Chapter 8. Designing and evaluating the communication functionality of PANI
8.5 Study 2b: Evaluating PANI’s visual patient-centric notifications or text
8.5.6 Study 2b: Results
Como anticipamos en el segundo capítulo, la identificación T ∼ κ/2π es la única consistente con la radiación de Hawking. Ahora es claro, además, que las leyes de la termodinámica de agujeros negros que encontramos antes no son solo una coincidencia, el agujero negro sí emite
radiación térmica.
La radiación de Hawking es evidencia clara de la relación no trivial entre la mecánica cuántica y la relatividad general. Un agujero negro actúa como un cuerpo con energía E = M en equilibrio térmico con temperatura T = κ/2π y entropía S = A/4G. Esta entropía es increíblemente alta. Para darnos una idea, podemos considerar la entropía debida a campos de materia en el universo, que es aproximadamente igual al número de partículas relativistas en un radio de Hubble. Este número resulta ser [14]
SM ∼ 1088. (3.120)
Mientras tanto, la entropía de un agujero negro en unidades astronómicas es aproximada- mente SBH ∼ 1090 M 106M S 2 . (3.121)
Entonces, un único agujero negro de un millón de masas solares (como el que hay en el centro de nuestra galaxia) tiene más entropía que toda la materia en el universo visible. El hecho de que la entropía del universo sea tan baja podría deberse a las condiciones iniciales del universo y por lo tanto podría estar relacionado con la inflación.
Volviendo a la mecánica de agujeros negros, observamos otro problema. La entropía de un agujero negro es increíblemente grande, pero desde el punto de vista de la mecánica estadísti- ca, la entropía mide el número de estados accesibles del sistema. Ya que las características de un agujero negro están completamente determinadas por un número pequeño de parámetros (carga, masa y momento angular), el número de estados accesibles para un agujero negro es muy pequeño y no está claro cual es el origen de todos los estados adicionales.
En principio, esto no es un problema, podríamos apelar al hecho de que cualquier informa- ción adicional acerca del estado del agujero negro se encuentra escondida detrás del horizonte de eventos. Pero al final de la sección anterior mencionamos que un agujero negro se evapora con el tiempo. Una vez que el agujero negro se ha evaporado, ya no podemos utilizar este argumento: cualquier información adicional acerca del agujero negro se pierde. Esta es la pa- radoja de pérdida de información y a pesar de que se ha avanzado considerablemente hacia una solución [23], actualmente continúa siendo un problema abierto.
No se supone que la corta discusión de esta sección sea una introducción cuidadosa a estas ideas. Más bien, es indicación de algunos de los problemas abiertos que hoy en día se exploran en la frontera de la física gravitacional.
CONCLUSIONES
En primer lugar, resulta claro que es posible formular la gravitación como una teoría de calibre. Es posible también desarrollar un formalismo que permita la descripción de espinores en espacio-tiempos curvos. Si bien no se discute la cuantización de la teoría, el formalismo revisado en este trabajo es la base para teorías como la supergravedad.
A pesar de que la cuantización de la gravedad es aún un problema abierto, encontramos que sí es posible cuantizar otros campos dejando la métrica fija. Después de discutir las diferencias que existen entre este procedimiento y la cuantización canónica usual en espacio- tiempos planos, se procedió a cuantizar un campo escalar sin masa tanto en el espacio- tiempo de Minkowski (pero con un observador acelerado), como en el de Schwarzschild. Esto nos condujo a una serie de consecuencias interesantes, tales como los efectos de Unruh y Hawking.
Encontramos además que las leyes de los agujeros negros, que derivamos a partir de prin- cipios fundamentales, son completamente análogas a las leyes clásicas de la termodinámica. Los vacíos que deja la formulación clásica (en particular, la identificación T ∼ κ) son llena- dos una vez discutimos la cuantización de campos sobre espacio-tiempos con curvatura y en particular, el efecto Hawking.
Sin embargo, aún quedan una serie de preguntas abiertas (principalmente, la paradoja de pérdida de información) y es evidente que la formulación semiclásica que hemos presentado no pretende ser la solución final a estos problemas. Es probable que una teoría de la gravedad cuántica proporcione detalles adicionales al respecto.
