nado un heptágono, y estoy interesado en mayorías calificadas de GRÁFICA II.7. Comparación de círculo ganador de mayoría simple (4/7) con círculo
cinco séptimos. La selección de un heptágono presenta la simplifica- ción gráfica de que las líneas medianas (dejando al menos cuatro puntos en cada lado) y los divisores q (dejando cinco puntos en u n o de los lados) son los mismos, así que no necesito complicar el cuadro. También selecciono el statu quo SQ e identifico los divisores q perti- nentes (las tres líneas gruesas en la gráfica). Obsérvese que los divi- sores q pertinentes pasan entre SQ y Y, y los divisores q que dejan Y y SQ en el mismo lado no son pertinentes.
2. D e n o m i n a r yema q al círculo (esfera o hiperesfera) que se interse-
ca con todos los divisores q, y círculo q al círculo (esfera o hiperes- fera) que se interseca con todos los pertinentes. En la gráfica 11.6 la yema q es idéntica a la yema, y el círculo q es el círculo pequeño en- tre la yema y el statu quo. Obsérvese que a u n cuando los centros de la yema y de la yema q están cerca u n o de otro (en nuestra gráfica son idénticos por definición), el centro del círculo q se desplaza ha- cia el statu quo porque consideramos únicamente los divisores q per- tinentes.
3. Denominar Q y q al centro del radio del círculo q y trazar el círculo
(Q, d' + 2 q ) . Este es el círculo ganador q del statu quo: contiene el conjunto ganador de mayoría calificada del statu quo (QW(SQ)). La prueba es idéntica a la de los círculos ganadores de mayoría (des- arrollados en torno de la gráfica II.5). La gráfica indica que el círcu- lo ganador q es significativamente más pequeño que el círculo gana- dor de mayoría (como era de esperarse).
Podemos usar el radio de la yema q de un jugador con veto colectivo para definir su cohesión-q de u n a forma similar a la cohesión-m anterior. Conforme el radio de la yema q aumenta, la cohesión-q disminuye. Sin em- bargo, como lo indica la gráfica 1 1 .7 , un a u m e n t o en el radio de la yema q indica que el centro del círculo q avanzará a ú n más hacia el statu quo, y que, en promedio, reducirá el t a m a ñ o del círculo ganador q. De nueva cuen- ta, esto es conjetura ya que podemos imaginar ejemplos contrarios en que el radio de la yema q a u m e n t a y no obstante el t a m a ñ o del conjunto gana- dor también aumenta. El argumento anterior indica que las estáticas com- parativas generadas por la cohesión-q son exactamente lo contrario de la cohesión-m. De hecho, mientras cohesión-q tenga un jugador con veto co- lectivo (cuanto más pequeño sea el radio de la yema q), mayor será el ta- maño del círculo ganador q, mientras que cuanto más cohesión-m tenga un
jugador con veto colectivo (cuanto m á s pequeño sea el radio de la yema), más pequeño será su círculo ganador de mayoría.
Otra m a n e r a de pensar sobre la cohesión-q y la estabilidad política es que un jugador con veto en cohesión-q tendrá un núcleo pequeño, lo cual quiere decir que habrá pocos p u n t o s en el espacio que sean invulnerables, y cuanto más lejos de este p u n t o nos vayamos, m á s grande se volverá el con- j u n t o ganador q. En el caso límite en que los miembros q de un jugador con veto colectivo estén concentrados en el m i s m o punto, éste es el único pun- to del núcleo, y el conjunto ganador q a u m e n t a en función de la distancia entre SQ y la ubicación del jugador con veto.
, ^^Sftíw^rÑ^ La estabilidad política disminuye conforme a u m e n t a
Ja cohesión-q de un j u g a d o r con veto colectivo.
Hay u n a razón esencial por la cual las conjeturas n.l y EL3 corren en di- recciones opuestas: por definición, las líneas medianas tienen-una mayoría en ambos lados, mientras que los divisores q tienen sólo en un lado u n a mayo- ría calificada. Como resultado hay u n a serie de diferencias. Primero^todas las líneas medianas son pertinentes para la construcción del círculo gana- dor, mientras que sólo los divisores q pertinentes definen el círculo ganador q. Segundo, la yema tiene que estar intersecando con todas laslíneas media- nas, mientras que el círculo q interseca sólo con los divisores ^pertinentes que están localizados cerca de SQ (ya que por definición están entre SQ y diferentes mayorías q). Tercero, el círculo ganador tiene que incluir todos los reflejos de SQ con respecto a las medianas, mientras que el círculo gana- dor q tiene que incluir únicamente los reflejos con respecto a los divisores q pertinentes (véase gráfica 1 1 . 7 ) .
