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4.1. ¿Qué es un problema?

La palabra problema es utilizada frecuentemente en la vida corriente y en el mundo de las matemáticas. En la vida cotidiana decimos "tengo un problema" cuando no sabemos qué hacer. En las clases de matemáticas de todos los niveles educativos, se puede observar a los estudiantes resolviendo problemas. Sin embargo, existe consenso que tiene un carácter polisémico, no existe una única definición en la que todos estén de acuerdo. Arcavi y Frielander (2007), plantean que algunas ideas encapsuladas bajo aparentemente las mismas etiquetas, tales como “problema” y “resolución de problemas”, pueden tener diferentes significados para diferentes personas. Por lo tanto, el aparente acuerdo sobre la

importancia de la resolución de problemas no dice mucho acerca de cuáles son los problemas y la resolución de problemas, lo que significa, de hecho, que puede enmascarar diferentes puntos de vista sobre lo que constituye un problema. La dificultad de definir el término “problema”, para Schoenfeld (1985), radica en que es un concepto relativo: un problema no es inherente a una tarea matemática, más bien es una relación particular entre el individuo y la tarea.

Según Polya (1986), tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de forma inmediata. En tanto De Guzmán (1993) dice que tenemos un verdadero problema cuando nos encontramos en una situación desde la que queremos llegar a otra, unas veces bien conocida otras un tanto confusamente perfilada, y no conocemos el camino que nos puede llevar de una a otra. Mientras que para Carrillo (1998), el concepto de problema debe “asociarse a la aplicación significativa (no mecánica) del conocimiento matemático a situaciones no familiares, la consciencia de tal situación, la existencia de dificultad a la hora de enfrentarse a ella y la posibilidad de ser resuelta aplicando dicho conocimiento” (p.87).

Desde el mundo de las matemáticas, de la educación o de la psicología se han dado definiciones de problema. Diversos autores: Polya, 1986; Kantowski, 1977; Krulik y Rudnik, 1980; Lester, 1985; Schoenfeld, 1985; Kilpatrick, 1985; De Guzmán, 1993; Carrillo, 1998 y Schrock, 2000, han definido lo que son los problemas de matemáticas. La mayoría de los autores consideran que un auténtico problema de matemáticas es aquel en que no existe un algoritmo, método o procedimiento inmediato que permita alcanzar su solución, luego en orden de importancia aparece la idea de aceptación o búsqueda consciente de la solución de parte del (los) resolutor(es) y, en tercer lugar, consideran la idea de objetivo o consecución de una meta que conllevan los problemas matemáticos.

4.2. Tipologías de problemas.

Existen diversas y variadas tipologías de problemas, ellas dependen de los criterios de clasificación utilizados. Además, por la gran variedad de problemas que se pueden presentar, es prácticamente imposible tener una única tipología y, por otra parte, un mismo problema podría pertenecer a más de una categoría

La clasificación de G. Polya recoge la distinción que hacían los griegos, entre teorema y problemas, mencionando sólo dos tipos de problemas: “problema por resolver” y “problema por demostrar”. En un problema por resolver hay incógnita, datos y condición, y en un problema de demostrar hay hipótesis y conclusión (Polya, 1986). En el marco de estas clasificaciones muy amplias, encontramos la de Blum y Niss (1991) que tipifica los problemas en problemas aplicados y puros.

La tipología de Butts (1980), considera cinco tipos de problemas de los cuales los tres primeros corresponden a problemas que incluyen una estrategia de resolución en su enunciado: a) ejercicios de reconocimiento, b) ejercicios algorítmicos, c) problemas de aplicación, d) problemas de investigación abierta y, e) situaciones problemáticas. Por su parte, Borasi (1986) utiliza los siguientes elementos estructurales para una tipología de problemas: el contexto del problema, la formulación del problema, el conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables para el problema y el método de aproximación que podría usarse para alcanzar la solución. En base a estos elementos, surgen los siguientes tipos

