En el caso de los tableros, el análisis de la resonancia se complica respecto al ya visto para las vigas isostáticas. Comprobemos cuales son sus diferencias.
Modos de vibración
En los tableros, se desconoce a priori cuál o cuáles son los modos que condicionan la respuesta máxima en resonancia. A diferencia de la viga, en el que es el primer modo el que marca la respuesta máxima6, aquí los valores máximos se definirán por la combinación de más de un modo. Estamos ante elementos estructurales secundarios sometidos a la acción directa de los ejes y cuya flexión principal se produce, no en la dirección de la luz a salvar, sino en sentido transversal. No existe por tanto, como en el caso de la viga, una forma modal que a priori nos determine de forma clara la respuesta máxima del sistema. Por tanto, el primer paso en el estudio de un tablero, es la determinación y el conocimiento de los modos que gobiernan su respuesta.
Grado de la resonancia: Resonancia máxima y cancelación de la resonancia
Los modos de vibración de un tablero siguen una ley doblemente senoidal dada por i( , )x y sen n x sen m y
a b
π π
φ = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠, por lo que en cada modo y
6 Salvo en algunos casos concretos estudiados por Museros y Alarcón, (2005), donde es necesario considerar
el segundo modo de flexión, puesto que para ciertas relaciones L/d pueden llegar a aparecer aceleraciones en las secciones de cuartos de luz superiores a las que se obtienen en el centro del vano considerando sólo el primer modo.
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en sentido longitudinal tendremos n semiondas longitudinales. Cuando
estudiamos la respuesta dinámica de un determinado punto del tablero debida a la actuación de un eje del tren, considerando un determinado modo con n
semiondas en longitudinal, ocurrirá que el desplazamiento de este punto, vendrá generado por la acción del eje actuando sobre cualquier punto del tablero, y al tratarse de semiondas iguales, la intensidad del desplazamiento o aceleración para ese modo, será la misma si el eje se encuentra al principio o al final del tablero.
Así, en el caso de la Figura 2.36, la actuación de la carga sobre el punto A genera sobre el punto B, el mismo efecto que si estuviese sobre el mismo punto B. No hay que perder de vista que estamos hablando de la excitación que una determinada carga produce sobre uno de los modos de vibración. En la realidad, la afirmación anterior no tendría sentido, puesto que la actuación directa de un eje sobre el punto B, produce un mayor desplazamiento que si el eje actúa sobre A. El acercamiento a esta realidad, vendrá dada siguiendo el método de superposición modal, cuando sumemos la contribución de cada modo.
sy P
A B
sy sy sy
Figura 2.36 Excitación de un modo de vibración del tablero debido a la actuación de un eje del tren
Si ahora observamos la figura 2.37, podremos comprobar que si además de verificar la condición de resonancia, lo cual implica que la acción de los ejes actúen acompasadamente con la frecuencia del modo, conseguimos que el tiempo que un eje tarde en recorrer una longitud igual a la de la semionda, sea igual a medio periodo, habremos conseguido que esta resonancia sea máxima.
Supongamos, tal y como muestra la figura 2.37, que en el tiempo t1 el eje se
encuentra situado en el punto A. En ese instante, la acción del eje produce el levantamiento del punto B del tablero. Si entre el tiempo t1 y el t2, transcurre
la mitad del periodo del modo, el eje llegará al centro de la siguiente semionda justo cuando ésta haya alcanzado su punto más alto y esté a punto de iniciar el descenso, con lo que incrementará los desplazamientos de este punto, haciendo máxima la resonancia.
sy P TIEMPO t1 TIEMPO t2 A B P sy sy sy sy sy B A
Figura 2.37 Actuación resonante de las cargas de un eje sobre un tablero Matemáticamente expresamos esta condición de la siguiente forma:
(2 1) 2 n T t j ∆ = − (2.171)
La variación de tiempo entre ambos instantes ∆t será igual a:
r a n t v ∆ = (2.172)
donde aes la longitud del tablero. Y sustituyendo esta anterior ecuación y
Bases analíticas para el cálculo dinámico de los tableros formados por elementos transversales a la dirección de la vía 113 0.5 a j n d i − = (2.173)
Si sustituimos el valor de la longitud de la semionda a
n por ls llegamos a: 0.5 s l j d i − = (2.174)
Esta condición es la misma que antes se obtuvo para las vigas isostáticas, pero en aquel caso se imponía para conseguir la cancelación de la resonancia, mientras que ahora, por el contrario, es para conseguir la resonancia máxima.