REFERENCIAS
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[23] Stephen W. Hawking, Malcolm J. Perry, y Andrew Strominger. Soft hair on black holes. 2016.
APÉNDICE A
CONVENCIONES
A lo largo de este texto utilizamos unidades naturales, ~ = c = k = 1. Utilizamos la métrica de la Costa Este,
η = −1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 +1 . (A.1)
Utilizamos letras del alfabeto griego (µ, ν, σ...) para denotar índices globales (que trans- forman bajo difeomorfismos) y letras del principio del alfabeto latino (a, b, c...) para denotar índices de Lorentz (covariantes bajo transformaciones de Lorentz).
En las transformadas de Fourier, siempre dividimos equitativamente los factores de 2π entre x y p, esto es, las integrales incluyen un factor de (2π)1/2 por cada dimensión.
Nuestras matrices gamma satisfacen {γa, γb} = 2ηab. Utilizamos la representación de Ma-
jorana del álgebra de Clifford Cliff(3,1), generada por las matrices
γ0 = 0 +1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 +1 0 , γ1 = 0 +1 0 0 +1 0 0 0 0 0 0 +1 0 0 +1 0 , γ2 = +1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 +1 0 0 0 0 −1 , γ3 = 0 0 0 +1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 +1 0 0 0 ,
de modo que todas las matrices son reales. Además,
Utilizamos además las abreviaciones
γab = γ[aγb] γabc = γ[aγbγc] γabcd = γ[aγbγcγd]
Finalmente, la última matriz gamma viene dada por
γ5 = γ0γ1γ2γ3, γ5 = −(γ5)t, (γ5)2 = −I (A.3)
La ecuación de Dirac es, en esta representación,
(γa∂a+ m)ψ = 0 (A.4)
El signo de m es irrelevante, ya que si multiplicamos la ecuación por el operador con el signo opuesto obtenemos la ecuación de Klein-Gordon.
APÉNDICE B
LA CONEXIÓN DE ESPÍN
Los campos eµaque aparecen en el texto tienen una interpretación geométrica en el contexto clásico. Sabemos que una base natural para el espacio tangente Tp a un punto p en una
variedad es la inducida por las coordenadas, ˆe(µ) = ∂µ, pero la elección de esta base es
completamente arbitraria. En particular, podríamos elegir vectores ˆe(a) tales que en cada
punto de la variedad
g(ˆe(a), ˆe(b)) = ηab, (B.1)
donde g es la métrica de la variedad. Nos referiremos a una base así como una base ortonormal. Podemos expresar los vectores viejos ˆe(µ)= ∂µ de nuestra base en términos de los nuevos
ˆ
e(µ)= eµaeˆ(a). (B.2)
Supondremos que las componentes e a
µ son matrices invertibles y denotaremos a su inversa
como eµ
a. Se cumple entonces que
eµaeνa = δνµ, eµaeµb = δba. (B.3)
La condición B.1 se convierte entonces en
gµν = eµae b
ν ηab. (B.4)
Estos vectores inducen una base ortonormal de uno-formas sobre el espacio cotangente Tp∗, que denotamos por ˆθ(a) y se construye de la manera usual,
ˆ
θ(a)(ˆe(b)) = δba. (B.5)
con las componentes e a
µ es posible convertir índices griegos en latinos y viceversa.
Vµ= eaµVa (B.6)
Igualmente, podemos subir y bajar índices griegos con gµν e índices latinos con ηab (inclu-
yendo los de eaµ).
¿Cómo cambian nuestros nuevos vectores bajo transformaciones de coordenadas? Las trans- formaciones permitidas son aquellas que preservan B.1. Pero sabemos que estas son las trans- formaciones de Lorentz. Esto quiere decir que un tensor con índices mixtos transforma en general como Ta0µ0b0ν0 = Λa 0 a ∂xµ0 ∂xµΛ b b0 ∂xν ∂xν0T aµ bν. (B.7)
Podemos traducir todo lo que sabemos de tensores a este lenguaje solo con introducir las componentes eµa en los lugares adecuados. La diferencia crucial ocurre cuando hablamos de diferenciación.
