En este apartado, se contrastarán los resultados experimentales recién expuestos con las predicciones teóricas derivadas del modelo continuo de dos campos mostradas en el Anexo B, permitiendo una descripción cuantitativa de la dinámica experimental a través del modelo señalado y que a continuación se muestra. En el Anexo B se puede comprobar que la descripción de importantes propiedades del patrón, tales como son el coarsening y su orden, requieren el acoplamiento de h con un término adicional de campo relacionado con la capa móvil de transporte de materia (flujo viscoso). A pesar de todos estos esfuerzos, aún no se había realizado una descripción cuantitativa de la evolución temporal de formación de patrones en el contexto teórico a fin de comparar con los resultados experimentales. Recordemos, la ecuación efectiva que describe la evolución de la altura de una superficie según el modelo hidrodinámico de dos campos para el caso isotrópico [ref] (incidencia normal) es:
Todos los coeficientes de la ecuación (4.1) son estrictamente proporcionales a [19], a excepción de B que representa la difusión superficial efectiva y que puede ser de origen térmico o erosivo. Para las condiciones experimentales utilizadas en este capítulo (baja temperatura), se espera que la morfología final de los patrones sea independiente de , apoyando que el único proceso de difusión que opera es el de origen erosivo, en el que B también llega a ser proporcional a .
A continuación, a partir de las relaciones mostradas en la tabla 4.3 (descritas en el Anexo B) se pueden estimar los valores de los coeficientes de la ecuación (4.1) correspondientes a cada flujo (ver tabla 4.4) [20]. De esta forma para la condición de flujo bajo y considerando que el tiempo donde comienza la formación de los
nanopuntos corresponde a tl 6.25 min, su valor de longitud de onda asociado es λl
35 nm, la longitud de onda a la que se alcanza la saturación λf 50 nm y la amplitud
saturada de la altura de los nanopuntos Af 4 nm, se pueden obtener los valores de
los coeficientes de la ecuación 4.1 que se muestran en la tabla 4.4 para esta condición de flujo bajo. Si asumimos que el único mecanismo de difusión que opera se debe al término erosivo, todos los coeficientes de la ecuación 4.1 serán proporcionales al flujo iónico . Entonces, podemos obtener los nuevos valores de los coeficientes para las otras condiciones de flujo iónico, tal y como se muestra en la tabla 4.4.
Una vez estimados estos coeficientes se procedió a la integración numérica de la ecuación 4.1, dando lugar a las simulaciones en 2+1 (sustrato bidimensional) mostradas en la fig. 4.4. También se puede realizar una comparación entre los perfiles obtenidos de las simulaciones teóricas y los experimentales tanto para el caso de flujo bajo 1, tal y como se puede ver en la figura 4.5 (a) y (b) como para
flujo alto (ver fig. 4.5 (c) y (d)). Como se puede observar, la amplitud simulada y la anchura de las estructuras formadas coinciden a tiempos equivalentes. Además, el desorden de alturas medido a través de la rugosidad global, es bastante similar en ambos sistemas tanto para 10 min como para 30 min de irradiación.
Tabla 4.3. Relaciones para estimar los valores de los coeficientes de la ecuación 4.1 con el tiempo de formación de los patrones tl, su longitud de onda asociada l, la longitud de onda de saturación f y su amplitud saturada Af.
4 / 2 2 / 32 / 1.25 /
Tabla 4.4. Valores de los coeficientes de la ecuación 1 para los distintos flujos iónicos, partiendo de 1 = 6 x 1014 iones/cm2s y guardando el resto la proporcionalidad con el flujo .
(iones/cm2s) (nm2/min) B (nm4/min) l1 (nm/min) l2 (nm3/min)
6 x 1014 10 156 3 236
14 x 1014 23 364 7 550
25 x 1014 42 650 12.5 982
Figura 4.4: Imágenes numéricas de 1 x 1 μm2 de las superficies a bajo flujo 1 = 6 x 1014 iones/cm2 a t = 10 min (a), t = 30 min (b), y t = 60 min (c). Las imágenes insertadas corresponden a las funciones de auto-correlación tomadas sobre un área de 400 x 400 nm2. (d) Curvas PSD extraídas de las imágenes de AFM a diferentes tiempos.
Experimento Teoría
Figura 4.5: Perfiles superficiales de imágenes experimentales (izquierda) y simulaciones numéricas (derecha) para 1 = 6 x 1014 iones/cm2 (a,b) y 3 = 25 x 1014 iones/cm2 (c,d), después de 10 min y 30 min de irradiación.
La correlación cuantitativa entre las simulaciones numéricas y los datos experimentales se puede verificar a través de las evoluciones temporales de w y λ mostradas en la figura 4.6. Las líneas continuas representan los datos obtenidos de las simulaciones teóricas, mientras que los puntos hacen referencia a los datos experimentales (ya mostrados en la sección anterior pero que aquí se vuelven a incluir para una mejor comparación con las simulaciones numéricas). A pesar del buen acuerdo entre las simulaciones y los experimentos, existen pequeñas diferencias entre las predicciones teóricas y los datos experimentales de las características de los patrones, como son en los valores asintóticos de la longitud de onda λf. Estas discrepancias se pueden entender mejor considerando el valor del
coeficiente adimensional / . Conviene recordar que las predicciones de
la amplitud final de los nanopuntos así como su longitud de onda son sólo válidas para procesos de coarsening reducidos (valores grandes de r). En este caso, se tiene un valor de r 5 en las simulaciones numéricas, el cual se encuentra en el límite inferior de validez de las aproximaciones analíticas, que podría explicar las pequeñas diferencias encontradas entre las predicciones teóricas y los resultados experimentales [21].
Figura 4.6: Evolución temporal de la rugosidad global w (a) y la longitud de onda de los patrones (b) de los experimentos para diferentes valores de flujo : 1 = 6 x 1014 iones/cm2s (triángulos negros),
2 = 14 x 1014 iones/cm2s (cuadrados rojos) y
1 = 25 x 1014 iones/cm2s (puntos verdes), extraídos de las imágenes de AFM. Las líneas continuas representan los correspondientes a los resultados obtenidos de las simulaciones numéricas.
De nuevo, se puede ver que el comienzo de la formación del patrón así como la estabilización de éste a tiempos largos, tienen lugar a escalas temporales más cortas para flujos altos. Tal y como se mostró en el apartado anterior en la evolución de w y λ en función de la dosis, el colapso entre todas las curvas corrobora el resultado de que el principal mecanismo de difusión presente en los experimentos es el inducido por la irradiación iónica. Este resultado está de acuerdo con la observación de que los valores asintóticos de las morfologías no se vean afectados por la velocidad de las dinámicas de erosión. Sin embargo, contrasta con la tendencia obtenida en la referencia [7], donde un ritmo mayor de erosión da lugar a valores asintóticos en λ más bajos que los resultantes en una dinámica más lenta. Esta discrepancia se puede explicar si asumimos que en la ref. [7] el principal mecanismo de relajación superficial se encuentra activado térmicamente.