Data Analysis

Una posible parametrizaci´on del hiperboloide completo (3.6.2) es a trav´es de

x0= α cosh σ cos τ (3.6.20a)

x1= α cosh σ sin τ (3.6.20b)

x2= α sinh σ cos θ1 (3.6.20c)

.. .

xn−1= α sinh σ sin θ1. . . sin θn−3cos θn−2 (3.6.20e)

xn= α sinh σ sin θ1. . . sin θn−3sin θn−2 (3.6.20f)

con τ ∈ [0, 2π), σ ∈ R+ y θi son par´ametros de Sn−2, i.e. con θn−2∈ [0, 2π) y los dem´as

valores en [0, π]. Evidentemente (3.6.2) se satisface id´enticamente, de hecho esta parame- trizaci´on puede pensarse como motivada por la soluci´on

(x0)2+ (x1)2= α2cosh2σ,

n

X

j=2

(xj)2 = α2sinh2σ (3.6.21)

Empleando entonces esta parametrizaci´on en (3.6.1), se sigue que

ds2= α2− cosh2_{σ dτ}2_{+ dσ}2_{+ sinh}2_{σ dΩ}2 n−2



(3.6.22) esta es la forma de la m´etrica inducida en coordenadas globales. De aqu´ı puede hacerse el cambio r = α sinh σ, de modo que

ds2 = −  1 + r 2 α2  dτ2+  1 + r 2 α2 −1 dr2+ r2dΩ2_n−2 (3.6.23)

dado que se identifica f´acilmente como la contraparte negativa de dSn (§3.7); de cualquier

modo podemos seguir trabajando con (3.6.22). Recu´erdese del final de la §3.6, que AdSn

tiene curvas tipo tiempo cerradas, i.e. uno podr´ıa regresar a un mismo instante en el tiem- po. En la m´etrica (3.6.22) de hecho se hace evidente nuevamente que se tienen estas curvas cerradas. Es aqu´ı cuando se extiende nuestro espacio original de AdSna la llamada cubierta

universal ; de hecho la gente al referirse a AdSn, seguido se refiere a esta cubierta universal

(como se har´a aqu´ı tambi´en). La idea b´asica es desenrollar la dimensi´on de topolog´ıa S1 en R, lo que intuitivamente puede pensarse como desenrollar el c´ırculo en una h´elice como si fuera un acorde´on.

S1

R

Figura 3.9: Esquematizaci´on de una cubierta universal

Rn−1,2 no es simplemente conexo (i.e. tiene un hueco), por lo que en efecto podemos des- enrollar la cubierta universal de AdSn ([26]), i.e. simplemente, hacer que τ ∈ R en (3.6.22)

sin la identificaci´on τ ∼ τ + 2π. Con esto en mente, lo que se quiere ahora es bosque- jar el diagrama de Penrose de AdSn. Una forma es introducir un cambio de coordenadas

tan R = sinh σ, de modo que

ds2= α2sec2R−dτ2_{+ dR}2_{+ sin}2_{R dΩ}2 n−2



(3.6.24) con R ∈ [0, π/2), y entonces AdSn es conforme a

d˜s2 = −dτ2+ dR2+ sin2R dΩ2_n−2 (3.6.25)

que es la mitad del universo est´atico de Einstein (3.6.16sin factor conforme, ya que tendr´ıa R ∈ [0, π/2) y en n-dimensiones). Las superficies para cada τ constante ser´an esferas Sn−2 de radio sin R. En este caso el infinito conforme I corresponde a R = π/2, donde σ → ∞, es de tipo tiempo y tiene topolog´ıa Sn−2× R, lo que corresponde a una compactificaci´on conforme de Minkowski (n − 1)-dimensional,

Rn−2,1→ I : R × Sn−2 (3.6.26)

lo que forma parte del coraz´on de la correspondencia AdS/CFT, como se ver´a m´as ade- lante, pues al considerar AdS5, puede trabajarse con una teor´ıa de campo conforme en su

frontera, que es un espacio de Minkowski usual R1,3. Como primer visualizaci´on de este es- pacio uno puede considerar un cilindro s´olido que se extiende infinitamente en la direcci´on temporal.

τ

Sn−2

R

I

Figura 3.10: AdSncomo un cil´ındro s´olido. La direcci´on temporal τ se extiende en sentido vertical,

mientras que R se toma como la direcci´on radial. La frontera conforme I contiene la direcci´on temporal y la esfera Sn−2, que aqu´ı se representa con un c´ırculo para tres τ constantes.

(3.6.25), tomemos la m´etrica

d˜s2 = −dτ2+ dR2 (3.6.27)

y s´olo debemos tomar en cuenta que en cada punto del diagrama (R, τ ) habr´a una esfera Sn−2_{. El diagrama de Penrose, de cualquier manera, dado que estamos considerando la}

cubierta universal τ ∈ R, ser´a una tira infinita, y si se intentara comprimir a´un mediante una transformaci´on conforme, o se perder´ıan los rayos de luz diagonales o se reducir´ıa el dominio de R a un punto ([26,46]). Podemos entonces esquematizar el diagrama bidimen- sional de Penrose como se muestra en la Figura 3.11.

τ = π τ = 0 R = 0 R = π/2 I tipo tiempo tipo espacio i+ i− (a) Bidimensional τ I R Sn−2 i+ i−

(b) Como cilindro s´olido

Figura 3.11: Esquema del diagrama de Penrose del espacio AdSn (n > 2). En azul se ’ilustran’

geod´esicas tipo luz y se distinguen las geod´esicas tipo tiempo de las tipo espacio.

donde cada punto es una esfera Sn−2 de radio sin R (de modo que en R = 0 se tornan en puntos). En cuanto a los infinitos conformes, se han se˜nalado esquem´aticamente los infinitos tipo tiempo i± aunque no los podamos asignar a un punto de los diagramas; adem´as v´ease que el infinito conforme I une los infinitos conformes de tipo nulo I± y el infinito conforme tipo espacio i0, i.e.

