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Los diagramas de Penrose (tambi´en llamados diagramas conformes de Carter-Penrose) son una herramienta muy ´util para visualizar la estructura causal y global de un espacio- tiempo. La intenci´on de los diagramas de Penrose es condensar toda la informaci´on de un espaciotiempo (3 + 1)-dimensional en un diagrama (1 + 1)-dimensional sin tener p´erdida de la misma. La idea b´asica entonces es realizar una transformaci´on de coordenadas confor- me o de Weyl, i.e. una transformaci´on de coordenadas que preserva ´angulos en distancias infinitesimales, tal que el infinito se encuentre a una distancia coordenada finita y que los rayos de luz est´en siempre a ±45◦. La Figura3.4puede verse como un ejemplo precisamente de una transformaci´on conforme que mapea un espacio infinito en uno finito.

Figura 3.4: Circle Limit III de M.C. Escher. Una representaci´on art´ıstica en el llamado disco de Poincar´e, un espacio 2-dimensional con geometr´ıa hiperb´olica en el que se representa un mapeo conforme.

Lo que importar´a aqu´ı ser´a el diagrama de Penrose de AdS, pero como siempre, el primer paso es tomar el caso m´as sencillo: el espacio de Minkowski (3 + 1)-dimensional. Las coordenadas m´as acordes para trabajar son las esf´ericas, dada la simetr´ıa del espacio, ya que esto permitir´a aislar la parte esf´erica de la m´etrica. Se tiene entonces el elemento

de l´ınea en coordenadas esf´ericas

ds2= −dt2+ dr2+ r2dΩ2 (3.6.7)

con t ∈ R, r ∈ R+ y dΩ2 el elemento usual de S2 (2.5.94). Para lograr que los rayos de luz se mantengan a ±45◦, podemos introducir las llamadas coordenadas de cono de luz ,

u = 1

2(t + r) (3.6.8a)

v = 1

2(t − r) (3.6.8b)

donde evidentemente u, v ∈ R con v ≤ u. Invirtiendo estas relaciones, se tiene que

t = u + v (3.6.9a)

r = u − v (3.6.9b)

entonces en t´erminos de estas coordenadas, la m´etrica (3.6.7) toma la forma

ds2= −4du dv + (u − v)2dΩ2 (3.6.10)

de aqu´ı, los rayos de luz radiales satisfacen dudv = 0, donde v constante describir´a rayos emergentes y u constante rayos entrantes. Podemos visualizar una foliaci´on de estos rayos en la Figura 3.5, donde al suprimir la informaci´on angular, cada punto en el diagrama representa una S2 esfera.

r t

v = cte

u = cte

Figura 3.5: Coordenadas de cono de luz

Ahora para cambiar a coordenadas en las que el infinito tome un valor finito, puede elegirse cualquier funci´on bien comportada y acotada, e.g.

V = arctan v (3.6.11b)

de modo que U, V ∈ (−π/2, π/2) y tambi´en U ≥ V . Se tiene entonces que dU = du 1 + u2 y

tambi´en dV = dv

1 + v2, por tanto

du dv = (1 + u2)(1 + v2)dU dV

= (1 + tan2U )(1 + tan2V )dU dV = sec2U sec2V dU dV (3.6.12)

y tambi´en (u − v)2 = (tan U − tan V )2 = sin U cos U − sin V cos V 2

= sec2U sec2V (sin U cos V − sin V cos U )2

= sec2U sec2V sin2(U − V ) (3.6.13)

entonces para la m´etrica,

ds2 = sec2U sec2V −4dU dV + sin2(U − V )dΩ2 (3.6.14) que ya tiene una forma sencilla y que cumple con llevar infinitos a una regi´on finita, sin embargo puede hacerse algo mejor, que es llevar estas coordenadas a unas de tipo temporal y radial de manera an´aloga (de vuelta) a como se hizo con (3.6.8a), i.e.

T = U + V, R = U − V (3.6.15)

con T ∈ (−π, π) y R ∈ [0, π) (dado que U ≥ V ). De este modo la m´etrica se torna en

ds2 = ζ−2(−dT2+ dR2+ sin2R dΩ2) (3.6.16)

con ζ = 1₂(cos T + cos R), que es exactamente de la misma forma que la m´etrica original salvo este llamado factor conforme ζ−2. Este espacio sigue siendo Minkowski, aunque por supuesto si consider´aramos el dominio T ∈ R y R una coordenada de ´angulo polar (que de hecho toma un intervalo de tal), se tendr´ıa una m´etrica en un espacio con topolog´ıa S3_{× R. En tal caso, la 3-esfera es m´aximamente sim´etrica y est´atica, por lo que a esta}

m´etrica sin el factor conforme, vista como una soluci´on de las ecuaciones de Einstein, se le llam´o el Universo est´atico de Einstein (UEE) por razones hist´oricas. El espacio de Min- kowski entonces puede pensarse como conformemente equivalente a un subespacio del UEE.

