Observemos que, si {Ei}i∈I es una base ortonormal de subespacios para K y T ∈
L(K, H) es un operador suryectivo tal que T (Ei) ⊑ H para todo i ∈ I, entonces W =
{T Ei}i∈I es una sucesión generadora para H. Sin embargo, el primer ejemplo muestra
que, en general, tal sucesión W puede tener P (W) = ∅, i.e. Ww no es un marco de
subespacios para H, para cualquier sucesión w ∈ ℓ∞ +(I).
Ejemplo 4.4.1. Sea B = {en}n∈N una base ortonormal de H. Para k ∈ N, consideremos
el espacio Ek= span{e2k−1, e2k} . Entonces Ekresulta una base ortonormal de subespacios
para H. Sea T : H → H el operador (definido en un denso) dado por T en= 2−ke1 si n = 2k − 1 ek+1 si n = 2k .
Entonces T puede extenderse a un operador acotado y suryectivo (a quien seguimos llamando T ), dado que la sucesión {T ek}k∈N es claramente un marco ajustado para H.
Veremos que la sucesión de subespacios cerrados
cumple que P (W) = ∅. Supongamos que, por el contrario, w ∈ P (W). Entonces, por la Ec. (1.24) aplicada a f = e1 ∈
\
k∈N
Wk, tenemos que w ∈ ℓ2(N). Pero esto contradice
la existencia de una cota inferior de marco AWw para Ww = (wk, Wk)k∈N, porque para
todo k ∈ N, AWw = AWwkek+1k 2 ≤X j∈N wj2kPWjek+1k 2 = w2 k −−−→ k→∞ 0 .
Notemos que, por definición, γ(T PEk)
kT PEkk
= 2−k1 −−−→
k→∞ 0.
El operador T y la base ortonormal E = {En}k∈N del ejemplo anterior no satisfacen la Ec.
(4.1) del Teorema 4.0.6. Sin embargo, (4.1) no es una condición necesaria que asegure que P (W) 6= ∅, si W = T E. Esto se muestra en el próximo ejemplo, en donde se muestra un marco de subespacios, imagen por un epimorfismo de una base ortonormal de subespacios, pero que no satisfacen la Ecuación (4.1).
Ejemplo 4.4.2. Sea {ek}k∈N una base ortonormal para H y consideremos el marco (de
vectores) F = {fn}n∈N dado por fn= ek si n = 2k − 1 ek+1 √ k+1 si n = 2k .
Sea T = TF ∈ L(ℓ2(N),H) su operador de síntesis (que es suryectivo). Si {bn}n∈N es la base
canónica de ℓ2(N), entonces T b
n = fn. Para cada k ∈ N hacemos Ek = span{b2k−1, b2k}.
Entonces, por construcción {Ek}k∈N es una base ortonormal de subespacios de ℓ2(N).
Tomemos las sucesiones w = e∈ ℓ∞
+(N) y Wk = T Ek = span{ek, ek+1}, k ∈ N .
Entonces Ww = (wk, Wk)k∈N es un marco de subespacios para H. Sin embargo, T no
cumple la Ec. (4.1), dado que γ(T PEk) = √k+11 , mientras que kT PEkk = 1, para todo
k ∈ N.
En el Ejemplo 4.4.1, se tiene una sucesión generadora W = {Wi}i∈I con P (W) = ∅. El
argumento clave fue que ∩i∈IWi 6= {0}. Esto es suficiente para asegurar que P (W) es
vacío si span{Wi : 1 ≤ i ≤ n} 6= H para todo n ∈ N. Sin embargo, como mostrará el
siguiente ejemplo, esta condicion no es necesaria, aún si dim Wi < ∞ para todo i ∈ I.
Este ejemplo sirve además para mostrar que existen sucesiones generadoras, minimales de subespacios tales que P (W) = ∅.
Ejemplo 4.4.3. Fijemos una base ortonormal B = {ei}i∈N para H. Sea g = ∞ X k=1 e2k 2k/2 ∈ H
(kgk = 1). Para todo n ∈ N, notemos por Pn ∈ L(H) a la proyección ortogonal sobre
Hn = span{e1, e2, . . . , en}. Consideremos la sucesión generadores W = {Wk}k∈N dada por
Wk = span{P2k g , e2k−1} = span ( k X j=1 e2j 2j/2 , e2k−1 ) , k∈ N . Es fácil ver que W es una sucesión minimal.
Lo que está sucediendo en este caso particular es que c [ Wi, Wj] −−−−→
i,j→∞ 0 (rápida-
mente), y por esta razón P (W) = ∅. De hecho, supongamos que w ∈ P (W), y el marco de subespacios Ww tiene cotas 0 < AWw ≤ BWw . Entonces
BWw = BWwkgk 2 ≥X k∈N wk2 kPWkgk 2 =X k∈N w2kkP2kgk2 = X k∈N w2k(1− 2−k) , (4.9)
lo que implica que wk −−−→
k→∞ 0. Por otro lado, para todo k ∈ N,
AWw = AWwke2k−1k 2 ≤X i∈N w2i kPWi e2k−1k 2 = w2 k (4.10)
por lo que AWw = 0, contradiciendo la suposición inicial de que Ww era un marco de
subespacios. Por lo tanto, P (W) = ∅.