Kl resultado siguiente de la estática comparativa se obtiene cambiando el u m b r a l de la mayoría calificada. Al a u m e n t a r el umbral, requerimos,uno o más tomadores de decisiones-individuales para consentir a un cambio del statu quo, lo cual acrecienta la estabilidad política.
Proposició¿3^4r la_estabilidad política a u m e n t a o permanece igual conforme se i n c r e m e n t a el u m b r a l q de la mayoría calificada re- querida.
La afirmación anterior se puede comprobar formalmente: se sostiene cualquiera que sea la distribución de las preferencias de los miembros de
un jugador con veto colectivo. Como ya se observó en el capítulo i, es posi- ble a u m e n t a r el u m b r a l de la mayoría calificada y m a n t e n e r el t a m a ñ o del conjunto ganador de la mayoría calificada (piénsese, por ejemplo, en tres jugadores que deciden por dominio de la mayoría por tres quintos o dos tercios).
La gráfica n . 7 nos da u n a representación visual de los círculos que con- tienen los conjuntos ganadores del statu quo de mayoría calificada de cuatro séptimos y cinco séptimos. El lector puede verificar que el conjunto gana- dor así como el círculo ganador se contraen conforme a u m e n t a la mayoría requerida. Esta gráfica puede ayudarnos a obtener discernimientos de situa- ciones en que se modifica un u m b r a l de mayoría calificada, como sucede a la regla de limitación del tiempo de debate en el Senado de los Estados Uni- d o s .1 8 Un voto de limitación del tiempo de debate solía requerir u n a mayo- ría de dos tercios, mientras que ahora necesita sólo tres quintas partes. ¿Qué diferencia m a r c a este cambio de reglas para la estabilidad política? Dado que cuatro séptimos (= 0.57) está cerca de tres quintos (= 0.60) y cinco sép- timos (= 0.71) está cerca de dos tercios (= 0.67), la gráfica n . 7 sugiere que la estabilidad política disminuye significativamente con este cambio de la regla de la limitación del tiempo de debate.
Estas cuatro conjeturas y proposiciones indican no sólo que los princi- pios que identificamos en el capítulo i se aplican también a jugadores con veto colectivos, sino que dan un paso más allá y analizan la importancia de la cohesión m y q de los jugadores colectivos. Lo que dijimos en el capítu- lo i acerca de que eLtamaño del conjunto.ganador del statu quo es una con- dición necesaria pero no suficiente p a r a la distancia entre el statu quo y la nueva política, también se sostiene en el caso de los jugadores con veto co-. lectivos, ya que usamos el círculo que incluye el conjunto ganador del sta-
tu quo. Cuando este círculo es pequeño, la distancia entre SQ y SQ' será
pequeña; cuando el círculo es grande, la distancia |SQ-SQ'| puede ser gran- de o pequeña. Estos resultados se compendian en la conclusión.
1 8 A diferencia de la Cámara de Representantes de los Estados Unidos, no hay límite de
tiempo para que los senadores hagan uso de la palabra, de modo que los senadores pueden obstruir la adopción de cualquier proyecto de ley que les desagrade. La única manera para in- terrumpir a un senador obstruccionista es mediante un voto de limitación del tiempo de debate en el senado.
4. j^CUENClÁ DE MOVIMIENTOS''"
En las dos secciones anteriores se resolvió el problema de la ubicación del conjunto ganador de mayoría simple y calificada de jugadores con veto co- lectivos. Esta sección trata un problema más serio. Dados los círculos que caracterizan a la toma de decisiones por dominio de la mayoría, ¿puede un jugador con veto colectivo identificar el p u n t o o los puntos que sean los más preferidos entre el conjunto de alternativas factibles (el conjunto ganador de los jugadores con veto individuales o colectivos restantes)?
