4. CHALLENGES OF CLOUD COMPUTING
4.2.2. Consequences
Problema 5.4.1 (3 puntos) Hallar todas las matrices
X = a 0
b c
!
; a, b, c∈R
que satisfacen la ecuaci´on matricial
Problema 5.4.2 (3 puntos) Se considera la funci´on real de variable real definida por f(x) = s x2−4 x2−1 1. Determinar su dominio de definici´on. 2. Obtener sus as´ıntotas.
Problema 5.4.3 (2 puntos)En una empresa se producen dos tipos de bom- billas: hal´ogenas y de bajo consumo, en una proporci´on de 3 a 4, respecti- vamente. La probabilidad de que una bombilla hal´ogena sea defectuosa es 0,02 y de que una de bajo consumo sea defectuosa es 0,09. Se escoge al azar una bombilla y resulta no defectuosa, ¿cu´al es la probabilidad de que sea hal´ogena?.
Problema 5.4.4 (2 puntos) El precio de ciertos electrodom´esticos puede considerarse como una variable aleatoria con distribuci´on normal de desviaci´on t´ıpica 100 euros. Los precios en euros correspondientes a una muestra de 9 de estos electrodom´esticos son
255 85 120 290 80 80 275 290 135
1. Construir un intervalo de confianza al 98 % para la media poblacional. 2. Hallar el tama˜no m´ınimo que debe tener la muestra, para que con un nivel de confianza del 99 %, el error de estimaci´on del precio no supere los 50 euros
5.5.
Septiembre 2004 - Opci´on A
Problema 5.5.1 (3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del par´ametro realm:
mx+ y− 3z= 5 −x+ y+ z= −4 x+ my− mz = 1
1. Disc´utase el sitema seg´un los diferentes valores del par´ametrom. 2. Resu´elvase el sistema para m= 2.
Problema 5.5.2 (3 puntos) Se considera la funci´on real de variable real definida por
f(x) = x 3
a −ax
1. Obtener los valores deapara los cuales la funci´on f(x) tiene un m´axi- mo enx= 1.
2. Calcular los extremos relativos de f(x) para a = 3 y representar la funci´on.
Problema 5.5.3 (2 puntos) Una cierta instalaci´on de seguridad tiene ins- talados dos indicadores. Ante una emergencia los indicadores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer indicador es 0,95 y de que se active el segundo es 0,90.
1. Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active s´olo uno de los indicadores.
2. Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active al menos uno de los indicadores.
Problema 5.5.4 (2 puntos) Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos 88, 90, 90, 86, 87, 88, 91, 92, 89. Hallar un intervalo de confianza al 95 % para la media de la poblaci´on, sabiendo que el peso de las tarrinas tiene una distribuci´on normal con una desviaci´on t´ıpica de 1,8 gramos.
5.6.
Septiembre 2004 - Opci´on B
Problema 5.6.1 (3 puntos)Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 ba˜nadores, 1000 gafas de ba˜no y 800 gorros de ba˜no. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes: el loteA, que produce un beneficio de 8 euros, formado por un ba˜nador, un gorro y unas gafas, y el lote B que produce un beneficio de 10 euros y est´a formado por dos ba˜nadores y unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendr´a un coste de 1500 euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el n´umero de lotes A y B que har´an m´aximo el beneficio y a cu´anto asciende ´este.
Problema 5.6.2 (3 puntos) Sean las funciones
f(x) =x2−2x−8; g(x) =−x 2 2 +x+ 4 1. Calcular l´ım x−→4 f(x) g(x)
Problema 5.6.3 (2 puntos) En una poblaci´on, el 40 % son hombres y el 60 % mujeres. En esa poblaci´on el 80 % de los hombres y el 20 % de las mujeres son aficionados al futbol.
1. Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar sea afi- cionada al futbol.
