pero, en la situación de enfrentar la realidad de tener que resolver problemas de matemáticas no rutinarios, las reacciones emocionales son muy distintas.

En las entrevistas los estudiantes dicen que es importante considerar los aspectos afectivos en la resolución de problemas de matemáticas, aunque reconocen que antes de realizar el curso ni en su experiencia escolar se habían tomado en cuenta estos aspectos y que todavía les cuesta considerarlos en el caso personal. Uno de los estudiantes declaró que le costaría mucho incorporar esto en sus prácticas porque en su formación escolar no tuvo experiencias al respecto, lo que evidencia cuán difícil es modificar las concepciones y las prácticas a pesar de los esfuerzos de los formadores.

En otro sentido, los estudiantes le atribuyen importancia a la resolución de problemas matemáticos porque permiten darle sentido a las matemáticas, contribuyen al desarrollo de las formas de pensar de los estudiantes, preparan de mejor manera a las personas para los problemas de la vida, es una ayuda para que los profesores contextualicen la enseñanza de las matemáticas y permite que los estudiantes se apropien de estrategias para la resolución de problemas matemáticos. En razón de lo anterior, consideran que la resolución de problemas matemáticos debe estar presente en la formación de profesores de matemáticas. A ellos les agradaría realizar una enseñanza de resolución de problemas que permita dotar de significado a las matemáticas, que considere los intereses de los alumnos, vinculando la matemática con otros sectores del currículo y de la vida cotidiana, siendo necesario para ello que el profesor dominé los contenidos disciplinarios y didácticos, sin embargo, describen que sus experiencias escolares, en términos generales, no fueron exitosas. Esta perspectiva de los estudiantes es corroborada por Guberman y Leikin (2012), acerca de la importancia central de la resolución de problemas matemáticos, las formas efectivas deteaching the solving of mathematical problems (Kilpatrick, 1985 y Schoenfeld, 1985) enseñanza de la resolución de problemas matemáticos y sistemas de creencias con respecto a la resolución de problemas.

Durante el desarrollo del curso se realizó un taller sobre resolución de problemas y control emocional. El propósito de este taller fue que los estudiantes

puedan darse cuenta de sus sentimientos y reacciones emocionales en las distintas etapas de la resolución de tres problemas dados. Los estudiantes tuvieron que resolver los problemas y en cada uno de ellos tenían que escribir sus reacciones emocionales focalizadas en tres momentos de la tarea: antes, durante y después. En cada caso tenían que referirse a lo que pensaban, luego a cómo se sentían y finalmente, de acuerdo con lo anterior, como actuaban en consecuencia. A modo de ejemplo, el primer problema decía “La cabeza de un pez es 1/3 de larga que su cuerpo,

la cola es tan larga como la cabeza y el cuerpo juntos. La longitud total del pez es de 48 centímetros. ¿Qué medida tiene cada parte del pez?”

Las diversas reacciones emocionales de los estudiantes vienen a confirmar la mayoría de sus respuestas en los cuestionarios que se refieren a la influencia de los factores afectivos en la RPM y a la necesidad de considerarlos en la formación de profesores de matemáticas, como se pudo observar en el cuestionario “Creencias sobre la resolución de problemas de matemáticas”, en el foro sobre la resolución de problemas y el dominio afectivo, y en la autoevaluación “Cómo me siento al resolver problemas” y en las entrevistas.

Los estudiantes fueron escribiendo sus reacciones emocionales en tres momentos de las etapas principales de la resolución de problemas. En el cuadro 5, presentamos algunas de las respuestas de los estudiantes. Las columnas se distribuyen en “antes de enfrentarme al problema”, “mientras trato de resolver el problema” y “después de resolver el problema”, y las filas en lo que “pienso…” (me digo a mi mismo), “cómo me siento…” y “como consecuencia…” (¿qué hago?)

En el taller sobre Resolución de Problemas y control emocional, los estudiantes pudieron darse cuenta que en la resolución de problemas de matemáticas entran en juego distintos tipos de factores, fundamentalmente de orden cognitivo y afectivo, lo que antes había emergido de los instrumentos aplicados sólo a nivel de creencias y percepciones. Sin embargo, en su experiencia escolar y universitaria por lo general tomaban conciencia de los factores asociados al plano cognitivo, el papel de los conocimientos en la resolución de problemas por ejemplo, pero nunca habían tenido la oportunidad de dejar que afloren sus sentimientos y otras reacciones emocionales en un contexto de resolución de problemas.