Cuando la base del espacio tangente es la inducida por las coordenadas de la variedad, la derivada covariante se define como una derivada parcial mas términos de corrección adicio- nales
∇µVρ= ∂µVρ+ ΓρµνV
ν. (B.8)
Del mismo modo, podemos definir una derivada covariante actuando sobre un objeto con índices latinos como una derivada parcial mas términos de corrección adicionales
∇µXab = ∂µXab+ ω a µ cX c b− ω c µ bX a c. (B.9) Los objetos ω a
µ b son las componentes en coordenadas de la conexión de espín. Existe una
relación entre los símbolos de Christoffel Γν
µλ y la conexión de espín, dada por
ωµ ba = eνaeλbΓνµλ− eλ
b∂µeλa, (B.10)
esta relación es fácil de mostrar comparando ambas derivadas covariantes y es válida para cualquier conexión, sea o no compatible con la métrica o libre de torsión.
Como la conexión de espín es análoga a los símbolos de Christoffel, no es sorprendente que no transforme bien bajo cambios de coordenadas. El índice griego transforma correctamente, pero los índices latinos incluyen un término no homogéneo
ωµ ba00 = Λa 0 aΛ b b0ωµ ba − Λcb0∂µΛa 0 c. (B.11)
Es importante resaltar que los campos e a
µ y ωµ ba que aparecen en el texto tienen una
interpretación distinta, ya que son campos de calibre y no objetos geométricos.
El formalismo que hemos desarrollado hasta ahora adquiere importancia cuando conside- ramos derivadas exteriores. Si pensamos en X a
µ como una uno-forma con valores vectoriales,
entonces podemos tomar su derivada exterior (dX)a. Este objeto transforma bien bajo difeo-
morfismos, pero no bajo trasformaciones de Lorentz locales. Sin embargo, es fácil chequear que el objeto (dX)µνa+ (ω ∧ X)µνa= ∂µXνa− ∂νXµa+ ω a µ bX b ν − ω a ν bX b µ (B.12) transforma apropiadamente.
Bajo esta interpretación, los índices griegos representan las componentes de la forma dife- rencial, así que podemos suprimirlos y escribir
ea = eµadxµ, (B.13)
ωab = ωµ ba dxµ. (B.14)
Con estas definiciones, junto a la relación B.10, es posible mostrar que los tensores de torsión y curvatura usuales vienen dados por las ecuaciones de estructura de Cartan
Ta = dea+ ωab∧ eb, (B.15)
Rab = dωab + ωac∧ ωc
APÉNDICE C
DESACOPLAMIENTO ENTRE ESPÍN Y CURVATURA
En este apéndice mostraremos la ecuación 1.56. Este cálculo fue realizado por primera vez en [24]. La ecuación de Dirac en un espacio-tiempo curvo es (obviando el término masivo)
γa∇aψ = 0, (C.1)
donde ∇aes la derivada covariante definida por 1.54. Si actuamos nuevamente con la ecuación
de Dirac, entonces obtenemos
γa∇aγb∇bψ = 0 (C.2)
y ya que ∇a no actúa sobre γb, esto es
γaγb∇a∇bψ = 0. (C.3)
Podemos separar esta ecuación en 1 2{γ a , γb}∇a∇bψ + 1 2γ a γb[∇a, ∇b]ψ = 0. (C.4)
Ahora podemos definir un nuevo tensor de curvatura para nuestro operador ∇a como
[∇a, ∇b]ψ = Rabψ (C.5)
y si además utilizamos la identidad {γa, γb} = 2ηab, entonces la ecuación C.4 se vuelve
∇a∇a+ 1 2γ a γbRab ψ = 0. (C.6)
Para simplificar el segundo término es necesaria una identidad adicional. El tensor de curvatura Rabtoma valores en nuestra representación del álgebra de Lie del grupo de Lorentz.
