Concept

En esta secci´on veremos c´omo calcular funciones esf´ericas para algunos K ⊆ Aut(Hn)

concretos.

Ejemplo 3.7.1. Si consideramos el grupo K =U(n) actuando sobre Hn de la forma

k·(z, t) = (k.z, t),

entonces K ⊆Aut(Hn) es un compacto maximal. Siempre supondremosK ⊆U(n).

Consideremos (K, Hn) par de Gelfand. En [4] se prob´o que existen dos clases de funciones

esf´ericas:

1. Tipo 1: Est´an parametrizadas en pares (λ, Wj), donde λ es un n´umero real no nu-

lo. Estas provienen de las representaciones de Hn infinitamente dimensionales y las

denotamos por φλ,j(z, t). Se puede ver que estas funciones satisfacen

φλ,j(z, t) =φ1,j(λ

1

2z, λt), si λ >0, (3.14) φλ,j =φ|λ|,j siλ <0. (3.15)

71 3.7. Ejemplos conocidos

2. Tipo 2: Este tipo de funciones esf´ericas provienen de las representaciones unidimen- sionales deHn, y est´an parametrizadas en Cn/K, el espacio de K-´orbitas. M´as a´un, si

ηw y ηw0 son dos funciones esf´ericas asociadas a dos representaciones unidimensionales,

entonces ηw =ηw0 si y s´olo si w y w0 son equivalentes.

Las funciones esf´ericas de tipo 2 sonno-gen´ericas, es decir, tienen medida de Plancherel nula, por lo cual estamos interesados s´olo en las de primer tipo.

¿C´omo construimos estas funciones esf´ericas?

Seguiremos la construcci´on hecha en [4]. Dado un par de Gelfand (K, Hn), la repre-

sentaci´on metapl´ectica $ induce una descomposici´on en espacios irreducibles de Hλ como

K-m´odulo

Hλ =

M

j∈Λ

Wλ,j.

Asumamosλ = 1 y denotemos porP(V)R_{al ´algebra de polinomios realesK-invariantes.}

Entonces est´a probado en [4] que existe una base can´onica {pj}_j∈Λ del espacio vectorial

P(V)R_{, p}

j ∈ Wj := Wj,1, tal que la sucesi´on {qj}_j∈Λ es obtenida de {pj}j∈Λ aplicando el

proceso de Gram-Schmidt al conjunto {h1,j ∈ B} con respecto de la medida e−

1 4|v|

2 dv, y normalizandolos para que satisfagan qj(0) = 1.

Las funciones esf´ericas asociadas al par (K, Hn) son de la forma

φ1,j(z, t) = eitqj(z)e

−1

4|z|2_.

De la igualdad (3.14) obtenemos las funciones esf´ericas para λ >0, φλ,j(z, t) = eiλtqj(λ

1 2z)e−

1 4λ|z|2_.

Las funciones esf´ericasφλ,j con λ <0 se obtienen usando (3.15).

Analicemos los casosK =Tn y K =U(n). Consideremos el toroTn,

Tn :=         eiθ1 . .. eiθn   : θ1,· · · , θn∈R      .

Notemos que por ser Tn abeliano, se descompone en subespacios unidimensionales de la

forma Tn= n M r=1 eiθr C.

Luego la representaci´on metapl´ectica se descompone libre de multiplicidad, y por lo tanto (Tn, Hn) es un par de Gelfand.

Los correspondientes polinomios invariantes hα son de la forma

hα(z, t) =

|z|2α

2α_α!, α= (α1, . . . , αn),

3. An´alisis en el grupo de Heisenberg 72

Proposici´on 3.7.2. Las funciones esf´ericas del par (Tn, Hn) son de la forma

φα(z, t) = eite− 1 4|z| 2 n Y j=1 Lαj( 1 2|zj| 2_{), , α= (α} 1, . . . , αn) donde Lk(x) = Pk j=o k j (−x)j

j! es el k-´esimo polinomio de Laguerre de orden 0.