 Ejercicio

 Problema con texto  Puzzle

 Prueba de una conjetura

 Problemas de la vida real  Situación problemática  Situación

Existe acuerdo casi generalizado entre los educadores matemáticos, que para aprender matemáticas hay que “hacer matemáticas”. Así, la clase de matemáticas debiera considerar actividades que permitan a los alumnos: clasificar, analizar, sintetizar, inferir, abstraer, conjeturar, formular hipótesis, descubrir regularidades, generalizar, construir modelos, comunicar, representar, hacer conexiones, validar, comprobar y probar, etc. Blanco (1993), explica que estas actividades se pueden desarrollar a partir de diferentes propuestas, que organiza en la siguiente clasificación de problemas elaborada considerando las aportaciones anteriores realizadas por Butts (1980), Charles y Lester (1982) y Borasi (1986)

 Ejercicios de reconocimiento  Ejercicios algorítmicos o de repetición  Problemas de traducción simple o compleja  Problemas de procesos

 Problemas sobre situaciones reales

 Problemas de investigación matemática

 Problemas de puzles  Historias matemáticas

Otras categorías, no excluyentes de las anteriores, más explícitas en cuanto al contenido y objetivos del problema y la forma de abordarlo, son los problemas como actividades o tareas de investigación, los problemas de final abierto y los de final cerrado.

Ponte (1999), Stacey y Scott (2000), Braumann (2002) se refieren a las actividades de investigación a nivel de aula. Incorporan dentro del estudio de la resolución de problemas, las “actividades (o tareas) de investigación” en el aula. Los conceptos de resolución de problemas y de investigaciones matemáticas tienen más puntos en común que diferencias, ya que ambos proporcionan actividades que envuelven procesos complejos de pensamiento. Lo que es importante en los problemas de

investigación en las matemáticas es presentar a los alumnos un conjunto de propuestas de trabajo interesante, que involucren conceptos matemáticos fundamentales y en donde los estudiantes tengan oportunidades para experimentar, discutir, formular, generalizar, conjeturar, probar, comunicar sus ideas y tomar decisiones.

Para Pehkonen (1991), citado por Contreras (1998), sin embargo, la diferenciación más importante es la clasificación, no exhaustiva, entre problemas abiertos y cerrados. Por su parte, Isoda y Olfos (2009) plantean que los problemas por naturaleza son abiertos:

…para los matemáticos un problema está abierto si no se conoce su solución, por ejemplo: la conjetura de la existencia de infinitos primos impares consecutivos es un problema abierto. En el ámbito de la matemática escolar se dice que un problema es abierto para un estudiante si éste no dispone de procedimientos estándares para solucionarlo, o bien, el problema tiene varias soluciones (pp.99-100).

La enseñanza de las matemáticas mediante el uso de problemas de final abierto “open-ended” es uno de los métodos más representativos para la promoción de la capacidad de resolución de problemas matemáticos de los estudiantes en Japón (Hino, 2007). En los problemas de final cerrado “open-start”, se solicita una sola respuesta (o el conjunto específico de respuestas), y lo que no es tan claro para el resolutor es por dónde empezar en la búsqueda de la solución. Su reto es ensamblar de su comprensión y el conocimiento matemático existente, una estrategia que podría conducir a la respuesta (Monaghan, Pool, Roper y Therelfall, 2009).

4.3. Modelos para la resolución de problemas.

Es reconocido en el mundo de la matemática que la obra de G. Polya ha marcado el inicio de un camino en cuanto a proponer un modelo para la resolución de problemas y que varios de los modelos surgidos posteriormente son derivados de lo planteado por este matemático en la década del 40. Los trabajos de Schoenfeld (1985), son por otro lado, la búsqueda inagotable de explicaciones para la conducta de los resolutores reales de problemas, él propone un marco con cuatro componentes que sirven para el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas: recursos cognitivos, heurísticas, control, sistema de creencias.

En el cuadro 3, tomado de Cañadas, Durán, Gallardo, Martínez-Santaolalla, Peñas, Villarraga, y Villegas (1999), y complementado por Pino y Blanco (2008), resume las propuestas de algunos autores.

Cuadro 3. Fases en la resolución de Problemas.

Finalmente, Okubo (2007) plantea que la propuesta de G. Polya en cuatro etapas se centra más en la resolución de problemas como una actividad de los individuos. En base al planteamiento de G. Polya, el autor propone cinco etapas pero focalizándolas en la resolución de problemas como proceso de instrucción, dándole una orientación curricular a la resolución de problemas:

1. La etapa de plantear un problema 2. La etapa de la comprensión del problema

3. La etapa de la elaboración de un plan de solución 4. La etapa de llevar a cabo el plan de solución 5. La etapa del examen de la solución.