Un ejemplo real donde se produce esta situación lo encontramos en el siguiente diagrama envolvente de aceleraciones máximas (Figura 2.38), correspondiente al quinto modo de vibración de un tablero de 24 m de longitud y 7 m de ancho, con vigas transversales separadas entre sí 2 m, originado por el paso de un tren TALGO A.V. con doble composición. Este modo presenta cinco semiondas en sentido longitudinal, de 4.8 m de longitud cada una y tiene una frecuencia de vibración de 7.98 Hz.
Si calculamos las velocidades de resonancia de este modo, considerando un espaciamiento regular entre ejes de 13.14 m, correspondiente a los vagones del tren TALGO, obtenemos que estas se producen para v i( = =1) 377 km/h y
( 2) 188
v i= = km/h. Ambos valores quedan reflejados en el diagrama por sendos picos de aceleraciones. Sin embargo, el valor máximo no se produce para ninguna de estas dos velocidades, sino que lo hace para una velocidad de 260 km/h. Esta es la velocidad resonante correspondiente a una distancia entre bogies de 9.05 m, que es la existente entre las parejas de ejes de las locomotoras centrales de la composición. Con esta distancia se cumple la condición de resonancia máxima, puesto que se verifica:
4.8 0.53 9.04 s l d = = ≈ 0.5 1 0.5 0.5 0.5 j i − = − = (2.175)
Modo 6. Aceleraciones (m/s2) 20.8 18.7 5.2 0 5 10 15 20 25 100 150 200 250 300 350 400 v (Km/h)
Figura 2.38 Diagrama de aceleraciones máximas correspondientes al modo 5 de un tablero de dimensiones 24 m de longitud por 7 m de ancho con vigas separadas cada 2
m y solicitado por el paso de un tren TALGO en doble composición.
Vemos como a pesar de tener un menor número de ejes sucesivos con igual distancia entre sí, el cumplimiento de la condición de resonancia máxima, unida a la mayor intensidad de carga, puesto que la distancia de resonancia es la correspondiente a una pareja de ejes y no a la existente entre ejes individuales, conduce a la obtención de la aceleración máxima del modo de vibración.
Y también, igual que en el caso de las vigas, podemos imponer la condición de cancelación de la resonancia en el tablero. Esta se producirá cuando los ejes del tren que actúan sobre una semionda tarden un múltiplo del periodo de oscilación del modo en alcanzar la siguiente semionda (Figura 2.39):
Bases analíticas para el cálculo dinámico de los tableros formados por elementos transversales a la dirección de la vía 115 sy P TIEMPO t1 TIEMPO t2 A B P sy sy sy sy sy B A
Figura 2.39 Cancelación de la resonancia en un tablero
En este caso, cuando en el instante t2, transcurrido un periodo o un
múltiplo de este, el punto B tienda a subir debido a la acción previa del eje en el instante t1, sobre la semionda anterior, la acción del eje en su nueva
posición le impondrá un movimiento en sentido contrario, anulando la posible suma de acciones, y cancelando la resonancia.
La condición anterior se traduce en:
n
t T j
∆ = (2.176)
y desarrollándola como hicimos en el caso anterior llegamos a:
s
l j
d = i (2.177)
Expresión esta última igual a la que en las vigas isostáticas obteníamos para maximizar la resonancia. Aquí, sin embargo, es al contrario, y nos fija la condición de cancelación de la resonancia en tableros. La diferencia se produce porque en este caso la existencia de modos de vibración con más de una semionda longitudinal, provoca que el efecto de cada carga afecte no solo al punto donde se encuentra, sino también a todas las semiondas de ese mismo modo de vibración, mientras que en las vigas isostáticas, una vez que la
carga a recorrido la viga, con una única semionda cuando se considera un único modo de vibración, sale de la estructura y su efecto como acción forzada directa desaparece.