Sabemos que {fj}j∈N es un marco de Parseval para H si y sólo si existe un espacio de
Hilbert K que contiene a H tal que fj = PHbj para todo j ∈ N, donde {bj}j∈N es una base
ortonormal para K. En la sección 4.2 se probó que en el caso de marcos de subespacios una implicación era cierta, si reemplazábamos convenientemente las bases ortonormales por bases ortonormales de subespacios. Concretamente, se vio que un marco Parseval de subespacios es la imagen por una proyección ortogonal de una base ortonormal de subespacios. El siguiente ejemplo muestra que la recíproca no es cierta en este contexto.
Ejemplo 4.4.4. Sea {ek}k∈Nuna base ortonormal para H. Consideremos el vector unitario
g =X
k∈N
e2k−1
2k/2 , y sea M = span {g} ∪ {e2k : k∈ N} .
Por otro lado, tomemos la sucesión E = {Ek}k∈N dada por Ek= span{e2k−1, e2k} (k ∈ N).
Entonces E es una bon de subespacios para H. Sea la sucesión W = {Wk}k∈N dada por
Wk= PMEk = span{g , e2k} , para todo k ∈ N .
Entonces P (W) = ∅ por la misma razón que en el Ejemplo 4.4.1, porque g ∈ \
k∈N
El próximo ejemplo muestra que en el caso de marcos de subespacios, la existencia de un marco ajustado canónico no es cierta, a diferencia de los marcos de vectores.
Ejemplo 4.4.5. Sea E = {en}n∈N una base ortonormal de H. Definamos la sucesión
W = {Wk}k∈N como
W1 = span{ek: k ≥ 2} = {e1}⊥ y Wk = span{e1, ek} , para k ≥ 2 .
Notemos que P (W) = ℓ2
+(N). De hecho, una inclusión es clara, y
w∈ P (W) =⇒ ∞ X k=2 w2k = ∞ X k=2 wk2 kPWke1k 2 ≤ B Ww =⇒ w ∈ ℓ 2 +(N) .
Ahora veamos que Ww no puede ser un marco ajustado de subespacios para ningún
w ∈ P (W). Si Ww fuera un marco ajustado, con cota de marco A, entonces para todo k ≥ 2, A = Akekk2 = X i∈N wi2 kPWiekk 2 = w2 1+ wk2 =⇒ w2k= A− w12 , lo que contradice w ∈ ℓ2
+(N). Veamos ahora que el operador de marco SWw ∈ L(H) es
diagonal con respecto a la base ortonormal E, para todo w ∈ P (W). De hecho, TW∗we1 ={wkPWke1}k∈N= 0⊕ {wke1}k≥2 =⇒ SWwe1 = TWwT ∗ Wwe1 = ∞ X k=2 w2k ! e1 .
Por otro lado, si Ek es la copia de Wk en KW, entonces para todo k ∈ N y j ≥ 2,
PEk T ∗ Wwej = w1 ej si k = 1 wj ej si k = j 0 si k 6= 1, j =⇒ SWwej = TWwT ∗ Wwej = (w 2 1+ wj2)ej .
En particular, SW−1/2w es también diagonal. Esto implica que S
−1/2
Ww W = W, que sabemos
que no puede ser ajustado para ninguna sucesión de pesos.
Otra propiedad del presente ejemplo es la siguiente: Ww es un marco de subespacios
para H, pero la sucesión (wk, Wk)k>1 no es una sucesión marco de subespacios (i.e.
un marco de subespacios para span {Wk : k > 1}). Esto puede probarse con los mismos
argumentos utilizados en el Ejemplo 4.4.1, usando que Tk>1Wk 6= {0}.
Ejemplo 4.4.6. Sea B4 ={en}n≤4 una base ortonormal para C4. Consideremos la suce-
sión W = {Wk}k∈N dada por
Veremos que la sucesión GWw = (wk, G(Wk))k∈I3 no es un marco de Parseval para todo
invertible G ∈ M4(C) y todo peso w∈ R3+.
Tomemos una base ortonormal en cada G(Wi)
G(W1) = span{g1, g2} , G(W2) = span{g1, g3} y G(W3) = span{g4} ,
donde gi =
Gei
kGeik para i = 1, 4. Si GW
w fuera de Parseval, entonces el marco
E = {TGWwgk}k∈I5 ={w1 g1, w1 g2, w2 g1, w2 g3, w3 g3} ,
sería un marco de Parseval (de vectores). Sea T ∈ M4,5(C) la matriz con los vectores de
E como columnas. Bajo un cambio de coordenadas adecuado, T es de la forma T = w1 w2 ~v 0 0 V C C3 con ~v = (0, 0, a) ∈ C 3 y V ∈ M 3(C) . Dado que T T∗ = Id
4, es fácil ver que V ∈ U(3). Pero esto es imposible dado que las
dos primeras columnas de V tienen normas kw1g2k = w1 y kw2g3k = w2, mientras que
1 = w2
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