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5. CONCLUSIONS AND FUTURE RESEARCH
La simulación numérica del sistema de ecuaciones (11), se obtiene sustituyendo las derivadas, tanto espaciales como temporales con diferencias finitas (Madec, 2008). Para ello, el sistema de ecuaciones (11) se traduce a un sistema de diferencias en mallas de cierta resolución que permiten la estimación de los campos en un conjunto discreto y finito de puntos espaciales y temporales. Las variables se especifican en cada punto de malla de tres dimensiones (longitud, latitud y profundidad) y evolucionan paso a paso en el tiempo.
Discretización espacial
La discretización espacial de las ecuaciones primitivas utiliza además las siguientes aproximaciones:
Aproximación de la esfericidad de la Tierra:
Las superficies geopotenciales se aproximan como si fueran esféricas para que el vector aceleración de la gravedad sea paralelo a la dirección radial, hacia el centro de la Tierra. Se utilizan coordenadas curvilineas (vectores base i, j y k) donde el vector k es normal a la superficie y los vectores (i, j), perpendiculares a k, son tangentes a las superficies geopotenciales, dirigidos hacia el este y hacia el norte respectivamente.
Aproximación de agua poco profunda:
La profundidad media de los oceános es alrededor de 4 km y es despreciable com- parada al radio terrestre de 6400 km, por lo tanto el radio en las coordenadas esfé- ricas se toma como constante e igual al radio de la Tierra.
En el modelo NEMO, la distribución de las variables se hace sobre una malla C de Arakawa tridimensional (Arakawa y Lamb, 1977). La Figura 4 muestra la localización de las variablesT, u, v, w y f sobre la malla de C de Arakawa. El sistema de ecuaciones primitivas se discretiza horizontalmente usando diferencias finitas de segundo orden y discretizadas verticalmente en los niveles verticalesz.
Figura 4. Localización de las variables sobre una malla C de Arakawa. En los puntos T se calculan la temperatura y la salinidad, los campos de vorticidad son calculados en los puntos f y las velocidades son calculadas sobre los puntosu,vyw.
Discretización temporal
El esquema de discretización usado en NEMO para los términos no difusivos es el esquema centrado llamado “leap-frog”. Al inicio de la simulación, a partir de las condicio- nes iniciales el paso de tiempo es hacia adelante usando un esquema de integración de tiempo de Euler que permite calcular la evolución de las variables pronósticasx:
x1 =x0+ ∆tRHS0, (12)
dondex representa u,v,T o S; RHS es el término derecho de la ecuación de evolución temporal; y∆tes el paso de tiempo.
Después, las derivadas eulerianas son discretizadas según un esquema de “leap-frog” de tres tiempos. Este esquema consiste en avanzar la variable x de un paso de tiempo
t−∆t a un paso de tiempot+ ∆tusando la evaluación de RHSen el paso de tiempo t:
xt+∆t =xt−∆t+ 2 ∆tRHSt, (13)
por los términos advectivos de los trazadores, los términos de cantidad de momento, el gradiente de presión y los términos de Coriolis, pero inestabiliza los términos difusivos que usan el esquema de integración de tiempo hacia delante de Euler.
Además, el esquema “leap-frog” es estabilizado por un filtro deAsselin(Asselin, 1972) que previene la inestabilización del modelo numérico debido a la divergencia de los pasos de tiempo pares y impares de la ecuación:
xtf =xt+γ xft−∆t−2xt+xt+∆t , (14)
donde el índicef muestra los valores filtrados yγ es el coeficiente deAsselin.
2.1.3. Parametrizaciones
En el océano los fenómenos físicos se producen a varias escalas temporales y espa- ciales. Sin embargo el sistema de ecuaciones primitivas (ecuaciones (11)) en el modelo resuelven las escalas del orden de kilómetros en la horizontal, del orden de metros en la vertical y de minutos en el tiempo. Con la discretización de las ecuaciones primitivas se resuelve únicamente fenómenos cuyas escalas espaciales son mas amplias que el gro- sor de malla. Por lo tanto, los fenómenos de escala más pequeña como los movimientos turbulentos y de difusión no son resueltos explícitamente por el sistema de ecuaciones del modelo.