Con el fin de resolver este problema vamos a suponer que un jugador con veto colectivo puede hacer propuestas dentro de un área específica de- nominada un conjunto descubierto. Restringir la ubicación de posibles pro- puestas no es u n a suposición inocua. Como se verá, elimina m u c h o s resul- tados del conjunto factible. Así, será necesaria u n a justificación de esta premisa antes de que hagamos uso de ella. Esta sección está organizada en cuatro partes. Primero, defino el conjunto descubierto de un jugador con veto colectivo que decide por dominio de la mayoría. Segundo, examino la natu- raleza restrictiva de esta suposición. Tercero, le doy u n a justificación para la misma. Cuarto, calculo la ubicación de u n a propuesta mediante un jugador con veto colectivo cuando éste usa el conjunto descubierto de las soluciones factibles.
4.1. Definición del conjunto descubierto
La gráfica n.8 indica la forma como resolvemos el problema de la elección de actores colectivos. En esta gráfica dos puntos, X y Y, se presentan junto con sus conjuntos ganadores respectivos, W(X) y W(Y). En bien de la sen- cillez, omito la representación de los tomadores de decisiones individuales. Supongamos (de nueva cuenta sin menoscabar la generalidad) que Y derro- ta a X —representado en ambos paneles de la gráfica por el hecho de que Y está dentro de W(X)—. Dado que Y G W(X), hay dos posibilidades acer- ca de W(X) y W(Y). O los dos conjuntos ganadores se intersecan como en la gráfica n.8 A, o bien W(Y) C W(X) (léase "es un subconjunto de") como en la gráfica n.8 B .1 9
1 9 Los casos en que los dos conjuntos ganadores no tienen nada en común o en que W(X)
GRÁFICA 11.8. (A) Y no cubre a X; (B) Y cubre a X.
Concentrándonos en la gráfica II.8 A, dado que los dos conjuntos gana- dores se intersecan, siempre podemos seleccionar un punto Z de tal modo que Z £ W(Y) yZ í W(X). Para ese p u n t o Z tenemos:
Z IT Y TT X IT Z (2)
En otras palabras, en la gráfica n.8 A podemos crear un patrón cíclico de preferencias entre X, Y y Z. Este p a t r ó n puede ser muy útil para actores estratégicos, ya que los partidarios de X, en vez de reconocer que su solu- ción preferida fue derrotada, pueden introducir Z y pedir una comparación indirecta, de acuerdo con la cual Z derrota a Y, y X derrota a Z, de modo que X prevalece.
Como contraste, en la gráfica Il.8 B, donde el conjunto ganador de Y es un subconjunto del conjunto ganador de X, resulta imposible encontrar un punto Z necesario para generar el patrón cíclico. La relación entre X y Y en el segundo panel de la gráfica n.8 es tal que no sólo Y derrota a X, sino que cualquier cosa que derrote a Y también derrota a X. Denominaremos "una relación cubierta" la relación indicada en la gráfica n.8 B.
Formalmente, un punto Y cubre un punto X si y sólo si Y G W(X) y W(Y)
C W(X).
Uso esta definición de relación cubierta cuando hablo acerca de secuen-^ cia. Argumento que no tiene sentido que un establecedor de agenda selec^ cione puntos cubiertos, es decir, puntos que son derrotados por otros-nou^ sólo directamente sino también indirectamente. Por lo tanto, son excluidos de consideración los casos como el p u n t o X en la gráfica n.8 B (pero no en n.8 A).
4.2. La restricción del conjunto descubierto
Eliminar de toda consideración los puntos cubiertos puede parecer u n a su- posición razonable. Pero es también u n a suposición muy restrictiva. Si eli- minamos los puntos cubiertos (véase gráfica n.8 B), hay muy pocos puntos que queden como elecciones válidas. Como se demostró en la sección 1 (gráfica II.5), el círculo ganador del statu quo de u n jugador con veto colec- tivo es un círculo (Y, d + 2r), en donde d es la distancia YSQ. Como resul- tado, cualquier punto ubicado a u n a distancia del centro de la yema de más
de 2r no puede derrotar a SQ directamente. Aplicar el mismo razonamiento,
dos veces nos lleva a la conclusión de que cualquier punto más distante que 4r del centro de la yema no puede derrotar a SQ indirectamente. Como resul- tado, todos los puntos con distancia de Y mayor que d + 4r son cubiertos
por SQ.
