Conclusion

subvariedades de n-1 dimensiones de una variedad n-dimensional, habría que decir que ésta es un hipercono.

 CAPÍTULO QUINTO

significa ‘cero’). Podemos elegir uno de los dos lóbulos del cono nulo en un punto cualquiera P y llamarlo el cono nulo

futuro en P. Nuestra selección se propaga entonces inequí- vocamente por traslación a todos los otros conos nulos. Una transformación puntual que preserva un dado modo de seleccionar los conos futuros se llama ortócrona. Las transfor- maciones ortócronas de Poincaré (respectivamente, de Lorentz) forman un subgrupo del grupo de Poincaré (res- pectivamente, de Lorentz).

La interpretación causal de la geometría de Minkowski arranca de dos hechos simples concernientes a la separación y conexión entre puntos del espacio-tiempo:

(i) La relación ‘mayor que’ entre las coordenadas tempo- rales de dos puntos P y Q es preservada por todas las transformaciones ortócronas de Poincaré si P y Q están conectados; pero, en general, no es preservada por dichas transformaciones si P y Q están separados. Si, como se suponía comúnmente hasta el advenimiento de la Relatividad General, las coordenadas temporales admisibles en la física reflejan el orden temporal “real”, “objetivo” entre los sucesos, es claro que tal orden sólo puede subsistir entre sucesos que ocurren en puntos conectados entre sí, mas no entre sucesos que ocurren en puntos separados.

(ii) Las condiciones físicas que gobiernan la construcción de las cartas de Lorentz implican que dos puntos se- parados P y Q pueden unirse mediante una señal sólo si ésta viaja más rápido que la luz (relativamente a cualquier marco de referencia inercial en que el tiempo está definido según el procedimiento de Einstein). A la luz de estos dos hechos, vemos que cualquier señal más rápida que la luz, es decir, cualquier transferencia de energía y momento con velocidad |dr/dt| > c (donde t y r

denotan, respectivamente, el tiempo y el vector de posición en una carta de Lorentz) adolece de indeterminación en cuanto a su origen y su destino, pues el suceso que respecto

Causalidad y geometría cósmica 

a algunas cartas de Lorentz es la emisión de esa señal constituye su recepción respecto de otras, y viceversa. Si tal indeterminación repugna a nuestras ideas o sentimientos metafísicos tendremos que concluir que todas las transferen- cias de energía y momento ocurren a una velocidad igual o menor que la de la luz, de modo que una influencia física sólo puede ejercerse entre puntos conectados en el espacio- tiempo. De ello se sigue que no puede haber una relación causal entre sucesos que ocurren en puntos separados y que dos sucesos conectados causalmente tienen que ocurrir en puntos conectados.

Estas consideraciones confieren a la geometría de Min- kowski un claro sentido causal, pero ¿significa eso que ella es sólo un reflejo del sistema de las relaciones causales? A primera vista, no parecería que las relaciones de conexión y separación puedan abarcar o generar el sistema íntegro de los predicados cronogeométricos. Sin embargo, este sorpren- dente resultado está implícito en la formulación axiomática

de la geometría de Minkowski por A. A. Robb (1914).

Reichenbach (1924, 1928) la pasa por alto, pero Henryk Mehlberg la aprovecha a fondo en su “Essai sur la théorie causale du temps” (1935/37). Mehlberg deriva la geometría del espacio-tiempo de la Relatividad Especial de un conjun- to de axiomas con un solo primitivo, a saber, un predicado binario que viene a corresponder exactamente a nuestro ‘X

está conectado con Y’ (pero que Mehlberg llama sin remil- gos ‘le rapport causal’). No hay que darle mucha importan- cia a tales proezas de economía sintáctica. Usualmente, la parquedad de los primitivos (términos que no se definen) resulta compensada por el número y la complejidad de los axiomas (proposiciones que no se demuestran). Por ejemplo, Mario Pieri (1899) definió todos los conceptos de la geo- metría euclidiana a partir del solo concepto de movimiento, pero sus veinte axiomas constriñen de tal modo los movi- mientos en cuestión que basta un solo postulado suplemen- tario —equivalente al Postulado V de Euclides— para que sus ‘movimientos’ coincidan precisamente con las traslaciones y rotaciones del espacio euclidiano. Del mismo modo, la

 CAPÍTULO QUINTO

relación causal de Mehlberg no es la noción general y neutra que físicos y filósofos asocian con esa expresión, pues los axiomas de Mehlberg la cargan con todas las connotaciones del estar conectado en el espacio-tiempo de Minkowski. No obstante, el logro de Mehlberg —y de Robb— es mucho más significativo que el de Pieri. Si comparamos el ‘rapport causal’ de Mehlberg —o sea, el estar conectado— con el invariante fundamental de la geometría de Minkowski, esto es, el valor numérico de la separación entre pares de puntos, es claro que la invariancia de éste es una condición mucho más estricta que la de aquél.14 _{Al fin y al cabo, dos puntos}

están conectados cuando su separación es igual a cualquier

número igual o menor que 0 y la multitud de éstos es indenumerable. Sin embargo, el grupo de transformaciones puntuales (“activas”) que preservan el estar conectado —el “grupo causal”— difiere sólo trivialmente del grupo de Poincaré (que es un subgrupo suyo). Como demostró E. C. Zeeman (1964), el grupo causal del espacio-tiempo de Minkowski es el grupo generado por el grupo de Poincaré y el grupo de las dilataciones.15 _{Las dilataciones son, por}

cierto, indenumerables: añaden toda una dimensión al grupo de Poincaré. Pero la diferencia corresponde a la libertad de optar entre diversas unidades de medida y no posee una significación geométrica profunda. Así, el Teorema de Zeeman combinado con la antedicha interpretación causal de la conexión cronogeométrica bastan aparentemente para esta- blecer que, en un universo regido por la Relatividad Espe- cial, la estructura del espacio-tiempo refleja el sistema de las relaciones causales. Sin embargo, como paso a mostrar, pueden esgrimirse varios argumentos que minan la fuerza o restrin- gen el alcance de esta aseveración.

14. Dicho de otro modo: la condición |P-Q| = constante es más estricta que la condición |P-Q| £ 0.

15. Una dilatación es una permutación del espacio-tiempo que