Estos procesos de las escalas no resueltas deben ser parametrizados para que el mo- delo los tenga en cuenta, porque su impacto en los procesos si resueltos es importante por medio de los fenómenos de disipación de energía o de mezcla turbulenta. Por lo tan- to, los efectos de pequeña escala provocados por los términos advectivos de la ecuación de Navier-Stokes, deben ser representados en las escalas más grandes de las variables del modelo. Así los procesos no resueltos de pequeña escala son parametrizados por los términos de difusión en las ecuaciones (11a), (11d) y (11e) (Du, DS, y DT). Con ayuda
de la hipótesis de cerradura turbulenta, la cual nos permite de expresar los términos de difusión en función de las variables si resueltas suponiendo que estos términos dependen linealmente de los gradientes de las variables de gran escala. Los principales problemas de la parametrización son la representación de las corrientes gravitacionales, la convec- ción profunda, los accidentes topográficos, la convección de difusión y de disipación, y de
la difusión viscosa.
La anisotropía entre los movimientos horizontales y verticales debido a la rotación y la gravitación terrestre, en cierta medida justifica que la parametrización de la física de los procesos de las escalas no resueltas se dividan en la componente horizontal (Du
h,DSh,
DT
h) y la componente vertical (Dvu,DvS,DvT). Parametrización de las escalas no resueltas
En la capa de mezcla y en la ventilación del océano profundo se originan los proce- sos turbulentos verticales con unas longitudes inferiores a la resolución del modelo. Las principales fuentes de turbulencia vertical no resueltas por el modelo son provocadas por el rompimiento de ondas internas, mezcla vertical, intercambio entre la cantidad de mo- vimiento y de calor en la interfaz entre océano y atmósfera, y deben ser parametrizados para que el sistema de ecuaciones primitivas del modelo las tenga en cuenta. Los ope- radores de difusión verticales de las velocidades y de los trazadores (Ty S), dependen linealmente de los gradientes verticales locales de las variables de gran escala, de forma análoga a la difusión molecular de la ley de Fick:
Du v = ∂ ∂z Amv ∂uh ∂z , (15a) DTv = ∂ ∂z ATv ∂T ∂z , (15b) DS v = ∂ ∂z ATv ∂S ∂z , (15c) donde los Du
v, DTv y DvS son respectivamente los términos de difusión vertical para las
velocidades y para los trazadores, cada unos de estos términos están asociados a unos coeficientes de viscosidad y de difusión (Am
v para las velocidades yATv para los trazado-
res).
Para calcular estos coeficientes usamos el esquema de cerradura turbulenta de la energía cinética turbulenta de orden 1.5 (Blanke y Delecluse, 1993). La energía cinética
turbulenta e0 es primero pronosticada con la ayuda de las fluctuaciones del campo de velocidades, calculadas a partir de la descomposición según el desarrollo de Reynolds entre las velocidades medias (u,v,w) y las fluctuaciones (u0,v0,w0):
e0 = 1
2 u
02+v02+w02
, (16)
donde la evolución temporal de e0 es el resultado del balance entre la producción de e0
a través de la cizalladura vertical y de la destrucción por estratificación, de la difusión vertical y de la disipación de Kolmogorov:
∂e0 ∂t =A m v ∂uh ∂z 2 | {z } cizalladura − ATv N2 | {z } estratificación + ∂ ∂z Amv ∂e 0 ∂z | {z } difusión − C e3/2 l | {z } disipación , (17) con Amv =Cklk √ e0, (18a) ATv = A m v Prt , (18b) N = s −g f ∂ρ ∂z , (18c)
dondeN es la frecuencia de Brunt-Väisälä,l ylkson las longitudes de onda caracteristi-
cas de la disipación y mezcla turbulenta, yPrtes el número de Prandtl.Ck = 0.1yC =
√
2 2
son constantes implicadas en la mezcla vertical independientes de la profundidad.Prt es
definido en función del número de Richardson local (Ri):
Prt = 1 si Ri≤0.2, 5 Ri si 0.2≤Ri≤2, 10 Ri si Ri≥2. (19)
El modelo de cerradura de energía cinética turbulenta no tiene en cuenta las inversio- nes de densidad en la capa de mezcla del océano. Por otro lado, el esquema de ajuste convectivo llamado “enhanced vertical diffusion” (Lazar et al., 1999) permite aumentar fuertemente y localmente los valores de los coeficientes de difusión vertical para las ve- locidades y para los trazadores y así conseguir una mezcla eficaz en las regiones donde la estratificación es inestable. Esto permite tener una columna de agua más estable y resolver los problemas de convección.