McKelvey (1980) utilizó este argumento con el fin de ubicar el conjunto de puntos que no son cubiertos por otro, que se llama el conjunto descubierto. Partió del centro de la yema Y y argumentó que todos los puntos fuera del círculo (Y, 4r) son cubiertos por Y En consecuencia, este círculo contiene el conjunto descubierto, o todos los puntos que no son cubiertos por ningún punto.
El conjunto descubierto es u n a suposición restrictiva muy p o d e r o s a ^ Traslada el resultado desde cualquier lugar en el espacio a un círculo pe,- queño ubicado centralmente dentro del jugador con veto colectivo. De he-
c h D^ s r J^ e J a j D a s e d e l a 4 i s c u s i ó n que rodeaba a la conjetura 11,2, conforme aumenta e l ^ t a m ^ ñ q d e ^ u i. j u g a d o r x Q n veto colectivo, se contrae en prome- dio el conjunto desciÜ2Íej±D^_de_modo-que mientras más grande sea el juga- dor con veto, m á s e x a c t e - s e j ^ ^ 4 i m r i á s J i c o . ¿Cuan razonable es la suposi- ción del conjunto descubierto? ,
/ l
4Í¿. ¿Podemos presuponer que el resultado estará en el conjunto descubierto?
El conjuriÍQ_descubierto es un concepto .deJa.teoría de juegos cooperativos. ; Seguidamente explicaré primero las suposiciones fundamentales de la teo- ría de juegos cooperativos y proporcionaré argumentos que respaldan su uso para el problema que tenemos en m a n o . Segundo, defiendo el uso del concepto particular de conjunto descubierto.
T a IfDSto df j i ' p g ^ RNNPEÍAIIMTML-PREGN.PR'RIP que son aplicables unos
acuerdos concertados entre diferentes jugadores. Las consecuencias de esta suposición son enormes. Cuando los acuerdos son aplicables, las caracte- rísticas institucionales dentro de los jugadores con veto colectivos tales como el establecimiento de agenda se vuelven irrelevantes. Las agendas tan sólo determinan la secuencia en la cual se t o m a n las diferentes decisiones y los jugadores estratégicos actúan en cada etapa de una m a n e r a que proz
mueve su acuerdo (exigible). Manteniendo constante el conjunto de alter- nativas factibles, la única institución que importa en un análisis de la teoría de juegos cooperativos es la regla m i s m a de la t o m a de decisiones. Pin este sentido, la teoría de juegos cooperativos queda casi exenta de institución. ¿Es razonable presuponer que los acuerdos son exigibles dentro del es- tablecedor de agenda? Hay un argumento que puede defender lo obligato- rio de los acuerdos: la reputación. Si los actores están interesados en sus reputaciones y sufren u n a suficiente pérdida de reputación si no cumplen c o n su palabra, los acuerdos serán exigibles. Condiciones probables que pueden llevar a la exigibiüdad de los acuerdos son grupos pequeños, inter- acción repetida o la existencia de partidos políticos responsables. La obra de Robert Axelrod (1981) ha cubierto principalmente las primeras dos ra- zones: con interacciones repetidas es importante la sombra del castigo fu- turo. De m o d o similar, grupos pequeños pueden mantener una estrategia de castigar a los que deserten. Desarrollaré un poco más el caso de los par- tidos: si u n o s individuos d e n t r o de un j u g a d o r con veto colectivo perte-
necen a partidos e interactúan unos con otros como representantes de es- tos partidos, hay en juego significativamente más que reputaciones indivi- duales. La deserción de un acuerdo será denunciada a los otros partidos y a la población en general, y las consecuencias serán importantes para el de- sertor. Como resultado, la suposición de acuerdos obligatorios no es impro- bable en el m u n d o real de la política.
Sin embargo, incluso si los acuerdos fueran exigibles, ¿por qué condu- cirían al conjunto descubierto? Ofrezco tres argumentos. El primero es q u e restringir el resultado al conjunto descubierto equivale a pasar por alto otros puntos cubiertos, tales como X en la gráfica n.8 B. ¿Por qué los jugadores racionales acordarían cubrir puntos c u a n d o u n a mayoría de ellos puede hacer un acuerdo que conducirá a Y y derrotará a X no sólo directamente sino también indirectamente? Y si la elección entre dos contratos, u n o es- pecificando X y otro Y, es obvia, entonces la suposición de exigibilidad an- tes examinada conducirá en realidad a Y.