2. Elegida al azar una person resulta ser aficionada al futbol, ¿cu´al es la probabilidad de que sea mujer?.
Problema 5.6.4 (2 puntos) Calcular el tama˜no m´ınimo que debe de tener una muestra aleatoria para garantizar que, en la estimaci´on de la media de una poblaci´on normal con varianza igual a 60, al 90 % de confianza, el error de estimaci´on cometido no sea superior a 3 unidades.
Cap´ıtulo 6
A˜no 2005
6.1.
Modelo 2005 - Opci´on A
Problema 6.1.1 (3 puntos) Se dice que una matriz cuadrada es ortogonal siAAT =I
1. Estudiar si la matrizA es ortogonal
A= 4/5 0 −3/5 3/5 0 4/5 0 1 0
2. Siendo Ala matriz del apartado anterior, resolver el sistema
A x y z = 1 1 −1
Nota: La notaci´on AT significa matriz traspuesta de A.
Problema 6.1.2 (3 puntos) Sea la funci´on:f(x) =x3−3x
1. Calcular sus extremos y sus puntos de inflexi´on.
2. Calcular el ´area del recinto plano acotado limitado por la gr´afica de
f(x), el eje OX y las rectas verticalesx=−1,x= 12.
Problema 6.1.3 (2 puntos) Un ajedrecista gana una partida con probabi- lidad 0,6, la empata con probabilidad 0,3 y la pierde con probabilidad 0,1. El jugador juega dos partidas.
1. Describir el espacio muestral y la probabilidad de cada uno de los resultados de este experimento aleatorio.
2. Calcular la probabilidad de que gane al menos una partida.
Problema 6.1.4 (2 puntos) El n´umero de d´ıas de ausencia en el trabajo de los empleados de cierta empresa para un per´ıodo de seis meses, se puede aproximar mediante una distribuci´on normal de desviaci´on t´ıpica 1,5 d´ıas. Una muestra aleatoria de diez empleados ha proporcionado los siguientes datos
5 4 6 8 7 4 2 7 6 1
1. Determinar un intervalo de confianza al 90 % para el n´umero medio de d´ıas que los empleados de esa empresa han faltado durante los seis ´
ultimos meses.
2. ¿Qu´e tama˜no debe tener la muestra para que el error m´aximo de la estimaci´on sea de 0,5 d´ıas, con el mismo nivel de confianza?
6.2.
Modelo 2005 - Opci´on B
Problema 6.2.1 (3 puntos) Una compa˜n´ıa naviera dispone de dos barcos
Ay B para realizar un determinado crucero. El barcoA debe hacer tantos viajes o m´as que el barcoB, pero no puede sobrepasar 12 viajes. Entre los dos barcos deben hacer no menos de 6 viajes y no m´as de 20. La naviera obtiene un beneficio de 18000 euros por cada viaje del barcoAy 12000 euros por cada viaje delB. Se desea que las ganancias sean m´aximas.
1. Expresar la funci´on objetivo.
2. Describir mediante inecuaciones las restricciones del problema y repre- sentar gr´aficamente el recinto definido.
3. Hallar el n´umero de viajes que debe efectuar cada barco para obtener el m´aximo beneficio. Calcular dicho beneficio m´aximo.
Problema 6.2.2 (3 puntos) Se considera la funci´on real de variable real definida por f(x) = ( 2x2−3x+ 1 si x≤1 lnx si x >1 1. Estudiar la continuidad def(x) enx= 1. 2. Esbozar su gr´afica.
Problema 6.2.3 (2 puntos) En un centro de ense˜nanza hay 240 estudian- tes matriculados en 2o curso de Bachillerato. La siguiente tabla recoge su distribuci´on por sexo y por opci´on que se cursa
Chicas Chicos Cient´ifico−Tecnol´ogica 64 52 Humanidades y C.Sociales 74 50
Si se elige un estudiante al azar de entre los que cursan 2o de Bachillerato en ese centro, calcular la probabilidad de que:
1. No curse la opci´on Cient´ıfico-Tecnol´ogica.
2. Si es chico, curse la opci´on de Humanidades y Ciencias Sociales.
Problema 6.2.4 (2 puntos)La temperatura corporal en una cierta especie animal es una variable aleatoria que tiene una distribuci´on normal de media 36,7oC y desviaci´on t´ıpica 3,8oC. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 ejemplares de esa especie. Hallar la probabilidad de que la temperatura corporal media de la muestra:
1. Sea menor o igual a 36,9oC.
2. Est´e comprendida entre 36,5oC y 37,3oC.
6.3.