Parametrización de las escalas no resueltas horizontales
La turbulencia horizontal está compuesta por la turbulencia de mesoescala asociada a los remolinos, que es resuelta explícitamente por el modelo si la resolución es la adecua- da, sin embargo la turbulencia de sub-mesoescala no es resuelta explícitamente y debe ser parametrizada para que el modelo considere los procesos físicos de las escalas no resueltas.
La parametrización de las escalas correspondientes a las escalas no resueltas hori- zontales, conciernen a los términos de difusión horizontal (DT
h,D
S
h) de los trazadores y de
viscosidad (Du
h) de las velocidades. Estos términos de disipación horizontal se calculan
a partir de un operador Lapaciano o bilapaciano que actúa sobre las superficies de las isopicnas en la caso de los trazadores y sobre las superficies geopotenciales para las velocidades. Por lo tanto, la mezcla horizontal de los trazadores y de las velocidades se escribe Laplaciano DhΘ =∇· AΘh ∇Θ , Bilaplaciano DhΘ =∆· AΘh ∆Θ , (20)
dondeAΘh es el coeficiente de difusión o viscosidad horizontal yΘindica las variablesT,S
yu. Para las variables de los trazadores, el modelo NEMO unicamente permite el opera- dor Laplaciano que actué a lo largo de las superficies de las isopicnas. Al contrario, para las velocidades el modelo NEMO permite la elección entre el Laplaciano o bilapaciano de- pendiendo de los efectos deseados y de la resolución espacial escogida. La atenuación de las velocidades del modelo es inversamente proporcional al orden de derivación es- pacial del operador. Por lo tanto los movimientos de gran escala son más suavizados por
el operador Laplaciano que con el operador bilaplaciano. En cambio, el operador bilapla- ciano que es el cuadrado del Lapaciano, es más selectivo respecto a las bajas longitudes de onda que disipa. El papel de los operadores es disipar la energía en las pequeñas escalas, de tal manera que el espectro de la vorticidad se asemeje al espectro teórico de Kolmogorov. Como consecuencia, la energía que tiende a acumularse en las escalas de la malla del modelo debe disiparse, sin modificar la actividad de mesoescala resuel- ta explícitamente, e impedir el desarrollo de inestabilidades numéricas para asegurar la estabilidad del modelo.
Como la difusión horizontal se hace a lo largo de las superficies de las isopicnas o de los geopotenciales, los coeficientes de difusión AΘ
h varían con la latitud, linealmente en
el caso Laplaciano y cuadrática o cúbicamente en el caso bilaplaciano con respecto a la resolución zonal∆xde la malla para que el número de Reynolds de malla sea constante sobre el dominio por lo tanto evita el desarrollo de inestabilidades numéricas:
Laplaciano AΘh =AΘ0 h ∆x ∆x0 , Bilaplaciano AΘh =AΘ0 h ∆x ∆x0 2 o AΘh =AΘ0 h ∆x ∆x0 3 , (21) dondeAΘ0
h es el coeficiente de difusión o de viscosidad fijado en el ecuador y∆x0 es el
paso de malla en el ecuador.
2.1.4. Condiciones de frontera
El océano comparte interfaces con otros sistemas como la línea de costa, la topografía o en la superficie con la atmósfera intercambiando flujos de calor, de agua dulce y de cantidad de momento entre el océano y la atmósfera. Sin embargo, los modelos que no están acoplados a la atmósfera ni a los continentes necesitan el suministro de los flujos derivados del intercambio del océano y sus fronteras, por lo cual las condiciones en las fronteras deben ser especificadas.
Condiciones de la frontera océano-continente
Los intercambios entre los continentes y el océano están con formados por los flujos de agua dulce suministrada por la desembocadura de los ríos sobre los océanos. Las
principales descargas de agua dulce en el GdM son en la vertiente norte del Golfo los ríos Mississippi y Bravo, en la vertiente oriental del Golfo los ríos Pánuco, Papaloapan, Coatzacoalcos y Tonalá, y por último la vertiente sur del Golfo donde se filtran aguas subterráneas de la plataforma de Yucatán. Las desembocaduras de estos ríos logran dis- minuir la salinidad superficial alrededor de las áreas como la pluma de agua dulce del río Mississippi. Para representar estos efectos, el modelo NEMO tiene en cuenta las descar- gas de agua dulce a través de una malla de flujos netos de agua dulce superficiales. Sin embargo, estos efectos sobre la disminución de la salinidad superficial en las áreas de desembocadura de los ríos también están contemplados en los valores de las climatolo- gías a los cuales NEMO es actualizado cada cierto tiempo.