El segundo argumento es que u n a serie de otros conceptos como el con- junto Banks (BanksJ_1985)_ o el Tournament Equilibrium Set de Schwartz
(TEQ; Schwartz, 1990) produce resultados en algún subconjunto del con- junto descubierto. Para nuestros fines, lo más importante es el TffQ de
Schwartz. Éste presupone que los contratos entre legisladores son exigibles pero los legisladores son libres de recontratar; es decir, si encuentran u n a propuesta que u n a coalición mayoritaria prefiera, pueden redactar un con- trato exigible para respaldarla^j^resupone también que dos propuestasxuaT lesquiera pueden ser comparadas directamente. Calcula el conjunto más pequeño dentro del cual es probable que produzca resultados este proceso de recontratación cooperativa. Denomina TEQ a este conjunto y prueba que es un subconjunto de un conjunto descubierto.
El tercer argumento es que incluso los juegos no cooperativos condu- cen a equilibrios ubicados centralmente. Por ejemplo, Barón (1996) ofrece un modelo de votación infinitamente repetida, y el equilibrio se aproxima al votante medio. Los resultados en dimensiones múltiples conducen a ex- pectativas de convergencia hacia el centro del espacio político (donde está ubicado el conjunto descubierto). Por ejemplo, B a r ó n y H e r r ó n (1999), usando un modelo bidimensional con tres legisladores, producen resulta- dos localizados centralmente cuando el horizonte temporal se expande.
'Estos argumentos indican (aunque no prueban) que el conjunto descu- bierto es u n a suposición razonable cuando tratamos de u n a toma de deci- siones dentro de comités (grupos pequeños con interacciones frecuentes) o
con interacciones entre partidos. A su vez, las decisiones de actores más grandes como una c á m a r a de un parlamento se basan en propuestas de ta- les actores pequeños (ya sea un comité formal o u n a reunión informal de líderes de partidos, o el gobierno), de modo que suponer que los resultados cubiertos serán excluidos no es aleo arbitrario, d a d a s las circunstancias. Si el lector está en desacuerdo con esta afirmación, será incapaz de restrin- gir el pronóstico del resultado más allá del conjunto ganador del statu quo como se calculó en las secciones 2 y 3.
4.4. Cálculo del conjunto descubierto inducido
Para los lectores que están de acuerdo en que restringir los resultados a los puntos descubiertos del establecedor de agenda (dentro del conjunto gana- dor del statu quo) es u n a restricción razonable, la tarea no está terminada. Ahora tenemos que identificar estos puntos.
Cabría pensar que la intersección del conjunto descubierto del estable- cedor de agenda con el conjunto ganador de los otros jugadores con veto re- solvería nuestro problema. Sin embargo, esta no es u n a solución, dado que tal vez los dos conjuntos no se intersequen. Además, algunos puntos en el con- junto ganador de los otros jugadores con veto pueden ser cubiertos por pun- tos que en sí mismos no son factibles (no pertenecen al conjunto ganador).
El problema d e l a t o m aj d e decisiones d e J o s miembros individuales del establecedor d e _ a g e n d ^
puntos del conjunto f a c t i M e. ( e l j D Q m u n t ag a n a d o r d é l o s otros jugadores con veto), a aquellos que n o_ e s t é l L C u b i e r t o s por otros puntos factibles. Llama-
remos a la solución para este problema la identificación del conjunto des- cubierto inducido (o el conjunto ganador de los otros jugadores con veta).
La gráfica I I. 9 nos ayuda a resolver este problema sobre la base del análi-
sis presentado hasta aquí. Llamemos W al área donde ha de hacerse una pro- puesta ganadora (el conjunto ganador de los otros jugadores con veto exis- tentes). Llamemos Y al centro de la yema del establecedor de agenda. Si Y fuera un jugador con veto individual, haría la propuesta PI (el punto de W
m á s cercano a su preferencia Y). Si d e n o m i n a m o s la distancia YY' = d sa-
bemos que cualquier p u n t o fuera del círculo (Y, d + 4r) queda cubierto por PI (véase sección 4.2).
Tsebelis y Money (1997) estrecharon a ú n m á s el área de la propuesta al usar cálculos m á s precisos. Demostraron que el conjunto descubierto indu-