En esta representación, tenemos
Rab=
1 4Rabstγ
Ahora podemos calcular Rabγb = Rastbηstγb = 1 2Rastb(γ sγt+ γtγs)γb = 1 2Rastbγ sγtγb− 1 2(Rabst− Ratsb)γ tγsγb = 4Rasγs− 1 2Rabstγ t γsγb. (C.8)
En la penúltima línea utilizamos la conocida identidad [14] Rastb+ Rabst+ Ratbs = 0 y
reordenamos los índices en el último término. Para simplificar el segundo término, podemos utilizar
γtγsγb = γbγtγs− 2ηtbγs+ 2ηsbγt, (C.9)
identidad que puede mostrarse fácilmente con las relaciones de anticonmutación. Sustituyendo en C.8, encontramos
Rabγb = 6Rasγs− 2Rabγb (C.10)
de modo que, claramente,
1 2Rabγ
b = R
abγb (C.11)
y si conmutamos la matriz γb hacia el otro lado, obtenemos
− 1 2γ
b
Rab = γbRab. (C.12)
Sustituyendo este resultado en la ecuación C.6, encontramos ∇a∇ a− 1 4γ aγbR ab ψ = 0. (C.13)
Como el tensor de Ricci es simétrico, podemos susituir γaγb → 1
2{γ
a, γb} para obtener,
finalmente (restituyendo además el término masivo)
∇2 − m2− 1
4R
APÉNDICE D
MASA, CARGA Y MOMENTO ANGULAR DE UN AGUJERO NEGRO
En el capítulo 2 afirmamos que en la métrica de Kerr, M representa la energía de un agu- jero negro y M a su momento angular. Para hacer más rigurosa esta afirmación, es necesario antes establecer una definición de estas cantidades en relatividad general. Estas definiciones no son triviales, ya que no existe manera alguna de relacionarlas con las definiciones usuales de estas cantidades como autovalores de operadores en un espacio de Fock [6]. En consecuen- cia, existe un amplio número de definiciones que no son siempre equivalentes. Sin embargo, las definiciones que daremos aquí son relativamente estándar en la literatura y arrojan los resultados que esperaríamos para las soluciones básicas a las ecuaciones de Einstein. En este apéndice seguiremos la discusión en [14].
Empezaremos por definir otra de las propiedades que caracterizan a un agujero negro: su carga. Miraremos específicamente la carga eléctrica, pero la carga magnética puede exami- narse del mismo modo.
Las ecuaciones de Maxwell relacionan al tensor Fµν con el vector de corriente eléctrica,
∇νFµν = Jeµ. (D.1)
La carga que pasa por una hipersuperficie de tipo espacio Σ viene entonces dada por la integral Q = − Z Σ d3x√γ nµJeµ = − Z Σ d3x√γ nµ∇νFµν = − Z ∂Σ d2x√γ2 nµσνFµν, (D.2)
donde hemos utilizado el teorema de Stokes en la tercera línea. En esta expresión, xi son las coordenadas en Σ, γ es la métrica inducida sobre Σ y nµ es un vector unitario ortogonal a
Σ. De igual modo, γ2 es la métrica inducida sobre ∂Σ (la frontera de Σ) y σµ es un vector
Ahora definiremos la energía total (o la masa) de un agujero negro. Si el espacio-tiempo en consideración es estacionario, entonces existe un vector de Killing de tipo tiempo Kµ. Es
posible entonces construir una corriente
JTµ= KνRµν, (D.3)
donde Rµν es el tensor de Ricci. Esta corriente tiene divergencia cero, hecho que sigue de la
identidad de Bianchi ∇µRµν = 12∇νR y la ecuación de Killing, ∇(µKν)= 0. Esto nos permite
definir una cantidad conservada asociada a esta corriente
ER= 1 4πG Z ∂Σ d2x√γ2 nµσν∇µKν, (D.4)
donde hemos elegido la normalización por conveniencia. Esta es la expresión de Komar para la energía. Como mencionamos antes, existen varias definiciones alternativas.
Finalmente, podemos definir el momento angular de un agujero negro análogamente. Su- pongamos que nuestro espacio-tiempo tiene un vector de Killing Rµasociado a la coordenada
angular φ, entonces es posible definir una corriente conservada como
Jφµ = RνRµν, (D.5)
cuya cantidad conservada correspondiente es
J = − 1
8πG Z
∂Σ
d2x√γ2 nµσν∇µRν. (D.6)
Es posible, aunque tedioso, chequear que para la métrica de Kerr la energía de Komar es
M y el momento angular es M a. Para la métrica de Kerr-Newman, la integral para la carga