Junio 2005 - Opci´on A
Problema 6.3.1 (3 puntos)Se considera el siguiente sistema lineal de ecua- ciones, dependiente del par´ametro realk
2x− 3y+ z= 0 x− ky− 3z= 0 5x+ 2y− z= 0 Se pide:
1. Discutir el sistema para los distintos valores dek. 2. Resolver el sistema en los casos en los que sea posible.
Problema 6.3.2 (3 puntos) La funci´on:
B(x) = −x
2+ 9x−16
x
representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de venta, siendo x el n´umero de art´ıculos vendidos. Calcular el n´umero de art´ıculos que deben venderse para obtener el beneficio m´aximo y determinar dicho beneficio m´aximo.
Problema 6.3.3 (2 puntos) Una caja con una docena de huevos contiene dos rotos. Se extraen al azar sin reemplazamiento (sin devolverlos despu´es y de manera consecutiva) cuatro huevos.
1. Calcular la probabilidad de extraer los cuatro huevos en buen estado. 2. Calcular la probabilidad de extraer de entre los cuatro huevos, exac-
tamente uno roto.
Problema 6.3.4 (2 puntos)En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cu´antos libros lee al a˜no, obteni´endose una media de 5 libros. Se sabe que la poblaci´on tiene una distribuci´on normal con desviaci´on t´ıpica 2.
1. Hallar un intervalo de confianza al 80 % para la media poblacional. 2. Para garantizar un error de estimaci´on de la media poblacional no
superior a 0,25 con un nivel de confianza del 95 %, ¿a cu´antas personas como m´ınimo ser´ıa necesario entrevistar?.
6.4.
Junio 2005 - Opci´on B
Problema 6.4.1 (3 puntos)Un mayorista vende productos congelados que presenta en dos envases de dos tama˜nos: peque˜no y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar m´as de 1000 envases en total. En funci´on de la demanda sabe que debe mantener un stock m´ınimo de 100 envases peque˜nos y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases peque˜nos. El coste por almacenaje es de 10 c´entimos de euro para cada envase peque˜no y de 20 c´entimos de euro para cada envase grande. ¿Qu´e cantidad de cada tipo de envases proporciona el gasto m´ınimo de almacenaje?. Obtener dicho m´ınimo.
Problema 6.4.2 (3 puntos)
1. Hallar la ecuaci´on de una recta tangente a la gr´afica de f(x) = e2−x
en el punto donde ´esta corta al eje de ordenadas.
2. Calcular el ´area del recinto limitado por la gr´afica de la funci´onf(x) =
x2−4x, el ejeOX y las rectasx=−1,x= 4.
Problema 6.4.3 (2 puntos) En un experimento aleatorio consistente en lanzar simult´aneamente tres dados equilibrados de seis caras, se pide calcular la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: ”Obtener tres unos”, ”Obtener al menos un dos”, ”Obtener tres n´umeros distintos” y ”Obtener una suma de cuatro”.
Problema 6.4.4 (2 puntos)Para una poblaci´onN(µ, σ= 25), ¿qu´e tama˜no muestral m´ınimo es necesario para estimarµmediante un intervalo de con- fianza, con un error menor o igual que 5 unidades, y con una probabilidad mayor o igual que 0,95?.
6.5.