Condiciones de frontera en el fondo
Consideramos un fondo del océano con condiciones de tipo Neumann es decir im- permeable. Por lo tanto los flujos de calor geotérmico y de sal son iguales a cero, puesto que las escalas empleadas en el estudio son muy inferiores a las escalas geológicas, por lo cual podemos escribir:
w0T
b = 0,
w0S
b = 0,
(22)
donde el subíndiceb indica el fondo del océano.
La velocidades perpendiculares a la frontera del fondo son nulas, es decir:
w=−uh·∇h(H). (23)
Finalmente, para parametrizar la disipación por fricción con el fondo usamos una fric- ción cuadrática sobre las velocidades horizontales:
Du v = ∂Bh ∂z z=−H con Bh =Amv ∂uh ∂z z=−H =CD q kub h k2 +qh ubh, (24)
dondeBh indica el flujo vertical de momento en el fondo, CD es el coeficiente de fricción
reas y las ondas internas, yubhcorresponde a la velocidad horizontal en la capa límite del fondo.
Condiciones de frontera laterales
Las condiciones de frontera laterales corresponden a las condiciones de frontera liga- das a la costa como la línea de costa, las paredes verticales de la batimetría. Por lo tanto, la velocidad perpendicular a la costa es igual a cero y la velocidad tangencial a la costa es resuelta de diferentes maneras en NEMO (Ver Figura 7.2 en el manual de (Madec, 2008)).
Por un lado, existe la condición de libre deslizamiento (o “free-slip” en inglés), la cual implica la ausencia de fricción; por lo tanto las velocidades tangenciales no son impuestas en la costa sino que son iguales a una velocidad ficticia de misma magnitud y de mismo sentido en el punto en el interior de la pared y por lo tanto la vorticidad es cero.
NEMO también puede usar la condición de no-deslizamiento (o “no-slip” en inglés) que impone un decaimiento lineal de la velocidad tangencial hasta alcanzar un valor nulo en la pared a través de una velocidad ficticia de misma magnitud pero de signo contrario en un punto en el interior de la pared. Esta condición permite simular la presencia de una capa límite.
Además, NEMO ofrece la posibilidad de una condición intermedia entre el libre des- lizamiento y el no-deslizamiento llamada “partial-slip” en inglés, en la cual la velocidad tangencial no es igual a cero en la pared sino que es igual a una fracción de la veloci- dad ficticia en el punto en el interior más cercano a la pared. Por lo tanto esta velocidad ficticia no es lo suficientemente fuerte para hacer que la velocidad tangencial a la costa desaparezca.
Condiciones de frontera abierta
En nuestro caso, la malla de la configuración del modelo está acotada a una región oceánica que debe comunicarse con el resto del océano global a través de las fronteras abiertas. Por esa razón, las variables pronósticasu, v,T,Sy la altura del mar son espe- cificadas en las fronteras por medio de una climatología o salidas de otra simulación. Las
condiciones de frontera abierta pueden ser habilitadas específicamente o radiativamente. En nuestras simulaciones, las condiciones de frontera abierta extraídas del modelo global ORCA025-MJM95 desarrollado por el proyecto DRAKKAR son de tipo radiativas, a fin de que las perturbaciones abandonen el dominio con un mínimo de energía espuria reflejada (Penduff, 1998).
Además las condiciones de frontera abierta necesitan la presencia de una capa que atenúa las variables en las fronteras abiertas para disipar, a través del aumento de la difusión horizontal sobre las velocidades (es decir aumento del coeficienteAmh), las ines- tabilidades relacionadas con la interacción entre las diferentes simulaciones.