Por otra parte, los estudiantes han coincidido en que el estudio de las creencias, actitudes y emociones de los alumnos en relación con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, y la resolución de problemas en particular, se deben incluir en la formación de profesores para mejorar la enseñanza de las matemáticas. Ellos manifiestan que las reacciones emocionales influyen en la formación de creencias y actitudes hacia las matemáticas y la resolución de problemas, de ahí que sea importante considerarla en los procesos de formación de profesores. Lo anterior es

coherente con lo planteado por Gil et al. (2006), en sentido que la percepción de sus propias habilidades sería un predictor de la ansiedad con respecto a las matemáticas y por Vila y Callejo (2004) que dice que es interesante considerar que los contextos y la enseñanza de la matemática se retroalimentan mutuamente con las creencias.

Cuadro 5. Resolución de problemas y control emocional. Respuestas de 3 estudiantes.

ANTES DURANTE DESPUÉS

P I E N S O

Analizo las posibilidades de poder efectuar efectivamente el problema, lo observo y lo leo para ver de qué manera desarrollarlo

Si estará bien lo que estoy implementando, hay momentos de duda

Que la opción que tomé fue de manera eficiente.

Como puedo afrontar el problema, me doy una meta, la cual es resolver

Pienso buscar ayuda, como un dibujo para aclarar las cosas y simplificar mis métodos de actuar

Que la manera con la que enfrenté el problema fue buena

Pienso que tengo que leer cuidadosamente y con atención el problema para ver cada detalle, que datos nos dan y así poder resolverlo correctamente

En cada medida del cuerpo, para hacer la ecuación y así resolverlo

Que me equivoqué en algo tan simple como en un signo, por lo cual tengo que seguir adelante sin “achacarme” M E S I E N T O

Complicado y nervioso por no poder realizarlo a primera instancia.

Me siento bien porque la implementación de la resolución se encuentra bien encaminada.

Me siento contento y capaz de lograr más ejercicios.

Nervioso porque no sé con qué problema me voy a enfrentar y no sé si seré capaz de hacerlo.

Tranquilo y contento porque empiezo a entender el problema y al parecer estoy llegando a un resultado.

Me siento tranquilo, bien, y satisfecho por haber resuelto el problema de buena manera

Me siento con interés para resolverlo, pero también a la vez un poco frustrada si no llego al resultado correcto

Un poco frustrada ya que al darme cuenta no me da el mismo resultado que mis compañeros de grupo

Animada y satisfecha ya que no me rendí, y haber llegado al resultado correcto C O N S E C U E N C I A

Lo resolveré mediante sistema de ecuaciones.

Resuelvo el problema de manera efectiva

Me siento con una autoestima mayor a la de iniciar el problema

Intento relajarme y

concentrarme para afrontarlo de una manera más simple.

Lo sigo resolviendo con el mismo método.

Reviso y compruebo el

problema para asegurarme que todo este correcto

Leo nuevamente el problema y lo analizo, anoto cada dato que me dan y comienzo a desarrollarlo

Me planteo nuevamente el ejercicio, pero también vuelvo a ver en el ejercicio, en que me equivoqué y sólo había sido en un signo

Comparto mi resultado con mis compañeros de grupo y ver de qué manera lo hicieron ellos.

En forma similar a lo que plantea Cooner et. al. (2011), entre las creencias profesadas y las prácticas, hemos detectado discrepancias entre los resultados de los cuestionarios y las prácticas en la resolución de problemas de matemáticas en el curso-taller, tanto en los aspectos cognitivos como en los afectivos. Esto nos hace aventurar una conjetura en el sentido que el cambio en las creencias de los futuros profesores pudiera estar asociado a los entornos de práctica en su proceso formativo. En relación con lo anterior, el autor citado expone que la investigación sugiere que aunque las creencias no son fáciles de cambiar hay métodos por los que el cambio se puede lograr, por lo menos con profesores en pre-servicio y, en este sentido, cita a Liljedahl et al. (2007) para agregar que estos métodos permiten, a los futuros profesores de matemáticas, aprender matemáticas en entornos constructivistas y participar en el descubrimiento matemático.

Finalmente, los estudiantes fueron modificando su actitud y comprensión acerca de lo que es un problema de matemáticas y la enseñanza de la resolución de problemas, respecto de sus creencias iniciales llegando a plantear opciones acerca de una nueva forma de enfrentar la resolución de problemas y su enseñanza, como lo hemos dicho en los párrafos precedentes. Los estudiantes asumen que al comienzo del curso tenían una visión estereotipada de lo que es un problema de matemáticas, concepción que fue modificándose con el avance del curso-taller. Esta perspectiva de visualizar los problemas, coincide con lo que plantean Vila y Callejo (2004), en el sentido que los problemas escolares responden a formas estereotipadas que van configurando en los alumnos ciertas creencias acerca de los problemas. Si bien es cierto, observamos cambios de creencias en los estudiantes, manifestadas en las entrevistas y en el desarrollo del curso-taller, no podemos afirmar que este cambio de creencias sea permanente en el tiempo. La mejor forma