Septiembre 2005 - Opci´on A
Problema 6.5.1 (3 puntos) En una empresa de alimentaci´on se dispone de 24 kg de harina de trigo y 15 kg de harina de maiz, que se utilizan para obtener dos tipos de preparados: A y B. La raci´on del preparado A
contiene 200 gr de harina de trigo y 300 gr de harina de maiz, con 600 cal de valor energ´etico. La raci´on del preparadoB contiene 200 gr de harina de trigo y 100 gr de harina de maiz, con 400 cal de valor energ´etico. ¿Cu´antas raciones de cada tipo hay que preparar para obtener el m´aximo rendimiento energ´etico total? Obtener el rendimiento m´aximo.
Problema 6.5.2 (3 puntos) Se considera la curva de ecuaci´on y= x 3
x2+ 1. Se pide:
1. Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a dicha curva en el punto de abcisax= 1.
2. Hallar las as´ıntotas de la curva.
Problema 6.5.3 (2 puntos) En un colectivo de inversores burs´atiles, el 20 % realiza operaciones v´ıa internet. De los inversores que realizan operacio- nes v´ıa internet, un 80 % consulta InfoBolsaWeb. De los inversores burs´atiles que no realizan inversiones v´ıa internet s´olo un 20 % consulta InfoBolsaWeb. Se pide:
1. Obtener la probabilidad de que un inversor elegido al azar en este colectivo consulte InfoBolsaWeb.
2. Si se elige al azar un inversor burs´atil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb, ¿cu´al es la probabilidad de que realize opera- ciones por internet?.
Problema 6.5.4 (2 puntos)La duraci´on de las bater´ıas de un determinado modelo de tel´efono m´ovil tiene una distribuci´on normal de media 34.5 horas y una desviaci´on t´ıpica de 6.9 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 36 tel´efonos m´oviles.
1. ¿Cu´al es la probabilidad de que la duraci´on media de las bater´ıas de la muestra este comprendida entre 32 y 33.5 horas?.
6.6.
Septiembre 2005 - Opci´on B
Problema 6.6.1 (3 puntos)Se considera el siguiente sistema de ecuaciones que depende del par´ametro real p
x+ y+ z= 0 −x+ 2y+ pz= −3 x− 2y− z= p
1. Discutir el sistema seg´un los distintos valores dep. 2. Resolver el sistema parap= 2.
Problema 6.6.2 (3 puntos) Se considera la funci´on real de variable real definida por
f(x) = x 2
x2−9 1. Hallar sus as´ıntotas.
2. Calcular sus m´aximos y sus m´ınimos relativos, si existen.
Problema 6.6.3 (2 puntos) SeanA yB dos sucesos, tales que P(A) = 12,
P(B) = 25 yP(A∪B) = 34. Calcular 1. P(B|A).
2. P(A|B).
Nota:Arepresenta el suceso contrario del suceso A.
Problema 6.6.4 (2 puntos) El tiempo de reacci´on de una alarma elec- tr´onica ante un fallo del sistema es una variable aleatoria normal con des- viaci´on t´ıpica 1 segundo. A partir de una muestra de 100 alarmas se ha estimado la media poblacional del tiempo de reacci´on, mediante un inter- valo de confianza, con un error m´aximo de estimaci´on igual a 0.2 segundos. ¿Con qu´e nivel de confianza se ha realizado la estimaci´on?.
Cap´ıtulo 7
A˜no 2006
7.1.
Modelo 2006 - Opci´on A
Problema 7.1.1 (3 puntos) Sea el sistema de ecuaciones lineales depen- dientes del par´ametro a
x+ y+ (a+ 1)z= 9 3x− 2y+ z= 20a x+ y+ 2az= 9
1. Discutir el sistema para los diferentes valores del par´ametro a. 2. Resolver el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. 3. Resolver el sistema para a= 2.
Problema 7.1.2 (3 puntos) Calcular el ´area del recinto acotado limitado por la gr´afica de la funci´on
f(x) =x3+ 5x2+ 2x−8 y el ejeOX.
Problema 7.1.3 (2 puntos)Se dispone de la siguiente informaci´on relativa a los sucesos A yB:
P(A) = 0,6 P(B) = 0,2 P(A∩B) = 0,12 1. calcular las probabilidades de los sucesos
(A∪B) y (A|(A∪B)) 2. ¿Son incompatibles? ¿Son independientes?