CAPÍTULO 3
ANÁLISIS DE LAS VARIABLES QUE
INTERVIENEN EN EL COMPORTAMIENTO
DINÁMICO DE LOS TABLEROS FORMADOS
CON ELEMENTOS TRANSVERSALES A LA
DIRECCIÓN DE LA VÍA
3.1 INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se analizará la influencia de cada una de las variables que intervienen en el comportamiento dinámico de los tableros formados por elementos transversales a la dirección de la vía. Se recurrirá para ello, cuando sea posible y como elemento básico para llevar a cabo este análisis, a las expresiones analíticas deducidas en el capítulo anterior, realizando los análisis numéricos necesarios, para corroborar las deducciones extraídas de las expresiones analíticas. En el análisis de aquellas variables en las que no se puedan emplear estas expresiones, se llevarán a cabo los correspondientes estudios numéricos para conocer su influencia en el sistema estructural.
Trataremos de establecer a lo largo del capítulo un orden progresivo de análisis que nos permita explicar y entender la influencia de cada una de las variables, y su relación con el resto. Con este objetivo, consideraremos inicialmente el tablero apoyado en sus cuatro bordes, lo que nos permitirá eliminar de su comportamiento la participación del desplazamiento de los bordes laterales, y mejorar la compresión del mismo. Bajo esta suposición, bordes simplemente apoyados, con libertad de giro pero con desplazamiento vertical impedido, se estudiarán las principales variables que influyen en el comportamiento del tablero: masa y rigidez, frecuencias de vibración de los modos, longitud del tablero, luz de los elementos transversales y separación entre ellos. Sin duda, los dos primeros factores a estudiar en todo problema dinámico son la masa y la rigidez, por eso iniciaremos el desarrollo del estudio analizando la influencia que en el caso de los tableros tienen estas dos variables, para a continuación analizar la variación de la frecuencia de los modos, como consecuencia directa de las dos primeras variables. Los tres siguientes factores, longitud del tablero, luz de los elementos transversales y distancia entre ellos, nos permitirán conocer la influencia de los parámetros geométricos.
Manteniendo la misma suposición previa de considerar los bordes del tablero con desplazamiento nulo, se analizará como se modifica su comportamiento cuando se produce un cambio en la rigidez longitudinal del tablero. En algunas tipologías, este cambio se puede producir por la modificación del espesor de la losa superior sobre la que descansa la superestructura de la vía. En otras, es posible recurrir al empleo de elementos longitudinales intermedios o largueros, conectados a la losa por su cara inferior, y que además colaboran con ésta en el traslado de las cargas verticales de los ejes del tren, desde la superficie del tablero hasta las vigas transversales.
Análisis de las variables que intervienen en el comportamiento dinámico de los tableros formados por elementos transversales a la dirección de la vía
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Siguiendo la misma línea del apartado anterior, se procederá a analizar la influencia de la modificación de la rigidez transversal del tablero, modificación que puede producirse, bien por un cambio en las dimensiones de los elementos transversales, o bien por un cambio de la vinculación entre el tablero y los elementos longitudinales de borde.
A continuación, eliminaremos el supuesto previo de considerar los bordes laterales del tablero con su movimiento vertical impedido, y estudiaremos el comportamiento de éste, cuando estos bordes se apoyan sobre los elementos longitudinales de rigidez principal de la estructura, encargados de salvar la luz del puente, y por tanto, con posibilidad de desplazarse en vertical. Es ésta la configuración habitual que nos encontramos en los tableros de puentes de ferrocarril. Volveremos ahora nuevamente a analizar masa y rigidez, pero ahora la de estos elementos, estudiando su influencia en el comportamiento del tablero.
Por último, dado que en los puentes de vía doble, el tren circula excéntrico respecto el eje longitudinal del tablero, se analizarán las modificaciones que este hecho introduce, completando lo ya visto en el capítulo anterior, en relación a los factores de reducción de la acción excéntrica del tren.