Los objetos emergentes principales en esta tarea son figuras, funciones o sucesiones, conjeturas, formulación de problemas. En la actividad, el objetivo pretendido sobre la producción de conjeturas resulta una sorpresa para los estudiantes, porque provienen de una tradición de años anteriores en que se define polígono, se clasifican y se analizan por ellos, quitando la oportunidad de que ellos mismos lo hagan. Mientras que aquí, se observan figuras y se trata de establecer relaciones o patrones.
Las conjeturas parciales se reflejan en el cuaderno con los nombres de sus autores. Sus formas de representación parciales (porque corresponden a registros personales que no tienen objetivo de ser leídos) no reflejan la idea de relación, sino que se privilegia la producción de las conjeturas y si pone en evidencia los subproblemas que se han desarrollado.
Veamos como ejemplo, como a lo largo de la discusión se formula una pregunta- problema “¿Cómo debería ser la posición de los trazos para que se obtuviera un octógono?” que no estaba prevista inicialmente. Se aportan diversas soluciones con 8 rectas, con seis, con 4, etc. Se percibe en las respuestas la multiplicidad de propuestas que se pueden acercar a la conjetura. Hay un número menor que 8 rectas, menor que 6 rectas, quizás no se pueda hacer con menos de 4 rectas…
Y de ahí surge la generalización que ya se ha comentado anteriormente. Se logró que los estudiantes asumiesen el hecho problematizar como algo natural, desarrollando hábitos de pensar matemáticamente (Mason, Burton y Stacey, 1988; ySchoenfled, 1988) y se involucrasen en la producción de conjeturas y definiciones, porque tanto el punto de partida como el diálogo, son una consecuencia directa de la construcción que se pide, la multiplicidad de posibilidades en sí misma genera la necesidad de confrontar la validez de las mismas.
La tarea en sí misma como establecimiento de relaciones, es compleja, y quizás por falta de un sistema de representación de la evolución en el descubrimiento de la relación, puede hacer pensar que se está perdiendo la imagen global del problema, para privilegiar el proceso con los subproblemas.
Figura 4.9: fragmento de un cuaderno con solución de un problema, el octógono con 6 rectas
Pero la operacionalización de la tarea permite reconocer que el proceso de argumentación junto con las visualizaciones particulares, permite depurar las respuestas inicialmente intuitivas. La inducción de tipo iterativo que llevaría a una fórmula generalizada resulta ser lo más difícil para los estudiantes de esta edad.
El logro de la personalización implicó la atención constante del profesor a la gestión de los conocimientos, problematizando continuamente, compartiendo la responsabilidad con los estudiantes. Además, la presentación colectiva de los resultados alcanzados por los estudiantes, bien individualmente o trabajando en equipos, su discusión colectiva y las intervenciones de regulación final por el profesor fueran cruciales para el progreso colectivo del aprendizaje y el logro de las competencias de análisis de datos pretendidas. Así pues, a partir de nuestro análisis no sólo podemos afirmar que se construyeron un conjunto de objetos y procesos, éstos fueron claramente construidos mediante una negociación en donde los estudiantes aprovecharon la potencialidad de la tarea para establecer proposiciones que se corresponden con las que se esperan de la institución, pero que fueron legitimadas por el mismo grupo en el juego de confrontaciones y refutaciones.
4.1.2. Análisis de una actividad sobre Grado de No Convexidad.
En otro momento, con los mismos estudiantes, se propone la tarea de construcción polígonos en un geoplano cuadriculado con puntos. A continuación, se plantea una primera configuración epistémica, a partir de dicha situación simiente con una mediación diferente a la anterior que pretende evidenciar otro tipo de problemas, en un momento inicial nuevo.
En efecto, se propone seguir con la idea de hablar de propiedades de los polígonos. Ahora bien, el docente no tenía previsto que el análisis llevaría más allá de investigar a una definición nueva que los propios estudiantes llamaron grado de no convexidad. Veamos en la figura siguiente la configuración inicial.
Figura 4.10: Configuración inicial epistémica de la actividad con geoplano.
Más adelante, después de diversas interacciones, se provoca unanueva configuración que presenta la posibilidad de divergencia en el desarrollo matemático. En la figura 4.11 se muestra el momento inicial: Construcción de polígonos con 100 lados en un geoplano
Estudio de la interactuación de los objetos y relaciones primarias y secundarias, en una perspectiva temporal y dinámica.
Aqui hay un cambio de giro en la secuencia didáctica, con la proposición de un problema de construcción de un polígono en un contexto distinto, en el geoplano de papel, la primera consigna es: “Construye en el puntillado un polígono cuyos vertices coincidan con los puntos de la trama”.
Procesos de particularización – generalización
En esta situación de los polígonos en la trama de puntos también se da oportunidad de múltiples generalizaciones y particularizaciones. La primera particularización surge del propio enunciado, porque cada estudiante dibuja un polígono. En la elaboración se puede ver como no se dibujan figuras convexas.
Figura 4. 12: fragmento de un cuaderno con la consigna y la solución
Inmediatamente se particulariza la relación según el número de puntos. En lo que toca la secuencia sobre los puntillados se inicia la actividad a partir de la exploración de una trama cuadriculada determinada, 4 x 4, luego se cambia para otros tramados cuadriculados, 5 x 5, 6 x 6, de acuerdo con las descubiertas y/o cuestiones propuestas por los alumnos o profesor, hasta la exploración de la trama 10 x 10.
Una primera generalización asocia a la trama el hecho que puede hacerse un polígono que “pase” por todos los puntos. En 4x4, se consigue dibujar una figura de 16 lados, y en otras tramas (n x n) se puede hacer un polígono que pasa por todos los puntos pero no siempre tiene n lados. Esta generalización no se explicita en algunos casos, pero es el modo en que se enfrenta el problema general.
Otra generalización implícita que aparece es el hecho de que el triángulo es el polígono con menor número de lados En el contexto de la tarea, no se trata de aplicar una definición sino reconocer que siempre podríamos hacer un triángulo, pero hay un polígono con mayor número de lados, y luego se descubre que hay un número limite que depende de las dimensiones del geoplano puntillado.
Figura 14: fragmento de un cuaderno con proposición de un alumno
A continuación se asocia el número de lados del polígono buscado en función del tamaño de la red. El punto de partida clave para la generalización es el desafío de obtener el “polígono con el mayor número de lados”. La experimentación en dominios particulares (4 x 4, 5 x 5, etc.), lleva a los alumnos a percibir que cuanto más puntos del puntillado convertidos en vértices, más lad 4.os va a tener el polígono, así persiguen la meta de conseguir dibujar un polígono de 4 x 4 = 16 lados. El éxito en la resolución del desafío da seguridad al qué apliquen una regla general, o sea, en el puntillado 5 x 5 el polígono con mayor numero de lados va a tener 25 lados, en la trama 8 x 8 debe generar un “64-ágono”.
Figura 4. 15: fragmento de un cuaderno con proposición de otro alumno y el registro de que alguien ha encontrado la solución
Y luego se extiende al 10 x 10 si genera un polígono de n x n = n2 lados, un nuevo indicio de la demostración por elemento genérico. A partir del cual, se plantea una generalización basada sobre la conjetura de que será posible el procedimiento para conseguir hacerlo. Se intuye que hay que empezar por una “sierra” y completar mediante un casi cuadrado en la esquina contraria. La idea es completar una forma espiral que se cierre en el interior.