Problema 7.1.4 (2 puntos)El tiempo de conexi´on a Internet de los clientes de un cibercaf´e tiene una distribuci´on normal de mediaµy desviaci´on t´ıpica 1,2 horas. Una muestra de 40 clientes ha dado como resultado una media de tiempo de conexi´on de 2,85 horas. Se pide:
1. Determinar un intervalo de confianza al 95 % paraµ.
2. Calcular el tama˜no m´ınimo que deber´ıa tener la muestra para estimar la media de tiempo diario de conexi´on a Internet de los clientes de ese cibercaf´e, con un error menor o igual que 0,25 horas y una probabilidad de 0,95.
7.2.
Modelo 2006 - Opci´on B
Problema 7.2.1 (3 puntos) Un taller dedicado a la confecci´on de prendas de punto fabrica dos tipos de prendas: A y B. Para la confecci´on de la prenda de tipoAse necesitan 30 minutos de trabajo manual y 45 minutos de m´aquina. Para la de tipoB, 60 minutos de trabajo manual y 20 minutos de m´aquina. El taller dispone al mes como m´aximo de 85 horas para el trabajo manual y de 75 horas para el trabajo de m´aquina y debe de confeccionar al menos 100 prendas. Si los beneficios son de 20 euros por cada prenda de tipoA y de 17 euros por cada prenda de tipoB, ¿cu´antas prendas de cada tipo debe de fabricar al mes, para obtener el m´aximo beneficio y a cu´anto asciende ´este?
Problema 7.2.2 (3 puntos) Calcular el valor de a > 0 para que el ´area de la regi´on plana acotada limitada por las gr´aficas de las curvas y = x3,
y=ax, sea igual a 4.
Problema 7.2.3 (2 puntos)Una urna contiene dos bolas. La urna se llen´o ti- rando una moneda equilibrada al aire dos veces y poniendo una bola blanca por cada cara y una negra por cada cruz. Se extrae una bola de la urna y resulta ser blanca. Hallar la probabilidad de que la otra bola de la urna sea tambi´en blanca.
Problema 7.2.4 (2 puntos) Un fabricante de autom´oviles afirma que los coches de un cierto modelo tienen un consumo por cada 100 kil´ometros que se puede aproximar por una distribuci´on normal con desviaci´on t´ıpica 0,68 litros. Se observa una muestra aleatoria simple de 20 coches del citado mode- lo y se obtiene una media de consumo de 6,8 litros. Determinar un intervalo de confianza al 95 % para la media de consumo de ese modelo de veh´ıculos.
7.3.
Junio 2006 - Opci´on A
Problema 7.3.1 (3 puntos) Una papeler´ıa quiere liquidar hasta 78 kg de papel reciclado y hasta 138 kg de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes,A yB. Los lotesA est´an formados por 1 kg de papel reciclado y 3 kg de papel normal, y los lotes B por 2 kg de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote A es de 0,9 euros y el de cada lote B es de 1 euro. ¿Cu´antos lotesAyB debe vender para maximizar sus ingresos? ¿A cu´anto ascienden estos ingresos m´aximos?.
Problema 7.3.2 (3 puntos) Se considera la funci´on real de variable real definida por:
f(x) =x3−9x
Se pide:
1. Calcular sus m´aximos y m´ınimos relativos, si existen.
2. Calcular el ´area del recinto plano acotado limitado por la gr´afica def
y el ejeOX.
Problema 7.3.3 (2 puntos) Una persona cuida de su jard´ın pero es bas- tante distra´ıda y se olvida de regarlo a veces. La probabilidad de que se olvide de regar el jard´ın es 2/3. El jard´ın no est´a en muy buenas condi- ciones, as´ı que si se le riega tiene la misma probabilidad de progresar que de estropearse, pero la probabilidad de que progrese si no se le riega es de 0,25.
Si el jard´ın se ha estropeado, ¿cu´al es la probabilidad de que la persona olvidara regarlo?