Para el caso K = U(n), los espacios irreducibles de la representaci´on metap´ectica ac- tuando sobre P(_Cn) son los polinomios homog´eneos Pj(Cn) con base ortonormal

{ wα √

2m_α! :|α|=m}. Las correspondientes funciones esf´ericas son

φm(z, t) =eite− 1 4|z|2_L(n−1) m ( 1 2|z| 2_), donde L(mn−1)(x) = (n−1)!Pm_j=0 m_j (−x)j (j+n−1)!.

El polinomio L(mn−1) es el m-´esimo polinomio de Laguerre generalizado de orden (n−1).

Otra clase de funciones especiales que aparecen relacionadas a las funciones esf´ericas del par (U(n), Hn) son las funciones de Bessel .

Acerca de los polinomios de Laguerre: (ver [2])

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales respecto del peso e−x_{. El polinomio n-´esimo de Laguerre (de orden 0) surge de resolver la ecuaci´on diferencial}

xy00+ (1−x)y0+ny= 0.

Desarrollando a y en series de potencias se obtiene una relaci´on de recurrencia ak+1 = _(kk₊₁₎−n2ak, y(x) =

∞

X

k=o

akxk.

Se puede ver, que cuando nes un numero natural, se anulan todos los coeficientes mayores e iguales a n. Luego una de las soluciones es un polinomio de grado menor o igual an, llamado n-´esimo polinomio de Laguerre Ln.

Eln-´esimo polinomio de Laguerre es de la forma Lk(x) = k X j=o k j (−x)j j! .

Los polinomios de Laguerre generalizados son una familia de polinomios ortogonales respecto del peso x−m_e−x_{. Estos polinomios L}n

m se obtienen a partir de la resoluci´on de la

ecuaci´on diferencial

73 3.7. Ejemplos conocidos

Luego se tiene queL(0)m =Lm y la f´ormula para los polinomios de Laguerre generalizados

es L(_mn−1)(x) = (n−1)! m X j=0 m j (−x)j (j+n−1)!.

Nota. Familias conocidas de polinomios y funciones especiales puede definirse a partir de

pares de Gelfand (G, K). Por ejemplo, los polinomios de Legendre son funciones esf´ericas asociadas al par (G, K), dondeGes el grupo de rotaciones de_R3 yK el grupo de rotaciones de_R2_{. Las funciones de Bessel surgen al considerar el plano de dimensi´on dos como el cociente}

Cap´ıtulo 4

Teor´ıa general de ´algebras de Lie

En este cap´ıtulo denotaremos a las ´algebras de Lie por g. Dicha ´algebra puede ser real o compleja. Cuando g sea un ´algebra de Lie real, denotaremos por g_C su complexificaci´on, y si denotamos por ga un ´algebra de Lie compleja denotaremos por g_R a su forma real. En este cap´ıtulo nos basamos en [16] y [19].

4.1.

Algebras de Lie nilpotentes, solubles y semisim-´

ples

Dada g un ´algebra de Lie finitamente dimensional, definimos recursivamente la serie central ascendente gk _{para todo k∈}

N asociada a g como la cadena de conmutadores

g0 =g, g1 = [g,g], . . . , gk = [gk−1,gk−1].

Cadagk es un ideal eng, ygk ⊆gk−1 para todok natural. Decimos que el ´algebra de Lie

g es soluble si existe r∈_N tal que gr _{= 0.}

Dada un ´algebra de Lie g definimos la serie central descendente como una cadena de sub´algebras construida de la siguiente forma

g0 =g, g1 = [g,g], . . . ,gk= [g,gk−1]

para todo k natural. Todas las sub´algebras gk son ideales de g que verifican

gk ⊆gk−1.

Definici´on 4.1.1. El ´algebra de Lieg es nilpotente si existe r ∈_Ntal que gr = 0.

Es f´acil ver que un ´algebra de Lie nilpotente no nula tiene centro no nulo, y quegk_⊆g k,

y por lo tanto, un ´algebra de Lie nilpotente es soluble.

Sea n:= m´ın{r : gr = 0}. Se dice que n es el orden de nilpotencia, y un ´algebra de Lie

con orden de nilpotencia n se dice que es n-pasos nilpotente.

Proposici´on 4.1.2. Toda sub´algebra y todo cociente de un ´algebra de Lie nilpotente (resp. soluble) es nilpotente (resp. soluble).