Condiciones de frontera superficiales
En la frontera entre el océano y la atmósfera, tienen lugar el intercambio de flujos de cantidad de movimiento, de calor y de agua dulce.
a) Flujos de cantidad de momento
Los flujos de momento en la superficie se relacionan con el esfuerzo del viento sobre la superficie del océano. En el primer nivel vertical los flujos de momento son impuestos como una condición de frontera en la superficie, y se pueden escribir:
Duh|z=0 = Amv ∂uh ∂z z=0 = τ ρ0, (25)
dondeρ0 es la densidad del agua del mar en la superficie,τ es el vector del esfuerzo del viento yAmv es el coeficiente de viscosidad turbulenta.
b) Flujos de calor
El flujo neto de calor recibido por el océano en la superficie corresponde a los flujos de la radiación solarQsol, los flujos infrarrojos de la radiación de longitud de onda larga
Qir, los flujos de calor latenteQlat y los flujos de calor sensibleQsen:
Qnet = Qsol+Qir | {z } flujos radiativos + Qlat+Qsen | {z } flujos turbulentos . (26)
en la superficie: DTh z=0 = A T v ∂T ∂z z=0 = Qnet ρ0Cpw , (27)
dondeCpwes la capacidad calorífica del agua de mar yATv es el coeficiente de viscosidad
turbulenta.
c) Flujos de agua dulce
Los flujos de agua dulce en la superficie corresponden a la suma de las contribuciones de la evaporación E, de la precipitación P y de los ríos R por lo que el flujo neto se escribe como:
EMP = E−P−R. (28)
En consecuencia el flujo de agua dulce en la superficie se impone sobre los flujos de sal turbulentos verticales: DS h z=0 = A S v ∂S ∂z z=0 = +ρ0 ρsEMP, (29)
donde ρ0 y ρs son las masas volumétricas del agua dulce y el agua salada, respectiva- mente.
Igualmente que la temperatura, la salinidad superficial tiene un relajamiento hacia una salinidad climatológica superficial para evitar la deriva del modelo:
EMPcorr = 1 τs Sz=0−Sobsz=0 Sz=0 , (30)
dondeSz=0 ySobsz=0son las salinidades superficiales del modelo y de la climatología yτses
una escala de tiempo de la relajación.
Además, el modelo NEMO usa una condición de superficie libre (Roullet y Madec, 2000). Por consiguiente, la ganancia o la pérdida de agua dulce provoca una dilución o concentración de la sal, por esa razón el nivel del mar varía y como consecuencia se
modifica el volumen del océano lo que se traduce por:
∂η
∂t = w|z=η− uh|z=η ·∇h(η) + P + R−E, (31)
donde η es la elevación del nivel del mar y los flujos de agua dulce tienen unidades de milímetros por día.
d) Estimación de los flujos radiativos y turbulentos
Para estimar los flujos radiativos y turbulentos superficiales usamos las fórmulas de
bulk debido a que necesitamos constantemente la temperatura superficial del mar calcu- lada por el modelo, que a su vez depende de las variables atmosféricas.
Por una parte, podemos obtener los flujos turbulentos del calor latente, del calor sen- sible y el vector del esfuerzo del viento a partir de las fórmulas aerodinámicas de bulk:
Qsen =ρa(θa, qa,P)CH(Ts, Xa)Cp |U10−uo|[θa−Ts], (32a)
Qlat =ρa(θa, qa,P)CE(Ts, Xa)Lv |U10−uo|[qa−qsat(Ts)], (32b)
τ =ρa(θa, qa,P)CD(Ts, Xa)|U10−uo| (U10−uo), (32c)
dondeρaes la densidad del aire considerado constante e igual a 1.29 kg m−3,Pes la pre-
sión atmosférica en la superficie del mar,Cp es el calor especifico, Lv es el calor latente
de vaporización del agua, qsat es la humedad específica de saturación, Ts es la tempe-
ratura superficial del mar calculada por el modelo, Xa es el estado de la atmósfera que
depende de la temperatura potencial del aireθa, de la humedad específica del aireqa(las
dos variables obtenidas a 2 m de la superficie del mar), de la velocidad del viento a 10 m indicada porU10yuo es la velocidad superficial del océano calculado por el modelo. Ade-
más,CH,CE,CD son los coeficientes de transferencia del calor sensible, de la humedad
y de la cantidad de movimiento parametrizados como muestra Large (2004).
de la base de datos de los reanálisis atmosféricos de los centros operacionales y su parametrización se escribe:
Qsw = (1−α)radsw, (33a)
Qlw =radlw−σT4s, (33b)
donde α es el albedo de la superficie del océano, radsw representa la radiación solar
incidente, radlw simboliza la radiación del infrarrojo, −σT4s es el flujo de radiación infra-