Problema 7.3.4 (2 puntos) En cierta poblaci´on humana, la media mues- tralXde una caracter´ıstica se distribuye mediante una distribuci´on normal. La probabilidad de queX sea menor o igual a 75 es 0,58 y la de queX sea mayor que 80 es 0,04. Hallar la media y la desviaci´on t´ıpica deX. (Tama˜no muestral n= 100).
7.4.
Junio 2006 - Opci´on B
Problema 7.4.1 (3 puntos)Encontrar todas las matricesXcuadradas 2×2 que satisfacen la igualdad
XA=AX
en cada uno de los casos siguientes: 1. A= 1 0
0 3
2. A= 0 1 3 0
!
Problema 7.4.2 (3 puntos) Se considera la curva de ecuaci´on cartesiana:
y =x2+ 8x
Se pide:
1. Calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta
y= 2x
2. Calcular el ´area del recinto plano acotado limitado por las gr´aficas de la curva dada y de la recta de ecuaci´on cartesiana
y=x+ 8
Problema 7.4.3 (2 puntos)Se considera el experimento consistente en lan- zar una moneda equilibrada y un dado. Se pide:
1. Describir el espacio muestral de este experimento.
2. Determinar la probabilidad del suceso: ”obtener una cara en la moneda y un n´umero par en el dado”.
Problema 7.4.4 (2 puntos) El tiempo de espera en minutos en una ven- tanilla se supone aproximado mediante una distribuci´on N(µ, σ) con σ = 3 minutos. Se lleva a cabo un muestreo aleatorio simple de 10 individuos y se obtiene que la media muestral del tiempo de espera es de 5 minutos. Determinar un intervalo de confianza al 95 % paraµ.
7.5.
Septiembre 2006 - Opci´on A
Problema 7.5.1 (Puntuaci´on m´axima: 3 puntos)
Una empresa fabrica l´aminas de aluminio de dos grosores, finas y grue- sas, y dispone cada mes de 400 kg de aluminio y 450 horas de trabajo para fabricarlas. Cadam2 de l´amina fina necesita 5 kg de aluminio y 10 horas de trabajo, y deja una ganancia de 45 euros. Cadam2 de l´amina gruesa necesita 20 kg y 15 horas de trabajo, y deja una ganancia de 80 euros. ¿Cu´antosm2
de cada l´amina debe fabricar la empresa al mes para que la ganancia sea m´axima, y a cu´anto asciende ´esta?
Problema 7.5.2 (Puntuaci´on m´axima: 3 puntos)
Dada la funci´on real de variable real definida por:
f(x) = x 2−16
x2−4 Se pide:
1. Encontrar las as´ıntotas de la funci´on.
2. Especificar el signo de la funci´on en las distintas regiones en las que est´a definida.
Problema 7.5.3 (Puntuaci´on m´axima: 2 puntos)
Los tigres de cierto pa´ıs proceden de tres reservas: el 30 % de la primera, el 25 % de la segunda y el 45 % de la tercera. La proporci´on de tigres albinos de la primera reserva es 0,2 %, mientras que dicha proporci´on es 0,5 % en la segunda, y 0,1 % en la tercera. ¿Cu´al es la probabilidad de que un tigre de ese pa´ıs sea albino?
Problema 7.5.4 (Puntuaci´on m´axima: 2 puntos)
La duraci´on de la bater´ıa de cierto tel´efono m´ovil se puede aproximar por una distribuci´on normal con una desviaci´on t´ıpica de 5 meses. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 bater´ıas y se obtienen las siguientes dura- ciones (en meses):
33 34 26 37 30 39 26 31 36 19
Hallar un intervalo de confianza al 95 % para la duraci´on media de este modelo de bater´ıas.
7.6.
Septiembre 2006 - Opci´on B
Problema 7.6.1 (Puntuaci´on m´axima: 3 puntos)
Se considera el sistema de ecuaciones lineales, dependiente del par´ametro