Visualizar a partir de aqu´ı el diagrama de Penrose del espacio de Minkowski es bastante sencillo. Primero, no consideraremos la parte angular de la m´etrica, dada su simetr´ıa, qued´andonos con una m´etrica de un espacio (1 + 1) dimensional sin perder informaci´on esencial sobre la m´etrica original; luego podemos ignorar tambi´en el factor conforme ζ−2, lo que ignorar´a la estructura de distancia propia de la m´etrica, mientras que permite extender la m´etrica para incluir los puntos de la frontera para T y R en que ζ−2 diverge ([46]). Esto es, se est´a considerando la m´etrica

d˜s2 = −dT2+ dR2 (3.6.17)

en T ∈ (−π, π) y R ∈ [0, π). Primero relacionemos T, R con t, r; se tiene que

T = U + V = arctan u + arctan v = arctan 1 2(t + r)  + arctan 1 2(t − r)  (3.6.18a) R = U − V = arctan u − arctan v = arctan 1

2(t + r)  − arctan 1 2(t − r)  (3.6.18b) de modo entonces que,

(t, r) = (∞, r) → (T, R) = (π, 0) (3.6.19a)

(t, r) = (−∞, r) → (T, R) = (−π, 0) (3.6.19b)

(t, r) = (t, ∞) → (T, R) = (0, π) (3.6.19c)

Ahora bien, se tiene que T + R = 2 arctan1₂(t + r), de modo que cuando t + r → ∞, T + R = π. De manera an´aloga, T − R = 2 arctan1₂(t − r) y cuando t − r → ∞, T − R = −π. Esto nos da las fronteras correspondientes a los infinitos asociados al espacio de Minkows- ki. Adem´as de esto, uno puede tratar de analizar los valores en el diagrama (R, T ) para r, t = cte, o bien, resolver en alg´un software y trazar las l´ıneas correspondientes.

En el software Wolfram Mathematica 8, el comando para resolver r, t en R, T puede escribirse como Sols= SolveB:TŠArcTanB 1 2 Ht+rLF +ArcTanB 1 2 Ht-rLF, RŠArcTanB 1 2 Ht+rLF -ArcTanB 1 2 Ht-rLF>,8t,r<F Simplify;

Show@

ContourPlot@8If@T+R< Π&&T-R> - Π,t. Sols@@2DD@@1DD, NoneD<,

8R, 0,Π<,8T,- Π,Π<, Contours®30, ContourShading®None,

AspectRatio®2, FrameTicks®8880, Π<, None<,880,Π<, None<<,

FrameLabel®8R,T<D,

ContourPlot@If@T+R< Π&&T-R> - Π,r. Sols@@2DD@@2DDD,

8R, 0,Π<,8T,- Π,Π<, Contours®30, ContourShading®NoneD,

ContourPlot@8T+RŠ Π,T-RŠ - Π<,8R, 0,Π<,8T,- Π,Π<,

ContourStyle®88Black, Dashed<<DD

Figura 3.6: C´odigo: Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski

lo que da como salida

0 Π

0 Π

R

T

Figura 3.7: Diagrama de Penrose del espacio de Minkowski en (R, T ). El espacio de Minkowski es ´unicamente el ‘interior’ del tri´angulo, sin el infinito conforme; aqu´ı se marca el infinito conforme con l´ıneas punteadas (el comando If del c´odigo de Mathematica se escribe con una desigualdad estricta).

que es el diagrama de Penrose ´unicamente de Minkowski en la coordenada de tipo radial R y la tipo temporal T , y donde las l´ıneas horizontales corresponden a t = cte, mientras que las verticales corresponden a r = cte. En el diagrama, al estar suprimiendo las dimensiones de tipo angular, cada punto corresponde a una esfera S2 de radio sin R (v´ease la ec. (3.6.16)). En cuanto a las fronteras, ´estas no pertenecen en realidad al espacio de Minkowski, sino m´as bien se˜nalan en d´onde el espacio deja de ser Minkowski; a ´estas se les refiere como el infinito conforme (del ingl´es conformal infinity, [24]) o frontera conforme. Hay toda una nomenclatura para los infinitos conformes:

X I+ es el infinito futuro tipo luz (T + R = π, R ∈ [0, π)) X I− es el infinito pasado tipo luz (T − R = −π, R ∈ [0, π)) X i+ es el infinito futuro tipo tiempo (T = π, R = 0)

X i0 es el infinito tipo espacio (T = 0, R = π)

X i− es el infinito pasado tipo tiempo (T = −π, R = 0)

V´ease que los infinitos i±, i0 son puntos, i.e. esferas de radio nulo, mientras que los infinitos I± son hiperfuperficies tipo luz o nulas de topolog´ıa S2× R. En general, todas las geod´esicas tipo tiempo de extensi´on infinita comienzan en i− y terminan en i+, mien- tras que las tipo espacio comienzan en i0_{, se reflejan en R = 0 y terminan nuevamente en}

i0. Uno puede naturalmente extender este diagrama si emplea originalmente una m´etrica ds2 = −dt2+ dx2 y se obtiene algo parecido a un diamante para el diagrama del espacio de Minkowski, como se ve a continuaci´on. En una versi´on pedestre del diagrama de Penrose (hecho sin la precisi´on de Mathematica) en T, X, los infinitos conformes se localizan en la Figura3.8. i+ i0_der i0_izq i− I+ der I_der− I+ izq I_izq− T X

Figura 3.8: Infinitos conformes en el diagrama de Penrose del espacio de Minkowski. Se agregan los lados derecho e izquierdo y en azul se marcan las direcciones de dos geod´esicas tipo luz.

Sobre esto y m´as sobre diagramas de Penrose (e.g. de soluciones tipo agujero negro) puede consultarse [24] o [46]; aqu´ı ser´a de inter´es particular AdSn.

3.6.2. Coordenadas Globales, Coordenadas Conformes y Diagramas de Pen-