I = I+∪ I−∪ i0 (3.6.28)

cuya propiedad m´as relevante es que es de tipo tiempo, o bien, de signatura Lorentziana.

Como se ha mencionado tambi´en, cada punto en el diagrama es una (n − 2)-esfera, excepto para R = 0, donde se tienen puntos 0-dimensionales. Las geod´esicas tipo tiempo y

espacio son sugerentes, pero cualitativamente sabemos que se comportan del modo descrito en los diagramas dado que las geod´esicas de tipo luz son diagonales en el diagrama (R, τ ). Esto lleva a las siguientes conclusiones

X Al recorrer una geod´esica de tipo tiempo desde el punto p ≡ (R, τ ) = (0, 0), uno alcanza el punto q ≡ (R, τ ) = (0, π) en un tiempo coordenado τ = π y nunca alcanza la frontera conforme I.

X Al recorrer una geod´esica de tipo espacio partiendo de R = 0, a uno le llevar´a un tiempo coordenado infinito alcanzar R = π/2.

X Al recorrer una geod´esica de tipo luz partiendo de R = 0, uno alcanza la frontera conforme I en un tiempo coordenado finito, τ = π/2 y luego regresa a R = 0 en otro tiempo τ = π/2.

En efecto, seguramente el ´ultimo punto es el m´as sobresaliente y puede verificarse de manera sencilla. Las geod´esicas tipo luz son tales que d˜s2= 0, i.e.

dτ2= dR2= d [arctan(sinh σ)]2 = sech2σ dσ2 (3.6.29)

de modo que,

τ = Z

sechσ dσ = 2 arctan[tanh(σ/2)] =⇒ tanτ

2 = tanh σ 2 (3.6.30) entonces, en efecto l´ım σ→∞τ (σ) = π 2 (3.6.31)

por lo que le lleva un tiempo coordenado finito a la luz alcanzar la frontera conforme. Ahora bien, consid´erese un par´ametro af´ın λ; entonces la ec. (3.6.29) puede escribirse como

˙τ2= sech2σ ˙σ2 (3.6.32)

y si adem´as recordamos un poco acerca de los vectores de Killing en la §3.4, el campo ∂τ

es un campo de Killing, i.e. el vector de componentes Vτ = 1, Vν = 0 es Killing, de modo que se sigue que (v´ease espec´ıficamente la ec. (3.4.8)),

Vτ˙τ = gτ νVν˙τ = − cosh2σ ˙τ = cte ≡ −E (3.6.33)

donde el signo negativo se introduce ´unicamente con el prop´osito de que ˙τ > 0. Esta cantidad E, al resultar de una invariancia τ -traslacional,es energ´ıa conservada. De aqu´ı, junto con (3.6.32), se sigue que

es decir,

d

dλsinh σ = ±E (3.6.35)

y por tanto para rayos salientes, i.e. la ra´ız positiva,

sinh σ = Eλ (3.6.36)

salvo una constante, de modo entonces que cuando σ → ∞, tambi´en λ → ∞. Esto es de relevancia porque se˜nala que el espacio AdSn es geod´esicamente completo ([9,20]), lo que

significa que se extiende infinitamente en el par´ametro af´ın λ (que puede ser un tiempo propio: no confundir con el tiempo coordenado, que aqu´ı se ha designado como τ ); esto se se˜nala de manera opuesta y err´onea en [45], donde posiblemente se confunde el t´ermino con geod´esicamente convexo, con el cual e.g. [44] al decir (correctamente) que no lo es, se refiere a que existen pares de puntos que no pueden unirse mediante geod´esica alguna, e.g. en la Figura3.11ano hay forma de unir mediante alguna geod´esica el punto (τ, R) = (0, 0) con la parte de separaci´on espacial de τ > π/2.

La consecuencia m´as importante de que AdSn sea geod´esicamente completo es que por

los c´elebres teoremas de singularidad de Penrose-Hawking ([41]), este espacio en principio no tendr´a singularidades.

Finalmente esta propiedad de que una geod´esica luzaloide alcanza la frontera confor- me en un tiempo coordenado finito, implica que el espacio no es globalmente hiperb´olico. Esto significa que no existen superficies de Cauchy, i.e. superficies a τ = cte tales que toda geod´esica de tipo luz las intersecte. Esto es f´acil de ver en la Figura3.11a, dado que si uno toma e.g. Σ : τ = 0 y se fija en cualquier τ > 0, siempre hay geod´esicas de tipo luz que antes de llegar a Σ llegan a I. De manera an´aloga, siempre habr´a geod´esicas provenientes de I que intersecten a Σ (lo que puede pensarse como un derrame de informaci´on desde el infinito).

Esto hace que si uno quiere ver un sistema en AdSn como un sistema din´amico (v´ease

la §2.3o directamente [3]), especificar condiciones iniciales para dados campos (e.g. campos escalares) en una hipersuperficie no ser´a suficiente para determinar la evoluci´on temporal de los mismos. De cualquier modo esta relaci´on y la necesidad de imponer condiciones de frontera en I resultan de valor en AdS/CFT, pues por (3.6.25) AdSn es conforme al

universo est´atico de Einstein y por (3.6.26) I corresponde a una compactificaci´on conforme de Rn−2,1, ambos globalmente hiperb´olicos.